Trigonometrische Funktionen - Lerntools Kantonsschule Willisau

Kantonale Fachschaft MathematikRepetitionsaufgaben: Trigonometrische FunktionenZusammengestellt von Lukas Fischer, KSA und Jürg Junker, KSBInhaltsverzeichnisVorbemerkungen und Lernziele ……………...………….….…….. 2I. Trigonometrie im Dreieck………………….………...….. 31. Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck………..………….. 3a) Definition Sinus, Cosinus und Tangens…...……………………………..….. 3b) Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck……..……….………..…….….... 3c) Aufgaben.…….…………………………………………….……………….. 52. Trigonometrie im allgemeinen Dreieck………………..…….. 6a) Sinus- und Cosinussatz…...…………………………..……………………... 6b) Berechnungen im allgemeinen Dreieck……..……….…………...…….….... 6c) Aufgaben.…….…………………………………………….……………….. 7II. Trigonometrische Funktionen……………..………..….. 81. Definition und Graphen der trigonometrischen Funktionen.. 8a) Definition von Sinus und Cosinus für beliebige Winkel…………..………... 8b) Definition des Tangens für beliebige Winkel ….…....................................... 9c) Definition und Graph der Sinus- und Cosinusfunktion………….…………. 9d) Definition und Graph der Tangensfunktion….…………………………...... 122. Symmetrieeigenschaften der Graphen…………………….... 13a) Periode………………………………………………………………….….. 13b) Punkt- und Achsensymmetrie ………………………………………..….... 143. Trigonometrische Gleichungen……………………………… 16a) Musteraufgaben………………………………………………………...….. 16b) Aufgaben ….………………………………………………………….….... 174. Einfluss der Parameter auf den Graphen………………….. 18a) Musterbeispiele……………………………………………………..…..….. 18b) Aufgaben ……………………………………………………………...….... 215. Bogenmass……………………………………………..……... 22a) Definition……………………………………………………………….….. 22b) Umrechnung Gradmass-Bogenmass ….…………………………………... 22c) Aufgaben ……………………………………………………………..….... 23Lösungen der Aufgaben……………………………………….. 24Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 1

Kantonale Fachschaft MathematikI. Trigonometrie im Dreieck1. Trigonometrie im rechtwinkligen Dreiecka) Definition Sinus, Cosinus und TangensIn einem rechtwinkligen Dreieck 90 gilt:CbγaAαcβBSinusGegenkatheteHypotenuseasin cCosinusAnkatheteHypotenusebcos cTangensGegenkatheteAnkatheteatan bb) Berechnungen im rechtwinkligen DreieckCγb2bsbaAα2w cβBDie Schwerelinie sbteilt die gegenüberliegende Seite b in zwei gleich grosse Strecken, dieWinkelhalbierende w teilt den Winkel in zwei gleich grosse Teile. Generell sind diesebeiden Linien nicht identisch! Analog sind sb,s c, wund w definiert.Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 3

Kantonale Fachschaft Mathematikc) Aufgaben1. Gib bei den folgenden Dreiecken Sinus, Cosinusund Tangens in Funktion des gegebenen Winkels an:Ua) b)CbatsAcβBτTuBerechnung mit dem Taschenrechner (runde auf zwei Stellen nach dem Komma)2. Bestimme mit dem Taschenrechnersin für a) 10 b) 30 c) 25 d) 65cos für e) 20 f) 60 g) 35 h) 25tan für i) 30 j) 21 k) 45 l) 85S3. Bestimme mit dem Taschenrechner die Winkelgrösse für die gilt:a) sin 0.5b) sin 0.6751c) sin 0.88601cos 22 i) tan 2.9657d) cos 0.1257e) cos 0.9852f)g) tan 0.2679h) tan 14. Für diese Aufgabe gehen wir vom unten stehenden Dreieck 90a) Gegeben sind: a = 5.25 cm und c = 8 cm.Berechne die fehlenden Seiten und Winkel. aus:bγCab) Gegeben sind: 25, und a = 3.21 cm.ABerechne die fehlenden Seiten und Winkel, sowie w und s.aαcβBc) Gegeben sind: 72, und w = 4.95 cm.Berechne die fehlenden Seiten und Winkel, sowie s.bRepetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 5

Kantonale Fachschaft Mathematik2. Trigonometrie im allgemeinen Dreiecka) Sinus- und CosinussatzIn jedem beliebigen Dreieck gilt:CbγaAαcβBSinussatz:Cosinussatz:a b c sin sin sin 2 2 2a b c 2bccos2 2 2b a c 2ac cos2 2 2c a b 2abcosb) Berechnungen im allgemeinen DreieckMusterbeispiel:Gegeben sind: 31.12, a = 4.72 cm, b = 7.16 cm.Berechne die fehlenden Seiten und Winkel!a b(nach auflösen)sin sinbsin bsin sin 1arcsin 51.63a a Ein Dreieck ist gemäss dem Kongruenzsatz(Ssw) eindeutig bestimmt, falls derWinkel gegeben ist, der der grösseren Seitegegenüberliegt. Dies ist hier nicht derFall, deshalb gibt es 2 Lösungen2 1801128.37 (S. 15)1 180197.25 2 180220.51a casincsin sin sin 1 1 9.06cmc2asinsin 23.20cmRepetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 6

Kantonale Fachschaft MathematikMusterbeispiel:CGegeben sind: 95.67, a = 8.04 cm, c = 7.53 cm.Berechne die fehlenden Seiten und Winkel!bγa2 2 2b a c 2ac cosAαcβB2 2b a c 2ac cos 11.55cmb c csin csin sin arcsin 40.47sin sin b b 18043.86c) Aufgaben5. Berechne die fehlenden Seiten und Winkel!a) Gegeben sind: 103.89, a = 10.36 cm und b = 9.22 cm.b) Gegeben sind: a = 11.92 cm, 26.09 und 76.5.c) Gegeben sind: a = 3.95 cm, b = 5.11 cm und c = 4.58 cm.6. Gemäss Kongruenzsätze sind 2 Dreiecke kongruent, wenn sie entweder in allen 3 Seitenoder in 2 Seiten und dem der grösseren Seite gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen.a) Berechne die Winkel im Dreieck mit a = 10cm, b = 12cm, c =15cm.Zeige anschliessend mit dem Cosinussatz, dass es kein Dreieck gibt, wenn bei gleichema und b die Seite c = 25cm ist.b) Es sei nun a = 4 cm , b = 5 cm und α = 40°. Berechnen Sie die Winkel β und γ undzeige, dass es 2 Möglichkeiten gibt.7. Anwendungsaufgabe (Trigonometrie in der Physik):An einem Körper greifen die 2 Kräfte 35 N und 55 N an. Die beiden Kräfte schliessen einenWinkel von 110° ein. Berechne die resultierende Kraft.Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 7

Kantonale Fachschaft Mathematikb) Definition des Tangens für beliebige WinkelDer Tangens lässt sich als Verhältnis von Sinus undCosinus darstellen:tan αGegenkathete sin tan tantan = Ankathete cos r 1cos αsin αr = 1Aufgabe8. Ermittle graphisch (durch Zeichnen und Messen) die folgenden Werte für den Sinus, Cosinusund Tangens des Winkels α:a) 110 b) 40 c) 200 d) 345 e) 70Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Taschenrechner!c) Definition und Graph der Sinus- und CosinusfunktionSinus und Cosinus können als Funktionen definiert werden.Sinus: 1;1Cosinus: 1;1α sinαα cosαDer Definitionsbereich beider Funktionen sind die reellen Zahlen (die Funktionen sind fürbeliebige Winkel definiert); der Wertebereich ist 1;1 (d. h. Sinus und Cosinus nehmenWerte zwischen -1 und 1 an).Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 9

Kantonale Fachschaft MathematikDie Werte des Sinus können am Einheitskreis abgelesen werden und in ein Koordinatensystemabgetragen werden. (Die Winkel werden auf der x-Achse abgetragen: 60° auf der x-Achse entspricht einer Einheit auf der y-Achse).Die ist exemplarisch für den Sinuswert des Winkels 140Analog werden die Winkel von 140 bis 290 ins Koordinatensystem übertragen:(siehe auch http://www.geogebra.org/de/examples/trigo_einheitskreis/einheitskreis1.html)Dies ergibt für Sinus den Graphen:Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 10

Kantonale Fachschaft MathematikAnalog dazu können die Werte des Cosinus am Einheitskreis abgelesen werden und in einKoordinatensystem übertragen werden.Wiederum ist dieser Vorgang exemplarisch für 70 dargestellt:Analog werden die Cosinuswerte für die Winkel von 70 bis 290 abgetragen:Dies ergibt für Cosinus den Graphen:Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 11

Kantonale Fachschaft Mathematikd) Definition und Graph der TangensfunktionDer Tangens sintan = cos ist nicht definiert, falls cos 0 :Tangens: \ 90 k 180 ,k (alle Werte von , für die cos 0ergibt, werden aus dem Definitionsα tanαbereich ausgeschlossen)Die Werte des Tangens können rechts vom Einheitskreis abgelesen werden (siehe Definitiondes Tangens) und in ein Koordinatensystem übertragen werdenDieser Vorgang ist exemplarisch für 115 dargestellt:sin 115= auch negativ.cos 115 Analog werden die Tangenswerte der Winkel von 115 bis 315 ermittelt.Da sin 115 positiv und cos115 negativ ist, ist tan 115Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 12

Kantonale Fachschaft MathematikDies ergibt für den Tangens den Graphen:2. Symmetrieeigenschaften der Graphena) PeriodeMerke: Die Graphen von Sinus und Cosinus sind periodisch mit einer Periode von 360°.Formal: sin 360 = sin und cos 360 = cos PBegründung: Nach einer zusätzlichen Drehung um 360° ist derPunkt P wieder in der ursprünglichen Position, somitbleiben der Sinus- und Cosinuswert gleich.Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 13

Kantonale Fachschaft MathematikMerke: Der Graph von Tangens ist periodisch mit einer Periode von 180°.Formal: tan 180 = tan Begründung: Nach einer halben Kreisdrehung nimmt der Tangenswieder denselben Wert an wie zuvor!+ 180°b) Punkt- und Achsensymmetrietan α = tan (α+180°)Definition: Eine Funktion heisst ungerade, wenn ihr Graph punktsymmetrisch zumUrsprung ist.Formal: f x = f xDefinition: Eine Funktion heisst gerade, wenn ihr Graph symmetrisch zur y-Achse ist.Formal: f x =f xMerke: Die Sinus- und Tangensfunktion sind ungerade(d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung).Formal: sin x = sin xtan x = tan xMerke: Die Cosinusfunktion ist gerade (d.h. symmetrisch zur y-Achse).Formal: cosx = cosxSinus und Cosinus sind auch symmetrisch bezüglich weiterer Geraden und Punkte. Die folgendenbeiden Eigenschaften werden später bei den trigonometrischen Gleichungen verwendet.Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 14

Kantonale Fachschaft MathematikMerke: Der Graph der Sinusfunktion ist symmetrisch zur Geraden x = 90°.Formal: sin x =sin 180xMerke: Der Graph der Cosinusfunktion ist symmetrisch zur Geraden x = 180°.Formal: cosx = cos360xx x12sin x sin x sin 180x1 2 1x x12cos x cos x cos 360x1 2 1Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 15

Kantonale Fachschaft Mathematik3. Trigonometrische Gleichungena) Musteraufgaben1. Aufgabe: Bestimme alle Winkel x zwischen 0° und 360°, für die gilt: sin x = 0.4 .Graphisch entspricht dies den Schnittpunkten der Grapheny=sinx und y = 0.4 :x1x2x3Lösung:1x arcsin 0.4 23.58 (dieser Winkel liegt nicht im angegebenen Bereich)x2 180 x1203.58 sin x =sin 180xx3 x1360336.42Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 16

Kantonale Fachschaft Mathematik2. Aufgabe: Bestimme alle Winkel x, für die gilt: cosx = 0.83 .x3x1x2Lösung:1x arccos 0.83 33.90x2 360 x1326.10 cosx = cos360xSomit:L x x 33.90m 360 oder x 326.10n 360 , m,n Die restlichen Winkel werden durch Addition von Vielfache von 360° zu den bekannten Wertenx1und x2erreicht. Beispielsweise wird in der Lösungsmenge x3 33.90 für n = – 1x x 1 360x 36033.90) erreicht.( 3 2 2b) Aufgaben9. Bestimme alle Winkel x zwischen 0° und 360°, für die gilt:a) sinx = 0.2 b) sinx = -0.74 c) cosx = 0.84d) cosx = -0.05 e) tanx = 21 f) tanx = -0.5110. Gib alle Lösungen der folgenden Aufgaben an:a) cosx = -0.9 b) tanx = -2 c) sinx = 0.27Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 17

Kantonale Fachschaft Mathematik4. Einfluss der Parameter auf die Graphena) MusterbeispieleAm Beispiel der Sinusfunktion sollen die verschiedenen Parameter und ihre Wirkung gezeigtwerden.Die allgemeinste Form einer Sinusfunktion sieht folgendermassen aus: y=asinbxcd1Als Musterbeispiel werden wir den Graphen der Funktion y=fx = sin2x 30 12 zeichnen. Der Einfluss der Parameter wird zuerst einzeln untersucht, dann setzen wir die Ergebnissezusammen und zeichnen den Graphen von y=f x . 1. Funktionen der Art: y=asinxDer Parameter a bewirkt eine Streckung / Stauchung in y-Richtung. Der Wertebereich derFunktion ist neu: a;a .Beispiel:1y= sin x2 Die Funktion wird mit dem Faktor 1 2 gestaucht. Der Wertebereich ist: 1 1 W ; 2 2 Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 18

Kantonale Fachschaft Mathematik2. Funktionen der Art: y=sinbxDer Parameter b bewirkt eine Streckung / Stauchung in x-Richtung. Die Periode der Funktionbeträgt neu 360 .bBeispiel: y=sin2xWenn x die Werte von 0° bis 360° durchläuft (eine Periode in y=sinx ), durchlaufen dieArgumente der Funktion y=sin2x die Werte von 0° bis 720° (also zwei Perioden).Deshalb ist die Periodenlänge der Funktion 360 360 180, wie man am Graphen sehrb 2schön sieht.3. Funktionen der Art: y=sinxcDer Parameter c bewirkt eine Verschiebung in negative x-Richtung, wenn c positiv ist, wennc negativ ist, wird der Graph in positiver x-Richtung verschoben.Beispiel: y=sinx30Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 19

Kantonale Fachschaft MathematikDie Funktiony=sinx schneidet die x-Achse im Ursprung, da Schnittpunkt mit der x-Achse wird von y=sinx 30 0=sin 0 . Derselbe bei x 30 erreicht, dasin 3030sin 0 0 . Der ganze Graph ist also um 30° in positiver x-Richtung verschoben.Falls c positiv ist, wird der Graph um c in negativer x-Richtung verschoben.Falls beide Parameter b und c vorkommen: y=sinb x cwerden als: y=sinb x c' , sollte die Funktion dargestellt , da die Stauchung auch einen Einfluss auf die Horizontalverschiebunghat (der Graph wird dann wie oben beschrieben um c' verschoben).4. Funktionen der Art: y=sinx dDer Parameter d bewirkt eine Verschiebung in positiver y-Richtung. Der Wertebereich derFunktion ist neu: 1d;1 d.Beispiel:y=sinx1Die Funktion wird um 1 Einheit in negativer y-Richtung verschoben.W 11;11 2;0Der Wertebereich ist: Graphen können mit dem folgenden Applet direkt gezeichnet und das Verhalten der Parametermittels Schieberegler ausprobiert werden (Darstellung im Bogenmass (siehe Kapitel 5;Rolle von c und d vertauscht):http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/klement/TrigoFkt/AllgemeineSinusFunktion.htmlRepetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 20

Kantonale Fachschaft Mathematik1 1y = f x = sin 2x 30 1 sin 2 x 15 12 2Zusammengesetzt ergibt das für Der Definitionsbereich ist D = , der Wertebereich W 1.5; 0.5und die Periode 180°.b) Aufgaben11. Zeichne die Graphen der untenstehenden Funktionen, gib jeweils Definitions- undWertebereich sowie die Periodenlänge an.1y=cosx2y=cos x11 1 e) y=2cosx4522 23 g) y = 1y=tanx21 1y= tanx4523 2a) y=2 cosxb)d) 1f) y= tanxi) y=tanx 2j)c) y=cosx45h) y=tanx45Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 21

Kantonale Fachschaft Mathematik5. Bogenmassa) Definition:Definition:Das Bogenmass ist definiert als:BogenlängeRadius rbIm Einheitskreis entspricht das Bogenmass der Länge des Kreisbogens (da r = 1). b b br 1b) Umrechnung Gradmass-BogenmassDer Umfang des Einheitskreises (Kreis mit Radius r = 1) ist U 2r2.Daher entspricht der volle Winkel 360° dem Wert 2 im Bogenmass.arc αAnteil des Umfangs r = 1 arc 2 360180Umfang des EinheitskreisesUmrechnungsformeln: arc 180180und arcRepetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 22

Kantonale Fachschaft MathematikBeispiele: Rechne den gegebenen Winkel in das andere Winkelmass um.1) 2)6054 arc 6018031805 225 4c) Aufgaben12. Vervollständige die unten stehende Tabelle (das erste oben ausgerechnete Beispiel wurdeschon eingetragen). 0° 30° 60° 120° 360°arc 4323212. Die Werte einer Spalte gehören jeweils zusammen. Finde die fehlenden Werte. 153 180arc 4 2r 5 3 10b 0.2 10 4Lösung für die erste Spalte:arc 1532.67180bbarc r 0.075rarc Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 23

Kantonale Fachschaft MathematikLösungen der Aufgaben1. a)bsin ,accos ,absin b)ctsin ,sucos ,sttan u2. a) 0.17 b) 0.5 c) 0.42 d) 0.91e) 0.94 f) 0.5 g) 0.82 h) 0.91i) 0.58 j) 0.38 k) 1 l) 11.433. a) 30° b) 42.46° c) 60.00°d) 82.78° e) 9.87° f) 45°g) 15.00° h) 45° i) 71.37°4. a) b 6.04cm , 60.43, 25b) 65, b 1.50 cm, c 3.54 cm, sa 2.19 cm, und w 329 . cm.c) 18, a 12.32 cm, b 4.00 cm, c 12.96 sowie s 12.49 cm.5. a) 40.66, 35.45c 15.43cmb) 77.41, b 5.37cm und c 11.88 cm.c) 47.73, 73.19 und 59.09.b6. a) Gemäss Cosinussatz gilt z.B.: 10 2 = 12 2 + 15 2 - 2·12·15·cos. Nach aufgelöst ergibtdas 41.6°. Nun mit Sinussatz: sin = sin41.6°· 12:10 oder = 52.9° und schliesslichsin = sin41.6°·15:10 oder = 85.5° (beachte + + =180°). Wenn nun c=25cm gibtes für cos = 669:600 > 1!b) Mit Sinussatz gilt: sin = 4 / 5 sin40° = 0.514 oder 1 = 30.9°; 2 = 149.1°7. Im Kräfteparallelogramm betrachten wir das Dreieck: 35;70°;55.Mit Cosinussatz ergibt dies für die Resultierende im Quadrat (Diagonale):35 2 +55 2 - 2·35·55·cos 70° oder F res = 54 NRepetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 24

Kantonale Fachschaft Mathematik8. a) sin 110 0.94 , tan 110 2.75b) sin 40 0.64 , cos 110 0.34 , (siehe Zeichnung rechts)cos 40 0.77 ,tan 400.84c) sin 200 0.34 , tan 2002.75d) sin 345 0.26, tan 3450.27e) sin 70 0.94, tan 702.75cos 200 0.94 ,cos 345 0.97 ,cos 70 0.34 ,tan α9. a) 11.54°, 168.46° b) 227.73°, 312.27° c) 32.86°, 327.14°d) 92.87°, 267.13° e) 87.27°, 267.27° f) 152.98°, 332.98°10. a) L x x 154.16m 360 oder x 205.84n 360 , m,n b) L x x 116.57m 360 oder x 296.57n 360 , m,n c) L x x 15.66m 360 oder x 164.34n 360 , m,n 11. a) y=2 cosx; D = , W 2;2 , P = 360°Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 25

Kantonale Fachschaft Mathematikb)1y=cosx2D = , W 1;1, P = 720°c) y=cosx45 D = , W 1;1 , P = 360°12d) y=cosx D = , W 0.5;1.5 , P = 360°Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 26

Kantonale Fachschaft Mathematik1 1 2 2e) y=2 cos x 90 D = , W 1.5;2.5, P = 720°1f) y= tanx3 D \ x x 90k 180 ,k , W= , P = 180°Die Funktion wird um den Faktor 1 in y-Richtung gestaucht.3Definitions- und Wertebereich, sowie die Periode bleibenunverändert.Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 27

Kantonale Fachschaft Mathematikg) y =1y=tanx2D \ x x 180k 360 ,k , W= , P = 360°Die Funktion wird um den Faktor 2 in x-Richtung gestreckt.Die Periode verdoppelt sich, dementsprechend ändert sich derDefinitionsbereich. Der Wertebereich bleibt unverändert.h) y=tanx 45 D \ x x 135k 180 ,k , W= , P = 180°Die Funktion wird 45° in positive x-Richtung verschoben.Einzig im Definitionsbereich gibt es Veränderungen.Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 28

Kantonale Fachschaft Mathematiki) y=tanx2 D \ x x 90k 180 ,k , W= , P = 180°Der Graph wird in negative y-Richtung verschoben.Bei D, W und der Periode gibt es keine Veränderungen.Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 29

Kantonale Fachschaft Mathematik1 1y= tanx90 23 2j) D \ x x 90k 360 ,k , W= , P = 360°12. 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180° 270° 360°arc 0643 22 332213. 153 114.59 229.18 114.59 180arc 2.67 2 4 2 3.14r 0.075 5 3 2 10b 0.2 10 12 4 10 31.42Repetitionsprogramm Trigonometrische Funktionen 30