Physik 6. Klasse

Physik 6. KlasseC. Ferndriger11. November 2013

Kapitel 1Wellen I1.1 EinleitungAn einer waagrechten Stange sind viele gleich lange physikalische Pendel in gleichenAbständen befestigt und durch gleichartige Schraubenfedern miteinander verbunden(vgl. Abbildung 1.1).Experiment 1: Wir bewegen das Pendel längs der y-Achse ”harmonisch” hin undher. Wegen der Trägheit tritt jedes Pendel etwas später in Schwingung. Es enstehteine Wellenbewegung längs der x-Achse (Fortpflanzungsrichtung der Welle). Dasich die Pendel quer zur Fortpflanzungsrichtung bewegen, spricht man hier von einerTransversalwelle.Experiment 2: Das Pendel wird längs der x -Achse ausgelenkt. Es bilden sich ”Verdichtungen”und ”Verdünnungen”aus. Dies nennt man eine Longitudinalwelle.Macht man von der Transversalwelle eine Momentaufnahme, so liegen die Pendelauf einer sinus- bzw. cosinus-Kurve. Derartige Wellen nennt man harmonischeWellen.Man merke sich: Lineare Oszillatoren (harmonische Schwingsysteme), die miteinandergekoppelt sind (z.B. molekulare Käfte im Wasser) führen zu harmonischenWellen. Bei einer ”La Ola-Welle” im Fussballstadion ist die Kopplung dagegenwohl eher die gemeinsame Begeisterung.1.2 Die Wellenlänge und die FortpflanzungsgeschwindigkeitEigenschaften, die ein einzelner Oszillator nicht hat, sind die Wellenlänge und dieFortpflanzungsgsgeschwindigkeit. Die Wellenlänge λ ist definiert als der Abstandzweier benachbarter Wellenberge oder Verdichtungen, oder allgemein der Abstandzwischen zwei benachbarten Oszillatoren, die sich im gleichen Schwingungszustandbefinden (vgl. Abbildung 1.2). Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v ist dieGeschwindigkeit, mit der sich ein Wellenberg oder eine Verdichtung in der Fortpflanzungsrichtungverschiebt.1

Abbildung 1.1: Bei Transversalwellen liegt die Schwingungsrichtung senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung.Bei Longitudinalwellen liegt die Schwingungsrichtung parallel zurFortpflanzungsrichtung.Folgende Begriffsbildung kann man direkt übernehmen von den Oszillatoren:Amplitude der Welle ↔ Amplitude der OszillatorenSchwingungsdauer der Welle ↔ Schwingungdsdauer der OszillatorenFrequenz der Welle ↔ Frequenz der OszillatorenEs gilt:Fortpflanzungsgeschwindigkeit = Wellenlänge/Schwingungsdauerbzw.v = λ T(1.1)Alsoλ = v · T (1.2)oderλ = v f(1.3)Beispiel: Wasserwellen (Energietransport, kein Massetransport!)Bemerke: es muss klar unterschieden werden zwischen der Geschwindigkeit v ei-2

Abbildung 1.2: Definition der Wellenlänge und der Amplitude einer ebenen Welle.ner Welle und der transversalen Geschwindigkeit u eines Seilelementes (s. Abbildung1.3). Mehr dazu wird weiter unten erläutert.Abbildung 1.3: Wellenbewegung entlang eines Seils. Die Wellen breiten sich nach rechtsentlang des Seils aus. Die Segmente des Seils schwingen auf der Tischoberfläche hin undher.1.3 Mathematische BeschreibungWir betrachten nun im folgenden eine Seilwelle. Wir benötigen dazu eine Funktiony, die von x und t abhängig ist.Ansatz:y(x,t) = y m sin(kx − ωt) (1.4)y m : Betrag der maximalen Auslenkung aus der Ruhelage (= Amplitude)(kx − ωt): Phasek: Wellenzahl [k]: rad/mUm den Zusammenhang zwischen der Wellenzahl k und der Wellenlänge λ zubestimmen, betrachten wir die Sinuswelle bei t = 0 sy(x,0) = y m sinkx3

nach Def. gilt für ein x 1 :Dafolgtbzw.y m sinkx 1 = y m sink(x 1 + λ)= y m sin(kx 1 + kλ)sin(α + 2π) = sinαkλ = 2πk = 2π λ(1.5)Nun können wir auch noch den bekannten Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenzω und der Schwingungszeit T ableiten. Wir betrachten dazu ein einzelnesSeilelement bei x = 0y(0,t) = y m sin(−ωt)Mit der Peiode T gilt= −y m sinωt−y m sinωt 1 = −y m sinω(t 1 + T )= −y m sin(ωt 1 + ωT )d.h.bzw.ω: KreisfrequenzωT = 2πf = 1 T = ω 2πω = 2π T(1.6)(1.7)1.4 Die Geschwindigkeit einer fortlaufenden WelleWir wollen nun noch die Geschwindigkeit v einer Welle aus dem allgemeinen Ansatzableiten. Dabei benützen wir, dass die Wellenform ”als Ganzes” verschobenwird (vgl. Abbildung 1.4):d.h.(kx − ωt) = konst.4

Abbildung 1.4: Eine sich ausbreitende Welle. In der Zeit t legt sie die Distanz vt zurück.ableiten nach t:d.h.k · dxdt − ω = 0v = dxdt = ω k(1.8)mit k = 2π λund ω = 2π Tv = ω k = λ T = λ f (1.9)Die Gleichung (1.4) beschreibt eine Welle in +x - Richtung. Wenn wir t → −tersetzen, ergibt das eine Welle in −x - Richtung.d.h.kx + ωt = konst.bzw.v = − ω kFür eine beliebige (nach links oder rechts) fortschreitende Welle haben wir alsofolgenden allgemeinen Ausdruck:z.B.y(x,t) = h(kx ± ωt) (1.10)y(x,t) = √ ax + btentspricht einer nach links laufenden (etwas seltsamen) Welle. Hingegen entsprichty(x,t) = sin(ax 2 − bt)keiner fortlaufenden Welle, da sie nicht die obige allgemeine Form hat.5

1.5 Die Wellengeschwindigkeit für ein gespanntes SeilEigenschaften des Mediums entscheidend.Charakterisierung: Trägheitseigenschaft, Elastizitätµ: lineare Massendichteµ = m Lm: Gesamtmasse des SeilsL: Länge des Seilsτ: Spannkraft (hängt ab von der Elastizität)v =√ τµ(1.11)(Herleitung S.367)Bem.: Die Geschw. v einer Seilwelle ist unabh. von der Frequenz f .1.6 Die EnergietransportrateBei einer Seilwelle tragen die Seilelemente dm sowohl kinetische als auch potenzielle,elastische Energie. Die Seilelemente werden auf und ab bewegt (kinetischeEnergie) und werden gespannt (potenzielle Energie). Dabei ist sowohl die transversaleGeschwindigkeit als auch die Spannung (Dehnung) der Seilelemente amgrössten bei y = 0.Kinetische Energie des Seilelementes mit Masse dmdK = 1 2 dmu2wobei u = transversale Geschwindigkeit des Seilelementes dmd.h.u = ∂y∂t = −ωy mcos(kx − ωt)∂: partielle Ableitung (Ableitung nach einer bestimmeten Variaben)Bemerke: y(x,t): Funktion von zwei VariablenMit dm = µdxDie Leistung wird danndK = 1 2 (µdx)(−ωy m) 2 cos 2 (kx − ωt)dKdt= 1 2 µvω2 y 2 mcos 2 (kx − ωt)wobei v = dxdtverwendet wurde. Für die zeitlich gemittelte Leistung ergibt das( dKdt ) gem = 1 2 µvω2 y 2 m[cos 2 (kx − ωt)] gem6

Also( dKdt ) gem = 1 4 µvω2 y 2 mD.h. die gemittelte Leistung beider Enrgieformen (kinetische und potenzielle Energiejeweils gleich gross, ohne Beweis) istalsoP gem = 2 · ( dKdt ) gemP gem = 1 2 µvω2 y 2 m (1.12)Beachte: Die gemittelte Leistung hängt vom Quadrat der Kreisfrequenz ab.1.7 Das Superpositionsprinzip für WellenZwei Wellen breiten sich entlang desselben Seils aus, dann gilty ′ (x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t)y ′ (x,t): resultierende Welleman nennt dies Superposition oder Überlagerung zweier Wellen.Es gilt ausserdem: Überlappende Wellen beeinflussen sich bei ihrer Ausbreitunggegenseitig nicht. Vergleiche dazu auch die Abbildung (1.5).Abbildung 1.5: Folge von Momentaufnahmen zweier Impulse, die sich überlagern gemässdem Superpositionsprinzip7

1.8 Die Interferenz von WellenSeiundφ: Phasenkonstante (Phasenunterschied)Nach dem Superpositionsprinzipy 1 (x,t) = y m sin(kx − ωt)y 2 (x,t) = y m sin(kx − ωt + φ)y ′ (x,t) = y 1 (x,t) + y 2 (x,t)verwende:daraus= y m sin(kx − ωt) + y m sin(kx − ωt + φ)sinα + sinβ = 2sin 1 2 (α + β)cos1 (α − β)2y ′ (x,t) = [2y m cos 1 2 φ]sin(kx − ωt + 1 2 φ)Dies ist wiederum eine sinusförmige Welle in +x - Richtung.Spezialfälle:φ = 0, Wellen in Phasekonstruktive Interferenzφ = π (rad)y ′ (x,t) = 2y m sin(kx − ωt)y ′ (x,t) = 0destruktive Interferenz (Auslöschung). Vergleiche dazu Abb. 1.6Phasenverschiebung um 2π ˆ= Gangunterschied von λAbbildung 1.6: Zwei Wellen interferieren: (a) konstruktiv; (b) destruktiv; (c) teilweise destruktiv.8

1.9 Darstellung einer Welle durch einen VektorBild: Vektor rotiert (im Uhrzeigersinn) um Ursprung (vgl. Abb. 1.7)Länge des Vektors = Amplitude der WelleWinkelgeschwindigkeit des Vektors = Kreisfrequenz der WelleMithilfe dieser Methode ist es möglich, Wellen mit gleichen Wellenlängen undgleichen Frequenzen, aber mit unterschiedlichen Amplituden zu addieren.y ′ (x,t) = y ′ msin(kx − ωt + β)y ′ m: Vektoren addierenβ: Winkel zw. y 1 und y ′ (x,t)Merke: φ positiv bedeutet ”Vektor geht hinterher”Abbildung 1.7: (a) Der Vektor vom Betrag y m1 , der mit ω im Uhrzeigersinn rotiert, stellteine sinusförmige Welle dar. y 1 bedeutet dabei die Auslenkung eines kleinen Abschnittesder Welle. (b) y 2 repräsentiert einen zweiten Wektor (Welle), mit konstanten Phasenfaktorφ. Er wandert ”hinterher”. (c) Konstruktion der resultierenden Welle (Vektoraddition)9

1.10 Stehende WellenDie Überlagerung zweier entgegengesetzt laufender Sinuswellen (gleiche Amplitude,Wellenlänge) führt zu einer stehenden Welle.Seiy 1 (x,t) = y m sin(kx − ωt)undDas Superpositionsprinzip besagt dannalsoy 2 (x,t) = y m sin(kx + ωt)y ′ (x,t) = y m sin(kx − ωt) + y m sin(kx + ωt)y ′ (x,t) = [2y m sinkx]cosωtD.h. y ′ (x,t) beschreibt keine sich ausbreitende Welle.Die Amplitude [2y m sinkx] hängt vom Ort ab.Für kx = 0 bzw. kx = nπ (n = 1,2,3,...) ist sie Null.Mit k = 2π λx = n λ n = 1,2,3,...2Dies sind die sogenannten Knotenpunkte. Benachbarte Knoten haben also einenAbstand von λ 2. Zwischen den Knotenpunkten befinden sich die Schwingungsbäuche.Eine stehende Welle auf einem Seil kann z.B. entstehen mithilfe einer Reflexionam Seilend (vgl. Abb. 1.8).Festes Seilende: Buckel wird als Tal reflektiertLoses Seilende: Buckel wird als Buckel reflektiertAus der Überlagerung folgt eine stehende Welle.1.11 Stehende Wellen und ResonanzBeidseitig eingespanntes Seil der Länge L. D.h. an den Enden befinden sich Knotenpunkte.Bei bestimmten Anregungsfrequenzen bilden sich stehende Wellen aus.Es giltλ = 2L nn = 1,2,3,...λ = v ff = v λ = n · v n = 1,2,3,...2LAllgemeine Resonanzfrequenzen sind also Vielfache der niedrigsten Resonanzfrequenz(erste Schwingungsmode):f = v (n = 1)2L10

Abbildung 1.8: Reflexion eines Wellenpakets auf einem Seil, wenn das Seilende (a) befestigtund (b) lose ist.Andere gebräuchliche Namen: (vgl. auch Abb. 1.9 und Abb. 1.101. Harmonische ( = Grundschwingung)2. Harmonische ( = erste Oberschwingung)usw.Abbildung 1.9: Stehende Wellen dreier Resonanzfrequenzen.11

Abbildung 1.10: (a) Eine Saite wird angeschlagen. (b) Nur stehende Wellen, die mit denResonanzfrequenzen korrespondieren, schwingen länger.12

Kapitel 2RC-Kreise2.1 Laden eines KondensatorsAbbildung 2.1: Der Kurvenverlauf zeigt den Aufbau von Ladung auf dem Kondensatorbeim LadenEin RC-Reihenkreis werde durch eine Batterie der Spannung U aufgeladen.Anwendung der Maschenregel ergibt:Verwende, dass giltdamitU − IR − q C = 0 (2.1)I = dqdt(2.2)R dqdt + q C = U (2.3)Diese Differenzialgleichung beschreibt die Zeitabhï¿ 1 2ngigkeit der Ladung q desKondensators im Stromkreis (vgl. Abb. 2.1)13

Abbildung 2.2: Man erkennt den zeitlichen Abfall des Ladestroms beim Laden des Kondensators.Die Funktionq(t) = CU(1 − e −t/RC ) (2.4)löst die DGL mit der Anfangsbedingung q(t) = 0 zum Zeitpunkt t = 0 .Der Ladestrom I(t) ergibt sich durch Ableitung von q(t) (vergleiche dazu Abb. 2.2).I = dqdt = (U R )e−t/RC (2.5)Man nennt τ = RC die kapazitive Zeitkonstante. Während τ immt die Ladung desKondensators von 0 auf 63% des Endwertes zu.Beim Entladen hat man im Stromkreis keine Batterie mehr. SomitDie Lösung der DGL istR dqdt + q C = 0 (2.6)q(t) = q 0 e −t/RC (2.7)wo q 0 = CU 0 die anfängliche Ladung des Kondensators bezeichnet. Leitet mannach der Zeit ab so erhält man für den EntladestromI(t) = dqdt = −( q 0RC )e−t/RC (2.8)Der Entladestrom eines Kondensators nimmt daher ebenfalls exponentiell mit derZeit ab.Fliesst der Strom I durch eine lange Spule mit N Windungen und einem Eisenkern,so tritt in ihrem Innern ein homogenes Magnetfeld B auf, dem ein magnetischerFluss Φ entspricht:B = µ r µ 0NIl(Magnetfeld) (2.9)14

NIΦ = BA = µ r µ 0 A (MagnetischerFluss) (2.10)l(l = Spulenlänge, A = Spulenquerschnitt, µ r = Permeabilität des Eisens)Verändern wir den Spulenstrom, so ändert sich der magnetische Fluss in der Spuleund eine induzierte Spannung tritt auf, die wir aus dem Induktionsgesetz berechnenkönnen:U ind = −N dΦ(2.11)dtDer Faktor N berücksichtigt dabei, dass die Flussänderung in jeder der N Windungender Spule eine Spannung induziert. Setzen wir Φ ein, so folgt:U ind = −N d ( )NIµ r µ 0dt l A N 2 A= −µ r µ 0 · dIl dt = −LdI (2.12)dtDie Induktivität L der Spule haben wir dabei definiert durchL = µ r µ 0N 2 AlMerke also:Ändert sich der Strom in einer Spule, so wird die SpannungU ind = −L dI (N 2 )AL = µ r µ 0dtl(2.13)induziert, welche der Änderung des Stromes gemäss der Lenzschen Regel entgegenwirkt(s. Abb. 2.3). Die Konstante L heisst Induktivität der Spule. Die Einheitder Induktivität ist 1Vs/A und wird als Henry (H) bezeichnet.Besonders hohe Selbstinduktionsspannungen treten beim plötzlichen Ausschal-Abbildung 2.3: Enthält ein Stromkreis eine Spule, so beginnt der Strom nach dem Schliessendes Schalters nur allmählich zu fliessen . Je höher die Induktivität der Spule ist, destoflacher ist der Anstieg des Stromes. Der Endwert des Stromes wird durch den OhmschenWiderstand der Spule bestimmt.ten eines Stromes auf, da die Stromänderung hierbei grosse Werte erreicht. DieserEffekt führt zum Auftreten hoher Spannungen und zur Funkenbildung bei derTrennung von Stromkreisen, die grosse Induktivitäten enthalten. In der Zündanlage15

Abbildung 2.4: Die Zündanlage eines Autos. Die plötzliche Unterbrechung des Stromes inder Zündspule ruft in der Sekundärspule eine hohe Induktionsspannung hervor, die für denZündfunken sorgt.eines Autos nützt man die auftretenden Selbstinduktionsspannungen zur Funkenbildungaus (s. Abb. 2.4).Wenn die Bewegung eines Oszillators durch eine äussere Kraft abgeschwächtwird, bezeichnet man den Oszillator und seine Bewegung als gedämpft. Ein idealisiertesBeispiel zeigt Abb. 2.5 Wir nehmen an, dass die Reibungskraft F R proportionalzum Betrag der Geschwindigkeit ⃗v ist. (Diese Annahme ist zulässig, wennsich der Kolben nur langsam bewegt.) Es gilt dannF R = −bv (2.14)wobei b der Dämpfungskoeffizient ist. Das Minuszeichen deutet dabei an, dass dieKraft F R der Bewegung entgegenwirkt.Die von der Feder auf das Gewicht ausgeübte Kraft istF F = −kx (2.15)Ausserdem nehmen wir noch an, dass die Gravitationskraft im Vergleich zu F R undF F vernachlässigbar ist.Für die x - Komponente gilt dannma = −bv − kx (2.16)Ersetzen wir v durch dx/dt und a durch d 2 x/dt 2 so erhalten wir die DGLm d2 xdt 2 + bdx + kx = 0 (2.17)dtIm Anhang A wird gezeigt, dass die Lösung dieser Gleichung geschrieben werdenkann als:( )x(t) = x m e −bt/2m cos ω ′ t + φ(2.18)16

Abbildung 2.5: Ein idealisierter gedämpfter harmonischer Oszillator. Ein Kolben in einerFlüssigkeit überträgt auf das Gewicht eine dämpfende Kraft, während es parallel zur x-Achse oszilliert.wobei x m die Amplitude und ω ′ die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators ist.Diese Kreisfrequenz ist durchω ′ =√km − b24m 2 (2.19)gegeben. Für den Fall b = 0 ist ω = √ k/m gleich der Kreisfrequenz des ungedämpftenOszillators.17

Kapitel 3ElektromagnetischeSchwingkreise und Wechselstrom3.1 Der LC-SchwingkreisDie Gesamtenergie eines Schwingkreises lässt sich durchE tot = E m + E p = Li22 + q22C(3.1)ausdrücken, wobei E m die Energie des Magnetfeldes in der Spule und E p die Energiedes elektrischen Feldes im Kondensator bedeuten. Die Grössen q und i sinddie Momentanwerte von Ladung und Stromstärke. Für einen idealen Schwingkreis(keine Wärmeproduktion) gilt danndE totdt= d dtMit i = dq/dt und di/dt = d 2 q/dt 2 erhalten wir( ) Li22 + q2= Li di2C dt + q dqC dt = 0 (3.2)L d2 qdt 2 + 1 C q = 0 (3.3)Diese DGL beschreibt die Schwingung eines LC-Kreises. Sie ist mathematischidentisch zur DGL des harmonischen Oszillators (Federpendel). Daraus folgt, dassauch die Lösung analog zur Schwingung eines Federpendels ist.q(t) = ˆqcos(ωt + φ) (3.4)wobei ˆq die Amplitude der Ladungsschwingung ist (Scheitelwert) und φ eine Phasenkonstante.Die Ableitung nach der Zeit führt auf die Gleichung für den Stromi = dqdt= −ω ˆqsin(ωt + φ) (3.5)18

Der Betrag der Amplitude (Scheitelwert) dieser sinusförmigen Stromschwingungistî = ω ˆq (3.6)somit kann man schreibeni(t) = −îsin(ωt + φ) (3.7)3.2 KreisfrequenzenDass die Gleichung 3.4 tatsächlich eine Lösung der DGL des LC-Schwingkreisesist können wir durch Einsetzen die Bedingung für die Kreisfrequenz bestimmen.Mitd 2 qdt 2 = −ω2 ˆqcos(ωt + φ)folgt dann durch Einsetzen:−Lω 2 ˆqcos(ωt + φ) + 1 ˆqcos(ωt + φ) = 0Cworaus folgt, dass die Kreisfrequenz eines Schwingkreisesω = 1 √LC(3.8)sein muss. Beziehungsweise gilt für die Frequenz des ungedämpften Schwingkreises1f =2π √ (3.9)LC3.3 Schwingung der elektrischen und magnetischen EnergieNach den Gleichungen 3.1 und 3.4 folgt für die elektrische Energie in einem LCSchwingkreisE p = q22C = ˆq22C cos2 (ωt + φ) (3.10)Entsprechend für die magnetische EnergieMit ω aus 3.8 folgtE m = 1 2 Li2 = 1 2 Lω2 ˆq 2 sin 2 (ωt + φ)E m = ˆq22C sin2 (ωt + φ) (3.11)Man erkennt, dass die Maximalwerte von E m und E p beide ˆq 2 /2C sind und dass zujedem Zeitpunkt die Summe aus E m und E p konstant ˆq 2 /2C beträgt. Die Energie19

Abbildung 3.1: Die magnetische und die elektrische Energie des Schaltkreises als Funktionder Zeit. Ihre Summe ist konstant. T ist die Periode der Schwingung.des Magnetfeldes und die des elektrischen Feldes wechseln sich gegenseitig ab,analog zum Wechsel zwischen potenzieller und kinetischer Energie beim Federpendel(vgl. Abbildung 3.1).Bei einem RLC Schwingkreis wird die Energie allmählich im WirkwiderstandR in Wärmeenergie umgewandelt und an die Umgebung abgegeben (vgl. Abbildung3.2). Wir gehen zuerst von der gesamten Energie aus.Abbildung 3.2: Ein in Reihe geschalteter RLC-Kreis. Die Ladungen strömen durch denWiderstand hin und her. Dabei wird elektromagnetische Energie in thermische Energieumgewandelt und die Schwingungsamplituden nehmen ab.E tot = E m + E p = Li22 + q22C(3.12)Wobei klar ist, dass im Wirkwiderstand R keine Energie gespeichert ist. Die elektromagnetischeEnergie nimmt mit der Zeit ab wobei die Umwandlungsrate durch20

die Joule’sche Wärme gegeben istdE totdt= −i 2 R (3.13)Das Minuszeichen deutet darauf hin, dass die Energie abnimmt. Wenn man 3.12nach der Zeit ableitet und dann in 3.13 einsetzt, so erhält mandE totdt= Li didt + q dqC dt = −i2 RNun ersetzt man wieder i durch dq/dt und di/dt durch d 2 q/dt 2 und erhältL d2 qdt 2 + Rdq dt + 1 q = 0 (RLC − Kreis) (3.14)CDies ist die DGL für einen gedämpften RLC -Kreis. Die allgemeine Lösung lautetwie bei derjenigen eines gedämpften harmonischen Oszillators in der Mechanik( )q(t) = ˆqe −Rt/2L cos ω ′ t + φ(3.15)wobeiω ′ =√ω 2 − (R/2L) 2 (3.16)Dabei ist ω = 1/ √ LC die Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises.3.4 Wechselstrom3.4.1 Der ohmsche Widerstand im WechselstromkreisDie Entstehung einer Wechselspannung kann man sich so vorstellen, dass die Spitzeeines ”Zeigers” auf einem Kreis mit dem Radius û gleichmässig mit einer Winkelgeschwindigkeitω rotiert (vgl. Abbildung 3.3). Für den vom Zeiger in der ZeitAbbildung 3.3: Rotierender Zeigert überstrichenen Winkel φ gilt dannφ = ωt21

und für die Projektion des Zeigers auf eine vertikale Achse giltu(t) = ûsin(ωt) (3.17)Diese Berechnung geht ganz analog zur Berechnung des harmonischen Oszillators(Federpendel), die man auch mithilfe der Kreisbewegung berechnen kann.Wir betrachten nun einen ohmschen Widerstand R in einem Wechselstromkreis(vgl. Abbildung 3.4). Es fliesst dann der StromAbbildung 3.4: Strom und Spannung hängen gemäss ohmschem Gesetz voneinander ab.Ihre Maxima und Nulldurchgänge erfolgen gleichzeitig. Es gibt also keine Phasenverschiebungzwischen Strom und Spannung.i(t) = u(t)R= û sin(ωt) = îsin(ωt) (3.18)RDie im Widerstand in Joule’sche Wärme umgewandelte elektrische Leistung beträgtdabeiP(t) = i(t)u(t) = îûsin 2 (ωt) = û2R sin2 (ωt) = î 2 Rsin 2 (ωt) (3.19)Diese Leistung schwankt periodisch (vgl. Abbildung 3.5). Bei praktischen An-Abbildung 3.5: Die Leistung P des Wechselstromes schwankt periodisch. ¯P ist die mittlereLeistung.wendungen interessiert man sich nur für den zeitlichen Mittelwert der Wärmeproduktion.Es giltsin 2 (ωt) = 1 222

wobei der Querstrich eine Zeitliche Mittelwertbildung bedeutet. Die mittlere Leistungdes Wechselstroms beträgt daher¯P = 1 ( 1√2 2 ( )1√2 1√2 2î2 R = î)R = î)(û(3.20)Diese Leistung entspricht derjenigen eines Gleichstroms, welcher die effektive StromstärkeI e f f = 1 √2î (3.21)und die effektive SpannungU e f f = 1 √2û (3.22)aufweist. Die Angaben von Stromstärke und Spannung bei Wechselstrom beziehensich stets auf diese Effektivwerte und nicht auf die Scheitelwerte. So verwendetman im Haushalt z.B. die Spannung U e f f =230 Volt, wobei in den LeitungenScheitelspannungen û = √ 2U e f f = 325 Volt auftreten.Merke:Unter der effektiven Stromstärke und der effektiven Spannung eines Wechselstromesversteht man diejenige Stromstärke bzw. Spannung, die ein Gleichstrom mitder selben Leistung aufweist.3.4.2 Die Spule im WechselstromkreisFür eine Spule giltu L = −L didtSchliessen wir einen Wechselspannungsgenerator mit(3.23)u(t) = ûsin(ωt)an eine Spule, so erhalten wir einen einfachen Stromkreis. Die Maschenregel liefert:u(t) + u L = 0 oder u(t) − L didt = 0 (3.24)Wie man sich durch Einsetzen überzeugen kann, folgt daraus für den Stromi(t) = − ûωL cos(ωt) = −îcos(ωt) = îsin(ωt − π 2 ) (3.25)Der Strom ist umgekehrt proportional zur Induktivität L der Spule und folgt derSpannung um eine Viertelperiode nach (vgl. Abbildung 3.6).Merke:Schaltet man eine Spule der Induktivität L in einen Wechselstromkreis, so folgt der23

Abbildung 3.6: Der Strom eilt der Spannung nach und erreicht erst später sein Maximum.Die Stromstärke wird durch den induktiven Widerstand der Spule bestimmt.Strom der Generatorspannung um eine Viertelperiode nach. Als induktiven Widerstand(Impedanz) der Spule bezeichnet manZ L = ûî = U e f fI e f f= ω · L (3.26)Der induktive Widerstand einer Spule wächst also mit zunehmender Fequenz dasWechselstromes. Er verschwindet für Gleichstrom.3.4.3 Der Kondensator im WechselstromSchalten wir einen Kondensator in einen Gleichstromkreis, so lädt sich der Kondensatorauf. Danach fliesst kein Strom mehr.Schalten wir einen Kondensator hingegen in einen Wechselstromkreis, so wirder immer wieder aufgeladen, entladen und umgekehrt aufgeladen. Dabei fliesst einständig wechselnder Ladestrom. Um diesen zu berechnen, benützen wirU = Q C(und vernachlässigen wieder sämtliche ohmschen Widerstände).Für den Ladestrom folgt darausi(t) = dQdtQ= ûsin(ωt) oder Q = Cûsin(ωt)C(= ωCûcos(ωt) = îcos(ωt) = îsin ωt + π )2Der Strom ist also proportional zur Kapazität und eilt der angelegten Spannung umeine Viertelperiode voraus (vgl. Abbildung 3.7).Merke:Schaltet man einen Kondensator der Kapazität C in einen Wechselstromkreis, so24

Abbildung 3.7: Der Strom eilt der Spannung voraus und erreicht vor ihr seinen Maximalwert.Die Stromstärke wird durch den kapazitiven Widerstand des Kondensators bestimmt.eilt der Strom der Generatorspannung um eine Viertelperiode voraus. Als kapazitivenWiderstand des Kondensators (= Impedanz) bezeichnet manZ C = ûî = U e f fI e f f= 1ωC(3.27)Zusammengefasst sind die Impedanzen in Abbildung 3.8 dargestellt.Abbildung 3.8: Gleich- und Wechselstromwiderstände (Impedanzen) in Funktion derKreisfrequenz.3.4.4 Die Leistung des WechselstromesIn der Praxis stellt sich häufig die Frage, welche Energie in einem elektrischen Bauelementumgesetzt wird. Der Energieumsatz aller Bauelemente eines elektrischenoder elektronischen Geräts bestimmt dessen Gesamt-Energiekonsum, für Hersteller(und Konsumenten) eine wichtige Kenngrösse.Für die elektrische Momentanleistung gilt allgemein:P(t) = u(t)i(t) = ûsin(ωt) · îsin(ωt − φ) = 1 2ûî[cosφ − cos(2ωt − φ)]25

Für das angeschlossene Elektrogerät ist der zeitliche Mittelwert ¯P der Leistungausschlaggebend. Weil cos(2ωt − φ) = 0 ist, beträgt er¯P = ûî2 cosφ = U e f f I e f f cosφMan bezeichnet ¯P als Wirkleistung und cosφ als Leistungs- oder Wirkfaktor.Merke:Die Wirkleistung des Wechselstroms beträgtwobei cosφ Leistungs- oder Wirkfaktor genannt wird.¯P = U e f f I e f f cosφ (3.28)In praktischen Anwendungen sollte der Leistungsfaktor nahe bei 1 liegen. Sonstbelasten Blindströme, die keine Leistung übertragen, das Netz übermässig. BeiElektromotoren, welche Spulen mit hohen Induktivitäten enthalten, werden Blindströmedurch parallel geschaltete Kondensatoren, die eine gegensinnige Phasenverschiebungbewirken, kompensiert.3.4.5 Der in Reihe geschaltete RLC-KreisWir betrachten nun den Fall, dass die Wechselspannungu(t) = ûsinωtan den vollen RLC-Kreis angelegt ist. Es fliesst durch alle Teile der Stromi(t) = îsin(ωt − φ)Mithilfe von Zeigerdiagrammen kann man nun die Stromamplitude und die Phasenkonstantebestimmen:In der Abbildung 3.9 sind die drei Spannungen aufgetragen, wie sie aus den obigenBetrachtungen folgen. û R z.B. ist in Phase mit dem Strom î und û L ist um 90 ◦ demStrom voraus. Nach der Maschenregel gilt für die angelegte Wechselspannung û(t)u(t) = u R + u C + u L (3.29)D.h. die angelegte Gesamtspannung muss gleich der Vektorsumme der einzelnenSpannungen sein. Da die Dreiecke rechtwinklig sind, gilt nach Pythagoras:û 2 = û 2 R + (û L − û C ) 2 (3.30)wobei gemäss Abbildung 3.10 aus û L und û C bereits die Summe gebildet wurde.Dies kann man nun mit den Widerständen ausdrücken:û 2 = (îR) 2 + (îZ L − îZ C ) 2 (3.31)26

Abbildung 3.9: Zeigerdiagramm: Die drei Zeiger entsprechen den Spannungen an der Spule,dem Wirkwiderstand und dem Kondensator relativ zum Stromzeiger (gleiche Richtungwie û R ).Abbildung 3.10: Der Wechselspannungszeiger muss gleich der Vektorsumme der dreiSpannungszeiger sein.Damit folgt für die Stromamplitude:î =û√R 2 + (Z L − Z C ) 2 (3.32)Den Nenner dieser Gleichung bezeichnet man als Impedanz Z (oder auch alsScheinwiderstand) des Stromkreises mit der antreibenden Kreisfrequenz ω.√Z = R 2 + (Z L − Z C ) 2 (3.33)Damit kann man für die Stromamplitude nun auch explizit schreiben:î =Der Abbildung 3.10 können wir entnehmen, dassû√R 2 + (ωL − 1/ωC) 2 (3.34)tanφ = ûL − û Cû R27= îZ L − îZ CîR(3.35)

zw.tanφ = Z L − Z C(3.36)RDamit haben wir nun auch eine Gleichung für die Phasenkonstante φ in einemwechselstromgetriebenen und in Reihe geschalteten RLC-Kreis abgeleitet. Besondersinteressant ist der Fall, bei dem Z C = Z L ist. Da befindet sich der Schaltkreisin Resonanz. In diesem Zustand ist die Phasenverschiebung φ = 0 zwischen demStrom i(t) und u(t).Dies ist gleichbedeutend damit, dassgleich Null ist. D.h. wenn giltoderωL − 1ωCωL = 1ωCω = 1 √LC(3.37)Dies ist gleichzeitig die natürliche Kreisfrequenz ω eines RLC-Kreises. î(t) wirdalso maximal, wenn die Kreisfrequenz der angelegten Spannung gleich der natürlichenKreisfrequenz ist-d.h. im Resonanzfall. In der Abbildung 3.11 erkennt mandrei Resonanzkurven für sinusförmig angetriebene Schwingungen von drei in Reihegeschalteten RLC-Kreisen, die sich jeweils nur im Wert von R unterscheiden.In jeder der Kurven erreicht die Stromamplitude ihr Maximum für das VerhältnisAbbildung 3.11: Resonanzkurven für den RLC-Kreis mit L = 100µH, C = 100pF und dreiverschiedenen Widerständen.ω a /ω = 1,00, (ω a steht für ”Anregunskreisfrequenz”) allerdings nimmt der Maximalwertder Amplitude mit zunehmendem R ab.28

Kapitel 4Interferenz4.1 Elektromagnetische WellenEine elektromagnetische Welle besteht aus oszillierenden elektrischen und magnetischenFeldern. Die verschiedenen möglichen Frequenzen elektromagnetischerWellen bilden ein Spektrum, zu dem als kleiner Ausschnitt das sichtbare Lichtzählt. Mathematisch kann man schreiben:E(x,t) = E m sin(kx − ωt) (4.1)bzw.B(x,t) = B m sin(kx − ωt) (4.2)4.2 Licht als WelleSchon im Jahre 1678 schlug Christiaan Huygens eine Wellentheorie des Lichtsvor, welche im Stande war, Reflexion und Brechung zu erklären: Jeder Punkt einerWellenfront ist Ausgangspunkt sekundärer kugelförmiger Elementarwellen. DerOrt der Wellenfront zu einer beliebigen Zeit t ist gegeben durch die Tangente analle diese sekundären Elementarwellen. Dies wird als Huygenssches Prinzip bezeichnet.Betrachten wir als Beispiel die Herleitung des Brechungsgesetzes von Snellius.Eine ebene Wellenfront treffe mit θ 1 aus der Luft auf eine Glasoberfläche.Die Geschwindigkeit der Welle in der Luft sei v 1 , diejenige im Glas v 2 . Wenn dieWelle in das Glas eintritt, breitet sich eine Huygen’sche Elementarwelle aus. Währendein anderer Teil der Wellenfront gerade noch eine Wellenlände λ 1 in der Luftzurücklegt, breitet sich vom ersten Auftreffpunkt der Wellenfront eine elementareKugelwelle um λ 2 aus. Da die Zeiten gleich sind, gilt daherλ 1v 1= λ 2v 2(4.3)29

Dies gilt deshalb, weil sich die Frequenz der Welle nicht ändert beim Übertretenin ein anderes Medium. Aus geometrischen Betrachtungen heraus lässt sich dannablesen, dass giltsinθ 1= λ 1= v 1(4.4)sinθ 2 λ 2 v 2Wenn man nun noch den Brechungsindex n definiert als Verhältnis zwischen derLichtgeschwindigkeit im Vakuum und derjenigen im Medium,n = c v(4.5)so folgtsinθ 1sinθ 2= c/n 1c/n 2= n 2n 1. (4.6)Somit folgt das bekannte Brechungsgesetz nach Snellius:n 1 sinθ 1 = n 2 sinθ 2 . (4.7)4.3 Wellenlänge und BrechungsindexWie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, ändert sich sowohl die Geschwindigkeitals auch die Wellenlänge des Lichtes wenn es durch ein Medium tritt. ImVakuum giltc = λ T(4.8)und im Mediumdaraus folgtMithilfe von 4.5 folgtv = λ nTλ n = λ v cλ n = λ n(4.9)(4.10)(4.11)λ n bedeutet dabei die Wellenlänge im Medium mit Brechungsindex n. Somit giltauch für die Frequenz im Mediumf n = v λ n(4.12)Nun sehen wir, dass die Frequenz unverändert bleibt beim Eintritt in ein anderesMedium. Es gilt nämlichf n = c/nλ/n = c λ = fWenn sich nun zwei Lichtwellen, die anfänglich in Phase sind, durch unterschiedlicheMedien bewegen, so kann sich dadurch die Phasendifferenz ändern. Um diese30

Phasenänderung zu ermitteln, zählt man die Anzahl Wellenlängen ab, die in einMedium der Länge L passen. Wir nehmen an, dass der eine Lichtstrahl durch einMedium mit Brechungsindex n geht und der andere durch Luft n ≈ 1. Es gilt dannN 1 = L = Ln 1λ n1 λ(4.13)Analog giltN 2 = L = Ln 2λ n2 λ(4.14)und damitN 2 − N 1 = Ln 2λ − Ln 1λ = L λ (n 2 − n 1 ) (4.15)Dabei spielen Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge keineRolle. Z. B. ist eine Phasendifferenz von 45,6 Wellenlängen so zu interpretieren,dass es um eine effektive Phasendifferenz von 0,6 Wellenlängen geht. Bei 0,5 Wellenlängenhätte man eine vollständige Auslöschung. Somit ist ein Wert von 0,6 alsoeher eine Auslöschung als eine konstruktive Interfernez. man kann diese Phasendifferenzennatürlich auch in Grad oder Bogenmass ausdrücken.4.4 Der Doppelspaltversuch von Young1801 gelang es Thomas Young mit einem Doppelspaltexperiment zu beweisen,dass Licht eine Welle ist. Bis zur Arbeit Albert Einsteins zum PhotoelektrischenEffekt um 1905 gab es daher auch kaum noch Zweifel an der Wellennatur desLichts. Beim Interferenzversuch ging es darum, dass monochromatisches Lichtzuerst durch einen ersten Spalt hindurchgeht und dabei zu einer Elementarwellewird, welche dann bei einem zweiten Schirm mit zwei Spalten wiederum gebeugtwird. Hinter dem Doppelspalt befindet sich dann ein Schirm, auf welchem Interferenzstreifenzu sehen sind (vgl. Abb. 4.1).4.5 Lokalisierung der InterferenzstreifenUm die Position der Interferenzstreifen zu berechnen, muss man einige Näherungenvornehmen. Wir nehmen an, dass der Schirmabstand L viel grösser sei als derAbstand d der beiden Spalten. Dann kann man sagen, dass die Winkel von S 1 undvon S 2 aus beide θ sind (vgl. Abb. 4.2). Dies ermöglicht uns den Gangunterschied∆L zu berechnen mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks (vgl. Abb. 4.2). Es folgt∆L = dsinθ (4.16)Da ∆L bei konstruktiver Interferenz ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlängesein muss, giltdsinθ = mλ mit m = 0,1,2,... (4.17)31

Abbildung 4.1: Interfernezversuch von Young.für die Interfernzmaxima. Bei den Interferenzminima gilt danndsinθ = (m + 1 ) · λ mit m = 0,1,2,... (4.18)2da der Gangunterschied für destruktive Interferenz ein ungradzahliges Vielfachesvon λ/2 sein soll. Man beachte, dass die Winkel θ sich jeweils auf das Zentrumeines Interferenzmaximums respektive -minimums beziehen.4.6 KohärenzUnter Kohärenz versteht man das Beibehalten einer festen Phasenbeziehung zweierWellen. Wenn man eine Lichtquelle wie z.B. eine Glühlampe betrachtet, so sinddie ausgesandten Lichtwellen in keiner festen Phasenbeziehung, sie sind dann inkohärent.Die angeregten Elektronen im Glühdraht emittieren in rein statistischerWeise ihr Licht. Somit könnte man dieses Licht auch nicht verwenden für den Doppelspaltversuch,da sich kein festes Interferenzgitter einstellen könnte. Stellt manhingegen einen Einzelspalt vor den Doppelspalt, so stellt dieser eine Lichtquelledar, welche nun kohärentes Licht richtung Dopplespalt aussendet.32

Abbildung 4.2: Berechnung zum Dopplespaltvesuch nach Young.4.7 Intensitäten bei der Interferenz am DoppelspaltWir gehen davon aus, dass die Wellen aus den beiden Spalten an einem Ort aufdem Schirm mit einer festen, zeitlich unveränderten Phasendifferenz ankommen.D.h. sie sollen kohärent sein. Ausserdem sind sowohl die Amplituden als auch dieKreisfrequenz der beiden Wellen identisch. Den zeitlichen Anteil der Wellen kannman dann folgendermassen schreiben:Es folgt dann für die Intensität auf dem SchirmE 1 = E 0 sinωt (4.19)E 2 = E 0 sin(ωt + φ) (4.20)I = 4I 0 cos 2 1 2 φ (4.21)wobeiφ = 2πd sinθ. (4.22)λDie erste Gleichung wird hergeleitet mithilfe der Methode der Zeigeraddition, wobeider Umstand verwendet wurde, dass bei elektromagnetischen Wellen giltII 0= E2E 2 0(4.23)d.h. die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude der Feldstärke E.Der Zusammenhand zwischen θ und φ folgt aus dem Vergleich des Gangunter-33

schieds mit der Phasenkonstante. Es gilt nämlich(Phasendifferenz) = 2π λ (Weglängenunterschied)Deshalb gilt mit dem Weglängenunterschied dsinθφ = 2πdλ sinθ.4.8 Interferenz an dünnen SchichtenBei dünnen Schichten können Interferenzen entstehen indem an der Vorder- undRückseite der Reflexionen stattfinden und sich die Lichtwellen anschliessend überlagern.Man muss dabei auch berücksichtigen, dass erstens der eine Lichtstrahleinen weiteren Weg zurücklegt (2L bei einem annähernd senkrechten Einfallen),zweitens eine andere Geschwindigkeit des Lichtes zu nehmen ist im Medium unddrittens bei der Reflexion von einem optisch dünneren zu einem optisch dichterenMedium ein Phasensprung von π zu beachten ist. Vom Medium mit grösserem Brechungsindexzum Medium mit niedrigerem Brechungsindex erfolgt hingegen dieReflexion ohne Phasensprung.Wenn man diese drei Punkte berücksichtigt, bekommt man für die Bedingungeiner konstruktiven Interferenz2L = ungeradeZahl2· Wellenlänge.Dabei muss für die Wellenlänge natürlich diejenige im Medium genommen werden,also2L = ungeradeZahl · λ n2wobei wir annehmen, dass ausserhalb der dünnen Schicht Luft ist mit n = 1. Wirschreiben also für konstruktive Interferenz(2L = m + 1 ) λm = 0,1,2,... (4.24)2 nFür die destruktive Interferenz folgt2L = m λ nm = 0,1,2,... (4.25)Damit kann man also bei bekannter Schichtdicke feststellen, ob ein Beobachter dieSchicht hell oder dunkel wahrnimmt, in Abhängigkeit der einfallenden Lichtwellenlänge.34

Kapitel 5Beugung5.1 Beugung an einem EinzelspaltWenn eine Lichtwelle auf einen Einzelspalt trifft, so entsteht in Abhängigkeit derBreite des Spaltes, hinter dem Spalt ein sogenannter Beugungseffekt. Das heisst,ein zentraler Teil der Wellenfront geht geradlinig durch den Spalt, aber an den beidenRändern entstehen Kugelwellen, welche sich dann in den Schattenbereich desSpaltes ausbreiten. Dies ist aber nicht alles. Es entstehen neben dem Hauptmaximader geradlinig durchgehenden Welle auch Interferenzstreifen an den Rändern (s.Abb. 5.1). Diese Maxima und Minima wollen wir nun genauer betrachten.Abbildung 5.1: Beugungsmuster eines Einzelspaltes.35

5.2 Lokalisierung der MinimaUm das Interferenzmuster am Einzelspalt zu beschreiben, konzentrieren wir unsauf die Minima. Die Maxima sind dann einfach in der Mitte zweier Minima anzunehmen.Der mittlere helle Streifen kann erklärt werden durch die Huygensschen Elementarwellen,welche sich im Bereich des Zentrums alle von einer Wellenfrontausbreiten. Sie sind alle in Phase und haben auch alle ungefähr die gleiche Weglängebis sie in der Mitte des Musters angekommen sind.Um die Position der dunklen Streifen zu finden, betrachten wir die Abbildung5.2. Wir halbieren die Spaltbreite und betrachten zwei Lichtwellen r 1 und r 2 welchesich bei einem Punkt P 1 destruktiv überlagern. Dabei gelten analoge Überlegungenwie bei der Interferenz am Doppelspalt. Der Weglängenunterschied ist nach dennötigen vereinfachungen als a 2sinθ zu setzen. Damit destruktive Interferenz stattfindetmuss also geltena2 sinθ = λ 2 .Das heisst, wir erhalten für das erste Minimum im Beugungsmusterasinθ = λ. (5.1)Abbildung 5.2: Destruktive Interferenz am Punkt P 1 .36

Kapitel 6Der photoelektrische EffektIm Jahre 1900 veröffentlichte Max Planck eine Arbeit zur sogenannten Schwarzkörperstrahlungin der er eine Formel präsentierte, die das Abstrahlungsproblemlöste. Seine Ad-Hoc Hypothese war, dass Strahlung nur in Paketen, sogenanntenQuanten emittiert und absorbiert werden kann. Albert Einstein führte diese Idee imJahre 1905 noch weiter indem er vorschlug, dass auch die Strahlung selbst quantisiertwar. Später wurde diesem Lichtquantum der Name Photon gegeben. Einsteinkonnte mit seiner Hypothese das ungelöste Problem des photoelektrischen Effektes(kurz Photoeffekt) erklären. Nach Einsteins Vorstellung hat das Quantum einerLichtquelle der Frequenz f die Energiewobei die plancksche Konstante h den WertE = h f (6.1)h = 6,63 · 10 −34 J · s (6.2)hat. Da er die Energie des Lichtes als quantisiert annahm, kann eine Lichtwelle alsEnergie nur ganzzahlige Vielfache dieser kleinsten Einheit (Quantum) haben.Beim Photoeffekt wurde zuerst auf rein empirische Art festgestellt, dass einegereinigte Metallplatte (z.B. Zink), die mit UV-Licht bestrahlt wird, sich positivauflädt und zwar unabhängig von der Intensität des verwendeten Lichtes. Allerdingsspielte die Frequenz bzw. die Wellenlänge des verwendeten Lichtes eine entscheidendeRolle. War die Frequenz zu klein, so passierte gar nichts, egal mit wieviel Intensität die Platte bestrahlt wurde. Dieses Ergebnis war mit der klassischenVorstellung von elektromagnetischen Wellen, die die Atome im Metall anregenund dann dadurch ein Loslösen der Leitungselektronen verursachen, unverträglich.Einsteins Vorschlag war nun, dass ein einzelnes Photon (Lichtquant) seine ganzeEnergie an ein Elektron abgibt und dieses dadurch aus dem Metall geschleudertwird. Ist die Frequenz f genügend gross, so reicht diese Energie um das Elektronaus dem Verband herauszulösen und ihm allenfalls noch eine gewisse Geschwindigkeit,also eine kinetische Energie zu verpassen. In einer Gleichung formuliert37

lautet das Gesetz des Photoeffektes nach Einstein alsoh f = E kin max + Φ. (6.3)Dabei bedeutet Φ die so genannte Austrittsarbeit, also die Arbeit, die mindestensbenötigt wird, um das Elektron aus dem Atombverband herauszulösen. Ist nun dieEnergie h f der auftreffenden Photonen auf Grund ihrer Frequenz grösser als dieseAustrittsarbeit, so bleibt also noch kinetische Energie des Elektrons übrig, nämlichgenau (h f − Φ).Wenn man nun mit einem geeigneten experimentellen Aufbau eine Gegenspannungzur eigentlichen entstehenden Spannung des photoelektrischen Effektes aufbaut,kann man damit die herausgeschlagenen Elektronen ganz abbremsen. Manbekommt dann für die kinetische Energie der Elektronen den WertE kin max = eV stop . (6.4)Dabei wurde das so genannte Stoppotenzial V stop definiert. Dieses Stoppotenzialhängt also nur von der Frequenz des verwendeten Lichtes ab, nicht von der Intensität.Wenn man dieses V stop gegen die Frequenz der verwendeten Strahlungaufträgt, bekommt man einen linearen Zusammenhang, der es einem auch erlaubt,den Wert der planckschen Konstanten aus der Steigung zu ermitteln. Die Rechnunggeht folgendermassen: man setzt das Stoppotenzial in die Einsteinsche Gleichungfür den Photoeffekt ein.h f = eV stop + Φ (6.5)Dann löst man auf nach V stop und erhält( ) hV stop = f − Φ e e . (6.6)Die Steigung der Geraden im Diagramm entspricht also dem Werthe .Als Beispiel sei der Wert für h aus der Messung an einer Natriumprobe von R.A.Millikan aus dem Jahre 1916 herauszulesen (vgl. Abb. 6.1). Hier gilt ungefähr, dasshe = 2,35V − 0,72V11,2 · 10 14 − 7,2 ·14 Hz = 4,1 · 10−15 V · s.Wenn man nun noch mit e multipliziert, bekommt man für hh = 6,6 · 10 −34 J · s38

Abbildung 6.1: Das Potenzial V stop als Funktion der Frequenz f nach einem Versuch miteiner Natriumprobe aus dem Jahre 1916 von R. A. Milikan.39

Anhang AA.1 Berechnung der Differenzialgleichung zur gedämpftenSchwingung (mit Trick zur Vermeidung komplexerZahlen)Wir schreiben die DGL alswobei δ = b/2m und ω 2 = k/mWir machen den Ansatz 1d 2 x dx+ 2δdt2 dt + ω2 x = 0x = ˜xe −δtdamit istdxdt = d ˜xdt e−δt − δ ˜xe −δtundd 2 xdt 2 = d2 ˜xdt 2 e−δt − 2δ d ˜xdt e−δt + δ 2 ˜xe −δtwobei wir mehrfach die Produktregel der Differenzialrechnung verwendet haben.Einsetzen in die DGL und kürzen von e −δt ergibtd 2 ˜xdt 2 + ( ω 2 − δ 2) ˜x = 0Dies ist nun gerade die schon bekannte Gleichung für den ungedämpften harmonischenOszillator, wobei ω ′2 = ω 2 − δ 2 anstelle von ω 2 auftaucht. Demnach ist dieLösung:( )˜x(t) = x m cos ω ′ t + φworaus wir soforterhalten.( )x(t) = ˜xe −δt = x m e −bt/2m cos ω ′ t + φ1 Es wird hier nicht der übliche Ansatz für lineare homogene DGL benützt, da man mit diesemTrick komplexe Zahlen umgehen kann.40