Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̂̇̇̇̇kreisel.tex 5. September 2011Wir betrachten nun ein Bezugssystem b k , das sich mit dem Kreisel bewegt, und dessenAchsen mit den Hauptachsen zusammenfallen. Dann istDie Einheitsvektoren b k rotieren mit dem Kreisel gemäß:so dass man für die Drehimpulsänderung bekommt:dLdt = kL = ω k (t)J k b k (t) (27)k̇ b k = ω × b k (28)ω k J k b k + b k J k ω k = ωJ ̇ + ω × Jω (29)kwas wieder die Eulersche Gleichung ist, denn Vektorgleichungen sind vom Koordinatensystemunabhängig.Nun zerlegen wir Gleichung (26) in Komponenten. Dabei entsteht das Gleichungssystem ω k J ki + ε ikl ω k J lm ω m = τ ikk,l,mwobei ε ikl als Komponentedarstellung des Spatprodukts definiert werden kann:a(b × c) = ε ikl a i b k c l = a b c a b c a b c ikl(30)Im Falle des körperfesten Bezugssystem der b k , wo der Trägheitstensor diagonal ist,vereinfachen sich diese Gleichungen beträchtlich, weil nun J lm = δ lm J m geschriebenwerden kann. (δ lm ist das Kronecker-Symbol, also 1 für l = m und sonst Null.) Damitvereinfacht sich die Gleichung zu:ω i J i + ε ikl ω k J l ω l = τ i (31)k,lHier erstreckt sich die Summe nur über k und l. In der Gleichung (30) kann man alsoz. B. für âjeweils einen der Vektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) oder (0, 0, 1) einsetzen, und danndie Determinante nach der ersten Zeile entwickeln, so erhält man die Komponentendarstellung:ω J + ω ω (J − J ) = τ ω J + ω ω (J − J ) = τ (32)ω J + ω ω (J − J ) = τ 10