Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training ...

Elch hoch ElchWurzelelchLogarithmus ElchVorwortMathematik ist in unserem Leben allgegenwärtig, wird aber in ihrer Vielfaltkaum wahrgenommen. Sie kann Prozesse in der Natur und Gesellschaft erklären.Das vorliegende Skript enthält 7 Kapitel jedoch sind für die Maturaprüfung nurdie ersten 5 Kapitel relevant.In Kapitel 1 wird dir der Logarithmus und die Exponentialfunktion kurzvorgestellt. Insbesondere wird aufgezeigt welche Rolle die Exponentialfunktionbeim Wachstum hat. Die Exponentialfunktion kommt in der Wirtschaft sehrhäufig zur Anwendung. Für deine Zukunft ist das Verständnis der Modelle, dieauf der Exponentialfunktion beruhen, ganz entscheidend.In Kapitel 2 lernst du eine neue Struktur kennen, den Logarithmus, eineOperation dritter Stufe! Da du den Logarithmus unbedingt beherrschen musst,werden wir diese Struktur trainieren. Logaritmieren ist die Umkehrung desPotenzierens, d.h. das Beherrschen der Potenzgesetze ist Pflicht!. Wenn du Fehlermachst, so analysiere diese in deinem „Sündenbüchlein“. Deine Entdeckungenhalte in einem Ideenbüchlein fest!In Kapitel 3 lernst du Strategien kennen, um Exponential- und Logarithmengleichungenzu lösen und in Kapitel 4 studieren wir die Exponentialfunktion unddie Lograrithmusfunktion als dessen Umkehrung. Schliesslich werden wir dieerworbenen Kenntnisse im Kapitel 5 in vielen praxisnahen Problemstellungenanwenden.Kapitel 6 gibt dir eine Einführung in die Modellbildung und Simulation. InKapitel 7 lernst du das Systemdenken kennen.April 2013, B. Frei

DialogMatheWas ist ein Logarithmus1 Einführung1.1 Was ist ein LogarithmusSchon das Wort klingt aussergewöhnlich. Und viele von euch halten das, wassich hinter dem Wort verbirgt, für aussergewöhnlich schwierig. Auch eureEltern und Geschwister verbinden oft ungute Gefühle mit dem Logarithmus.Dabei ist doch das Wort Logarithmus lediglich eine andere Bezeichnung fürExponent. Logarithmen und die damit eng zusammenhängendenExponentialgleichungen spielen, um einmal die ewige Schülerfrage „Wozubrauchen wir das?“ zu beantworten, nicht nur in Naturwissenschaft undTechnik, sondern auch in Ökologie, Wirtschafts- und Sozialwissenschaftenund in jeder Art von Statistik eine wichtige Rolle. Ohne den Logarithmuskönnten Physiker die Flugbahn einer Trägerrakete oder Chemiker dieHalbwertszeit von radioaktiven Stoffen nicht berechnen. Um die Entwicklungder Bevölkerung eines Landes oder der ganzen Erde vorausberechnen zukönnen, brauchen die Zukunftsforscher Logarithmen und Exponentialfunktionen.Die Aussagen von Wahl- und Meinungsforschern sind nurmöglich unter Verwendung von Logarithmen und Exponentialgleichungen.Und das Fernsehsender ihren Werbekunden gegenüber behaupten können,60% aller Zuschauer hätten eine bestimmte Sendung gesehen, obwohl sie nur2000 Fernsehzuschauer befragt haben, wäre ohne Verwendung vonLogarithmen und Exponentialgleichungen nicht möglich. Selbst Forstwirtekönnen die Entwicklung ihres Waldes nur mithilfe von Logarithmen undExponentialgleichungen vorausberechnen. Und schliesslich bedienen sichauch die Mediziner zum Verständnis der Ausbreitung von Krankheitskeimenund ansteckenden Krankheiten des Logarithmus und derExponentialfunktion.1.1.1 Übersicht: RechenartenPotenzieren ist keine Grundrechenart wie Addieren und Mukltiplizieren.Beim Potenzieren gibt es zwei Umkehrungen: Radizieren und Logarithmieren.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 1

EinführungDialogMatheVerschiedene StufenStufe Rechenart UmkehrungIIIIIIAddierena + b = cMultiplizierena ⋅ b = cPotenzierenb = axSubtrahierena = c − b ; b = c − aDividierencca = ; b =baRadizierena =xbLogarithmierenx = log b( ) a1.1.2 Beispiel Umkehrung des PotenzierensErste Umkehrung Radizieren: Fragestellung2x = 16 → x = ?Gesucht ist die Basis x, welche mit dem Exponenten 2 als Potenz den Wert 16hat. Oder: Wir suchen eine Zahl x, die mit sich selbst multipliziert 16 ergibt.Strategie: Wenn es uns gelingt die Zahl 16 als Potenz mit dem Exponenten 2darzustellen, dann können wir x direkt ablesen:2 2x = 4 → x = 4Da auch 16 = ( −4) 2 ist haben wir eine zweite Lösung: x = − 4Radizieren x = ± 16 = ± 4Allgemein:2 2x = a → x = a → x = a → x = ± aWenn a eine Quadratzahl ist, können wir die Gleichung im Kopf lösen.Zweite Umkehrung Logarithmieren: Fragestellungx2 = 16 → x = ?Gesucht ist der Exponent x, der mit der Basis 2 als Potenz den Wert 16 hat.Strategie: Wenn es uns gelingt die Zahl 16 als Potenz mit der Basis 2darzustellen, dann können wir x direkt ablesen:x 42 = 2 → x = 44Logarithmieren 2 ( ) 2 ( )x = log 16 = log 2 = 4 (x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 16)Allgemein: 2 x = a → x = log ( a ) . Wenn a eine Potenz mit der Basis 2 ist,können wir die Gleichung im Kopf lösen.22 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

EinführungDialogMathe1.2.1 Das Märchen vom Reiskorn und dem SchachbrettIm alten Persien erzählten sich die Menschen einstdieses Märchen: Es war einmal ein kluger Höfling,der seinem König ein kostbares Schachbrettschenkte. Der König war über den Zeitvertreib sehrdankbar, weil er sich mit seinen Ministern bei Hofeoft ein wenig langweilte. So sprach er zu seinemHöfling: "Sage mir, wie ich dich zum Dank für dieseswunderschöne Geschenk belohnen kann. Ich werde dir jeden Wunscherfüllen." Nachdenklich rieb der Höfling seine Nase. Nachdem er eine Weilenachgedacht hatte, sagte er: "Nichts weiter will ich, edler Gebieter, als dass Ihrdas Schachbrett mit Reis auffüllen möget. Legt ein Reiskorn auf das erste Feld,und dann auf jedes weitere Feld stets die doppelte Anzahl an Körnern. Alsozwei Reiskörner auf das zweite Feld, vier Reiskörner auf das dritte, acht aufdas vierte und so fort." Der König war erstaunt. "Es ehrt dich, lieber Höfling,dass du einen so bescheidenen Wunsch äusserst", sprach er. "Er möge dir aufder Stelle erfüllt werden." Der Höfling lächelte, eine Spur zu breit vielleicht,und verneigte sich tief vor seinem Herrscher.Sofort traten Diener mit einem Sack Reis herbei und schickten sich an, dieFelder auf dem Schachbrett nach den Wünschen des Höflings zu füllen. Baldstellten sie fest, dass ein Sack Reis gar nicht ausreichen würde, und liessennoch mehr Säcke aus dem Getreidespeicher holen.64 Felder hatte das Schachspiel. Schon das zehnte Feld musste für den Höflingmit 512 Körnern gefüllt werden. Beim 21. Feld waren es schon über eineMillion Körner. Und beim 64. Feld stellten die Diener fest, dass es im ganzenReich des Königs nicht genug Reiskörner gab, um es aufzufüllen. Mit seinemWunsch wurde der Höfling zum reichsten Mann im ganzen Land, und derKönig wünschte, er hätte ihm nie etwas geschuldet.64Auf allen Feldern eines Schachbretts zusammen wären es 2 − 1 oder18‘446‘744‘073‘709‘551‘615 Weizenkörner. Exponentielles Wachstum, bei demeine solche Verdopplung auf die andere folgt, überrascht immer wieder, weiles sehr rasch zu solch hohen Zahlen führt.4 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheVon der Notwendigkeit, die Exponentialfunktion zu begreifen!1.2.2 Im Spannungsfeld: Wachstum und Beständigkeit.Die Weltbevölkerung umfasste im Jahr 1959 dreiMilliarden Menschen. Heute liegt sie bei mehr alssieben Milliarden, ist also innerhalb von rund zweiGenerationen um vier Milliarden angewachsen.Zwei unverträgliche Prinzipien verschärfen diedadurch entstehende globale Situation: Wachstum als Interesse der Wirtschaftund Beständigkeit als Lebensbedingung der Natur. Unsere moderneZivilisation mit der physischen Begrenztheit der Erde in Einklang zu bringen– dies ist eine gesellschaftspolitische Herausforderung, die es zu meistern gilt.Wachstum ist der Treibstoff unserer Wirtschaft. Löhne, Renten, Investitionen,Staatsausgaben – alles hängt von unsererFähigkeit ab, immer mehr zu produzieren undzu konsumieren. Unsere Wirtschaftpolitikbraucht exponentielles Wachstum um zufunktionieren. Doch was tun, wenn Wachstumteuer wird und Ressourcen zur Neige gehen?Ist eine Abkopplung vom permanentenWachstum wirtschaftlich möglich und politischdurchsetzbar? Gibt es ein Wachstum ohneEnde? Wachstum muss irgendwannzwangsläufig aufhören. Aber wann wird dassein? Welche Kräfte werden es aufhalten?Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 5

EinführungDialogMatheIn welchem Zustand werden sich die Menschheit und das globale Ökosystemnach Beendigung des Wachstums befinden?Um diese Fragen beantworten zu können, musst du die Struktur des Systemsverstehen, das die menschliche Bevölkerung und die Wirtschaft ständig nachWachstum streben lässt.Schweizer Börse (Psychologie: Gleichgewicht zwischen Angst und Gier!)Das schnelle Anwachsen des Index wird immer wieder durch abrupteAbstürze korrigiert.6 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheMathematische Modellbildung dynamischer SystemeTreibhauseffekt: Gelingt es uns nichtden CO2-Ausstoss nachhaltig zureduzieren, wird die mittlereTemperatur der Erde weiteransteigen. Dies hat zur Folge, dasswir unsere Lebensgrundlagenzerstören. Solche existentiellenProblemstellungen können heutedurch mathematische Modelle simuliert werden.1.3 Mathematische Modellbildung dynamischer SystemeMathematische Modellbildung ist „die Kunst, Mathematik auf Problemeanderer Wissensbereiche anzuwenden und zu deren Lösung bzw. Verständnisbeizutragen“, Joachim Engel Anwendungsorientierte Mathematik. In denNatur-, Sozial, Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften werdenmathematische Modelle für Naturphänomene bzw. für ökonomische, sozialeoder für technische Prozesse formuliert, um eine vorgegebene Fragestellungzu beantworten. Jedes Modelliervorhaben braucht eine Leitfrage oder ein Ziel.Dies ist wichtig, da die Art und die Komplexität eines Modells von dieserZielvorgabe abhängen. Zur Modellbildung gehört auch die Entscheidung,welche Prozesse und Einflüsse im Modell berücksichtigt bzw. welchevernachlässigt werden. Prinzipiell sollte ein Modell so einfach wie möglichund so detailliert wie nötig sein. Es gibt niemals das richtige Modell - einModell ist immer nur eine vereinfachende Beschreibung der Realität, undBeschreibungsmöglichkeiten gibt es viele!Problemstellungen der heutigen Zeit sind vernetzt und interdisziplinär.Feedback und Verzögerungen führen dazu, dass einfache Ursachen-Wirkungsbeziehungen nicht mehr zielführend sind. Eine Ursache kannmehrere Wirkungen haben und mehrere Ursachen können auf dieselbe Grössewirken. Wirkungen können auch auf Ursachen zurückwirken. Kann dieLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 7

EinführungDialogMathemathematische Modellbildung auch komplexe Systeme beschreiben? DieAntwort lieferte der Computerpionier Jay W. Forrester vom MassachusettsInstitute of Technology (MIT) in den 60-er Jahren, der eine neuartige Methodeder computergestützten Simulation entwickelte, die Systemdynamik. DieWeiterentwicklung der Systemdynamik ist heute eine Methode, komplexeSysteme in der Technik, Natur- Sozial- und Wirtschaftswissenschaften zuanalysieren, zu verstehen und zu steuern. Im Zentrum der Systemdynamikstehen die Überführung disziplinspezifischem Wissen in quantitative Modelleund die praktische Umsetzung mit Hilfe von Simulationswerkzeugen, die esmöglich machen Prozesse virtuell ablaufen zu lassen. Simulationen lassen sichheute mit graphischen Modellbildungsprogrammen wie Stella, Vensim oderBerkeley Madonna einfach durchführen. Dabei wird ein Modell graphisch,ein sogenanntes Flussmodell, mit wenigen Werkzeugen am Computerbildschirmentwickelt.1.3.1 Grenzen des Wachstums1972 beschrieb der Club of Rome in seinem Bericht „Die Grenzen desWachstums“ die Gefahren eines ungebremsten Wirtschafts- undBevölkerungswachstums. Die Studie warnte vor sich erschöpfenden Vorrätenund explodierenden Preisen für Rohstoffe und Energie. Jay W. Forrester, der„Vater der Systemdynamik“, hatte den jungen Dennis Meadows alsProjektleiter für die Studie vorgeschlagen. Meadows und sein Team erstellten8 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheMathematische Modellbildung dynamischer Systememit Hilfe der Systemdynamik drei Szenarien: Zwei sagten ein Überschreitender Wachstumsgrenzen und den darauf folgenden Zusammenbruch desglobalen Wirtschaftssystems in der zweiten Hälftedes 21. Jahrhunderts voraus. Das dritte Szenarioergab eine stabile Welt mit nachhaltiger Wirtschaft.Den Voraussagen von „Die Grenzen desWachstums“ liegt ein mathematisches Modellnamens World3 zu Grunde, welches das Weltgeschehenmit Hilfe von 12 Zuständen und 21Ventilen (Änderungsraten) in 150 Gleichungenabbildet. Es berücksichtigte die Wechselwirkungenzwischen Bevölkerungsdichte, Nahrungsmittelressourcen,Energie, Material und Kapital,Umweltzerstörung und Landnutzung.World3 ist ein sehr stark vereinfachtes Modell undenthält willkürlich gewählte Zahlenwerte undungerechtfertigte Annahmen, so dass es alsPrognoseinstrument unbrauchbar ist.Flussdiagram von World3Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 9

EinführungDialogMatheGleichwohl hat das Buch wesentlich dazu beigetragen, dass die Begrenztheitder irdischen Ressourcen und das Konzept der Nachhaltigkeit ins öffentlicheBewusstsein gedrungen sind. Meadows Metapher vom Lilienteich machte dieDynamik exponentiellen Wachstums allgemeinverständlich. „In einemGartenteich wächst eine Lilie, die jeden Tag auf die doppelte Grössewächst. Innerhalb von dreissig Tagen kann die Lilie den ganzen Teichbedecken und alles andere Leben in dem Wasser ersticken. Aber ehe sienicht mindestens die Hälfte der Wasseroberfläche einnimmt, erscheint ihrWachstum nicht beängstigend; es gibt ja noch genügend Platz, undniemand denkt daran, sie zurückzuschneiden, auch nicht am 29. Tag; nochist ja die Hälfte des Teiches frei. Aber schon am nächsten Tag ist keinWasser mehr zu sehen.“Die Aufgestellten Thesen wurden in Folgestudien 1992 „Die neuen Grenzendes Wachstums“ und 2004 „30 Jahre-Update“ überprüft, verfeinert undweiterentwickelt.2012 veröffentlichte der Club of Rome den Report „2052“, die Welt in 40Jahren. So weiter machen wie bisher geht nicht, unbegrenztes Wachstumzerstört begrenzte Systeme, dies die Kernaussage des Berichts von JorgenRanders, ein norwegischer Zukunftsforscher. Der Bericht prognostiziert, dassdas weltweite Bruttoinlandsprodukt (BIP) langsamer steigt als erwartet. Umdas Jahr 2050 wird es nur 2,2 mal grösser sein als heute. Die Weltbevölkerungwird kurz nach 2040 bei 8,1 Milliarden ihren Höchststand erreicht haben unddann zurückgehen.Beispiel Energiekonsum, Energiewende:Die weltweite Zunahme des Energieverbrauchs beträgt etwa 2% pro Jahr. Diesentspricht einer Verdoppelungsperiode von ca. 36 Jahren. Ein exponentiellesWachstum mag sich über mehrere Verdopplungsperioden hinweg nicht starkbemerkbar machen. Schwierigkeiten im System (begrenzte Ressourcen,Umweltschäden, usw.) werden oft erst innerhalb der letzten Verdopplungsperiodedeutlich spürbar und können sich dann so verstärken, dass es für eineLösung dieser Schwierigkeiten ohne rechtzeitige Planung oft zu spät ist.10 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

EinführungDialogMatheÜberprüfung des Modells (72er-Regel) für ein SparkontoIn untenstehender Tabelle ist die Entwicklung des Zinssatzes auf einemSparkonto einer Schweizer Bank dargestellt.Welches Kapital steht uns am Ende des Jahres 2012 zur Verfügung, wenn wiram Anfang des Jahres 1991 ein Startkapital von 100 Franken eingezahlthätten. Bestimme den mittleren Zinssatz für die Jahre 1991 bis 2012.Jahr 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001Zinssatz 5.0 5.1 4.4 3.4 3.1 2.4 1.8 1.4 1.2 1.4 1.5Jahr 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012Zinssatz 1.2 0.6 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.2Im Jahr 1991 betrug der Zinssatz auf einer Schweizer Bank 5%. Wenn wiranfangs des Jahres 100 Franken angelegt hätten, so sollte sich das Kapital nach725= 14,4 , also nach ca. 15 Jahren auf 200 Franken verdoppelt haben.Tatsächlich hätten wir aber 2005 nur 139 Franken auf unserem Konto gehabtund nach 22 Jahren im Jahr 2012 erst 142,8 Franken. Das Modell kann fürunseren Fall nicht angewendet werden, da der Zinssatz nicht konstant ist.Die nebenstehende Graphikzeigt den Verlauf des Kapitalsvon 1991 bis 2012.Auch das Modell mit einemmittleren Zinssatz von 2,2% fürdie 15 Jahre von 1991 bis 2005beschreibt den tatsächlichenVerlauf des Kapitals nichtkorrekt. Ohne die Kenntnis derÄnderungsrate kann der Verlaufdes Kapitals nicht korrektbeschrieben werden,insbesondere ist K(t) keine Exponentialfunktion, da p nicht konstant ist.12 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheMathematische Modellbildung dynamischer Systeme1.3.3 Anwendung KapitalwachstumFragestellungGleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten ist, kommen in derPraxis häufig vor, z.B. bei Wachstumsprozessen. Wir wollen als Beispiel dasWachstum eines Kapitals auf einem Konto einer Bank analysieren.In welcher Zeit wächst ein Rappen beim Zinssatz 4% zu einem Franken an?K 0 = Anfangskapital (1 Rappen = 0,01 Fr. )K = Kapital nach n Jahren mit Zinssatz p = 0,04 ( Knn= 1 Fr. )Manchmal wird präzise zwischen Zinsfuss und Zinssatz unterschieden. DerZinsfuss ist dann die Zahl vor dem %-Zeichen, bei einem Zinssatz von 4 % istalso der Zinsfuss p = 4, dagegen ist der Zinssatz p = 4 % =4100 = 0,04.Analyse: Wachstum des Kapitals (exponentielles Wachstum ! )Kapital nach dem 1. Jahr: K = K + p ⋅ K = K ⋅ ( 1+p )1 0 0 0Anfangskapital wird mit dem Faktor 1+ p multipliziert.Kapital nach dem 2. Jahr: K = K + p ⋅ K = K ⋅ ( 1+ p ) = K ⋅ ( 1+p ) 22 1 1 1 0Kapital nach dem 3. Jahr: K = K + p ⋅ K = K ⋅ ( 1+ p ) = K ⋅ ( 1+p ) 33 2 2 2 0usw. allgemein für das Kapital nach n Jahren : K = K ⋅ ( 1+p ) nn 01+ p heisst Wachstumsfaktor. Wir erhalten das Kapital Knindem wir denWachstumsfaktor mit n potenzieren und mit dem Anfangskapital K0multiplizieren. Dieses Verhalten des Kapitals nennen wir exponentiellesWachstum. Sind alle Grössen ausser n bekannt, so muss die Gleichung nach naufgelöst werden!K K ( 1 p ) n= ⋅ + ; n = ? Schwierigkeit : Unbekannte im Exponent!n 0Strategie: Gleichung logarithmieren!K = K ⋅ ( 1+p ) n / : Kn 0 0KKn0= ( 1+ p ) n / logarithmieren , [ log( ) = Logarithmus zur Basis 10 ]Knlog⎡ ⎤log ⎡( 1 p ) n ⎤⎢= +⎣ K ⎥⎦⎣ ⎦0Der Exponent n kann nun als Faktor vor demLogarithmus geschrieben werden, so dass nach n aufgelöst werden kann.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 13

EinführungDialogMatheKnlog⎡ ⎤⎢ = n ⋅ log 1 + p / : log 1 + p⎣ K ⎥⎦0[ ] [ ]Kn1log⎡ ⎤log⎡ ⎤⎢ K ⎥ ⎢0 0,01⎥log 100 2n =⎣ ⎦=⎣ ⎦= = = 117,4 Jahrelog 1 p log 1 0,04 log 1,04 0,01703[ + ] [ + ][ ][ ]Lösung mit dem RechnerDer Rechner verwendet den ln( ) = Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl).Bei der allgemeinen Lösung verlangt der Rechner, dass die Zahl innnerhalbdes Logarithmuses positiv sein muss:KKn0> 0 .KnBetrachten wir die Gleichung vor dem logarithmieren: ( 1 p ) nK = + .( 1+ p ) n ist für alle n positiv, wenn 1+ p > 0 ist.0FunktionalWir betrachten den Term ( 1+ p ) n für p = 0,04 und alle möglichen n ∈ R .xSomit erhalten wir die Funktion f ( x ) = 1,04 , die uns der Rechner graphischdarstellen kann.Der Graph zeigt uns, dass die Funktionswerte immer positiv sind! DerFunktionsgraph verläuft fürnegative x-Werte (zweiterQuadrant) zwischen 0 und 1für positive x-Werte (ersterQuadrant) zwischen 1 undunendlich.Der Graph verläuft immer steiler. Für x = 0 erhalten wir den Funktionswert 1.14 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheMathematische Modellbildung dynamischer SystemeFür die Lösung derExponentialgleichung( 1,04 ) x = 100 erhalten wirx = 117,4168.Für den Logarithmus zur Basis 1,04 von 100 erhalten wir ebenfalls 117,4168.MerkeEinen Logarithmus berechnen, heisst einen Exponenten bestimmen.ÜbungWie lange dauert es, bis sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 4%verdoppelt?1.3.4 Partnerinterview Bakterien in einem JogurtPartnerinterview Bakterien in einem JogurtVerdoppelung von BakterienZeit: 10 MinutenLöse das folgende Problem mit deinem Rechner:In einem Jogurt befinden sich 1000 Bakterien. Die Bakterien können sich beiZimmertemperatur pro Stunde verdoppeln. Wenn sich 1‘000‘000 Bakterien imJogurt befinden bricht es. Nach wie vielen Stunden ist dies der Fall?Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 15

EinführungDialogMathe1.4 Finanzmathematik für Fortgeschrittene1.4.1 Das Black-Scholes-ModellEs handelt sich um ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung vonFinanzoptionen, das von Fischer Black und Myron Samuel Scholes 1973 (nachzweimaliger Ablehnung durch renommierte Zeitschriften) veröffentlichtwurde und als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft gilt. Erst mehr als zweiJahrzehnte später (1997) hat die Formel die ihr gebührende weltweiteAnerkennung bekommen: den „Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften“Die Black-Scholes-Differentialgleichung kann durch geeignete Substitutionenauf die Gestalt einer Wärmeleitungsgleichung transformiert werden. Esergeben sich als explizite Lösungen die Werte von Call und Put:r ( T tC )( S,t ) S ( d ) K e − ⋅ −= ⋅ Φ − ⋅ ⋅ Φ ( d )1 2r ( T tP )( S,t ) K e − ⋅ −= ⋅ ⋅ Φ ( −d ) − S ⋅ Φ ( − d )2 1wobeid1Sln⎛ ⎞⎜ r T tK⎟ + +2 ⋅ σ ⋅ −=⎝ ⎠σ ⋅ T − t1 2( ) ( ), d2 = d1− σ ⋅ T − t undx−∞11 2− ⋅zΦ2( x ) = ⋅ e dz2π ∫ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilungbezeichnet. Der Wert einer Option ist also durch 5 Parameterbestimmt:S: aktueller Aktienkursr: mit der Restlaufzeit der Option kongruenter Zinssatzσ : Die zukünftige Volatilität des Basiswertes. Diese ist bei Vertragsabschlussdie einzige unbekannte Grösse und damit letztlich Gegenstand derPreisfindung zwischen den Vertragsparteien. Im Black-Scholes-Modellwird die Volatilität σ als konstant angenommen, was jedoch nicht zutrifft.T – t: Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit T zum Zeitpunkt tK: Basispreis, als Vertragsbestandteil festgelegtAnwendungsgebiete für das Black-Scholes-ModellZahlreiche Händler und Investoren von heute benutzen täglich das bewährteBlack-Scholes-Modell, um Aktienoptionen weltweit zu bewerten. Es existieren16 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheFinanzmathematik für Fortgeschritteneinzwischen auch Methoden zur Bewertung von Anleihen, Futures, Devisenund Gold. Auf seiner Basis sind zahlreiche neue Klassen von Finanzinstrumenteins Leben gerufen und etabliert worden. Aber auch Bürgschaftenund Versicherungsverträge werden nach dem Black-Scholes- Modell bewertet.Das Modell gilt ebenfalls als Fundament von modernen Methoden füreffizientes Risikomanagement, ohne das die Verluste schwer unter einemgewünschten Niveau zu halten wären. Mit Hilfe von Abwandlungen desBlack-Scholes-Modells werden auch zahlreiche ökonomische Problemeanalysiert. Viele der neuesten Einsatzgebiete der Black-Scholes-Formelverdanken es dem dritten im Bunde, dem Amerikaner Robert Merton, deru. a. Hedge Fonds betreut.1.4.2 Finanzkrisen, Krise der Finanzmathematik?Wenn zwei Nobelpreisträger und ein ehemaliger Vizepräsident der amerikanischenNotenbank einen Hedgefonds managen, kann eigentlich nicht vielschief gehen … glaubte man zumindest bis zum September 1998. Dann bewiesdie Beinahepleite des „Long Term Capital Management (LTCM)“-Fonds, dassauch geballter ökonomischer Sachverstand nicht vor dem Bankrott schützt.Die Schieflage von LTCM sandte Schockwellen durch das weltweiteFinanzsystem, die nur durch eine konzertierte Aktion der US-Notenbank undmehrer internationaler Grossbanken eingedämmt werden konnten.Die entscheidende Lehre aus dem LTCM-Debakel dürfte darin bestehen, dassauch das ausgeklügeltste und komplexeste theoretische Modell niemals in derLage sein wird, das Verhalten der Welt im Allgemeinen und das derFinanzmärkte im Besonderen adäquat zu beschreiben. Insofern könnenUnternehmen nur davor gewarnt werden, ihre Entscheidungenausschliesslich auf derartige Modelle zu stützen und die Irrationalitätmenschlichen Verhaltens auszublenden. In turbulenten Zeiten wie derunsrigen sind die Nobelpreisträger des Jahres 1997 (Merton und Scholes)offensichtlich schlechtere Ratgeber als die Nobelpreisträger des Jahres 2002(Kahneman und Tversky), die das Bild vom „homo oeconomicus“ alsrationalem Entscheider gehörig relativiert haben.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 17

EinführungDialogMathe1.4.3 Nachdenken statt IntuitionDie Verhaltensökonomie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaft. Siebeschäftigt sich mit menschlichem Verhalten in wirtschaftlichen Situationen.Dabei werden Konstellationen untersucht, in denen Menschen imWiderspruch zur Modell-Annahme des Homo oeconomicus, also desrationalen Nutzenmaximierers, agieren. Das Spezialfeld verhaltensorientierteFinanzierungslehre beschäftigt sich mit irrationalem Verhalten auf FinanzundKapitalmärkten.Ob die moderne Verhaltensökonomie die Finanzkrisen hätte verhindernkönnen, bleibt ungeklärt. Nobelpreisträger Daniel Kahneman glaubt aber,dass zukünftige Krisen vermeidbar sind - mit Nachdenken statt Intuition.Beispiel: Ein Ball und ein Schlägerkosten zusammen 12 Franken. DerSchläger kostet 10 Franken mehr alsder Ball. Was kostet der Ball?Zwei Franken wirst du wahrscheinlichsofort sagen. Jedenfalls tun dasregelmässig 80 Prozent der Befragten.Doch richtig ist natürlich ein Franken. "Viele Menschen vertrauen ihrenIntuitionen allzu sehr", schreibt Kahneman. Der Bereich des Hirns, der für daslangsame Denken zuständig ist, schaffe es dann nicht, den spontanen erstenAntwort-Impuls zu kontrollieren. Dabei hätten einige wenige Sekundenmentaler Arbeit ausgereicht, tadelt Kahneman. Doch das sei nun einmal auchsehr anstrengend.18 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRepetition Potenzen1.5 Repetition Potenzen1.5.1 PotenzgesetzeGrundlage für das Logarithmieren sind die Potenzgesetze. Daher repetierenwir in diesem Kapitel die Potenzgesetze (potenzieren und radizieren).Multiplizieren von Potenzenm n m nGleiche Basen: a ⋅ a = a +n nGleiche Exponenten: a ⋅ b = ( a ⋅ b ) nDividieren von PotenzenGleiche Basen:aamn= am −nGleiche Exponenten:abnn⎛ a ⎞= ⎜b⎟⎝ ⎠nPotenzieren von Potenzenn( ) ( )m n m m na = a = a ⋅01Spezialfälle a = 1 ; a= aNegative Exponentena−n1n=aBeachte−2 2⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞⎜ =b⎟ ⎜a⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠;−21 22a = 2 ⋅ =a2 a2Eine Summe als Basis: ( ) 2 2 2a + b = a + 2ab + b Binom( a + b ) 3 Pascalsches DreieckMerke−1 −1⎛ 1 1 ⎞ ⎛ b + a ⎞ ab⎜ +a b⎟ = ⎜ =ab⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a + bund−2 −2 2⎛ a a 2 2 41⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞⎜ −2⎟ = ⎜2⎟ = ⎜ =a 2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ( a − 2 )Nie in eine Summe hineinpotenzieren, gleichnamig machen, dann2Potenzgesetzte benützen! Es gibt keine Potenzgesetze für Strichoperationen(Addition und Subtraktion).Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 19

EinführungDialogMathe1.5.2 Schnellübung PotenzenRepetitionstest, Potenzen, Zeit: 15 Minuten1 3 3a⋅ a =26 6 96a : 3a =51 41 : x − =2 7 4a a −⋅ =3 4 44a+ 3a =4 4 44a⋅ 3a =5 6 4a : a =67893( a ) 4=( ab ) 4=2 3a b( − a 4 ) 5=54⎡( − a ) ⎤⎣ ⎦=10 2 3⎛ 2a ⎞⎜ =3 ⎟⎝ b ⎠11 n na12 n na+ a =⋅ a =13 n na− a =14 n na : a =15 ( a ) 3 ( a3 )− ⋅ − =16 ( a ) 3 ( a3 )171819− + − =6 3( a : a ) 2=( ) 3 32 ⋅ − a + 3a =27 3 −7−25 ⋅ ⎡⎣ b ⋅ b ⋅ b ⎤⎦=28 3n 2n 2a : a − =293031323 −−2( ( a ) ) 2( − 2a ) 3 =−3−( a ) 2− =3b=3( −b )−=33 2( ) ( ) 234− a + − a =10 19( −1) ⋅ ( − 1)=35 ( 2a ) 2=24a36( 2a2 3b3 ) 2⋅ =37 −1 −1−2⎡⎣ a + a ⎤⎦=38 3x 3xa ⋅ a ⋅ a =39 5 4a : a − =403 4( 3a b ) 2=41 3 23a+ 2a =42 4 636 : 6 =43( a 3 ) n + 1=4420 5⎡⎣ − a 2 ⎤⎦=21222 3( 2a b ) 2=2 3( 2a b − ) 4− =23 4 34 a ⋅ 3a − =24( ) 7 7− a : a =25 3 3 2⎡⎣ a + a ⎤⎦=454647483 23( a b ) 2=4 2( x − y ) : ( y − x ) =x( a ) − y=( ) 2 6ab : 3b =−8 −7( − 1) + ( − 1)=5 3( 5a y ) 0=49 −4( ) ( ) 4−a : − a − =50 2 4 24a + 2a − 4a =52 10 55 ⋅ 25 − =53 1−a a 1x : x− =5455( − 2x ) 2 =4( ( − a ) ) 5=56 7 0x : x =57 ( a − b )( b − a )54=58 m+ n m−n59a: a( − a ) 0 =60 n+161422n=0( a ) − 7=62 5 563a⋅ 5a − =( − a 4 ) 5==64 − 2x+ 3 − 2x+365a: a( a + b ) 0 =66 x+ y −x −ya⋅ a ==67 5 5 3( ab ) : ( a b ) =68 0 4694x⋅ 2x ⋅ 3x =−1 −1−( 2 3 ) 1+ =70 ( a ) 2 ( a −2)− ⋅ − =71 3 4 0 1a ⋅ a ⋅ b ⋅ a =72737475− ( a −10 ) 0=( − a 0 ) 5=( a n 1 ) n + 1−=−n−( a ) 2− =20 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRepetition Potenzen1.5.3 WurzelnDefinitionDie n – te Wurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl x, derenn – te Potenz gleich a ist.n a = x , x ≥ 0 , Wurzelexponentn ∈ N , Radikand (Basis) a > 0Wir können auch sagen na ist die nicht – negative Lösung der Gleichungnx= a .n a kann als Potenz dargestellt werden: n 1a = a nZusammenhang Radizieren und PotenzierenRadizierenPotenzierenRadizieren von Produkten:1 1nn n na ⋅ b = a ⋅ b1( a ⋅ b ) n = a n ⋅ bFaktor unter die Wurzel bringen:na ⋅ b = a ⋅ bnn1nn( )a ⋅ b = a ⋅ b1nRadizieren von Quotienten:nab=nnab⎛ a ⎞⎜b⎟⎝ ⎠1na=b1n1nn m nRadizieren von Potenzen: a = ( a ) m( a )m 1 1n ⎛ n= a⎞⎜ ⎟⎝ ⎠mKürzen und Erweitern:nam=x⋅nax⋅mam n=x⋅ma x⋅nRadizieren von Wurzeln:n m n⋅ma=a11 nm ⎞1m n⎛⎜ a ⎟ = a ⋅⎝ ⎠Vertauschen der Wurzelexponenten:nma=mna1 11 n 1 mmn⎛ ⎜ a⎞ ⎟ = ⎜ ⎛ a⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 21

EinführungDialogMathe1.5.4 Schnellübung WurzelnRepetitionstest, Wurzeln, Zeit: 15 Minuten1.1 15 4x⋅ x =2.2 13 4 y : y =3.14⎛ 2a 5 ⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠4.1 12 21 12x + 4x =5.1 12 21 12x ⋅ 4x =6. 1 3 1 − 2⎛x12⎞ ⋅⎛x8⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠7. 3 6 02 ⋅ x ⋅ y =( ) 1 38.15 1⎛ 222 ⋅ a3 ⋅ a3⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠9.1⎛ 1 0 4⎛ ⎞2 ⎞⎜ x⎜⎝ ⎝⎟⎠⎟⎠10.1− 4 −⎛ x ⎞ 4⎜ =4 ⎟⎝ x ⎠11.Schreibe als Wurzel:=43 b =19. 4 3 8x : x =20. 3 2⎛ 5 2x ⋅ x 5 ⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠21. 1 04 3x ⋅⎛x − 3 ⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠22.5 xx =23. 3 x ⋅ x =24. 5 3 5x =25. 9 6 4 12x26.n 2nx =27.2n nx =228. −a⋅ x =x 1 x − 129. ( 3a ) 2 + ( 4a )2 ==12. 5 6 5 4x ⋅ x = 30. 6 3 6x + x ⋅ x =13.x43x ⋅3x =14.( ) 3 4 x : x =31. 4x + 3 9x =32. 2 2a + 2ab + b =15. 733.8 4 3x ⋅ x −16=19 + =16. 4 4 4 3x ⋅ y ⋅ y = 34. Mache den Nenner wurzelfrei12 + 3 =17. 5 7 4 3 614 y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y − =35.18. −5 4 3 2x3 ⋅ x 9 ⋅ x3⋅ =x236 3( )10 4x x22⋅ =36. Vereinfache so weit wie möglich (Nennerwurzelfrei)a − b=a − b22 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = Exponent2 Definition des LogarithmusxDie Exponentialgleichung a= b mit a,b ∈ R + und a ≠ 1 besitzt stets genaueine Lösung x. Die Zahl x nennen wir den Logarithmus von b zur Basis a.Beispielx62 = 64 → x = 6 ( weil 64 = 2 )x = 6 ist der Logaritmus zur Basis 2 von 64 [ x = log ( 64 ) = 6 ].Im folgenden definieren wir den Logarithmus als Lösung einerExponentialgleichung.22.1 Logarithmus = ExponentDefinitionDer Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem wira potenzieren müssen, um b zu erhalten.xa = b ⇔ x = log ( b ) ; a,b R +a∈ und a ≠ 1MerkeEinen Logarithmus zu berechnen heisst , den Exponenten einer Potenz zubestimmen.Folgerung:logaa( b )= b „Logarithmieren und potenzieren heben sich auf“Beispiele1) Berechne log 4 ( 16 )xStrategie: Übergang zur Exponentialgleichung: x = log ( 16 ) ⇒ 4 = 16Wir suchen eine Zahl x mit der wir die Basis 4 potenzieren müssen, so2dass wir 16 erhalten. Da wir 16 = 4 als Potenz zur Basis 4 schreibenx 2können folgt mit 4 = 16 = 4 durch den Vergleich der Exponenten: x = 2und somit log 4 ( 16 ) = 2.2Also können wir sagen: log 4 ( 16 ) = 2, denn 4 = 16 .42) log 3 ( 81)= 4 , denn 3 = 813) 12 ( )2log = − 2 , denn 2 14− = 44Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 23

Definition des LogarithmusDialogMatheEinsatz Rechner24) log10( 100 ) = 2 , denn 10 = 100x5) log10( 110 ) = ?( )x = log 110 ⇒ 10 = 110 . Diese Gleichunglässt sich nicht mehr im Kopf berechnen.10Der Logarithmus lässt sich von Hand nur für spezielle Zahlen bestimmen, imallgemeinen müssen wir die Berechnung von Logarithmen dem Rechnerüberlassen, so wie wir das bei den trigonometrischen Funktionen tun müssen.Beispiel: log10( 110 ) = ? Rechner : log10( 110 ) = 2,041392,04139Der Logarithmus von 110 zur Basis 10 ist 2,04139, weil 10 = 110 ist.log10( 110 ) = 2,04139 ist also der Exponent mit dem die Basis 10 potenziertwerden muss, damit wir 110 erhalten.2.1.1 Verschiedene Logarithmen (Basen)Als Basis können alle positiven reellen Zahlen ausser 1 verwendet werden.Die wichtigsten Basen sind die folgenden.10 – er LogarithmusBasis a = 1010 – er Logarithmus (Dekadischer Logarithmus): log(x)[ log 10(x) = log(x) ; log ohne Angabe der Basis bedeutet Basis 10]Beispiele0log(1) = 0 , denn 10 = 11log(10) = 1 , denn 10 = 102log(100) = 2 , denn 10 = 10011log( ) = − 1 , denn 10 110− = 1012log( ) = − 2 , denn 10 1100− = usw.10024 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = Exponent2 – er LogarithmusBasis a = 22 – er Logarithmus (Binärlogarithmus): lb(x) [ log2( x ) = lb(x) ]Beispiele1lb(2) = 1 , denn 2 = 24lb(16) = 4 , denn 2 = 1610lb(1024) = 10 , denn 2 = 1024natürliche LogarithmusBasis a = e = 2,71828......Logarithmus naturalis: ln(x) [ loge( x ) = ln(x) ]Der natürliche Logarithmus hat eine besondere Bedeutung in denAnwendungen der Naturwissenschaften und der Technik.Basiszahl ist die Eulersche Zahl e = 2,71828......Beispiel: ln(10) = ?2,30259Mit dem Rechner ln(10) = 2,30259 , denn e = 10Eulersche ZahlDie Eulersche Zahl kann alsGrenzwert dargestelltwerden.⎡ 1k ⎤lim⎢( 1+ k ) ⎥= e⎣ ⎦k→∞e ≈ 2,71828183 …RechnerViele Rechner können nur mit dem 10-er und dem natürlichen Logarithmusrechnen. Um beliebige Logarithmen zuberechnen, muss jeweils ein Basiswechsel gemacht werden (siehe Kap. 2.2.8).Unser TI-Nspire kann beliebige Logarithmen berechnen.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 25

Definition des LogarithmusDialogMathe2.1.2 Übungsaufgaben zur Definition des Logarithmus1) Schreibe die Lösung x der folgenden Gleichungen als Logarithmus.1a)x5 = 101b)xa= b1c)xp11d)( ) x2= ab= gxu = v − 31e)2) Welche Exponentialgleichung hat die Lösung x?2a)x = log ( k )2b) x = log 3 ( 5 )x = log2c) b ( a1 )2d)2e)2f)2g)ax = log ( 10 )2x = ln( 3 )x = log( a )x = lb( 100 )x = ln2h)( 10 )3) Berechne die folgenden Logarithmen(Schreibe um in die Exponentialgleichung und löse diese)3a)3b)log3( 9 ) =log5( 5 ) =143c)( 4 )3d)3e)log =log7( 1 ) =log 4 ( 24)3f) log( 1000 ) =3g) lb( 32 ) =3h) ln( e ) =26 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = ExponentSpezialfälleDie folgenden vier Spezialfälle helfen uns schnell und einfach mit denLogarithmen im Kopf zu rechnen.loga ( b )1. a = ba( )2. log 1 = 0a( )3. log a = 1ax( )4. log a = xMerke: Strategie zur Berechnung von speziellen LogarithmenBei der Schnellübung 2.1.4 kannst du bei den Berechnungen der Logarithmenoftmals die Spezialfälle 1 bis 4 verwenden. Hin und wieder lassen sich sogarmehrere Spezialfälle auf eine Aufgabe anwenden. Falls es dir nicht gelingteinen Spezialfall zu erkennen, so schreibe den Logarithmus um in dieExponentialgleichung und versuche diese zu lösen.Beispiele von Übung 32( ) ( )log 9 = log 3 = 23 3Spezialfall 4 (Logarithmus und Potenz haben gleiche Basis) 9 als Potenz zurBasis 3 schreiben. Der Logarithmus ist dann der Exponent!x 2Alternativ: Exponentialgleichung log ( 9 ) = x ⇔ 3 = 9 = 3 → x = 23log ( 5 ) = 15Spezialfall 3 (Basis und Numerus sind gleich) oder51( )log 5 = 1Spezialfall 4 (Logarithmus und Potenz haben gleiche Basis)x 1Alternativ: Exponentialgleichung log ( 5 ) = x ⇔ 5 = 5 = 5 → x = 15Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 27

Definition des LogarithmusDialogMathe1−1( ) ( )log4 = log4 4 4 = − 1Spezialfall 4log 1 14 = x ⇔ 4 = = 4 → x = − 14 4x −1Alternativ: Exponentialgleichung ( )log ( 1)= 0 Spezialfall 2 oder770( )log 7 = 0 Spezialfall 4x 0Alternativ: Exponentialgleichung log ( 1) = x ⇔ 7 = 1 = 7 → x = 07log 4 ( 24)= 2 Spezialfall 1 (Potenz und Logarithmus haben gleiche Basis)1 14Oder( )( ) 2 log 2log 124 2 = log ⎛4 4⎞⎜ ⎟ = → 4 = 4 = 2⎝ ⎠ 23( ) ( )log 1000 = log 10 = 3 Spezialfall 4x 3Alternativ: Exponentialgleichung log( 1000 ) = x ⇔ 10 = 1000 = 10 → x = 35( ) 2 ( )lb 32 = log 2 = 5 Spezialfall 4Alternativ: Exponentialgleichungx 5log ( 32 ) = x ⇔ 2 = 32 = 2 → x = 52( )12ln e = log⎛e e⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠12Spezialfall 4Alternativ: Exponentialgleichung( )xln e = x ⇔ e = e = e → x = 121228 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = Exponent2.1.3 Partnerinterview GrundbeziehungenPartnerinterview LogarithmenVier wichtige GrundbeziehungenZeit: 20 MinutenErkläre die folgenden Gleichungen. Mache dir klar, dass diese Beziehungdirekt aus der Definition a x = b ⇔ x = log ( b ) folgt. Analysiere dieGleichungen und mache Beispiele!aSpezialfall 1 :loga ( ba)= bSpezialfall 2 : loga( 1)= 0Spezialfall 3 : loga( a ) = 1xSpezialfall 4 : a ( )log a = xLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 29

Definition des LogarithmusDialogMathe2.1.4 Schnellübungen LogarithmenRepetitionstest 1LogarithmenZeit: 15 MinutenSchreibe die Lösung x der Welche ExponentialgleichungBerechne xGleichung als Logarithmushat die Lösung x?1xa = b6 x = log ( a )11 log ( x ) = 12x3 303x= 7 x log5( 6 )e = π 8 x log 1c ( )4( 2 ) x= a5 ( ) x 0,5 pBerechne16 3 ( )= 10 x ln( e 2 )bx == 12 log ( x ) = 0bx == 13 log3( x ) = − 39 x = log ( 15 )14log 9 = 28 log ( 9 )17 123 ( )5x =6a1log⎛ ⎞x ⎜ = − 425⎟⎝ ⎠x == 15 log ( 9 ) = 142 =log 3 = 29 log( 0,01 ) =18 1 ( )log 125 = 30 ( 3) 3519 log7( 57)=20 116 ( )2log 3 =31 log2( 8 ) =log = 32 log( 10'000 ) =log 1 = 33 log ( 3 ) =21 ( ) 5log a = 34 log1( a ) =22 82 ( )alog 10 = 35 log1( 1 ) =23 100( )2442 ( )log 2 = 361log⎛ ba a⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠25 ( )2log a =log 1 = 371 ( )26 15 ( )log = 38 12 ( )59aaalog =827 ln( e ) = 39 ln( 1 ) =x =x30 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = Exponent4026 5( )log 2 =46log ( 16 ) =2413ln( e ) =47( 12 )ln =e4212( )ln 25e ⋅ =484 5( )logaa =43log27( 3 ) =49log ( 8 ) =244log2( 14)=50log81 ( 9 ) =45loga( 1a)=51log 4 ( 316)=Berechne x52 log5( x ) = 0 x =53 logx( 16 ) = 2 x =54 ( )log 1 1x 2= x =255 logx( 8 ) = − 3 x =56 log ( )14 x = x =257 log ( )1x 2 = − x =258 1x ( )log = − 2 x =359 log( x5)= 1 x =n60 x ( )log a = 2n x =Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 31

Definition des LogarithmusDialogMatheLösungen Repetitionstest 1Aufgabe 1 bis 5: Schreibedie Lösung x der Gleichungals Logarithmus1x2x3xa = bx = log ba( )3 = 30x = log 303e = πx = ln( π )( )4( 2 ) x= ax = log ( a )5 ( 0,5 ) x = px = log ( p )20,5Aufgabe 6 bis 10: WelcheExponentialgleichung hatdie Lösung x?6 x = log ( a )xb= a7 x = log5( 6 )bx5 = 68 x = log 1c ( )bxc = 1bx = log 159 ( )5( 5 ) x= 1510 x = ln( e 2 )ex 2= eBerechne x111log6( x ) = 1 / 6 = xx = 6120loga( x ) = 0 / ax = 113 log3( x ) = − 3 /−3x = 127141log⎛ ⎞x ⎜ = − 425⎟ /⎝ ⎠4( ) 4= x3 = x4x − = 125x = 25 = 5 x = 515 logx( 9 ) = 1 /1x = 9x = 9Berechne16 ( ) ( 2)3 3log 9 = log 3 = 2 9 zur Basis 3 schreiben! Spezialfall 4¨x 2Exponentialgleichung: 3 = 9 = 317 ( 12log ) 3 3 1218 ( )11 1 ( )5 5x 12= Spezialfall 4 Exponentialgleichung: 3 = 3−3( 5 )log 125 = log = − 3 125 zur Basis5 1 schreiben! Spezialfall 4x − 35 5Exponentialgleichung: 1 3( ) = 125 = 5 = 1( )19 log7( 57)520= Spezialfall 1Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens (gleiche Basen 7)11− 1log16 ( ) = log16( ( 16 )2)4 = − 14 2zur Basis 16 schreiben! Spezialfall 41 14 416 116 −2 16log51 = 0 Spezialfall 2: Logarithmus von 1 ist immer 0!xExponentialgleichung:1= = ( ) = ( )21 ( )x 0Exponentialgleichung: 5 = 1 = 54( )22 ( 8 ) ( 2)2 2log aa = log aa = 4 82a zur Basis a schreiben! Spezialfall 4Exponentialgleichung: ( ) x23 100log( 10 ) 100242 2x 8a = a = a ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4x 100= Spezialfall 4 Exponentialgleichung: 10 = 10141log 42 ( 2 ) = log⎛2 2⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 4Wurzel als Potenz schreiben! Spezialfall 4xExponentialgleichung: 2 = 2 = 2425 log( 1)= 0 Spezialfall 2: Logarithmus von 1 ist immer 0!x 0Exponentialgleichung: 10 = 1 = 104132 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = Exponent26271( )− 1 1log 25 = log⎛55 5⎞⎜ ⎟ = −⎝ ⎠ 2xExponentialgleichung: 1( )1 1ln( e ) = ln⎛e2⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 2Exponentialgleichung:28 log ( )( )x15zur Basis 5 schreiben! Spezialfall 41 −112 ⎞ −2−15 = = 5 =⎛5 = 55⎜ ⎟⎝ ⎠e als Potenz schreiben! Spezialfall 4e = e = e1 log4 ( 9 )114 92log4( 9 ) 22 = 4 = 4 = 9 2 = 3 Spezialfall 112( ) ( )2 zur Basis 4 schreiben! Reihenfolge des Potenzierens vertauschen29 −2( ) ( )30log 0,01 = log 10 = − 2 0,01 als Zehnerpotenz schreiben! Spezialfall 4Exponentialgleichung:3( )x 210 = 0,01 = 10 −323⎛ ⎞log3 3 = log3⎜ 3 ⎟ =⎝ ⎠ 23x 3Exponentialgleichung: 3 = 3 = 326( )31( ) ( )2 233 in eine Potenz umschreiben! Spezialfall 4log 8 = log 2 = 6 8 zur Basis 2 schreiben! Spezialfall 4Exponentialgleichung:32 4( ) ( )33x 3 62 = 8 = 2 = 2log 10'000 = log 10 = 4 10'000 als Zehnerpotenz schreiben! Spezialfall 4Exponentialgleichung:x 410 = 10 '000 = 101 1log ( )29 3 = log⎛9 9⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 23 zur Basis 9 schreiben! Spezialfall 4Exponentialgleichung: ( ) x−1( a )341 ( a )11 ( )aax = 1 ⇒ 2 = 2x ⇒ = ⇒ =129 3 3 3 2x 1 xlog = log = − 1 a zur Basis a 1 schreiben!x − 1aalog 1 = 0 Spezialfall 2: Logarithmus von 1 ist immer 0!Exponentialgleichung: 1( ) = a = 1( )35 ( )1ax 0aaExponentialgleichung:1( ) = 1 =1( )361log ba a⎛ ⎞ 1⎜ ⎟ =⎝ ⎠ bSpezialfall 4( )Exponentialgleichung:37−2log1 ( a ) = log1( ) = − 2 Spezialfall 4 Exponentialgleichung: 1 2( ) = a = 1( )a2 1a38 132 ( ) 2 ( 2 − )alog = log = − 3 1 zur Basis 2 schreiben! Spezialfall 488xExponentialgleichung: 2 = 1 = 1 383= 2 −2= Spezialfall 2: Logarithmus von 1 ist immer 0!39 ln( 1)0406 5( )⎛log2 2 log22 6 ⎞ 5= ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 6Exponentialgleichung:41 3ln( e ) 33 3= ; ( ) e ( )5xaWurzel als Potenz schreiben! Spezialfall 4x 6 552 = 2 = 26= a1bx − 2aax 3ln e = log e = 3 Spezialfall 4 Exponentialgleichung: e = eLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 33

Definition des LogarithmusDialogMathe42 ⋅ln( 25 ) ln( 25 )4312( ) ( )1 12 2e = e = 25 = 5 Potenzgesetze! Spezialfall 11 1log ( )327 3 = log⎛27 27⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 3x 3Exponentialgleichung: 27 = 3 = ( 3 ) = ( 27 )3 zur Basis 27 schreiben! Spezialfall 41 13 344 log2 ( 1)04 = 4 = 1 Exponent berechnen : log ( 1)= 0 Spezialfall 2 oder( )( )( )( ) ( )22 2 log2122log 1 log 14 = 2 = 2 = 1 = 1 Spezialfall 145 loga( 1)a = 1 Spezialfall 1 oderloga ( 1)0a = a = 1 Exponent berechnen, Spezialfall 246 42 ( ) 2 ( )log 16 = log 2 = 4 16 zur Basis 2 schreiben! Spezialfall 4x 4Exponentialgleichung: 2 = 16 = 22ln 1e2ln e −x= = − 21 2Spezialfall 4 Exponentialgleichung: e =2= e −e4 5 ⎛5( )4⎞ 5x 4 5logaa = loga⎜ a ⎟ = Spezialfall 4 Exponentialgleichung: a = a = a⎝ ⎠ 447( ) ( )486( )49( ) ( )50log 8 = log 2 = 6 Spezialfall 42 2x 63Exponentialgleichung: ( 2 ) = 8 = 2 = ( 2 )1 1log ( )281 9 = log⎛81 81⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 2Spezialfall 4Exponentialgleichung: ( ) xx = 2 = 2x = 1 ⇒ = ⇒ =122log4 3281 9 9 9 2x 1 x51 log 4( 3 ) 2( )log 4( 3 )16 = 4⎛ ( ) ⎞⎜ ⎟ ( )= 4 = 3 = 3 Spezialfall 1⎝ ⎠16 zur Basis 4 schreiben! Reihenfolge des Potenzierens vertauschenWechsle jeweils von der Logarithmengleichung zur Exponentialgleichung!Berechne x52 log5( x ) = 005 = xx = 153 logx( 16 ) = 22x = 16x = 16 = 454 log 1 1x ( 2 ) = 122211 1x =x =⎛ ⎞2⎜ =2⎟⎝ ⎠ 455 logx( 8 ) = − 3−3 3−x 8 2 1( ) 31= = = 2x =256 log ( )14 x =257 log ( )1x 2 = −258 log 1x ( ) = − 2−( ) 2 1 159 log( x5)160 nx ( )2142= xx = 2− 1 1 −x2( ) 12 2 42 1 1= = = 4x =43x = = x = 3x 30= Exponent muss 0 sein: log( x ) = 0 ; 10 = x ; x = 1log a 2n=2n nx2= a ; x= ax = a5434 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = ExponentPartnerinterview LogarithmenFehleranalysen und IdeensammlungZeit: 20 MinutenAnalysiere deine Fehler in der vorangegangenen Schnellübung!Erstelle eine Ideensammlung! Mache analoge Beispiele!BeispielAnaloges BeispielLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 35

Definition des LogarithmusDialogMatheRepetitionstest 2LogarithmenZeit: 15 MinutenZeit: 20 MinutenAufgabe 1 bis 3: Schreibe die Lösung x der Gleichung als Logarithmus1xp= ax =2xe = 3x =3x5 = 10x =Aufgabe 4 bis 11: Gebe die Exponentialgleichung der Lösung x an und berechne dann x!4 x = log ( 10 ) ⇔ 5x =6 x = log ( 1)⇔ 7835( )x = ln e ⇔9x =x =10 x = log ( 2 ) ⇔ 114x =Aufgabe 12 bis 15: Entscheide, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind!12 Der Logarithmus ist ein Exponent richtigfalsch13 b = loga( c ) bedeutet in Worten: „Der Logarithmus zur Basis a von c istdie reelle Zahl c, mit der ich b potenzieren muss, um a zu erhalten.richtigfalsch14 Es gilt : log( − 10 ) = − log( 10 )richtigfalsch15 nEs gilt : loga( a ) = n und deshalb auch loga( a ) = 1 und loga( 1)= 0 richtigfalschAufgabe 16 bis 29: Berechne16 4 ( )log 16 = 24 log ( 2)525 =17 log3( 3 ) = 25 log( 100 ) =18 log 11 ( ) = 24 ( 3) 955log 3 =log 4 =19 log5( 75)= 25 2( )20 14 ( )1log = 26 ( )21 ( )2log =1000ln 1 = 327 1 ( )522 2( )log 8 − =n 2ln e = 28 a ( )23 ( )8log a − =log 10 = 29 log1( 2 ) =236 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = ExponentAufgabe 30 bis 45: Berechnelog 1 =log389 ( 33)=30 ( ) a231 ( )1 loglog 4n = 39( 310 + )=2n( )3210log ( 10 ) = 40 ln5( e e )33 32 ( )⋅ =log 2 = 413 log2( 32 − ) =log34( 1)log 8 =15 = 42 ( )35 15 ( )log = 43 1( )54log 5 =25ln36( 5e)= 44 ln( 1 ) =637 52 ( )log 2 = 459( )( ) log 813 =Aufgabe 46 bis 60: Berechne x46 log8( x ) = 0x =247 5 ( )log x = 2x =48 log3( x ) = − 2x =log 17 x = 2x =49 ( )log 1x 5 = x =250 ( )51 loga( x ) = 4x =52 log7( x ) = 1x =53 1( )logx 2= − 1x =54 logx( 8 ) = − 3x =55 log ( )14 x = x =256 log ( )1x 2 = − x =257 1x ( )log = − 2x =558 log( x5)= 5x =59 3x ( )log 4 = 6x =60 1a ( x )log = − 5x =aLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 37

Definition des LogarithmusDialogMatheLösungen Repetitionstest 2Aufgabe 1 bis 3: Schreibe die Lösung x der Gleichung als Logarithmus1xp = ax = log p( a )2xe 33x5 10= x = ln( 3 )= x = log ( 10 )5Aufgabe 4 bis 11: Gebe die Exponentialgleichung der Lösung x an und berechne dann x!4x = log( 10 ) ⇔ 10x5= 10x = 16810x = log ( 1)⇔ x35( )3 = 15x = ln e ⇔ ex= ex = log ( 2 ) ⇔ x44 = 27x = 09x = 511 1x =2Aufgabe 12 bis 15: Entscheide, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind!12 Der Logarithmus ist ein Exponent richtigfalsch13 b = loga( c ) bedeutet in Worten: „Der Logarithmus zur Basis a von c istdie reelle Zahl c, mit der ich b potenzieren muss, um a zu erhalten.richtigfalsch14 Es gilt : log( − 10 ) = − log( 10 )richtigfalsch15 nEs gilt : loga( a ) = n und deshalb auch loga( a ) = 1 und loga( 1)= 0 richtigfalschAufgabe 16 bis 29: Berechne216 4 ( ) 4 ( )log 16 log 4 2117 log 23 ( 3 ) log3( 3 )118 1 ( )55( )25 5225 = 5 = 2 = 4= = 24 log ( 2 ) log ( 2 )2= = 25 ( ) ( )log = 12419 log ( 7 )55 720( )12log 100 = log 10 = 21 333 ⎛ ⎞2 2( ) ⎜ ( ) ⎟ ( )⎝ ⎠42=2 ( ) =log9 3 = log 39 9 = log99 = 2log 4 log 2 4= 25 ( ) ( )12log 1 14 = log⎛2 4 4 − ⎞⎜ ⎟ = −⎝ ⎠ 221 ln( 1)022( )23261−3( ) ( )log = log 10 = − 310003( 8 )= 27 ( 3 ) ( 1)1 1255 2ln e = ln ⎛ e⎞ 2⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 5( )log 10 = log ⎛ 10 2 ⎞ 1⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 21−log 8 = log = 38 8n−228 a ( )log a = n − 2−1( 2 )29 11 ( ) 1 ( )log 2 = log = − 12 238 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmus = ExponentAufgabe 30 bis 45: Berechne130 loga( 1 ) = 038 log9 ( 3 ) log19( 33 = 9 ) 2= 3 2 = 32( )31 2( ) ( )log 2n 4n log 2n 2n 232( )( ) ( )1 + log= = 39( 3 ) log( 310 = 10 ⋅ 10)= 10 ⋅ 3 = 3010 5( ) ( )332 2 ( )log 10 log 10 533( ) ( )= = 40( )65ln e ⋅5e = ln⎛e⎞ 6⎜ ⎟ =⎝ ⎠ 5log 2 = log 2 = 3 4133−log2( 3 ) 2 82 = =log2( 32) 3log34( 1)05 = 5 = 1421log28 (4) = −31−8 2 2 3x 2 x4135 1 −log2 15 ( 5) = log⎛ ⎞5 5 = −43⎜ ⎟log 125⎝ ⎠ 2( 25 ) log 5 ( 5 −= ) = − 2ln 1 = 0ln36( 5e)537 6 5( )= 44 ( )56log2 2 = log⎛2 2⎞⎜ ⎟ =⎝ ⎠56x 3x 2 23= → = → = − → = −45 log9 ( 81) log9( 81)( ) ( ) ( )1 14 43 = 9 = 81 = 32log9( 81) log9( 9 )( ) ( ) ( )Aufgabe 46 bis 60: Berechne x046 log8( x ) = 0 8 = xx = 1247 5 ( )log x 2=2 248 −2log3( x ) = − 24950log 7 ( x ) =log ( 5 ) =x121251 loga( x ) = 4 ( a ) 452 log7( x ) = 153 1( )logx 2= − 154 −3logx( 8 ) = − 35556log ( )14 x =2log ( )1x 2 = −25 = xx = 53 = xx = 193 = 3 = 3 = 3172= xx = 71x2= 5x = 252= xx = a17 = xx = 491x − =12x = 2x = 8x = 12142= xx = 2− 1257 log 1x ( ) = − 2 ( ) 2 15558 log( x5)559 3x ( )log 4 660 1a ( x )= log( x ) 1x = 2x = 14=6 3 6x − = x = 5= x = 10x = 4 = 2x = 2log = − 5 a− 5 = 1 1a5axa= x = 52Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 39

Definition des LogarithmusDialogMathe2.2 Rechengesetze für Logarithmen2.2.1 Logarithmus eines ProduktsSatzBeweisBeispieleEin Produkt wird logarithmiert, indem wir die Logarithmen der Faktorenaddieren. log( u ⋅ v ) = log( u ) + log( v )Ist loga( u ) = x und loga( v ) = yxyx y x y→ a = u und a = v → u ⋅ v = a ⋅ a = a +Somit ist log ( u ⋅ v ) = x + y = log ( u ) + log ( v )a a a1) log( 2 z ) = log( 2 ) + log( z )2) log( p qr ) = log( p ) + log( q ) + log( r )3) log( ab − ac ) = log( a ⋅ [ b − c ]) = log( a ) + log( b − c )log x − y = log( x + y ⋅ x − y ) = log( x + y ) + log( x − y )2 24) ( ) [ ] [ ]2.2.2 Logarithmus eines QuotientenSatzEin Quotient (Bruch) wird logarithmiert, indem wir vom Logarithmus desZählers den Logarithmus des Nenners subtrahieren.ulog ⎛ ⎜⎞ = log( u ) − log( v )v⎟⎝ ⎠BeweisSpezialfallBeispieleIst loga( u ) = x und loga( v ) = yxyu a x−y→ a = u und a = v → = = av yauSomit ist log ⎛ a ⎜⎞ = x − y = loga ( u ) − loga( v )v⎟⎝ ⎠1log⎛ ⎞⎜ = − log( v )v⎟⎝ ⎠78log41 = log 1 − log 4= −log 4= 0a blog⎛ − ⎞⎜ log a bx y⎟ = −⎝ + ⎠− log x + y1) log( ) = log( 7 ) − log( 8 )2) ( ) ( ) ( ) ( )3) ( ) ( )⎛ x⎜⎝ x2 2− y2 2 2 24) log = log( x − y ) − log( x + y )2 2+ y⎞⎟⎠x40 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRechengesetze für Logarithmen2 2( [ ] [ ] ) ( )= log x + y ⋅ x − y − log x + y2 2( ) ( ) ( )= log x + y + log x − y − log x + y2.2.3 Partnerinterview RechengesetzeMERKE:Partnerinterview LogarithmenRechengesetzeZeit: 20 MinutenDer Logarithmus aus einer Summe oder einer Differenz kann nicht„gezogen“ werden!!!Diskutiere und mache dir folgendes klar!• Ist im Logarithmus eine Summe oder eine Differenz vorhanden, somüssen wir faktorisieren (d.h. in ein Produkt verwandeln), bevor wirden Logarithmus ziehen können!• Die Strichoperationen (1. Stufe) blockieren den Logarithmus(Operation 3. Stufe).• Für den Logarithmus gibt es nur Rechengesetze für die Operationen 2.Stufe (Multiplikation, siehe Kap. 2.2.1 und Division, siehe Kap. 2.2.2)und 3. Stufe (Potenzieren, siehe Kap. 2.2.5)Logarithmengesetz: log( u ⋅ v ) = log( u ) + log( v )Analysiere die folgenden Gleichungen (Wo liegt der Fehler?):log( u + v ) = log( u ) + log( v )log( u + v ) = log( u ) ⋅ log( v )log( u ⋅ v ) = log( u ) ⋅ log( v )Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 41

Definition des LogarithmusDialogMatheuLogarithmengesetz: log ⎛ ⎜⎞ = log( u ) − log( v )v⎟⎝ ⎠Analysiere die folgenden Gleichungen (Wo liegt der Fehler?):log( u − v ) = log( u ) − log( v )log( u )log( u − v ) =log( v )u log( u)log⎛ ⎞⎜ v⎟ =⎝ ⎠ log ( v )Analogien:• Logarithmus: log( u + v ) ≠ log( u ) + log( v )2 2 2 2• Wurzelziehen: a + b ≠ a + b = a + b ,denn ( ) 2 2 2a + b = a + 2ab + b (Binom mit Doppelprodukt !!!)• Potenzieren einer Summe:−Falsch: ( ) 1 −1 − 1 1 1 a + ba + b ≠ a + b = + =a b ab−Richtig: ( ) 1 1a + b =a + b• Kürzen eines Bruches: „Über Summen kürzen nur die Dummen!“Richtig oder falsch?log( x + 5 ) = log( x ) + log( 5 )log( 5 ⋅ x ) = log( 5 ) + log( x )log( x + x ) = log( 2 ) + log( x )log( 5 ⋅ x ) = 5 ⋅ log( x )log( x + x ) = 2 ⋅ log( x )42 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRechengesetze für Logarithmen2.2.4 Übungsaufgaben RechengesetzeÜbung 1: Zerlege die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze.a) log( 5xy ) =b) log( 4a2 9b2 )− =c) log( ap + bp + aq + bq)=d)1log ⎛ ⎜⎞ = x − y⎟⎝ ⎠e)ab aclog⎛ − ⎞⎜ = ab + ac⎟⎝ ⎠f)abclog⎛ ⎜⎞ = de⎟⎝ ⎠g)17xylog⎛ ⎜⎞ = 5z⎟⎝ ⎠h) log( x2 y2 )+ =i)[ + ][ − y ]⎛ 5 a b ⎞log⎜=3c x⎟⎝ ⎠k)2⎛ 1 − alog⎜⎝ a − b2 2⎞⎟ =⎠Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 43

Definition des LogarithmusDialogMatheÜbung 2: Gegeben ist log( a ) = 1,5 und log( b ) = 0,5a) Berechne (ohne Rechner) das Produkt a ⋅ b .b) Berechne (ohne Rechner) den Quotienten a b .Übung 3: Fass zu einem einzigen Logarithmus zusammen!a) log( a ) + log( b ) =b) log( a ) − log( b ) =c) log( x ) + log( y ) − [ log( u ) + log( v )]=d) − log( c ) =e) −log( a ) − log( b ) − log( c ) =f)1− log⎛ ⎞⎜ = x⎟⎝ ⎠g)a + b− log⎛ ⎞⎜ = x + y⎟⎝ ⎠h)a b c a xlog⎛ ⎞log⎛ ⎞log⎛ ⎞ ⋅log⎛ ⎞⎜b⎟ + ⎜ + − =c⎟ ⎜d⎟ ⎜d ⋅ y⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠44 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRechengesetze für Logarithmen2.2.5 Logarithmus einer PotenzSatzEine Potenz wird logarithmiert, indem wir den Logarithmus der Basis mitdem Exponenten multiplizieren.log bn( ) = n ⋅ log( b )BeweisIst loga( b ) = x( ) nn x n x→ b = a = a ⋅nx→ a = bn⋅xSomit ist log ( b ) = log ( a ) = n ⋅ x = n ⋅ log ( b )a a aDer Exponent n kann eine beliebige reelle Zahl sein, z.B. ein Bruch n = uv.Dann gilt nach obigem Rechengesetz:vuu( ) = ( v) = ⋅ ( )loga b log ua b v logabBeispiele51) log( a ) = 5 ⋅ log( a )( 3) ( )2) log ( x + y ) = 3 ⋅ log x + y3 4n 4n3) log( x ) = ⋅ log( x )34)3⎛ ( a + b ) ⎞log = 3 ⋅ log( a + b ) − log( x + y ) − log( x − y )⎜ 2 2x − y ⎟⎝ ⎠Richtig oder falsch?( + x ) = ( ) + ⋅ ( )log 5 2 log 5 x log 2( ⋅ x ) = ( ) + ⋅ ( )log 5 2 log 5 x log 2log( 5 ⋅ x ) = 5 ⋅ log( x )log( 5 ⋅ x ) = log( 5 ) + log( x )log x5( ) = 5 ⋅ log( x )Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 45

Definition des LogarithmusDialogMathe2.2.6 Partnerinterview RechengesetzePartnerinterview LogarithmenRechengesetzeZeit: 15 MinutenMERKE: Struktur der Logarithmengesetzelog( u ⋅ v ) = log( u ) + log( v ) Operation 2. Stufe → Operation 1. StufeLogarithmus eines Produktes = Summe der Logarithmen der Faktorenulog ⎛ ⎜⎞ = log( u ) − log( v )v⎟⎝ ⎠Operation 2. Stufe →Operation 1. StufeLogarithmus eines Quotienten = Differenz der Logarithmen(Zähler minus Nenner)log bn( ) n log( b )= ⋅ Operation 3. Stufe → Operation 2. StufeLogarithmus einer Potenz = Produkt Exponent mal Logarithmus der BasisNotiere jeweils deine eigenen Fehler und analysiere sie!46 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRechengesetze für Logarithmen2.2.7 Übungsaufgaben RechengesetzeÜbung 1: Zerlege die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze.a) log 6( c ) =9( )b) log ( x − y ) =c) log 3( a − ) =d)1log⎛ ⎜⎞ =x 2 ⎟⎝ ⎠e) log( y ) =f)⎛ 1 ⎞log⎜4 ⎟ =⎝ a ⎠3 5g) log( a b ) =h)2 5⎛ 5x c ⎞log⎜3 ⎟ =⎝ 7a ⎠i) log( ab ) =5j) log a( c ) =Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 47

Definition des LogarithmusDialogMatheÜbung 2: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammena) a ⋅ log( x ) − b ⋅ log( y ) =b) 3 ⋅ log( a ) + 2 ⋅ log( b ) − 4 ⋅ log( c ) =c) 2 ⋅ log( x ) + 3 ⋅ log( y ) − 5 ⋅ [ log( z ) + log( u ) + log( v ) ] =1d) ( )2 ⋅ log b =mne) ⋅ log( c ) =1 ⋅ − 1 ⋅ + ⋅ =4 242 3f) log( x ) log( y ) log( z )g) 1 ⋅ [ log( b ) + 2 ⋅ log( c )] − 1 ⋅ [ 5 ⋅ log( d ) + log( e ) ] =3 21h) log a2 log⎛a2⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ log( c )3⎛ ⎞ + − =⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 ⋅ − + ⋅ =22⋅ni) log( a ) ( n 2 ) log( a )2mj) log ( b ) + ⋅ log ( x ) − log ( c ) − ⋅ log ( y ) =3n48 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRechengesetze für LogarithmenÜbung 3: Zerlege die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze.2 4( )a) log 7 [ a b] [ a c ]⋅ + − =b)⎛ 2a − ( b + c ) 2 ⎞log=⎜2ab ⎟⎝⎠4c) log( a b2 c3)⋅ ⋅ =d) log4( a a 2 3 a )⋅ ⋅ =e)⎛log⎜⎝xy2z−2x ⎞⋅⎛ ⎞⎜=y⎟⎝ ⎠ ⎟⎠f)1 1log⎛ ⎞log⎛ ⎞⎜ − =x⎟ ⎜y⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠g)⎛ 3 −3⎡ 3b z ⎤ ⎞log⎜ ⎟ =⎜⎢ 2 ⎥⎣17cy⎦ ⎟⎝⎠h)13⎛ 3b x⎞log⎜ ⋅⎟ =⎜ c2⋅ y ⎟⎝ ⎠Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 49

Definition des LogarithmusDialogMatheÜbung 4: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache.Beachte: Eine beliebige Zahl z kann immer in einen Logarithmus verpackt werden.z37= a ( ) Beispiel 3 = log( 10 ) oder 7 = log5( 5 )z log a2a) 2 log( x ) log( x )+ − =2b) ( ) ( )lb x − 1 − lb x − 1 − 1 =c) ln( 5 ) + ln( x + 1)− 5 =d) − log( 7 ) − log( 25 ) + log( 91) − log( 52 ) =2 3 100e) ln( 3 ) ln( 3 ) ln( 3 ) ……… ln( 3 )+ + + + =50 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRechengesetze für Logarithmen2.2.8 BasiswechselUmrechnen zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen.xWir logarithmieren die Gleichung axa = b / log c= b mit log ccx( ) = c ( )log a log bx ⋅ log ( a ) = log ( b )cc→ x =loglogcc( b )( a )Aus a x = b ⇔ x = log ( b ) folgt dann:aloga( b )= log c ( b )log ( a )Basiswechsel a (alte Basis) → c (neue Basis)cSchritte für Basiswechsel Wir schreiben den Logarithmus von b zur neuen Basis c.Dann dividieren wir durch den Logarithmus von der alten Basis a zurneuen Basis c.Beispielelog 4 ( 5 ) = ? Um diesen Wert mit demRechner zu bestimmen, müssen wir zuerstdie Basis wechseln, denn der Rechnerkann nur Zehner – oder natürlicheLogarithmen berechnen.log( 5 )log 4 ( 5 ) = = 1,16096log( 4 )log ( 10 )8=log 5 ( 10 )log ( 8 )5ÜbungsaufgabenBerechne: log 5 ( 27 ) =lb( 50 ) =Schreibe den Logarithmus mit der neuen Basis c.c = 3 ; log 9 ( 10 ) = c = 5 ; ln( 15 ) =Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 51

Definition des LogarithmusDialogMathe2.2.9 RepetitionstestVereinfache so weit wie möglich! (Zeit 15 Minuten)1.2log( a a ) log( a 1)+ − + =2.⎡ 1 ⎤2log ⎢ log ( x y ) log[ x y ]2 2 ⎥ + ⎡ + ⎤ + − =⎣ x − y ⎦⎣ ⎦3. 3( ) ( 4 3log a a log a )⋅ + =4.2 22 log( a b ) log( a 2ab b )⋅ − − − + =5. 1 6 2log( a ) 4 log( a ) log( a )2 ⋅ − ⋅ + =6.a2 ⋅ log⎛ ⎞⎜ + 2 − 2 ⋅ log( a ) =10⎟⎝ ⎠52 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRechengesetze für LogarithmenKnacknuss 1Berechne!1 2 3 4 199 200( ) ( ) ( ) ( ) ⋯⋯⋯ ( ) ( )log 10 + log 10 + log 10 + log 10 + + log 10 + log 10 =Knacknuss 2Bestimme x !x x + 12 + 2 = 96Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 53

Definition des LogarithmusDialogMathe2.2.10 Lösungen Übungsaufgaben Kapitel 2Lösungen Übungsaufgaben Rechengesetze Kap. 2.2.4Übung 1: Zerlege die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze.a) log( 5xy ) = log( 5 ) + log( x ) + log( y )log 4a − 9b = log( 2a + 3b ⋅ 2a − 3b ) = log( 2a + 3b ) + log( 2a − 3b )c) log( ap + bp + aq + bq) = log( p ⋅ [ a + b] + q ⋅ [ a + b ])= log( [ a + b] ⋅ [ p + q]) = log( a + b ) + log( p + q)2 2b) ( ) [ ] [ ]1d) log⎜⎛ ⎞ = − log( x − y )x − y⎟⎝ ⎠ab ac ae) log⎛ − ⎞ ⎛ [ b − c ] ⎞⎜ = logab + ac⎟ ⎜= log( b − c ) − log( b + c )⎝ ⎠ a [ b c⎟⎝ + ] ⎠abcf) log ⎛ ⎜⎞ = log( a ) + log( b ) + log( c ) − log( d ) − log( e )de⎟⎝ ⎠17xyg) log ⎛ ⎜⎞ = log( 17 ) + log( x ) + log( y ) − log( 5 ) − log( z )5z⎟⎝ ⎠h) log( x2 y2 )i)+ = kann nicht zerlegt werden!⎛ 5[ a + b]⎞log⎜= log( 5 ) + log( a + b ) − log( 3 ) − log( c ) − log( x − y )3c [ x − y ]⎟⎝ ⎠2⎛ 1−a ⎞k) log⎜log( 1 a ) log( 1 a ) log( a b ) log( a b )2 2 ⎟ = + + − − + − −⎝ a − b ⎠Übung 3: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen!a) log( a ) + log( b ) = log( a ⋅ b )ab) log( a ) − log( b ) = log⎛ ⎞⎜ b⎟⎝ ⎠x ⋅ yc) log( x ) + log( y ) − [ log( u ) + log( v )]= log⎛ ⎞⎜ u ⋅ v⎟⎝ ⎠1d) − log( c ) = log⎛ ⎞⎜ c⎟⎝ ⎠1e) −log( a ) − log( b ) − log( c ) = log⎛ ⎞⎜ a ⋅ b ⋅ c⎟⎝ ⎠1f) − log⎛ ⎞⎜ = log( x )x⎟⎝ ⎠g)h)a b x y− log⎛ + ⎞log⎛ + ⎞⎜ =x + y⎟ ⎜a + b⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠a b c a xlog⎛ ⎞log⎛ ⎞log⎛ ⎞ ⋅log⎛ ⎞⎜b⎟ + ⎜ + −c⎟ ⎜d⎟ ⎜d ⋅ y⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ y ⎞ y= loglog⎛ ⎞⎜= ⎜b ⋅ c ⋅ d ⋅ a x⎟ x⎟⎝⋅ ⎠ ⎝ ⎠54 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheRechengesetze für LogarithmenLösungen Übungsaufgaben Rechengesetze Kap. 2.2.7Übung 1: Zerlege die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze.a) log( c6) = 6 ⋅ log( c )1d) log ⎛ ⎜⎞ ( ) ( )2 ⎟ = − 2 ⋅ log x⎝ x ⎠b) log( ( x − y )9) = 9 ⋅ log( x − y )log y = 1 ⋅ log y− 3 = − ⋅c) log( a ) ( 3 ) log( a )3 5g) log( a b ) = 3 ⋅ log( a ) + 5 ⋅ log( b )2 5e) ( ) ( )⎛ 1 ⎞f) log1⎜log( a )4 ⎟ = −4 ⋅⎝ a ⎠⎛ 5x c ⎞h) log⎜log( 5 ) 2log( x ) 5log( c ) log( 7 ) 3log( a )3 ⎟ = + + − −⎝ 7a ⎠2 1 21i) log( ab ) = ⋅ log( a ) + ⋅ log( b )5 ac 5 1 51j) log( ) = ⋅ log( a ) − ⋅ log( c )Übung 2: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen⎛ x ⎞a) a ⋅ log( x ) − b ⋅ log( y ) = log⎜ yb ⎟⎝ ⎠⎛ a b ⎞b) 3 ⋅ log( a ) + 2 ⋅ log( b ) − 4 ⋅ log( c ) = log⎜ 4 ⎟⎝ c ⎠a⎛ x y ⎞c) 2 ⋅ log( x ) + 3 ⋅ log( y ) − 5 ⋅ [ log( z ) + log( u ) + log( v )]= log⎜ z5 u5 v5 ⎟⎝ ⎠d) 1 ⋅ log( b ) = log( b )2e) m n mn⋅ log( c ) = log( c )1 2 134 24f) ( ) ( ) ( )3 2⎛4 3x ⋅ z ⎞⋅ log x − ⋅ log y + ⋅ log z = log⎜y ⎟⎝ ⎠⎛ 3 3 2g) 1[ ( ) ( )] 1b ⋅ c ⎞⋅ log b + 2 ⋅ log c − ⋅ [ 5 ⋅ log( d) + log( e )3 2] = log⎜5d ⋅ e⎟⎝ ⎠13log⎛a⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ + log⎜ a ⎟ − log c = log⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ c ⎠h) 2 ⎛ 2 ⎞( )i) 1 2⋅n −2⋅ log( a ) − ( n + 2 ) ⋅ log( a ) = log = log( a )2a 2⎛ a⎜⎝ ann+2m 2j) ( ) ( ) ( )3⎛2b ⋅ x ⎞log b +m⋅ log x − log c −n⋅ log( y ) = log ⎜cn y3⋅⎟⎝ ⎠⎞⎟⎠22 3Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 55

Definition des LogarithmusDialogMatheÜbung 3: Zerlege die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze.( ⋅ + 2 − 4) = ( ) + ⋅ ( + ) + ⋅ ( − )log 7 a b a c log 7 2 log a b 4 log a ca) [ ] [ ]b)⎛ 2a − ( b + c ) 2 ⎞log⎜2ab ⎟⎝⎠= log( a + b + c ) + log( a − b − c ) − log( 2 ) − log( a ) − log( b )c) log( a ⋅ b ⋅ 4 c ) = log( a ) + 2 ⋅ log( b ) + ⋅ log( c )2 3 342d) log( a ⋅ a ⋅3a ) = ⋅ log( a )4 3124e)5−2⎛ xy x y25 3log⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞⎜⋅ log log3( y ) log( x ) 2 log( z )2 ⎜z y⎟⎟= = ⋅ − ⋅ − ⋅⎜2 2x z⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⋅ 2 2⎝ ⎠f)1 1log⎛ ⎞log⎛ ⎞⎜ − = − log( x ) + log( y ) = log( y ) − log( x )x⎟ ⎜y⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠g)3 3 6⎛ 17 c ylog⎜33 b9 z3⎝⎞⎟⎠= 3 ⋅ log( 17 ) + 3log( c ) + 6 ⋅ log( y ) − 3log( 3 ) − 9log( b ) − 3 ⋅ log( z )1⎛ 3b x3⎞1 1h) log⎜ ⋅⎟ = 3 ⋅ log( b ) + ⋅ log( x ) − 2 ⋅ log( c ) − ⋅ log( y )⎜2c ⋅ y ⎟3 2⎝ ⎠Übung 4: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache.a) 2 + log( x ) − log( x 2 ) = log( 10 2 ) + log( x ) − log( x2 )2⎛ 10 ⋅logx ⎞= log⎛ 100 ⎞⎜ 2 ⎟ = ⎜xx⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠b) lb( x 2 − 1) − lb( x − 1) − 1 = lb( x 2 − 1) − lb( x − 1) − lb( 2 )2⎛ x − 1 ⎞ x + 1= lblb⎛ ⎞⎜=2 ⋅ ( x − 1⎜) ⎟2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ 5 ⋅ ( x + 1)⎞ln 5 + ln x + 1 − 5 = ln 5 + ln x + 1 − ln e = ln ⎜ 5 ⎟⎝ e ⎠5c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )91 1d) − log( 7 ) − log( 25 ) + log( 91) − log( 52 ) = log⎛ ⎞log⎛ ⎞⎜ =7 ⋅ 25 ⋅ 52⎟ ⎜100⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 3 100e) ( ) ( ) ( ) ……… ( ) ( )ln 3 + ln 3 + ln 3 + + ln 3 = 101⋅ 50 ⋅ ln 3 = 5547,9956 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheExponentialgleichungen3 GleichungenFür Exponential- und Logarithmengleichungen lässt sich kein allgemeinesLösungsverfahren angeben. Je nach Aufgabe formen wir um und hoffen durchLogarithmieren oder Potenzieren unter Verwendung der Logarithmusdefinitionund der Potenz- und Logarithmengesetze ans Ziel zu gelangen.In Beispielen wollen wir einige Ideen entwickeln.3.1 ExponentialgleichungenIn den folgenden drei Beispielen erhältst du drei mögliche Lösungsstrategien,die du auf andere Beispiele anwenden kannst. Vergleiche die Beispiele. Worinunterscheiden sie sich? Woran erkennst du an den Gleichungen, welche Strategiedich ans Ziel führt? Mache eine Gegenüberstellung. Oftmals gibt es Exponentialgleichungen,die sich nicht nur mit einer Strategie auflösen lassen.Dann musst du die Strategien kombinieren!3.1.1 Strategie ExponentenvergleichEine Exponentialgleichung kann bisweilen gelöst werden, indem sie auf dieFormT1 ( x ) T2( xa a)= gebracht wird, woraus dann folgt: T ( x ) = T ( x ) .1 2( T1( x ) und T2( x ) stehen für Terme in x)MerkeAnalyse der Form:T1 ( x ) T2( xa a)= . Auf beiden Seiten der Gleichung darf nureine Potenz stehen. Die beiden Potenzen müssen die gleiche Basis haben unddie Exponenten dürfen beliebige Terme in x sein.Beispiel x + 1 3 −4 8x ( 1 ) 4x⋅ = (alle Faktoren z.B. als Potenz zur Basis 2 schreiben)2⋅ ( x + 1) 3⋅( 3−x2 ⋅ 2 ) = 124x22x+ 2+ 9−3x − 4x2 = 2− x+11− 4x2 = 2 (Exponentenvergleich)− x + 11 = − 4x (es entsteht eine einfache lineareGleichung!)3x = − 11x = − 113Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 57

GleichungenDialogMathe3.1.2 Strategie LogarithmierenDamit wir logarithmieren können, muss auf beiden Seiten der Gleichung einProdukt stehen. Beachte eine Summe blockiert den Logarithmus!Strategie:Beide Seiten der Gleichung faktorisieren (in ein Produkt umwandeln).x 2 xBeispiel 2 ⋅ 3 = 5 ⋅ 7 −Rechts und links der Gleichung steht ein Produkt. Wir logarithmieren dieGleichung beidseitig. Dabei spielt die Basis des Logarithmus keine Rolle. Ambesten wir verwenden log oder ln, da diese von allen Rechnern berechnetwerden können.x2−x2 ⋅ 3 = 5 ⋅ 7 / log()( x ) log( 5 7 2−x )log 2 ⋅ 3 = ⋅ / Vereinfachen mit Hilfe derLogarithmengesetze!log( 2 ) + x ⋅ log( 3 ) = log( 5 ) + ( 2 − x ) ⋅ log( 7 ) / alle Terme mit x auf eine Seitex ⋅ log( 3 ) + x ⋅ log( 7 ) = log( 5 ) + 2 ⋅ log( 7 ) − log( 2 )5 ⋅ 49x ⋅ [ log( 3 ) + log( 7 )] = log⎛ ⎞⎜ / : [ log( 3 ) + log( 7 ) ] = log( 21)2⎟⎝ ⎠log( 122,5 )x = = 1,579log( 21)3x+ 1 3x−1Beispiel 5 − 5 = 48Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Differenz.Faktorisieren:3x + 1 3x − 1 3x − 1 2 3x − 15 − 5 = 5 ⋅ ⎡⎣ 5 − 1⎤⎦= 24 ⋅ 53x−124 ⋅ 5 = 48 / : 243x 15 − = 2 / log3x− 1( ) = ( )log 5 log 2( 3x − 1) ⋅ log( 5 ) = log( 2 ) / : log( 5 )log( 2 )3x − 1 = / + 1/ : 3log( 5 )1 ⎡log( 2)⎤x = ⋅ 1 0,47693 ⎢+ =⎣log( 5 ) ⎥⎦58 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheExponentialgleichungen3.1.3 Strategie SubstitutionSpezielle Gleichungen, die durch substituieren auf eine quadratische Gleichungführen.x xBeispiel 4 + 3 ⋅ 2 = 88x 2x 2 xSpeziell: 4 = ( 2 ) = ( 2 )Substitution:xu = 2Umschreiben:x x 24 + 3 ⋅ 2 = 88 → u + 3u = 88 (quadratische Gleichung)2→ u + 3u − 88 = 0 (Auflösungsformel oder faktorisieren)u1,22− 3 ± 3 + 4 ⋅ 88 − 3 ± 19= = ; u1= 8 ; u2= − 112 2Rücksubstitutionx 3u = 2 = 8 = 2 → x = 3xxu = 2 = − 11 (2 kann nicht negativ sein)3.1.4 Partnerinterview ExponentialgleichungenPartnerinterview LogarithmenExponentialgleichungenZeit: 15 MinutenDiskutiere die drei Exponentialgleichungen! Welche Lösungsstrategie verwendestdu? Warum? Worin unterscheiden sich die Gleichungen?a)2x− 3+ 2x+1= 17b)2x+ 6 = 4xc)23x−4 ⋅ 42x− 3= 8x+2Löse die Exponentialgleichungen ohne Rechner nach x auf.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 59

GleichungenDialogMathe3.2 Logarithmengleichungen3.2.1 Strategie Numerusvergleich (in einen log verpacken)Eine Logarithmengleichung kann bisweilen gelöst werden, indem wir dieGleichung mit Hilfe der Logarithmengesetze auf die Formlog [ T ( x )] = log [ T ( x )]bringen, woraus dann folgt: T ( x ) = T ( x ) .a 1 a 2( T1( x ) und T2( x ) stehen für Terme in x)1 2Beispiel log ( x + 3 ) + log ( x − 1)= 15 5Rechte und linke Seite der Gleichung in einen Logarithmus verpacken.Die Zahl 1 auf der rechten Seite als Logarithmus schreiben: 1 = log ( 5 ) .5([ ] [ ] ) ( )log x + 3 ⋅ x − 1 = log 5 / Numerusvergleich5 5Wir erhalten eine Gleichung ohne Logarithmen.[ x + 3 ] ⋅ [ x − 1]= 52x + 2x − 3 = 52x + 2x − 8 = 0 (Auflösungsformel oder faktorisieren)x1,22− 2 ± 2 + 32 − 2 ± 6= = ; x1= 2 ; x2= − 42 2Nach dem auflösen einer Lograrthmengleichung müssen die erhaltenenLösungen in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden.Merke: Nach dem Auflösen müssen wir immer die Probe machen!Probe: x12L = { 2 }= : log ( 5 ) + log ( 1)= 1 → 1 = 1 (wahre Aussage)x245 5= − : log ( − 1) + log ( − 5 ) = 1 (Linke Seite ist nicht definiert)5 5x2= −4ist keine LösungBeachte: Eine beliebige Zahl z kann immer in einen Logarithmus verpacktz37werden. z = loga( a ) Beispiel 3 = log( 10 ) oder 7 = log5( 5 )(Siehe Übung 4 Seite 38)60 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheLogarithmengleichungen3.2.2 Strategie SubstitutionSpezielle Gleichungen, die durch substituieren auf eine quadratische Gleichungführen.2Beispiel log ( x ) + 2 ⋅ log( x ) = 1522Beachte: log ( x ) = [ log( x )] = log( x ) ⋅ log( x )Substitution: u = log( x )2Umschreiben: log ( x ) + 2 ⋅ log( x ) = 152→ u + 2u = 15 (quadratische Gleichung)2→ u + 2u − 15 = 0 (Auflösungsformel oder faktorisieren)2Faktorisieren (Vieta): u + 2u − 15 = ( u + 5 ) ⋅ ( u − 3 ) = 0Auflösungsformel für quadratische Gleichung:u1,22− 2 ± 2 + 4 ⋅ 15 − 2 ± 8= = ; u1= 3 ; u2= − 52 2Rücksubstitution3u = log( x ) = 3 → x = 101 15u = log( x ) = −5 → x = 10 −2 2Probe:3 2 3 3 21 = : ( ) ( )x 10x 2log 10 + 2 ⋅ log 10 = 3 + 2 ⋅ 3 = 155= 10 − 2 −5 −52: ( ) ( ) ( ) ( )log 10 + 2 ⋅ log 10 = − 5 + 2 ⋅ − 5 = 25 − 10 = 15Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 61

GleichungenDialogMathe3.3 Übungen Gleichungen3.3.1 Aufgaben Exponential – und Logarithmengleichungen2Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen x der Gleichung: 6 ( )Auflösung – Strategie:log x + 71 = 2Aufgabe 2Bestimme die Lösungen x der Gleichung:Auflösung – Strategie:3x 5log⎛ − ⎞⎜ = 04 − 2x⎟⎝ ⎠62 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheÜbungen GleichungenAufgabe 3Bestimme die Lösungen x der Gleichung:2( ) ( ) ( )log x − 1 − log x + 1 = 3 ⋅ log x − 1 − 2Lösungsvarianten:1) Auf beiden Seiten in einen Logarithmus verpacken!2) Logarithmen zerlegen (einfacher!)Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 63

GleichungenDialogMatheAufgabe 4Bestimme die Lösungen x der Gleichung:( ) − ⋅ ( ) = − ( )2 2log x 2 log x 9 log xAufgabe 5Bestimme die Lösungen x der Gleichung:3 ⋅ 4x+ 5 = 6 ⋅ 4x− 1964 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheÜbungen GleichungenAufgabe 6Bestimme die Lösungen x der Gleichung:9x+ 0,5− 9x= 9x−0,5+ 135Aufgabe 7Bestimme die Lösungen x der Gleichung:16x+ 16 = 10 ⋅ 4xLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 65

GleichungenDialogMatheAufgabe 8Bestimme die Lösungen x der Gleichung:52x− 1+ 5x+2= 7502 3x 3x 1Aufgabe 9 Bestimme die Lösungen x der Gleichung: 8 −−= 3266 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheÜbungen GleichungenAufgabe 10Bestimme die Lösungen x der Gleichung:12 ⋅ log(x) − + 1 = 0log(x)Aufgabe 11Bestimme die Lösungen x der Gleichung:x + 22 ⋅ log⎛ ⎞⎜ ⎟ = log(7) − 1 + log( x + 2 )⎝ 10 ⎠Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 67

GleichungenDialogMatheAufgabe 12 log( 5x − 5 ) + log( 3x + 3 ) − log( x 2 − 1) = log( 3 x − 2 ) + log( 3x )Aufgabe 13 ( 2x + 1) ⋅ log( 3 ) = log 2x 3( 3 − + 80 )68 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheÜbungen Gleichungen3.3.2 Lösungsstrategien Übungsaufgabenx = log ( b ) : x = Logaritmus ; a = Basis ; b = Numerus2Aufgabe 1 6 ( )alog x + 71 = 2Lösungsstrategie: Numerusvergleich1. Schritt: Auf der rechten Seite die Zahl 2 in einen Logarithmus verpacken.62( )2 = log 62 2( + ) = ( )log x 71 log 66 62. Schritt: Logarithmus kann weggelassen werden.2x + 71 = 36 Gleichung quadrieren!2 2x + 71 = 1296 → x = 1225 → x = ± 351,22 2Probe: 1 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) 6 ( )x = 35 : log 35 + 71 = log 1296 = log 36 = log 6 = 22 2x2 = −35 : log6 ( ( − 35 ) + 71 ) = log6 ( 1296 ) = log6 ( 36 ) = log6( 6 ) = 2Lösung: x1,2= ± 35 oder L = { − 35; 35}3x 5Aufgabe 2 log⎛ − ⎞⎜ = 04 − 2x⎟⎝ ⎠Lösungsstrategie: Numerusvergleich1. Schritt: Auf der rechten Seite die Zahl 0 in einen Logarithmus verpacken.0 = log( 1)3x 5log⎛ − ⎞⎜ = log( 1)4 − 2x⎟⎝ ⎠2. Schritt: Logarithmus kann weggelassen werden.3x − 5= 14 − 2x3x − 5 = 4 − 2x → 5x = 9 → x =959 27 2⎛ 3 ⋅ − 5 ⎞ ⎛ − 5 ⎞ ⎛ ⎞Probe: log 5 = log 5 = log 5= log( 1)= 0⎜ 4 − 2 ⋅ ⎟ ⎜ 4 − ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Lösung: 959 18 25 55x = oder L = { 9}5Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 69

GleichungenDialogMathe2Aufgabe 3 ( ) ( ) ( )log x − 1 − log x + 1 = 3 ⋅ log x − 1 − 2Lösungsstrategie: Numerusvergleich1. Schritt: Beide Seiten der Gleichung in einen Logarithmus verpacken.( ) ( ) [ ][ x − 1]3( ) ( )2 2log x − 1 − log x + 1 = log x − 1 − log 102⎛ x − 1⎞⎛ ⎞log⎜ = logx 1⎟⎝ + ⎠⎜ 100 ⎟⎝ ⎠2. Schritt: Logarithmus kann weggelassen werden.[ − ] 3x 2 − 1=x 1x + 1 100( x + 1)⋅ ( x − 1)[ x − 1] 3= / ⋅ 100x + 1100( ) [ ] [ ]33 3100 ⋅ x − 1 = x − 1 / − x − 13( ) [ ] ( )100 ⋅ x − 1 − x − 1 = 0 / x − 1 ausklammernLösungsstrategie: Linke Seite der Gleichung faktorisieren und dann dieeinzelnen Linearfaktoren Null setzen.( ) ( ) 2 2 2x − 1 ⋅ ⎡100 x 1 ⎤⎣− −⎦= 0 / eckige Klammer (Binom A − B ) faktorisieren22( x − 1) ⋅ ⎡10 ( x 1) ⎤⎣− −⎦= ( x − 1) ⋅ [ 10 + ( x − 1)] ⋅ [ 10 − ( x − 1)]( x − 1) ⋅ [ x + 9] ⋅ [ 11− x ] = 0( x 1) [ x 9 ] [ 11 x ]= − ⋅ + ⋅ −Linearfaktoren Null setzen! x − 1 = 0 → x1= 1x + 9 = 0 → x2= − 9 ; 11 − x = 0 → x3= 11Probe: x = 1: log( 0 ) − log( 2 ) = 3 ⋅ log( 0 ) − 2 : log( 0 ) ist nicht definiert!1x1= 1 ist keine Lösung!x = − 9 : log( 80 ) − log( − 8 ) = 3 ⋅ log( −10 ) − 2 : log aus negativen Zahlen2sind nicht definiert! x2= − 9 ist keine Lösung!120x3= 11: log( 120 ) − log( 12 ) = 3 ⋅ log( 10 ) − 2 → log⎛ ⎞⎜ = 3 − 212⎟⎝ ⎠→ log( 10 ) = 1 ; x3= 11 ist eine LösungLösung: x = 11 oder L = { 11 }[ x − 1] 3Bemerkung zur Lösung der Gleichung: ( x − 1)=100Da x = 1 keine Lösung ist kann die Gleichung durch (x-1) dividiert werden!3[ x − 1]( x − 1 ) = / : ( x − 1)x ≠ 1 / ⋅1001002100 = ( x − 1 ) /x − 1 = ± 10 → x = 11 ; x = −91 270 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheÜbungen GleichungenLösungsvariante: Logarithmen zerlegen2( ) ( ) ( )log x − 1 − log x + 1 = 3 ⋅ log x − 1 − 2log( x − 1) + log( x + 1) − log( x + 1) = 3 ⋅ log( x − 1)− 22 = 2 ⋅ log( x − 1)log( x − 1)= 1 = log10x − 1 = 10 → x = 11Aufgabe 4 log 2 ( x ) − 2 ⋅ log( x ) = 9 − log( x2 )Lösungsstrategie: Substitution u = log( x )log x2( ) = 2 ⋅ log( x )2log ( x ) − 2 ⋅ log( x ) = 9 − 2 ⋅ log( x )2u − 2 ⋅ u = 9 − 2 ⋅ u / + 2u2u = 9 / Wurzel ziehenu = ± 3u = log( x ) = 3 → x = 101 1u = log( x ) = − 3 → x = 10 −2 233Eine Probe ist nicht nötig!Aufgabe 5 3 ⋅ 4x+ 5 = 6 ⋅ 4x− 19Lösungsstrategie: Exponentenvergleich. Umformen, so dass auf beiden Seiten der Gleichungeine Potenz mit der gleichen Basis entsteht. Exponenten gleich setzen!3 ⋅ 4 x + 5 = 6 ⋅ 4 x − 19 / −3 ⋅ 4 x / + 1924 = 3 ⋅ 4x/ : 38 = 4 x/ gemeinsame Basis 232 = 22x/ Exponentenvergleich3 = 2x / : 2x = 1,5Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 71

GleichungenDialogMatheAufgabe 6 9x+ 0,5− 9x= 9x−0,5+ 135Lösungsstrategie: Exponentenvergleich. Umformen, so dass auf beiden Seiten der Gleichungeine Potenz mit der gleichen Basis entsteht. Exponenten gleich setzen!9 x+ 0,5 − 9 x = 9 x−0,5 + 135 / −9x−0,59x+ 0,5− 9x− 9x−0,5 = 135 / 9x−0,5ausklammern1 0,5 0( )9 x−0,5⋅ 9 − 9 − 9 = 135x−0,59 ⋅ ( 9 − 3 − 1)= 1359 x−0,5⋅ 5 = 135 / : 5x−0,59 = 27 / gemeinsame Basis 32⋅( x−0,53)= 3 3 / Exponentenvergleich2 ⋅ ( x − 0,5 ) = 3 → 2x − 1 = 3 → 2x = 4 → x = 2Aufgabe 7 16x+ 16 = 10 ⋅ 4xLösungsstrategie: Substitutionxu = 4( ) ( )16 x = 4 = 4 = u2 x x 2 216x+ 16 = 10 ⋅ 4x42x− 10 ⋅ 4x+ 16 = 0u2− 10 ⋅ u + 16 = 0Quadratische Gleichung (Auflösungsformel oder faktorisieren)( u − 2 ) ⋅ ( u − 8 ) = 0u = 2 = 4 x (Exponentenvergleich) → 2 = 2 2x → 2x = 1 → x =1 1u 32 = 8 = 4 x (Exponentenvergleich) → 23 = 2 2x → 2x = 3 → x2= 212Aufgabe 8 5 2x− 1 + 5 x+2 = 750Umformen mit Potenzgesetzen: 5 2x− 1 = 5 2x ⋅ 5−1 = = 1 2x5⋅ 55 x+ 2 = 5 x ⋅ 52= 25 ⋅ 5 x1 ⋅ 5 2x + 25 ⋅ 5 x = 750572 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheÜbungen GleichungenLösungsstrategie: Substitution:xu = 51 ⋅ 52x+ 25 ⋅ 5x= 75051 2⋅ u + 25 ⋅ u = 750 / ⋅55u 2 + 125 ⋅ u = 3750 / −3750u2+ 125 ⋅ u − 3750 = 0Quadratische Gleichung (Auflösungsformel oder faktorisieren)( u + 150 ) ⋅ ( u − 25 ) = 0u = 25 = 5x→ 52= 5x→ x = 21u = − 150 = 5 x → keine Lösung22 3x 3x 1Aufgabe 9 8 −−= 32Lösungsstrategie: Exponentenvergleich. Umformen, so dass auf beiden Seiten der Gleichungeine Potenz mit der gleichen Basis entsteht. Exponenten gleich setzen!2−3x 3x−18 = 32 / gemeinsame Basis 23 2 3x 5 3x 12 ⋅ −−= 2 ⋅/ Exponentenvergleich3 ⋅ 2 − 3x = 5 ⋅ 3x − 1 / quadrieren9 ⋅ ( 2 − 3x ) = 25 ⋅ ( 3x − 1 ) / ausmultiplizieren18 − 27x = 75x − 2543 = 102x43x = = 0,4216102Probe:3 ⋅43 43 43 432 − 3 ⋅ = 5 ⋅ 3 ⋅ − 1 → 3 ⋅ 2 − = 5 ⋅ − 1102 102 34 34→ 3 ⋅68 − 43 43 − 34 25 9= 5 ⋅ → 3 ⋅ = 5 ⋅34 34 34 34→ 3 ⋅ 5 ⋅1 1 1 1= 5 ⋅ 3 ⋅ → 15 ⋅ = 15 ⋅34 34 34 34Lösung:43x = = 0,4216102Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 73

GleichungenDialogMatheAufgabe 1012 ⋅ log(x) − + 1 = 0log(x)Lösungsstrategie: Substitution: u = log(x)122u − + 1 = 0 → 2u − 1+ u = 0u2→ 2u + u − 1 = 0Quadratische Gleichung (Auflösungsformel oder faktorisieren)u1,2− 1± 1+ 8 − 1± 9 − 1±3= = =4 4 4u1− 1+3 2 1= = = ;4 4 21log(x) = u = → x1= 10212−1−3 −4u2= = = − 1 ; log(x) = u = −1 → x 1 12 = 10 − =4 410x + 2Aufgabe 11 2 ⋅ log⎛ ⎞⎜ ⎟ = log(7) − 1 + log( x + 2 )⎝ 10 ⎠Lösungsstrategie: Numerusvergleich1. Schritt: Beide Seiten der Gleichung in einen Logarithmus verpacken.2⎛ x 2log⎡ + ⎤ ⎞⎜ ⎢= log(7) − log(10) + log( x + 2 )⎣ 10 ⎥⎦⎟⎝ ⎠2⎛ ( x + 2 ) ⎞ ⎛ 7( x + 2 ) ⎞log= log⎜ 10 ⎟ ⎜10⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2. Schritt: Logarithmus kann weggelassen werden.( x + 2 ) 2 7( x + 2 )=10 102x + 4x + 4 = 7x + 142x − 3x − 10 = 0Quadratische Gleichung (Auflösungsformel oder faktorisieren)x1,23 ± 9 + 40 3 ± 49 3 ± 7= = =2 2 23 + 7 10x1= = = 52 23 − 7 −4x2= = = − 2 keine Lösung2 274 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheÜbungen GleichungenAufgabe 12 log( 5x − 5 ) + log( 3x + 3 ) − log( x 2 − 1) = log( 3 x − 2 ) + log( 3x )Lösungsstrategie: Numerusvergleich1. Schritt: Beide Seiten der Gleichung in einen Logarithmus verpacken.⎛ 5 ⋅ ( x − 1)⋅ 3 ⋅ ( x + 1)⎞log⎜ ⎟ 2x x= log ⎡3 − 2 ⋅ 3 ⎤⎜2⎣⎦( x − 1)⎟⎝⎠2x xlog( 15 ) = log ⎡⎣3 − 2 ⋅ 3 ⎤⎦2. Schritt: Logarithmus kann weggelassen werden.2x15 = 3 − 2 ⋅ 3Exponentialgleichung2x3 − 2 ⋅ 3 − 15 = 0Lösungsstrategie: Substitution2u 2 u 15 0xxu = 3x− ⋅ − = → ( u − 5 ) ⋅ ( u + 3 ) = 0Quadratische Gleichung (Auflösungsformel oder faktorisieren)x log( 5 )u = 5 = 3 → x = = 1,465log( 3 )xxu = − 3 = 3 → 3 > 0 keine LösungAufgabe 13 ( 2x + 1) ⋅ log( 3 ) = log 2x 3( 3 − + 80 )Lösungsstrategie: Numerusvergleich1. Schritt: Beide Seiten der Gleichung in einen Logarithmus verpacken.2x+ 1( ) = 2x−3( + )log 3 log 3 802. Schritt: Logarithmus kann weggelassen werden.32x+ 1 = 32x−3+ 80 ExponentialgleichungLösungsstrategie: linke Seite der Gleichung faktorisieren, Exponentenvergleich32x+ 1− 32x−3= 802x 3 43 − ⋅ ⎡⎣3 − 1⎤⎦= 80 / 80802x 3 03−= 1 = 3 → 2x − 3 = 0 → x = 1,5Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 75

GleichungenDialogMathe3.3.3 Lösungen mit RechnerAufgaben 1 bis 4Aufgaben 5 bis 9Aufgaben 10 bis 1376 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheÜbungen Gleichungen4 FunktionenDie Exponentialfunktionen z. B. f ( x ) = 2x sind wichtige Zuordnungen, die inder Natur, der Technik oder auch in unserem Alltag immer wieder inErscheinung treten. Etwa bei folgenden Fragestellungen:• Wie lange stand ein Bierglas an der Theke, bevor es serviert wurde?• Wann und warum bricht Milch, wenn wir sie ungekühlt stehen lassen?• Wie stark wächst die Erdbevölkerung und wie stark die Menge der zurVerfügung stehenden Nahrungsmittel?• Wie würde sich die Vogelgrippe ausbreiten, wenn sie auf den Menschenübertragen wird?• Wie kann ich durch eine Rente meine Altervorsorge sichern?• Wie lässt sich die Luftqualität im Schulzimmer, im Kino optimieren?Da diese Funktionen häufig die zeitliche Entwicklung eines Systemsbeschreiben (Wachstum oder Zerfall), wird die unabhängige Variable x durcht ersetzt: aus f ( x ) = 2x wird dann f ( t ) = 2t.Erinnere dich an das Sparkonto, dessen Kapital sich durch Zinsen undZinseszinsen vergrössert, wobei wir für die Zeitvariable n (Anzahl Jahre)gewählt haben K = K ⋅ ( 1+ p ) n (siehe Seite 3).n 0In diesem Kapitel versuchen wir die Exponentialfunktion und dessen Eigenschaftenzu verstehen. Die Entwicklung eines Systems kann in Zeitschritten∆ t berechnet werden. Wir können zwei Arten von Systemen unterscheiden:diskrete und kontinuierliche Systeme. Ein diskretes System haben wir schonkennen gelernt, nämlich das Sparkonto. Das Kapital wächst jeweils am Endeeiner Zeitperiode (1Jahr). Würde die Zeitperiode für die Verzinsung beimSparkonto verkleinert z.B. jede Sekunde, so bekämen wir ein kontinuierlichesSystem (Grenzwert: Zeitperiode wird beliebig klein, d.h. sie strebt gegenNull). Beim Übergang von einem diskreten zu einem kontinuierlichen System⎡entsteht der Grenzwert1( )k ⎤lim⎢1+ = e ≈ 2,71828183⎣ k ⎥… (Eulersche Zahl)⎦k→∞Die „natürliche“ Exponentialfunktion f ( x ) = ex spielt in der Natur und derLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 77

FunktionenDialogMatheTechnik eine wichtige Rolle, da es sich dort häufig um kontinuierlicheSysteme handelt. Als Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion erhalten wir1die Logarithmusfunktion: z.B. ( ) x−f x = e → f ( x ) = ln ( x)4.1 Die Exponentialfunktion4.1.1 Definition der ExponentialfunktionLassen wir für den Exponenten n in einer Potenznq mit positiver Basis qxbeliebige reelle Werte zu, so gelangen wir zur Exponentialfunktion f ( x ) = q .Definition ExponentialfunktionxFunktionen vom Typ f ( x ) = y = q mit positiver Basis q > 0 ,(q ≠ 1) heissenExponentialfunktionen. f :R →R+x ֏ y = qxMerke:xDer Wertebereich von f ( x ) = q ist R + , d.h. nur die positiven reellen Zahlensind möglich.4.1.2 Die allgemeine ExponentialfunktionGrundfunktion mit FunktionstransformationenBasis e (Eulersche Zahl) : Beliebige Basis ( q ∈ R + ):xf ( x ) = e xf ( x ) = q →→b⋅ x+cy = a ⋅ e + db⋅ x + cy = a ⋅ q + dDynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: a_b_c_d_exp_Funktion Zeit: 10 MinutenÜberlege dir die Effekteder vier Parameter a, b, cund d.Funktionstransformation78Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheDie Exponentialfunktion4.1.3 Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktionxf ( x ) = e → f ( x ) = ln( x ) → y = a ⋅ ln( b ⋅ x + c )+dWie erhältst du den Funktionsgraph y = ln( x ) ausxy = e ?xf ( x ) = q → f ( x ) = log ( x ) → y = a ⋅ log ( b ⋅ x + c )+dqqDynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: a_b_c_d_log_FunktionZeit: 10 MinutenFunktionstransformationenÜberlege dir die Effekte der vier Parameter a, b, c und d.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF79

FunktionenDialogMathe4.2 Modellbildung mit der Exponentialfunktion4.2.1 Ansatz für die ExponentialfunktionDie allgemeine Exponentialfunktion enthält vier Parameter a, b, c, d und denWachstumsfaktor q:y = a ⋅ qb⋅ x+c + dUm Wachstumsvorgänge in der Natur, der Technik oder der Wirtschaft zumodellieren genügt häufig ein vereinfachter Ansatz mit zwei Parametern.y = A ⋅ Bx(Ansatz mit zwei Parameter A und B) odery = A ⋅ e λ⋅x (Ansatz mit zwei Parameter A und λ )Beispiel Gegeben: Zwei Punkte P1 ( 2 | 40 ) ; P2( 5 | 320 )Gesucht: Exponentialfunktion, dessen Graph durch die beiden Punkte geht.Ansatz:y= A ⋅ BxSatz von Anan liefert das folgende Gleichungssystem:P ( 2 | 40 ) → 40 = A ⋅ B1P ( 5 | 320 ) → 320 = A ⋅ B2Wie lässt sich dieses Gleichungssystem am besten auflösen!2540 = A ⋅ B320 = A ⋅ B25Gleichung 2 durch Gleichung 1 dividieren ergibt:5320 A ⋅ B 33= 8 = = B → B = 8 = 240 2A ⋅ B40 40A = = = 10 Exponentialfunktion: y = 10 ⋅ 2 x2 2B 2Ansatz:y = A ⋅ e λ⋅xSatz von Anan liefert das folgende Gleichungssystem:40 = A ⋅ e320 = A ⋅ e2⋅λ5⋅λGleichung 2 durch Gleichung 1 dividieren ergibt:5⋅λ320 A ⋅ e 3⋅λln( 8 )= 8 = = e → λ = = ln( 2)40 2⋅λA ⋅ e340 40lnA = = = 10 Exponentialfunktion:( 2y = 10 ⋅ e )2⋅λ2e 2Beachte:( ) ⋅ ( ) xy = 10 ⋅ e = 10 ⋅ ⎡⎣e ⎤⎦ = 10 ⋅ 2ln 2 x ln 2 x⋅x80 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheModellbildung mit der Exponentialfunktion4.2.2 Partnerinterview Eigenschaften der ExponentialfunktionAuftrag 1Partnerinterview ExponentialfunktionEigenschaften der ExponentialfunktionZeit: 30 MinutenZeichne die Graphen der Exponentialfunktioneny = qxfür q = 2, 3 und 10:y = 2x,y = 3xundy = 10xWie verlagert sich der Funktionsgraph, wenn du q vergrösserst?Welche Eigenschaft ist allen Graphen gemeinsam?Welcher Graph ergibt sich für q = 1:y = 1x10y51-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 xLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 81

FunktionenDialogMatheAuftrag 2Zeichne die Graphen der beiden Exponentialfunktionen y 2xWelcher Zusammenhang besteht zwischen den beiden Graphen?Interpretiere die folgende Gleichung 1( ) x xy = = 2 −2= und 1( ) xy = .210y51-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x82 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheModellbildung mit der ExponentialfunktionAuftrag 3Wir multiplizieren die Exponentialfunktiony = qxmit einem Faktor a ∈ R :y= a ⋅ qxWelchen Effekt hat dies auf den Funktionsgraphen?Zeichne ein Beispiel:Spezialfall : a = − 1.y = 2xundy = 5 ⋅ 2x10y51-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 xLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 83

FunktionenDialogMatheAuftrag 4Wir betrachten Exponentialfunktionen vom Typy = qb ⋅ x , b ∈ R .Welchen Effekt hat b auf den Funktionsgraphen?Zeichne Beispiele:y = 3x,1y = 3 ⋅x2und y = 3 2 ⋅ x1⋅xInterpretiere die folgenden Gleichungen y 3 ( )2 3Spezialfall : b = − 1 (siehe Auftrag 2).x= = , y = 3 2⋅x = 9 x10y51-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x84 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheModellbildung mit der Exponentialfunktion4.2.3 Beispiel BakterienwachstumWachstum von Bakterien: Bakterien vermehren sich durch Teilung.Nach einer gewissen Zeit können sie sich teilen, d.h. die Bakterienzahlverdoppelt sich.Situation 1:Wir starten mit einem Bakterium, das sich jeweils nach einer Stunde teilt.Dieses Wachstum kann durch folgende Funktion beschrieben werden:f ( t ) = 2t(t in Stunden). Wie viele Bakterien gibt es nach t = 10h?Situation 2:Wir starten mit 10 Bakterien und einer Teilungszeit von 1h.Ermittle die Wachstumsfunktion!Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 85

FunktionenDialogMatheSituation 3:Wir starten mit 10 Bakterien und einer Teilungszeit von 20min.Ermittle die Wachstumsfunktion!Situation 4:Wir starten mit 10 Bakterien und einer Teilungszeit von 5h.Ermittle die Wachstumsfunktion!86 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheEinführendes Beispiel5 Leitidee Wachstum5.1 Einführendes Beispiel5.1.1 Lineares Wachstum einer SonnenblumeWir pflanzen eineh0= 50cm hohe Sonnenblume.Diese wächst proWocheum ∆ h = 10cm .AnzahlWochenHöhe am Anfangder Woche in cmHöhenzuwachsin cmHöhe am Endeder Woche in cm1 50 10 602 60 10 703 70 10 804 80 10 905 90 10 1006 100 10 1107 110 10 1208 120 10 1309 130 10 14010 140 10 15011 150 10 16012 160 10 170Rekursiv festgelegter Wachstumsprozess: h( n ) = h( n − 1)+ ∆ h(n = Anzahl Wochen [ n = 1, 2, 3, . . . . ] , h = Höhe der Sonnenblume in cm)h( 1) = h( 0 ) + 10 = 50 + 10 = 60h( 2 ) = h( 1)+ 10 = 60 + 10 = 70h( 3 ) = h( 2 ) + 10 = 70 + 10 = 80 usw.Bei der rekursiven Berechnungsart bekommen wir diskrete Werte für die Höheder Sonnenblume jeweils am Ende der Woche, d.h., wir können uns vorstellen,dass wir die Höhe jeweils am Ende einer Woche messen. Über die Höheder Sonnenblume während der Woche haben wir keine Information. ZurBerechnung von h( n ) muss h( n − 1)bekannt sein.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 87

Leitidee WachstumDialogMatheFunktional festgelegter Wachstumsprozess: Ansatz: h( t ) = a ⋅ t + bwobei∆ha = = konstant die Änderungsrate der Höhe („Steigung“)∆tund b = h0die Anfangshöhe ist. [a = 10cm pro Woche und b = 50cm]Höhe der Sonnenblume als Funktion der Zeit:h( t ) = 10 ⋅ t + 50 [ t in Wochen, h in cm]Mit dieser Funktionsgleichung können wir die Höhe der Sonnenblume zu einembeliebigen Zeitpunkt berechnen, z.B.h( 12 ) = 10 ⋅ 12 + 50 = 170 oder h( 5,5 ) = 10 ⋅ 5,5 + 50 = 1055.1.2 Exponentielles Wachstum einer SonnenblumeWir pflanzen eine h0= 50cm hohe Sonnenblume. Die Höhe der Sonnenblumenimmt jede Woche um 20% zu: ∆ h = 0,2 ⋅ hAnzahlWochenHöhe am Anfangder Woche in cmHöhenzuwachsin cmHöhe am Endeder Woche in cm1 50 10 602 60 12 723 72 14,4 86,44 86,4 17,28 103,685 103,68 20,736 124,4166 124,416 24,883 149,2997 149,299 29,860 179,1598 179,159 35,832 214,9919 214,991 42,998 257,98910 257,989 51,598 309,58711 309,587 61,917 371,50412 371,504 74,301 445,80588 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheEinführendes BeispielRekursiv festgelegter Wachstumsprozess:h( n ) = h( n − 1) + 0,2 ⋅ h( n − 1) = 1,2 ⋅ h( n − 1)(n = Anzahl Wochen [ n = 1, 2, 3, . . . . ] , h = Höhe der Sonnenblume in cm)h( 1) = 1,2 ⋅ h( 0 ) = 1,2 ⋅ 50 = 60h( 2 ) = 1,2 ⋅ h( 1)= 1,2 ⋅ 60 = 72h( 3 ) = 1,2 ⋅ h( 2 ) = 1,2 ⋅ 72 = 86,4 usw.Auch hier muss zur Berechnung von h( n ) h( n − 1)bekannt sein.Funktional festgelegter Wachstumsprozess:tAnsatz: h( t ) = b ⋅ a , wobei a der Wachstumsfaktor, der sich aus der Änderungsrate∆ h = 0,2 ⋅ h ergibt und b = h0die Anfangshöhe ist.∆tHöhe der Sonnenblume als Funktion der Zeit:th( t ) = 50 ⋅ 1,2 [ t in Wochen, h in cm]Mit dieser Funktionsgleichung können wir die Höhe der Sonnenblume zu ei-12nem beliebigen Zeitpunkt berechnen, z.B. h( 12 ) = 50 ⋅ 1,2 = 445,81c tAlternativ kann auch folgender Ansatz verwendet werden: h( t ) = b ⋅ e ⋅[ e = Euler‘sche Zahl] Bestimme die Zahlen b und c für das obige Beispiel!Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 89

Leitidee WachstumDialogMathe5.1.3 Graphische Darstellung der WachstumsprozesseBeschreibt das Modell des linearen Wachstums oder das Modell des exponen-tiellen Wachstums die Höhe der Sonnenblume richtig?Bei beiden Modellen wird die Höhe bei zunehmender Zeit immer grösser.Entspricht dies der Wirklichkeit?Dynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: SonnenblumeZeit: 10 MinutenG = Grenze (maximale Höhe, die die Sonnenblume erreichen kann)Beschränktes WachstumBeschreibe das Verhalten des beschränkten Wachstums!Interpretiere den Graph (Verlauf, Änderungsrate).Logistisches WachstumBeschreibe das Verhalten des logistischen Wachstums!Interpretiere den Graph (Verlauf, Änderungsrate).90Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheExponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall5.2 Exponentielles Wachstum und exponentieller ZerfallAlle Vorgänge, bei denen eine Grösse pro Zeiteinheit um einen konstantenFaktor zu- oder abnimmt (wo also das Wachstum bzw. die Abnahme proportionalzur vorhandenen Grösse ist), können durch eine Exponentialfunktionbeschrieben werden. Das bekannteste Beispiel ist wohl die Formel für die Be-rechnung eines Kapitals mit Zinseszinsen:pKt = K0⋅ ( 1+) t100(t : Anzahl Jahre, K 0 : Anfangskapital, K t: Kapital nach t Jahren)Wie man sieht, beträgt der Wachstumsfaktor hierq = 1 +p, bei einem Zins-100satz von 5% also 1,05.Dynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: ZinseszinsZeit: 10 MinutenGegeben: Anfangskapital K 0 , Zinssatz p, Endkapital K tnach t Jahren.Fragestellung:Wie gross ist t? Wie lange dauert es bis das Anfangskapital auf das Endkapitalangewachsen ist?Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF91

Leitidee WachstumDialogMathe5.2.1 Diskrete und kontinuierliche SystemeIst das Wachstum eines Systems proportional zum Bestand, so spielt das Zeitintervall∆tnach dem wir jeweils den neuen Bestand berechnen eine Rolle.Beispiel: p = 0,5Anfangswert: y 0Änderungsrate:∆ y p = ⋅ y∆tnn : Anzahl Rechenschritte∆ t: Zeitschritt pro Rechenschrittnn = 1 → ∆ ty = y + p ⋅ y = ( 1+ p ) ⋅ y1 0 0 0∆tn = 2 →2(p)( ) ( )p1 = 0 + ⋅2 0 = + ⋅2 0y y y 1 yp p p22 = 1 + ⋅2 1 = + ⋅2 1 = + ⋅2 0y y y 1 y 1 y∆tn = 3 →3p( )2( ) ( )( ) ( )p1 = 0 + ⋅3 0 = + ⋅3 0y y y 1 yp p p2 = 1 + ⋅3 1 = + ⋅3 1 = + ⋅3 0y y y 1 y 1 yp p p33 = 2 + ⋅3 2 = + ⋅3 2 = + ⋅3 0y y y 1 y 1 yAllgemeinnp p p→ ( ) ( ) n∆tny = y + ⋅ y = 1 + ⋅ y = 1+ ⋅ yn n−1 n n−1 n n−1 n 0Kontinuierliches System n → ∞ ( ∆t→ 0 )n→∞p( )nn =⎡+ ⋅n 0n→∞⎢lim y lim 1 y⎣p( )n⎡ ⎤0 n 0n→∞⎢ ⎥= y ⋅ lim 1+ = y ⋅ e⎣ ⎦n⎤⎥⎦p92 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheExponentielles Wachstum und exponentieller ZerfallBeispiel BakterienwachstumBakterien vermehren sich durch Teilung.Wir betrachten einen Bakterienstamm, der zum Zeitpunkt t = 0 aus einem Bakteriumbesteht ( y0= 1) und sich pro Stunde ( ∆ t = 1h ) verdoppelnkann. Wie gross ist p?Berechne die untenstehende Tabelle mit Hilfe des Rechners.n AnzahlRechenschrittep( ) n1( )y = 1+ ⋅ y = 1+n n 0nn12345100100‘000Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 93

Leitidee WachstumDialogMatheBeispiel KapitalwachstumJährliche Verzinsung eines Kapitals: K = K ⋅ ( 1+p ) nAnzahl Jahre: nZinssatz pro Jahr : pn 0Kapital in Funktion der Zeit: K ( t ) = K ⋅ ( 1 + p )Verzinsung nach einem Bruchteil eines Jahres:∆ t = Jahr (pro Monat: m = 12)1mZinssatz pro 1 m Jahr: pm( ) ( ) m ⋅ tp= ⋅ +K t K 10 m1 Jahr0t1 JahrSubstitution:pm= k ,p⋅k⋅t( ) =1( ) 1 Jahr10 ⋅ + = ⎡0 ⋅ ( + )K t K 1 K 1k⎣kk⎤⎦p⋅t1 JahrKontinuierliches System∆t → 0⇒m → ∞m = p ⋅ k ( p = konstant )⇒ k → ∞⎡⎣1( ) k⎤⎦lim 1 + = ?k→∞kk→∞1( ) klim ⎡ 1 + ⎤ = 2,71828182 …⎣ k ⎦e = 2,71828182 … (Euler 'sche Zahl)Die Euler‘sche Zahl istirrational (analog π ).p⋅tp⋅tk⎤ 1Jahr 1Jahr0 k0( ) ⎡ 1( )K t = K ⋅ 1+ = K ⋅ e⎣ ⎦94 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheExponentielles Wachstum und exponentieller ZerfallBeispielDu legst ein Kapital von 1000.- Franken auf ein Sparkonto, dass zu 2% verzinstwird. Wie viel Geld bekommst du von der Bank nach 10 Jahren?a) Berechne das Kapital nach 10 Jahren bei diskreter Verzinsung jeweils amJahresende.t10K ( t ) = K ⋅ ( 1 + p ) 1 Jahr = 1000 ⋅ ( 1+ 0,02 ) = 1' 219,000b) Berechne das Kapital nach 10 Jahren bei kontinuierlicher Verzinsung.p⋅t1 Jahr0,02⋅10K ( t ) = K ⋅ e = 1000 ⋅ e = 1'221,400Erstaunliches Resultat:Durch die kontinuierliche Verzinsung (z.B. jede Sekunde) erhalten wir nur 2,4Franken mehr!Analyse der Abweichung:tp⋅tt1 Jahr 1 Jahrp( ) = 0 ⋅ ( + ) 1 Jahr = 0 ⋅ = 0 ⋅ ( )K t K 1 p K e K ep1+ p = e ???0,02e = 1,0202MerkeIdentische Beschreibung von kontinuierlichen Systemen durch die Exponentialfunktionmit beliebiger Basis.t( ) ( ) λ⋅ tλ= ⋅ + = ⋅ = ⋅ ( ) tK t K 1 p K e K e0 0 0λ1+ p = q = e → λ = ln( 1+ p ) = ln( q )Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 95

Leitidee WachstumDialogMathe5.2.2 DarstellungsformenDie Exponentialfunktion kann dargestellt werden mit beliebiger Basis odermit der Basis e. In der zweiten Form ist sie einfacher zu logarithmieren, daln(e) = 1. Wir werden im Folgenden beide Formen nebeneinander verwenden.Eine Funktion, die exponentielles Wachstum beschreibt, ist immer nach demgleichen Schema aufgebaut:Exponentielles Wachstumf(t) = k ⋅ q tf(t): Wert nach der Zeit tk: Anfangswertq: Wachstumsfaktorbei Wachstum ist q > 1Exponentieller Zerfallbei Abnahme ist q < 1, z.B. q = 121 tf(t) = k ⋅t( 2 ) = k ⋅ 2 −Exponentielles Wachstumspeziell: e – Funktionf(t) = k ⋅ e λ⋅tλ (sprich: Lambda): WachstumskonstanteExponentieller Zerfallbei Abnahme schreibt manf(t) = k ⋅ e −λ⋅tλ : ZerfallskonstanteWenn wir die beiden Formen vergleichen, sehen wir, dassq= , d.h. λ = ln( q).e λt( )( )( )t ln( q)ln q tf t = k ⋅ q = k ⋅ e = k ⋅ e ⋅ = k ⋅ eλ⋅tMerkeBeide Ansätze enthalten zwei Unbekannte. Wir brauchen also zwei Punkteum die Funktionsgleichung oder den Graph der Funktion zu bestimmen.(Satz von Anan!)Siehe auch Kap. 4.2.1.96 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheExponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall5.2.3 Übersicht Exponentialfunktion und WachstumÜbersicht: ExponentialfunktionttAnsatz: y( t) = y ⋅ q oder y( t) = y ⋅e λ⋅00Rekursivy= q ⋅y −t t 1Änderungsrate∆ y= λ ⋅y∆tExponentielles WachstumAbnahmeZunahmeλ = >q > 1q < 1( )λ = ln q > 0( )λ = ln q

Leitidee WachstumDialogMathe5.3 Musterbeispiele5.3.1 Beispiel 1: InsektenpopulationEine Insektenart vermehrt sich in einem Biotop exponentiell. Auszählungenergaben folgendes Resultat:Nach 8 Wochen zählte man 1718 Insekten, nach 15 Wochen 2759 Insekten.a) Wie viel Insekten wurden zu Beginn ins Biotop gegeben?b) Wie viel Prozent nimmt die Insektenzahl pro Woche zu?c) Wie viel Insekten würde man nach 30 Wochen zählen?d) Nach wie vielen Wochen haben sich die Insekten verfünffacht?tAnsatz Anzahl Insekten als Funktion der Zeit N( t ) = b ⋅ aGegeben: N( 8 ) = 1718 und N( 15 ) = 2759 . Aus diesen beiden Zuordnungenkönnen wir a und b bestimmen:8b ⋅ a = 171815b ⋅ a = 2759Wir dividieren die Gleichung 2 durch die Gleichung 1:15b ⋅ a 2759=8b ⋅ a 17187 2759 7 2759a = → a = = 1,07 ;1718 17181718 1718b = = = 999,89 ≈ 10008 8a 1,07tDaraus ergibt sich die Insektenzahl in Funktion der Zeit: N( t ) = 1000 ⋅ 1,07Aus dieser Funktion lassen sich die oben gestellten Fragen beantworten.a) Wie viel Insekten wurden zu Beginn ins Biotop gegeben?N( 0 ) = 1000 ⋅ 1,07 0 = 1000 Insekten ( = b )b) Wie viel Prozent nimmt die Insektenzahl pro Woche zu?Wachstumsfaktorpp100 100a = 1,07 = 1+ → = 0,07 → p = 7%c) Wie viel Insekten würde man nach 30 Wochen zählen?30N( 30 ) = 1000 ⋅ 1,07 = 7612,26 ≈ 7612 Insektend) Nach wie vielen Wochen haben sich die Insekten verfünffacht?tb ⋅ a = 5b → a = 5t ⋅ log( 1,07 ) = log( 5 )tt→ 1,07 = 5 → log( 1,07 t ) = log( 5 )log( 5 )→ t = = 23,79 ≈ 24 Wochenlog( 1,07 )98 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheMusterbeispiele5.3.2 Beispiel 2: BaumbestandIn einem Land werden jährlich die Bäume gezählt. Der Bestand von Apfelbäumenund Birnbäumen für das Jahr 2000 und die mittlere jährliche prozentualeVeränderung sind in untenstehender Tabelle aufgeführt.Baumstatistik Bestand im Jahr2000 in Mio.Mittlere jährlicheprozentuale VeränderungApfelbäume 9,245 Zunahme 5%Birnbäume 14,874 Abnahme 3%Bestimme die Wachstumsfunktionen für den Bestand von Apfelbäumen A(t)und von Birnbäumen B(t).Apfelbäume:tA ( t ) = 9,245 ⋅ 1,05 (Wachstumsfaktor5a = 1+ = 1,05 )Birnbäume:tB( t ) = 14,874 ⋅ 0,97 (Wachstumsfaktor3a = 1 − = 0,97 )a) Wie viele Millionen Apfelbäume gibt es im Jahr 2012 in diesem Land?12A ( 12 ) = 9,245 ⋅ 1,05 = 16,603 Miob) Nach wie vielen Jahren hat sich der Bestand der Birnbäume halbiert?t0,97 0,5 / log= → log( 0,97 t ) = log( 0,5 )log( 0,5 )t ⋅ log( 0,97 ) = log( 0,5 ) → t = = 22,76 Jahrelog( 0,97 )c) Nach wie vielen Jahren gibt es in diesem Land gleich viele Apfelbäume wieBirnbäume?100100A ( t ) = B( t ) →t9,245 ⋅ 1,05 = 14,874 ⋅ 0,97t14,874tlog⎡ ⎤⎛ 1,05 ⎞ 14,874 ⎢ 9,245t⎣ ⎥⎦⎜6 Jahre0,97⎟ = → = =⎝ ⎠ 9,2451,05log⎡ ⎤⎢⎣0,97 ⎥⎦d) Im Jahr 1990 gab es in diesem Land 5,635 Mio. Kirschbäume. 10 Jahre späterzählte man 6,869 Mio. Kirschbäume. Berechne die mittlere jährliche prozentualeZunahme.tK ( t ) = 5,635 ⋅ q ; K ( 10 ) = 6,869105,635 ⋅ q = 6,86910 6,869 6,8695,635 5,635q = → q = 10 = 1,02 → p = 2%Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 99

Leitidee WachstumDialogMathe5.3.3 Beispiel 3: radioaktiver ZerfallBei radioaktiven Zerfallsprozessen gibt man meist die Halbwertszeit T 1 an -2die Zeit, nach der nur mehr die Hälfte der ursprünglichen Menge übrig ist.a) Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktionan! ( N 0 : Anfangsmenge, N(t): Menge nach t Tagen)Wie viel Jod ist nach 10 Tagen noch vorhanden?Ansatz: N(t) = N ⋅ q0Bestimmung des Wachstumsfaktors qNN(8) = = N ⋅ q20 80q = 8 12= 0,917N(t) = N ⋅ 0,9170tt100 0N(10) = N ⋅ 0,917 = 0,42 ⋅ NAnsatz: N(t) = N0⋅ e −λ⋅tBestimmung der Zerfallskonstante λN0N(8) = = N0⋅ e2ln(2)λ = = 0,086680−λ⋅80,0866 tN(t) = N ⋅ e − ⋅− 0,0866 ⋅100 0N(10) = N ⋅ e = 0,42 ⋅ N⇒ 42% der ursprünglichen Menge N 0⇒ 42% der ursprünglichen Menge N 0b) Wie viel Prozent der vorhandenen Menge zerfallen pro Tag?Nach 1 Tag ist die Restmengeq = 0,917 = 91,7%N(1) = N0·e -0,0866 = N0·0,917⇒ die Abnahme beträgt 8,3%⇒ es sind 8,3% zerfallen.c) Wann ist nur mehr 1% der ursprünglichen Menge vorhanden?t0,01 ⋅ N0 = N0⋅ 0,9170,0866t0,01 ⋅ N0 = N0⋅ e −t0,917 = 0,01− 0,0866te = 0,01ln(0,01)ln(0,01)t = ≈ 53,2t = ≈ 53,2ln(0,917)−0,0866⇒ nach 53,2 TagenAnmerkung:Aus der GleichungN020−λ⋅T12= N ⋅ e erhält man die Beziehung λ ⋅ T1= ln(2)2100 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheMusterbeispiele5.3.4 Dynamisches Arbeitsblatt radioaktiver ZerfallBeim radioaktiven Zerfall nimmt die Masse m einer radioaktiven Substanzexponentiell mit der Zeit ab. Wismut hat eine Zerfallsrate von 13% pro Tag.Im Zeitpunkt t = 0 sind m0a) Bestimme die Funktion m(t).b) Skizziere den Graph.= 10g radioaktives Wismut vorhandenc) Bestimme die Halbwertszeit von Wismut. (Halbwertszeit: Zeit, nachwelcher nur noch die Hälfte der ursprünglichen Masse vorhanden ist.)Lösung• Bestimme die Funktion m(t).tm( t ) = m ⋅ q = 10 ⋅ 0,870tAnfangsmasse: m0= 10 ; Wachstumsfaktor:• Skizziere den Graph.13q = 1− = 0,87100Beachte: Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert m 0 .• Halbwertszeit von Wismutm0( )T 1m T = = m T0 ⋅ 0,87 → = 0,87 / log2 21log⎛ ⎞1⎜T2⎟log⎛ ⎞log( 0,87 ) T⎝ ⎠⎜4,98 Tage2⎟ = → = =⎝ ⎠log( 0,87 )Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 101

Leitidee WachstumDialogMathe5.3.5 Lösungen mit dem RechnerBeispiel 1: InsektenpopulationBerechnungentAnsatz: n( t ) = b ⋅ aBerechnung der Parameter a und b durch ein Gleichungssystem.Definition der Funktion n(t)Funktionsaufruf: z.B. n(0) oder n(30)Graphische Darstellungen102 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheMusterbeispieleBeispiel 2: BaumbestandBerechnungenGraphische DarstellungenNach wie vielen Jahren gibt es in diesem Land gleich viele Apfelbäume a(x)wie Birnbäume b(x)?Schnittpunkt der beiden Graphen ( 6 |12,39 ) :Nach 6 Jahren hat es 12,39 Mio. Apfelbäume und 12,39 Mio. Birnenbäume.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 103

Leitidee WachstumDialogMathe5.3.6 Beispiel 4: Grenzen des WachstumsThomas R. Malthus, ein englischer Philosoph vermutete,dass die Nahrungsmittelerzeugung dem rasanten Bevölkerungswachstumim Zuge der industriellen Revolution nichtwürde folgen können, und prognostizierte permanenteHungersnöte. Zur Begründung seiner Thesen entwickelte ereinfache Modelle für das Wachstum von Populationen: dieBevölkerung wachse exponentiell, die zur Verfügung stehenden Nahrungsmitteljedoch nur linear. Im Jahre 1798 veröffentlichte er sein "Essay on thetPrinciples of Population". Mit seiner Wachstumsfunktion B( t ) = B ⋅ q versuchteMalthus, das Bevölkerungswachstum in den USA zu beschreiben.0a) Mit den Zahlen aus den Volkszählungen in den USA errechnete Malthusden Wachstumsfaktor q = 1,03 , wobei er die Zahlen von 1780 und 1790 benutzte.1790 wurden in den USA 3,9 Mio. Einwohner gezählt. Wie viele Einwohnerhatten die USA 1780?t 103,9B = B0 ⋅ q → 3,9 = B0 ⋅ 1,03 → B0 = = 2,902 ;101,03B( 1780 )= 2,9Miob) In wie vielen Jahren würde sich die Bevölkerung der USA verdoppeln,wenn das Modell von Malthus zutrifft?ttlog(2) log(2)B = 2B0 = B0⋅ q → q = 2 → t = = = 23,45 Jahrelog( q ) log( 1,03 )c) Wie viele Einwohner ergibt das Modell für die USA im Jahre 2000?210 210B( 2000 ) = B ( 1790 ) ⋅ 1,03 = 3,9 ⋅ 1,03 = 1935,9Miod) Malthus hat folgendes Modell für die Grenzen des Wachstums gerechnet:Betrachtet wird eine Bevölkerung, die zu Beginn eines bestimmten Jahres aus5 Millionen Personen besteht und jährlich um 3% wächst.Zum gleichen Zeitpunkt wären Nahrungsmittel für 10 Millionen Personenverfügbar, wobei die Produktion der Nahrungsmittel für jährlich 100’000 Personengesteigert werden könnte.104 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheMusterbeispieled1) Gib die Gleichungen für das Wachstum der Bevölkerung sowie derNahrungsmittelproduktion an.tBevölkerungswachstum: B ( t ) = 5 ⋅ 1,03Nahrungsmittelwachstum: N( t ) = 0,1⋅ t + 10d2) In welchem Jahr übersteigt dieAnzahl der Personen die zur VerstehendenNahrungsmittel?fügung B( t ) = N( t ) ; Rechner (graphischIntersection oder solve)t = 33 Jahree) Bestimme die Wachstumsfunktion für die Bevölkerung in den USA, wennaus Volkszählungen folgende Zahlen bekannt sind:Im Jahr 1800: 5,3 Mio. Einwohner; im Jahr 2000: 281,4 Mio. EinwohnerVergleiche dein erhaltener Wachstumsfaktor mit dem Modell von Malthus!Ansatz: B = B 0⋅qt200 281,4200→ 281,4 = 5,3 ⋅ q → q = =1,025,3Mittleres Bevölkerungswachstum von 1800 bis 2000: 2%. Modell von Malthusrechnete mit 3% (1780 bis 1790), zu grosse Wachstumsrate!Dynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: Grenzen des Wachstums Zeit: 10 MinutenLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF105

Leitidee WachstumDialogMathe5.4 Wachstumsmodelle5.4.1 Lineares WachstumAnfangswert : y ( 0 ) = y0Konstante Änderungsrate:Bestand: y ( t ) = m ⋅ t +y 0m > 0Bestand nimmt zu.m < 0Bestand nimmt ab.∆ y = m∆t→ ∆ y = m ⋅ ∆tDynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: lineares Wachstum BewegungZeit: 10 MinutenBewegung mit konstanter Geschwindigkeit.Geschwindigkeit = Änderungsrate ngsrate des Weges (Steigung) = konstantWeg – Zeit – Gesetz : s( t ) = v ⋅ t + s0(linear)∆sv = → ∆ s = v ⋅ ∆ t(in gleichen Zeitabschnitten gleiche Wegänderung)∆tBeachte: Die Anfangsposition s0beeinflusst die Änderungsrate v nicht.106Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheWachstumsmodelle5.4.2 Exponentielles WachstumAnfangswert : y ( 0 ) = y0Änderungsrate proportional zum Bestand:Bestand: y ( t ) = y ⋅ e ⋅k > 0: exponentielles Wachstumk < 0: exponentieller Zerfall0k t∆ y = k ⋅ y∆t→ ∆ y = k ⋅ y ⋅ ∆ tDynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: exponentielles Wachstum BewegungZeit: 10 MinutenBewegung mit einer Geschwindigkeit proportional zum Weg.Geschwindigkeit = Änderungsrate des Weges (Steigung) = k ⋅sWeg – Zeit – Gesetz : s( t ) = s0⋅ ek ⋅ t(exponentiell)∆sv = = k ⋅ s → ∆ s = k ⋅ s ⋅ ∆ t(Wegänderung ist vom Weg abhängig)∆tDie Steigungsdreiecke werden immer steiler!Beachte: Die Anfangsposition s0beeinflusst die Änderungsrate v.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF107

Leitidee WachstumDialogMathe5.4.3 Begrenztes WachstumAnfangswert : y ( 0 ) = y0Änderungsrate proportional zur Differenz Grenze - Bestand:∆ y = k ⋅ (G −y )∆tDer Bestand y besitzt eine Grenze, d.h. eine maximale Grösse, die sie nichtübersteigen kann. Die Differenz G − ybezeichnen wir mit Sättigungsmanko.Bestand: y ( t ) = G − ( G − y ) ⋅ e − ⋅k > 0: Bestand nimmt zu.k < 0 : Bestand nimmt ab.Dynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: beschränktes Wachstum BewegungZeit: 10 Minuten0k tBei dieser Bewegung ist der Weg beschränkt. Die Änderungsrate ist proporti-onal zur Differenz ( G − s ). Zu Beginn der Bewegung ist die Geschwindigkeit(Änderungsrate) am grössten und nimmt dann ab bis der Weg die Grenze Gerreicht hat ( s = G → v = 0 ).Die Steigungsdreiecke werden immer flacher.108Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheWachstumsmodelle5.4.4 Logistisches WachstumAnfangswert : y ( 0 ) = y0Änderungsrate proportional zum Bestand und zur Differenz∆ yGrenze - Bestand: = k ⋅ y ⋅ ( G − y )∆t(Änderungsrate quadratisch!!)Bestand: y ( t )=y0⋅ Gy + ( G − y ) ⋅ e − ⋅ ⋅0 0G k tk > 0: Bestand nimmt zu.k < 0: Bestand nimmt ab.Dynamisches Arbeitsblatt Leitidee WachstumGeoGebra Datei: logistisches Wachstum BewegungZeit: 10 MinutenExponentielles und beschränktes Wachstum kombiniert.Steigungsdreiecke am Anfang der Bewegung flach, in der Mitte am steilsten,gegen Ende wieder flach. Typische S – Kurve!Erkläre diesen Verlauf mit Hilfe der Änderungsrate.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF109

Leitidee WachstumDialogMathe5.5 Anwendungen Wachstum5.5.1 Physik: BewegungenWie werden in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm die folgenden Bewegungendargestellt? Wie sehen jeweils die Weg-Zeit-Diagramme aus?a) Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeitb) Eine gleichmässig beschleunigte Bewegungc) Eine gleichmässig verzögerte Bewegung110 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheAnwendungen Wachstum5.5.2 Wirtschaft: Sparen (lineares und exponentielles Wachstum)Lineares Wachstum: In eine Spardose, die anfangs leer war, wird monatlichein Betrag von 100 Franken eingeworfen. Stelle den Geldinhalt der Spardosein Abhängigkeit von der Zeit graphisch dar.Exponentielles Wachstum: Du hast zu deiner Geburt 1000 Franken geschenktbekommen. Deine Eltern haben das Geld auf einem Sparbuch mit 4 % Zinsen(pro Jahr) angelegt. Wie viel Geld hast du an deinem 18. Geburtstag auf demSparbuch?Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 111

Leitidee WachstumDialogMathe5.5.3 Biologie: Bakterienkultur (exponentielles Wachstum)Eine Bakterienkultur wächst pro Stunde um 15%. Stelle B(t) (die Anzahl derBakterien nach t Stunden) als Exponentialfunktion dar, wenn zur Zeit t = 0B0= 100 Bakterien vorhanden sind. Wann wird die kritische Zahl von1’000'000 Bakterien erreicht?112 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheAnwendungen Wachstum5.5.4 Chemie: Radioaktivität (exponentieller Zerfall)Bei radioaktiven Zerfallsprozessen gibt man meist die Halbwertszeit T 1 2an -die Zeit, nach der nur mehr die Hälfte der ursprünglichen Menge übrig ist.Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktionan! ( N 0 : Anfangsmenge, N(t): Menge nach t Tagen) Wie viel Jod ist nach10 Tagen noch vorhanden? Wie viel Prozent der vorhandenen Menge zerfallenpro Tag? Wann ist nur mehr 1% der ursprünglichen Menge vorhanden?Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 113

Leitidee WachstumDialogMathe5.5.5 Geographie: Zunahme der BevölkerungIm Jahr 1985 lebten auf der Erde ungefähr 4,9 Milliarden Menschen. DieWachstumsrate beträgt 1,8% jährlich. Die Grösse der gesamten Erdoberfläche(also einschliesslich Meere, Wüsten, Polarregionen und Gebirge) beträgt 150Milliarden m 2 . In welchem Jahr wird - gleiche Wachstumsrate vorausgesetzt -für jeden Menschen weniger als21m zur Verfügung stehen?114 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheAnwendungen Wachstum5.5.6 Umwelt: KohlendioxidkonzentrationDie Weltorganisation für Meteorologie schätzt, dass sich in unserer Atmosphäredie CO2-Konzentration jährlich um 0,4 % erhöht. Um wie viel ist dieCO2 -Konzentration nach 10 Jahren höher als heute, wenn sich die Zuwachsratenicht ändert? Seit einiger Zeit wird der Treibhauseffekt analysiert, alsdessen Hauptursache der Anstieg des CO2 -Gehaltes in der Luft gilt.Wissenschaftler prognostizieren, dass es zu einer Klimakatastrophe kommt,wenn sich der CO2 -Gehalt von 1960 verdoppelt haben wird.Die Messwerte in der Einheit parts per million (ppm) lauten dazu:Jahr 1960 1964 1968 1972 1976 1980CO – Anteil in ppm 316 319 322 327 331 3372Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 115

Modellbildung und SimulationDialogMathe6 Modellbildung und SimulationUnser tägliches Leben und die Entwicklung unserer Welt werden bestimmtdurch komplexe, miteinander verkoppelte dynamische Systeme: Menschen,Tiere, Pflanzen, Wälder, Technik, Wirtschaft, Finanzen, Betriebe, Städte,Staaten. Obwohl oft beständig in ihrer äusseren Gestalt, werden sie von meistunsichtbaren Prozessen laufend verändert und verändern dabei ihre Umwelt.Kenntnis über die mögliche Dynamik ist in vielen Bereichen lebenswichtig.Die dynamischen Prozesse müssen mit den Mitteln der Systemanalyseerschlossen werden: mit der mathematischen Modellbildung und derComputersimulation.6.1 ModellbildungsprozessModellbildungModelle sind Abbildungen von Ausschnitten aus unserer Wirklichkeit undeignen sich unser Denken und Handeln zu reflektieren.116 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheSimulation mit graphischen Modellbildungsprogrammen6.2 Simulation mit graphischen ModellbildungsprogrammenWesentlich bei der Modellierung und Simulation von Wachstumsprozessen istdie Unterscheidung von Bestandsgrössen und Änderungsraten.BestandsgrösseEine Bestandsgrösse ist eine Grösse, die zu Beginn der Simulation einenbestimmten Anfangswert besitzen muss und die im Laufe der Simulationdurch Einwirkungen (Zuflüsse/Abflüsse) ihren Wert additiv ändert.Ein Synonym für die Bestandsgrösse ist die Zustandsgrösse.ÄnderungsrateEine Änderungsrate kann mehrere Eingänge besitzen, aus denen der Wert derÄnderungsrate berechnet werden kann. Die Änderungsrate beinhaltet (mathematischgesehen) die Änderungsgeschwindigkeit der zugeordneten Zustandsgrösse.Eine Änderungsrate besitzt keinen vorzugebenden Anfangswert.Der Wert wird für jeden Rechenschritt der Simulation aus den einwirkendenSystemelementen neu berechnet.6.2.1 Grundschema der numerischen SimulationDas Grundschema der numerischen Simulation eines dynamischen Systemssieht folgendermassen aus:1. Es ist eine Simulationsschrittweite dt sowie Anfangs- und Endzeitpunktder Simulation festzulegen.Bei zeitlich "diskreten" Systemen ist die Schrittweite dtbereits vomSachkontext her vorgegeben. (Rechenverfahren: Euler- Cauchy)Bei "kontinuierlichen" Systemen ist eine "ausreichend kleine" Schrittweitezu wählen. (Rechenverfahren: Runge-Kutta)2. Für den Anfangszeitpunkt t 0 müssen die Bestandsgrössen bereits bestimmteStartwerte (Anfangswerte) besitzen. Für jede Bestandsgrössemuss in einem Simulationsmodell ein numerischer Startwert festgelegtwerden.3. Aus diesen Anfangswerten werden die im Zeitintervall [ t 0,t1 ](mit t 1 = t 0 + dt ) gültigen Flussgrössen, sowie allfällige Hilfsgrössenerrechnet.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 117

Modellbildung und SimulationDialogMathe4. Aus den für das Zeitintervall [ t 0,t 1 ] vorliegenden Flüssen, den Hilfsgrössenund den Beständen zum Zeitpunkt t 0 werden die neuenBestände zum Zeitpunkt ( t 1 ) ermittelt.5. Solange der Endzeitpunkt der Simulation noch nicht erreicht ist, wirdder Zeitpunkt ( t 1 ) als neuer "Anfangszeitpunkt" t 1 für den nächstenSimulationsschritt festgelegt und die Rechenschritte 3. und 4. wiederholt.6. Die Simulationsgleichungen sind im wesentlichen Beschreibungen(Berechnungsvorschriften), wie die neuen Bestandsgrössen, Flussgrössenund Hilfsgrössen aus den bereits gegebenen Grössen errechnet= + , [ t ,t ]werden. t 0 : Ausgangszeitpunkt, dt : Dauer des Zeitschritts, t 1 : Endzeitpunktdes Simulationsschritts: t 1 t 0 dt0 1zwischen den Zeitpunkten t 0 und t 1 mit Dauer dt .: ZeitintervallWir benützen folgende Notationsweise:Bei zeitpunktbezogenen Grössen wird der Zeitpunkt als Index inKlammer an die betreffende Grösse angefügt:Bestand ( t 0 ): Bestand zum "alten" Zeitpunkt t 0Bestand ( t 1 ): Bestand zum "neuen" Zeitpunkt t 1 usw.Bei zeitraumbezogenen Grössen wird das Zeitintervall als Index inKlammer an die betreffende Grösse angefügt:Fluss [ t 0,t 1 ] : Veränderung pro Zeiteinheit im Zeitintervall [ 0 1 ]t ,t .118 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheSimulation mit graphischen ModellbildungsprogrammenDie Rechenvorschrift zur Berechnung neuer Bestandsgrössen nennenwir "Zustandsgleichungen". Zustandsgleichungen sind durchwegsfolgend aufgebaut:( ) = ( ) + ⋅ ( lüsse [ ] − e[ t ,t ])Bestand t Bestand t dt Zuf t ,t Abflüss1 00 1 0 1bzw. wenn wir die Zuflüsse und Abflüsse im Intervall [ t 0,t 1 ] zur"Änderungsrate[ t 0,t1 ] " saldieren:( ) = ( ) + ⋅ rate[ t ]Bestand t Bestand t dt Änderungs t ,1 0 0 1Dabei sind mit "Zuflüsse", "Abflüsse" bzw. " Änderungsrate" die jeweiligenFlussgrössen, gemessen in der Einheit "Bestandsänderung proZeiteinheit", gemeint. Wir können uns vereinfacht die Berechnung desneuen Bestandes Bestand ( t 1 ) folgend vorstellen:Bestand_neu = Bestand_alt + VeränderungenIm Gegensatz zu den Bestandsgrössen gibt es bei den Gleichungen(Rechenvorschriften) für Flussgrössen und Hilfsgrössen keinerleistandardisierte Struktur. Fluss- und Hilfsgrössen können irgendwierechnerisch definiert sein.6.2.2 Beispiele für Bestandsgrössen und ÄnderungsratenZustandsgrössenÄnderungsratenBestandsgrösse Zuflüsse AbflüsseBenzin im AutotankTanken an der TankstelleBenzinverbrauch,VerdunstungWasser in einer Badewanne Wasserzufluss WasserabflussBevölkerung eines OrtesGeburten,ZuwanderungSterbefälle,AbwanderungKontostand Zubuchungen, Zins AbbuchungenStaatsvermögen Staatseinnahmen StaatsausgabenLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 119

Modellbildung und SimulationDialogMathe6.3 Das Modellbildungsprogramm DynaSimEin DynaSim - Modell wird in zwei Schritten erstellt.Zuerst wird ein qualitatives Modell erstellt. Es setzt sich aus den folgendenvier Arten von Objekten zusammen:WerkzeugBedeutungZustandsgrössen definieren einen Zustand des Systems, welcher sich im Laufeder Zeit durch Zuflüsse oder Abflüsse ändert.Ventile (= Zuflüsse und Abflüsse) werden auch als Änderungsraten bezeichnet,sie geben an, um wie viel sich die Zustandsgrösse pro gewählter Zeiteinheitverändert.Parameter, exogene Grössen, Zwischengrössen.Parameter sind Grössen, die über die Beobachtungszeit konstant bleiben. ExogeneGrössen sind Veränderliche, die ein System beeinflussen, auf die das Systemaber selber keinen Einfluss nehmen kann. Dazu gehören insbesondere auchdie Tabellenfunktionen.Zwischengrössen sind Grössen, die sich zwar im Laufe der Zeit verändern, diesich aber ständig aus den Zustandsgrössen berechnen lassen.Wirkungspfeile zeigen Wirkungen von Objekten aufeinander an. Dabei bedeutetein Pfeil von Objekt A auf B „A wirkt auf B“.Im zweiten Schritt wird das Modell durch Zuweisung von Werten und Formelnzu einem quantitativen Modell erweitert:• Startwerte für Zustandsgrössen• Formeln für Ventile und Zwischengrössen• Tabellenfunktionen bzw. Konstanten für exogene Grössen undParameterIm Hintergrund, also für den Benutzer unsichtbar, werden dadurch die für dieBerechnung der Simulationen notwendigen Modellgleichungen erzeugt.120 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheDas Modellbildungsprogramm DynaSim6.3.1 Verzinsung eines KapitalsWir legen ein Kapital von Fr. 1000.- zu einem Zinssatz von 4 % am Anfang desJahres 2000 bei einer Bank an. Wie entwickelt sich das Kapital in den kommenden20 Jahren, wenn wir den erhaltenen Zins jeweils stehen lassen?Es handelt sich hier um ein diskretes System (Euler-Cauchy Rechenverfahren).Der Zins wird nicht kontinuierlich auf das Konto fliessen, sondern jeweils amEnde einer Zeitperiode (z.B. ein Jahr) zum Kapital dazu addiert.FlussdiagrammDas Kapital ist die Bestandsgrösse mit dem Anfangswert Fr. 1000.-Der Zins ist die Änderungsrate des Kapitals:∆KZins = . ∆ tIn der 1. Zeitperiode beträgt der Zins Fr. 40.- : ∆ K = 40 ; ∆ t = 1(DynaSim verwendet für die Zeitdifferenz∆tdie Schreibweise dt.)Der Zins lässt sich also durch ein Verhältnis aus zwei Differenzen∆K K − K=∆t t − t1 01 0(Differenzenquotient) darstellen.K0= 1000 Kapital am Anfang des Jahres t 0 = 2000K1= 1040 Kapital am Anfang des Jahres t 1 = 2001Der Zinssatz ist eine exogenen Grössen (eine Grösse die von aussen auf dasSystem einwirkt aber vom System nicht beeinflusst wird).Das oben dargestellteFlussdiagramm erzeugt dienebenstehenden Gleichungen.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 121

Modellbildung und SimulationDialogMatheDie Simulation berechnet die Zahlenwerte für die ersten 20 Jahre in einerTabelle:Diese sind auch als Zeitdiagramm darstellbar (Exponentielles Wachstum).122 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheDas Modellbildungsprogramm DynaSim6.3.2 Beispiel KontostandEin Kapital von Fr. 100'000.- wird am Anfang des Jahres auf ein Konto einerBank (Zinssatz 3,5%) eingezahlt.Mit Hilfe einer Simulation sollen nun die folgenden drei Varianten berechnetund verglichen werden:Wie gross ist das Kapital K 15 nach 15 Jahren, wenn am Ende des Jahres jeweilsfolgende Beträge abgehoben werden.a) Fr. 2000.-b) Fr. 3'500.-c) Fr. 6000.-Vergleiche jeweils K 15 mit dem Anfangskapital und kommentiere kurz diedrei Varianten. Erkläre das unterschiedliche Verhalten!FlussdiagrammLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 123

Modellbildung und SimulationDialogMatheTabelle und Diagramm Ergebnis der Simulation124 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheDas Modellbildungsprogramm DynaSim6.3.3 Darstellungsformen von dynamischen SystemenDynamische Systeme werden durch Zustandsgrössen und deren Änderungsratenbeschrieben (1). Die Vernetzung von Ursache und Wirkung wird mitHilfe von Diagrammen analysiert (2). Graphische Modellbildungsprogrammebenutzen Flussdiagramme (3, Ventil = Änderungsrate, Rechteck = Zustand)um Differenzialgleichungen numerisch zu lösen (4). Als Resultate werdenWertetabellen (7) oder Zeitdiagramme (8) ausgegeben. Die analytische Lösungvon Differenzialgleichungen liefert eine Zeitfunktion (5), die mit Hilfe vonAnfangsbedingungen (6) die Entwicklung von dynamischen Systemen beschreibt.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 125

Modellbildung und SimulationDialogMathe6.4 Anwendung Systeme mit Zu- und Abflüsse6.4.1 Verabreichung von SchmerzmittelnProblemDamit ein Patient keine Schmerzen hat, sollte er eine gleich bleibende Mengeeines Medikaments im Blut haben. Ein Medikament kann auf verschiedeneArten verabreicht werden. Spritze, Pille, Infusion usw. Wir untersuchen dieTropfinfusion.Einem Patient wird durch eine Tropfinfusion ein Medikament verabreicht.Dabei gelangt je Minute eine gleich bleibende Menge von a = 5mg des Medikamentsins Blut. Das dort angereicherte Medikament wird über die Nierenwieder ausgeschieden. Die Ausscheidungsrate je Minute beträgtb = 5% der jeweils im Blut vorhandenen Menge des Medikaments.Bestandy(t): Im Körper vorhandene Menge des MedikamentsÄnderungsrate ∆ y: Änderung des Bestandes y(t) pro Zeiteinheit.∆t Zufluss: ∆ y= 5∆t(konstant)Abfluss: ∆ y= − 0,05 ⋅ y∆t(Proportional zum Bestand y)Totale Änderungsrate: ∆ y= 5 − 0,05 ⋅ y∆t126 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheAnwendung Systeme mit Zu- und AbflüsseAus der Änderungsrate können wir den Bestand y(t) berechnen.∆y∆y= 5 − 0,05 ⋅ y → = 0,05 ⋅ ( 100 − y )∆t∆t( ) = ⋅− ⋅( −0,05 t)y t 100 1 eDie Änderungsrate istmaximal, wenn y = 0 ist.Die Änderungsrate istNull, wenn y = 100 ist, d.h.y = 100 ist der maximaleBestand.Dieses Modell heisst beschränktes Wachstum. Mit ihm lassen sich folgendeFragen aus der Praxis beantworten:a) Wie viel mg des Medikaments befinden sich nach einer halben Stunde nachAnlegen des „Tropfes“ im Blut, wenn vorher nichts vorhanden war (y(0) = 0).( )−0,05 ⋅30( )y 30 = 100 ⋅ 1− e = 77,7mgb) Welche Menge des Medikaments ist langfristig im Blut vorhanden?ymax= 100mg (Zufluss = Abfluss)Damit ein Medikament wirkt, muss eine gewisse Konzentration vorhandensein (therapeutischer Konzentrationsbereich). Ist die Konzentration tiefer,wirkt das Medikament nicht, ist sie höher, so schadet sie dem Patienten!Die Grafik zeigt, wievon einer nicht wirksamenKonzentrationdurch Vergrösserndes Zuflusses einewirksame Konzentrationerreicht wird.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 127

Modellbildung und SimulationDialogMatheDas Modell sagt uns, dass es nach Änderung des Zuflusses noch 25 Minutendauert, bis die Wirkung eintritt. Dies ist eine wichtige Information. Patienten,die über Schmerzen klagen, müssen nach der Änderung des Zuflusses etwasGeduld haben, denn wenn wir den Zufluss weiter vergrössern, wird dieKonzentration zu hoch und dem Patienten wird schlecht.Wie verhält sich der Bestand y, wenn der Zufluss gestoppt wird.Bestand (t = 0): y ( 0 ) = 100Abfluss: ∆ y= − 0,05 ⋅ y∆t(Proportional zum Bestand y)y ( t ) = 100 ⋅ e −0,05 ⋅t(exponentielle Abnahme oder exponentieller „Zerfall“ )Setzen wir die beiden Funktionsgraphen zusammen, so ergibt sich folgendesBild:Dieses Verhalten zeigen in der Praxis sehr viele Systeme! Unter anderem dasfolgende Beispiel, wo die CO2- Konzentration in einem Schulzimmer gemessenwurde.128 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheAnwendung Systeme mit Zu- und Abflüsse6.4.2 Luftqualität im SchulzimmerWenn wir atmen produzieren wir Kohlendioxid ( CO 2), d.h. in einem Schul-zimmer sind die Schüler Quellen für CO 2(ca. 25 Liter pro Stunde). Siebestimmen den Zufluss. Der Abfluss wird durch den Luftaustausch erreicht.Die CO2- Konzentration wird in ppm gemessen (parts per million). Frischlufthat ca. 350 ppm CO 2. Für die Kohlendioxidkonzentration existieren Grenzwerte.In einem Schulzimmer dürfen 1500 ppm nicht überschritten werden.Für die Suva gilt der MAK-Wert (Maximale Arbeitsplatz Konzentration) von35000 ppm. Bei 20'000 ppm (2 Volumenprozent oder 36 g pro m ) spüren wirBeschwerden (Kopfweh, Übelkeit, Konzentrationsmangel, Müdigkeit).100'000 ppm sind lebensgefährlich! Die CO2- Konzentration bildet einenIndikator für die Raumluftqualität. Interpretiere die gemessene CO2- Konzentration(Physikzimmer der Fachhochschule für Technik in St. Gallen).4000CO 2 -Konzentration im Physikzimmer R42: 11.2.993500CO 2 - Konz. in ppm300025002000150010005000ModellLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF129

Modellbildung und SimulationDialogMathe6.4.3 Newton‘sches AbkühlungsgesetzLassen wir eine Tasse heissen Kaffee stehen, kühlt sich dieserbis auf die Umgebungstemperatur ab. Die Abkühlung erfolgtumso schneller, je grösser die Temperaturdifferenzzwischen der Kaffeetemperatur und der Umgebungstemperaturist. Ausserdem beeinflussen die Wärmeleitfähigkeitder Tasse und das Verhältnis von Volumen und Oberfläche den Abkühlprozess.Diese komplexen Prozesse können mit Hilfe eines Abkühlungsfaktorsk berücksichtigt werden. So erhalten wir ein einfaches Modell:Die Temperaturänderungsrate ist proportional zur Temperaturdifferenz∆ T = − k ⋅ ( T − TU)∆t(Kaffeetemperatur T, Umgebungstemperatur T U , AnfangstemperaturT 0 ). Durch welche Funktion T(t) wird die Temperaturabnahmebeschrieben? Mit unserem Rechner kann diese Problemstellung gelöstwerden. Wir müssen die Gleichung mit der Änderungsrate und die Anfangsbedingungeingeben.( U )e− k ⋅ tT(t) = T − T ⋅ + T0 U( x = Zeit t)Flussdiagramm desAbkühlvorgangsAbkühlkurve Interpretiere den Verlauf des Abkühlvorgangs.Benutze dazu die Änderungsrate.Beachte:Die Temperatur beschreitden Wärmezustanddes Kaffees.Dieser wird geändert,wenn Wärme Q abfliesst!130 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheAnwendung Systeme mit Zu- und Abflüsse6.4.4 Strukturgleichheit: Analogie Elektrizitätslehre/WärmelehreAufladen eines KondensatorsErwärmen einer BetonwandDie Flussdiagramme im Modellbildungsprogramm sind identisch(R = Widerstand, C = Kapazität)Aufladen des KondensatorsUrsache: Spannung U0(Spannungsquelle)Zustand Q: gespeicherte LadungÄnderungsrate_Q : ɺ Q (el. Strom)U0 = UR + U CSpannungsabfall WiderstandU = R ⋅ I = R ⋅ Q ɺRÄnderung der Spannung imKondensatorUC= 1 ⋅ QCU = R ⋅ Qɺ+ ⋅ Q01C[ ]Qɺ= 1 ⋅ U0⋅ C − QRCErwärmen der BetonwandUrsache: Temperaturdifferenz T0(Wärmequelle)Zustand Q: gespeicherte WärmeÄnderungsrate_Q : ɺ Q (Wärmestrom)T0 = TR + T CTemperaturabfall WärmeübergangTR= R ⋅ Q ɺÄnderung der Temperatur der BetonwandTC= 1 ⋅ QCT = R ⋅ Qɺ+ ⋅ Q01C[ ]Qɺ= 1 ⋅ T0⋅ C − QRCElektrische Daten : U0=R = 100 Ω , C = 100mF200VWärmetechnische Daten: T0= 80K ,−2 −1α = 20Wm K , A = 10m ,m = 4'000kg ,Maximales Q, das der Speicher aufnehmen kann.Q = U ⋅ Cmax 0Q = T ⋅ Cmax 02−1 −1c = 840Jkg K= 200V ⋅ 0,1F = 20C −1 −1= 80K ⋅ 4000kg ⋅ 840Jkg K = 268,8MJZeit T, welche nötig ist um die Speicher zu füllen.T = 5τ = 5RCT = 5 ⋅100 ⋅ 0,1 = 50s1T = 5τ = 5RC , R = , C = mcα ⋅ A4000 ⋅ 840T = 5 ⋅ = 84'000s20 ⋅10Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 131

Modellbildung und SimulationDialogMathe6.5 Anwendungen Bewegung6.5.1 Rückkopplung Weg mit Änderungsrate der GeschwindigkeitEine Kugel (Massem ) bewegt sichan einer Feder (FederkonstanteD ).Die Kugel wird aus der Ruhelage(Weg = 0) 0,4m nach rechts ausgelenktund dann aus der Ruhelage (v = 0) losgelassen.vWeg = 0,4a =F resmv = 0Fres= −D ⋅ WegFederschwingung: Freie ungedämpfte Schwingungz.B. Federpendel Bewegungsgleichung:F = m ⋅ a = − D ⋅ yresmit a = vɺ= ɺɺ y Änderungsrate der Geschwindigkeit⋅ ɺɺDm y + D ⋅ y = 0 → ɺɺ y = − ⋅mDie Änderungsrate der Geschwindigkeit vɺ= ɺɺ y istrückgekoppelt mit dem Weg y .Modellansatz: y ( t ) = A ⋅ sin( ω ⋅ t + ϕ )2⇒ ω0=y0 0Dm ; ω 0 = 2 π ⋅ f 0 KreisfrequenzM : Masse des Federpendels, D: Federkonstante132 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheAnwendungen BewegungMessung einer Federschwingung mit BewegungssensorInteraktive Kurvenanpassung (Schwingungsdiagramm)6.5.2 Rückkopplung Geschwindigkeit mit Änderungsrate der GeschwindigkeitDer Motor eines Bootes liefert eine konstante Antriebskraft F M . DerFahrtwiderstand R des Bootes mit der Masse m ist proportional zurGeschwindigkeit: R= b ⋅ v . Das Boot fährt aus der Ruhe [v(0) = 0] aufeinem langen, geraden und ruhigen See an.vWeg = 0a =F resmv = 0R= b ⋅ vF = F − RresMLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 133

Modellbildung und SimulationDialogMathe6.5.3 Strukturgleichheit: Analogien Mechanik/ElektrotechnikAnfahrendes BootStromkreis einschaltenmWir betrachten ein Motorboot mitder Masse m, wobei der Motor einekonstante Antriebskraft FM liefert.Der Fahrtwiderstand FR des Bootesist proportional zur Geschwindigkeit.2. Newtonsches Axiom, Differentialgleichungfür die Geschwindigkeit v.( FR= − β ⋅ v )Wir betrachten einen Stromkreis mitder Spannungsquelle U 0 , demWiderstand R und der Spule L.Zum Zeitpunkt t = 0 wird derSchalter S geschlossen.Kirchoff’sches MaschengesetzDifferentialgleichung für den Strom I− ⋅ ɺ = ⋅ → ɺ R U0U0L I R I I + ⋅ I =L Lβ F⋅ ɺ = − β ⋅ → ɺMm v FMv v + ⋅ v =m mForm der Differentialgleichungen ɺy = k ⋅ ( G − y ) . ( y entspricht v bzw. I )⎛ ⎞β ⎛ F βɺM m ⎞ ⎜ FM⎟v = ⋅ ⎜ ⋅ − v ⎟ = ⋅ ⎜ − vm ⎝ m β ⎠ m β ⎟⎜ ⎟k ⎝ ⎠G⎛ ⎞ɺ R= ⋅⎜ U0I − I⎟L⎜ R⎟⎝ ⎠kGMaximale Geschwindigkeit v max , diedas Boot erreicht?FɺMv = 0 → v max = βZeit t nach der v max erreicht wird:τ =1 m=k β5m; t = 5 τ = βMaximaler Strom I maxSchaltung fliesst?ɺ U0I = 0 → Imax=RSkizziere v (t) ! Skizziere I (t) !, der in derZeit t nach der I max erreicht wird:1 Lτ = =k R ; t = 5 τ = 5LR134 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheAnwendungen BewegungSchwingende Masse an einer FederLC SchwingkreisDie Masse m kann sich an einer horizontalenFeder (Federkonstante D)reibungsfrei bewegen. Sie wird ausihrer Ruhelage (y = 0) ausgelenkt(y = A) und dann losgelassen.Newtonsche BewegungsgleichungFres= m ⋅ aDifferentialgleichung für den Wegy(t)F = −D ⋅ y → m ⋅ ɺɺ y = − D ⋅ yresDie elektrische Schaltung besteht auseinem Kondensator mit der KapazitätC und einer Spule mit der InduktivitätL. Zum Zeitpunkt t = 0 wirdder Schalter S geschlossen, wobei derKondensator vollständig geladen ist[Q(0) = Q0]Kirchoff’sches MaschengesetzUL= U C → − ⋅ ɺ QL I =CDifferentialgleichung für die LadungQ(t) im Kondensator.Form der Differentialgleichungen: ɺɺ 2y + ω ⋅ y = 0m ⋅ ɺɺ y + D ⋅ y = 0Dɺɺ y + ⋅ y = 0m2 D⇒ ω =m⋅ ɺɺ 1L Q + ⋅ Q = 0Cɺɺ 1Q + ⋅ Q = 0LC2 1⇒ ω =LCy(t) und v(t). Frequenz f, mit der dieMasse schwingt.D 1 Dω = = 2πf → f = ⋅m 2πmGeschwindigkeit : v(t) = y ɺ (Steigung)Q(t) und I(t). Frequenz f, mit der dieLadung schwingt.1 1 1ω = = 2πf → f = ⋅LC2πLCStrom: I(t) = Q ɺ (Steigung)yvLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 135

Modellbildung und SimulationDialogMathe6.5.4 Chaotische SystemeBeispiel: Logistisches Wachstum∆ yÄnderungsrate: = ⋅ ⋅ ( − ) = − ⋅2k y G y k y + G ⋅ k ⋅ y∆t(Parabel)Bestand: S-Kurve (chaotisches Verhalten, bedingt durch Numerik!)136 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheBeispiel Lotka-Volterra-Systeme7 Leitidee SystemdenkenDas Systemdenken vernetzt strukturelles und funktionales Denken. In einemSystem existieren Strukturen die durch Zusammenhänge miteinander wechselwirken.Dadurch entstehen funktionale Zusammenhänge. SystemischesDenken und Handeln heisst in einem System optimale Strukturen zu schaffen,die optimal miteinander wechselwirken. Dazu müssen die Strukturen unddessen funktionale Zusammenhänge in einem System analysiert werden.SystemdynamikSystemdynamik ist eine Methode, komplexe Systeme in der Technik, Natur-Sozial- und Wirtschaftswissenschaften zu analysieren, zu verstehen und zusteuern. Feedback und Verzögerungen führen dazu, dass einfache Ursachen-Wirkungsbeziehungen nicht mehr zielführend sind. Systemdynamik gehtdavon aus, dass alle Prozesse in der beobachtbaren Welt die Folge vonErzeugung, Speicherung und des Fliessens realer oder gedachter Grössensind. Systemdynamik analysiert und beschreibt die zeitliche Entwicklung vonso unterschiedlichen Grössen wie Geld, Ozon, Motivation, Adrenalin undDrehimpuls. Im Zentrum der Systemdynamik steht die Modellbildung:• Disziplinspezifisches Wissen wird in quantitative Modelle überführt.• Simulationswerkzeuge unterstützen die praktische Umsetzung underlauben, Prozesse virtuell ablaufen zu lassen.7.1 Beispiel Lotka-Volterra-SystemeIn den seit 1845 über mehr als neun Jahrzehnte geführten Aufzeichnungender Hudson-Bay-Company (Kanada) über den Eingang von Fellen vonLuchsen und Schneehasen finden sich starke und regelmässigeSchwankungen mit einer Periode von etwa 9,6 Jahren. Auf ähnlicheperiodische Schwankungen von Fischbeständen in der Adria hingewiesen,formulierte Vito Volterra 1931 ein mathematisches Modell, das die Dynamikvon Räuber-Beute-Systemen beschreibt. Unabhängig von ihm entwickelteAlfred Lotka den gleichen Ansatz. Ihre Arbeit ist unter dem Begriff „Lotka-Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 137

Leitidee SystemdenkenDialogMatheVolterra-Systeme“ bekannt geworden.Betrachten wir die Populationen von Räuber und Beute jeweils getrennt, sogilt für jede das lineare Wachstums- bzw. Zerfallsmodell. Die Veränderungder Population ist dann proportional zu ihrer jeweiligen Grösse und derspezifischen Netto-Wachstumsrate. Unbegrenzte Weidekapazitätvorausgesetzt, vermehrt sich der Beutebestand ohne Räuber exponentiell mitder Wachstumsrate a, während der Räuberbestand ohne Beute durchVerhungern ebenfalls exponentiell mit der Schwundrate d abnimmt. DieDifferentialgleichungen für die Veränderungsraten der Beutepopulation Bund der Räuberpopulation R lauten:∆ B = a ⋅ B∆t;∆ R = − d ⋅ R∆tDie besonderen dynamischen Eigenschaften eines Räuber-Beute-Systemsberuhen nun darauf, dass die beiden Populationen nichtlinear miteinanderverkoppelt sind. Die Verluste der Beutepopulation durch Gefressenwerdenund die entsprechenden Gewinne der Räuberpopulation durch das Fressenwerden nämlich von der Häufigkeit der Begegnungen zwischen Räuber undBeute abhängen, und damit von dem Produkt beider Populationen B ⋅ R :Die Chance, dass Räuber und Beute aufeinander treffen, nimmt mit derGrösse beider Bestände zu. Bei einem Teil dieser Begegnungen wird Beutevon Räubern gefressen. Entsprechen verringert sich der Beutebestand(Faktor b), während der Bestand der Räuber durch den Energiegewinnzunimmt (Faktor c).Die Differentialgleichungen des Lotka-Volterra-Systems lauten daher:∆ B = a ⋅ B − b ⋅ B ⋅ R∆t∆ R = c ⋅ B ⋅ R − d ⋅ R∆ tDieses einfache Grundmodell lässt sich durch Hinzufügen weiterer Gliederausbauen, mit denen die Wirkung von begrenzter Weidekapazität, vonKonkurrenz unter den Räubern, von Beuteüberangebot, vonZeitverzögerungen und Zufallseffekten berücksichtigt werden können.138 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheBeispiel Lotka-Volterra-SystemeDie nichtlineare Kopplung zwischen Populationen führt zu Erscheinungen,wie sie an linearen Systemen nicht beobachtet werden können.Seine Erkenntnisse über das Verhalten eines Räuber-Beute-Systems inder einfachen Formulierung hat Volterra in drei Gesetzen zusammengefasst.Gesetz des periodischen ZyklusDie Fluktuationen zweier Arten, deren eine sich auch Kosten der anderenernährt, sind periodisch, und die Periode hängt nur von den Koeffizienten desWachstums und der Abnahme (a und d) und den Anfangsbedingungen( B 0, R0) ab.Gesetz der Erhaltung der MittelwerteDie Mittelwerte der Individuenzahlen der beiden Arten sind konstant,unabhängig von den Anfangszahlen der Individuen der Arten, wenn nurdie Koeffizienten des Wachstums und der Abnahme sowie die Bedingungender Verluste der Beute und die Gewinne der Räuber (also die vier Grössen a,d, b, c) konstant bleiben.Gesetz der Störung der MittelwerteWerden Individuen der beiden Arten gleichmässig und proportional zu ihrenGesamtzahlen vertilgt, so erhält man eine Vermehrung des Mittelwerts derverzehrten Art, dagegen eine Verminderung des Mittelwerts der fressendenArt. Umgekehrt lässt vermehrter Schutz der verzehrenden Art beide Artenzunehmen.Weiterentwicklung des Modells• Räuber Beute System mit begrenzter Weidekapazität• Räuber mit zwei Beuten• Beute mit zwei RäubernMay ModellB0 = 2000, R0= 50, a = 0.6, b = 1000, c = 50, d = 100, e = 0.1, f = 0.02∆B B c ⋅ B ⋅ R= a ⋅ B ⋅⎛1− ⎞−∆ t⎜b⎟⎝ ⎠ B + d∆RR= e ⋅ R ⋅⎛1−⎞∆t⎜f ⋅ B⎟⎝ ⎠Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 139

Leitidee SystemdenkenDialogMathe7.1.1 Beispiel: Räuber Beute Modell140 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheBeispiel Lotka-Volterra-Systeme7.1.2 Mechanische SystemeMit der Gleichung F = m ⋅ a können wir Bewegungen berechnen. Sind alleresKräfte, die einwirken bekannt und kennen wir ferner die Masse des Körpersund seine Geschwindigkeit und Lage zu einem bestimmten Zeitpunkt, sokönnen wir die Bewegung für jeden zukünftigen Zeitpunkt berechnen.Das physikalische Verhalten kann also vorhergesagt werden.Laplace’scher DämonDer französische Mathematiker Pierre Simon de Laplace (1749 –1827) schrieb:„Ein Geist, der alle Kräfte der Natur kennen würde und für einen Augenblickdie Lage und die Geschwindigkeit aller Teilchen, aus denen die Natur besteht,erfassen könnte und der genügend gross wäre, alle diese Daten einerRechnung zugrunde zu legen, könnte die Bewegung der grössten Körper desWeltalls und der kleinsten Atome vorhersagen. Für ihn würde nichtsunbestimmt sein und die Zukunft und die Vergangenheit würden offen vorihm liegen“. Dieser Geist wird heute Laplacescher Dämon genannt. Dergegenwärtige Zustand des Weltalls wäre demnach nur ein Ergebnis einesfrüheren Zustandes und die Ursache eines künftigen Zustandes. Die Weltgleicht einem ablaufenden Uhrwerk, dessen Gang durch Kraftgesetze unddurch die Grundgesetze der Mechanik festgelegt wird. Diese Überlegungensind allerdings durch die Erkenntnisse der Quantentheorie und der Theorieüber chaotische Systeme modifiziert worden. Dynamische Systeme z.B.Zirkulationssysteme der Atmosphäre reagieren auf kleinste Störungen mituntervöllig unvorhersehbar, weil sich diese Störungen durch Rückkopplungsmechanismenzu beherrschenden Faktoren aufschaukeln. Das ist ein charakteristischesMerkmal chaotischen Verhaltens: Wenn die Anfangsbedingungennicht in Form von exakten Werten angegeben werden können, lässt sich derZustand des Systems für einen späteren Zeitpunkt nicht vorhersagen – auchnur geringfügig verschiedene Werte können völlig andere Ergebnisse bewirken.Mathematisch führen die Rückkopplungen auf eine neue Sprache, mitder sich die möglichen Entwicklungsmuster eines Systems für verschiedeneParameter beschreiben lassen: die Sprache der fraktalen Geometrie. Mit Hilfevon Simulationsprogrammen können dynamische Systeme analysiert werden.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 141

Leitidee SystemdenkenDialogMathe7.2 System und Modell„Unsere Welt ist ein vernetztes System.“ (F. Vester)Die komplexen Strukturen in allen Bereichen der Gesellschaft, Wissenschaftund Technik sowie die schnelle Zunahme und der rasche Wandel des Wissenserfordern in zunehmendem Masse übergreifendes Denken in Zusammenhängen,d.h. dass die klassische Trennung von Ursache und Wirkung als globalesOrdnungsprinzip der logischen Erfassung und Strukturierung unserer Weltaufgegeben wird. Auf der Ebene systemischer Betrachtungsweise sind Rückwirkungenvon den Wirkungen auf die Ursachen typisch und lassen dahernur mehr eine lokale Unterscheidung zwischen Ursache und Wirkung zu. Daverschiedenste Bereiche von ähnlichen dynamischen Strukturen bzw. Entwicklungsmusterngeprägt sind, werden auch die Grenzen von Fächern undWissenschaftsdisziplinen aufgelockert. In der Schule muss auf die entsprechendenSachsituationen eingegangen werden. Die mathematischen Darstellungsmittelsind nur die Werkzeuge, um das System zu untersuchen.7.2.1 Die Kunst, vernetzt zu denken von Frederic VesterIdeen und Werkzeuge für einen neuen Umgang mit Komplexität. StrukturelleArbeitslosigkeit, alarmierende Umweltveränderungen, wiederkehrende Anzeicheneines Börsencrashs, Finanz-und Wirtschaftskrise, die Verstrickung inkriegerische Auseinandersetzungen: angesichts einer immer komplexerenWelt wird die Unzulänglichkeit herkömmlicher Denkweisen immerdeutlicher. Für sich perfekt geplant, können dieFolgen jedes Eingriffs in vielschichtige Gefüge fataleKonsequenzen haben: Rückkopplungen, Zeitverzögerungen,Spätfolgen. Über zwanzigjährige Erfahrungmit solchen Fragen ist hier zusammengefasst zueinem Praxisbuch für Politiker, Manager und alleanderen, die in solchen Zusammenhängen denkenmüssen und wollen. Für die Taschenbuchausgabedurchgehend aktualisiert und erweitert um einKapitel zur Gentechnologie.142 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheSystem und Modell7.2.2 Entwicklung systemischen Denkens von Günther Ossimitz„Im meinem Buch sind die Ergebnisse langjährigerForschungsarbeit zum Erlernen systemischen Denkensin einer auch für Laien verständlichen Formzusammengefasst. Die Grundbotschaft lautet: SystemischesDenken kann auch in der Schule gelerntwerden - wenn man entsprechende systemischeDarstellungsmittel einsetzt! Es würde mich freuen,wenn dieses Buch dazu anregen würde, im eigenenLeben oder in der schulischen Ausbildung derEntwicklung systemischen Denkens breiteren Raum zu geben.“In den beiden ersten Kapiteln gibt der Autor eine leicht verständliche Einführungüber verschiedene "Wege zum systemischen Denken und Handeln". Erbespricht die biokybernetische Systemauffassung von Frederic Vester genausowie die kognitionspsychologische Forschung zum "Komplexen Problemlösen"(Dietrich Dörner) oder das Verständnis von systemischem Denken in PeterSenge's Bestseller "Die fünfte Disziplin". Der Ansatz "Vernetztes Denken imManagement" der St. Gallener Wirtschaftsprofessoren Gomez und Probst wirdgenauso behandelt wie Ansätze zu systemischem Denken im Rahmen vonsystemdynamischer Modellierung.7.2.3 Das Metanoia-Prinzip: Einführung in systemisches Denken und HandelnDie Systemwissenschaftler Ossimitz und Lappbieten mit ihrem Buch „Das Metanoia-Prinzip“eine auch für interessierte Laien verständliche,aber dennoch wissenschaftlich orientierte Einführungin systemgerechtes Denken und Handeln.Das Wissen, die Prinzipien und die Beispiele, diein diesem Buch präsentiert werden, liegen oftquer zu unseren üblichen Denkmustern. Die Autoren betonen, dass Systeme,Systemdenken und systemgerechtes Handeln einfach anders – bisweilen sogartotal anders sind als unser herkömmliches Denken. Das „Metanoia-Prinzip“Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 143

Leitidee SystemdenkenDialogMathesteht genau dafür, dass der Umgang mit Systemen eine fundamental neue Artdes Denkens und Handelns braucht. Die ersten vier Kapitel des Buches beschäftigensich mit vier grundlegenden Dimensionen im Umgang mit Systemen:Vernetztes Denken, zeitliche Dynamiken verstehen · Denken in Modellen· Systemgerechtes Handeln.7.2.4 Heuristische StrategienDie Heuristik befasst sich mit Strategien und Methoden zur Klärung der folgendenFragen.FragestellungWie kann ich etwas wissen und in Erfahrung bringen?Wie finde ich am geschicktesten die Lösung zu meinem Problem?Wie lässt sich das System planvoll analysieren und ordnen?ArbeitsmethodenDazu werden verschiedene Arbeitsmethoden verwendet.InduktionVariationInterpretationProbiere systematisch, versuche zu verallgemeinernVariiere das Gegebene, variiere den AllgemeinheitsgradÜbersetze in einen anderen Kontext, verfertige ein Modell,suche AnalogienReduktionUnterscheide Fälle, argumentiere durch WiderspruchExperimenteMit Hilfe von Experimenten können wir die Natur befragen.Welche Schlüsse ziehe ich aus den beobachteten Zusammenhängen?Welche könnte die geschickteste Strategie sein, das beobachtete Phänomenbestmöglich zu verstehen?MathematikDie Mathematik liefert Darstellungsmittel zur Beschreibung und Analyse vonkomplexen Systemen.144 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheSystem Typologie in den Sozialwissenschaften7.3 System Typologie in den Sozialwissenschaften7.3.1 Peter Senge: Die fünfte DisziplinDie Zukunft der Arbeit wird anders aussehen.Die Lösung heisst: die lernende Organisation.Was lernende Organisationen von herkömmlichenOrganisationen unterscheidet, ist die Beherrschungvon fünf Disziplinen: Personal Mastery, Denkmodelle,Gemeinsame Visionen, Teamlernen und Systemdenken.Peter Senges Bestseller verbindet wissenschaftliche Erkenntnisse, spirituelleWeisheit, Psychologie, neueste Führungstheorien und die praktischen Erfahrungenvon Spitzenunternehmen, die seine Methoden anwenden.7.3.2 Systemische Zusammenhänge im Unternehmen für ein allseitiges win-winEin bahnbrechendes Buch, intelligent, kraftvoll und visionär. Peter Senge vomMIT schafft Überblick im grossen Sammelsurium systemischer Denkansätze.Er entwickelt eine eigene "Grammatik" zur grafischen Darstellung systemischerZusammenhänge. Wie unser Handeln unsere Wirklichkeit erzeugt ...und wie wir sie verändern können.Wir lernen von frühester Kindheit an, Probleme in ihre Einzelteile zu zerlegenund die Welt zu fragmentieren. Wir verlieren dabei die innere Verbindung zueinem umfassenderen Ganzen.„Die Fähigkeit, schneller zu lernen als die Konkurrenz, ist vielleicht der einzigwirklich dauerhafte Wettbewerbsvorteil.“ Das Lernpotential auf allen Ebeneneiner Organisation muss erschlossen werden – das führt zur lernenden Organisation.Wir alle lernen leidenschaftlich gern. Echte Teamarbeit ist ein Beispielfür eine lernende Organisation. Senge analysiert Situationen aus demUnternehmensalltag. Diese werden unter systemischen Gesichtspunkten dargestelltund es werden Handlungsmöglichkeiten beschrieben, um scheinbarenSachzwängen und Begrenzungen zu entkommen.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 145

Leitidee SystemdenkenDialogMathe7.3.3 Die Disziplinen der lernenden OrganisationPersonal Mastery – die Disziplin der Selbstführung und PersönlichkeitsentwicklungDie Fähigkeit, seine wahren Ziele konsequent zu verwirklichen – an das Lebenheranzugehen, wie ein Künstler an ein Kunstwerk. Wichtig auch die Verbindungzwischen individuellem Lernen und dem Lernen von Organisationen.Mentale ModelleTief verwurzelte Annahmen, Verallgemeinerungen, wie wir die Welt wahrnehmenund handeln. Institutionelles Lernen wird nur möglich, wenn mentaleModelle an die Oberfläche geholt, einer kritischen Betrachtung unterzogenund geändert werden können.Eine gemeinsame Vision entwickelnEine echte Vision – ein Gefühl von gemeinsamer Bestimmung – lässt Menschenüber sich hinauswachsen. Was oft fehlt, ist das Wissen, wie man eineindividuelle Vision in eine kollektive umsetzt – um Zukunftsbilder freizulegen,die echtes Engagement fördern.Team-LernenTeams sind die elementare Lerneinheit in heutigen Organisationen. Team-Lernen beginnt mit dem „Dialog“, der Fähigkeit der Teammitglieder, eigeneAnnahmen „aufzuheben“ und sich auf „gemeinsames Denken“ einzulassen.Dies ist nicht möglich, wenn Abwehrstrukturen unerkannt bleiben – sie machendas Lernen unmöglich.SystemdenkenEin konzeptuelles Rahmenwerk, Set von Informationen und Instrumenten, umübergreifende Muster klarer zu erkennen und besser verändern zu können.146 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheSystem Typologie in den SozialwissenschaftenProbleme sind oft Systeme, die zu Interventionen verleiten, mit denen auffälligeSymptome und nicht die eigentlichen Ursachen bekämpft werden – wasdas Problem auf lange Sicht oft noch verschlimmert.Systemdenken ist die integrative Disziplin, die alle anderen miteinander verknüpft.Aber auch sie braucht die anderen Disziplinen, um ihr Potential zuentfalten – systemisches Denken allein reicht nicht aus.Der subtilste Aspekt der lernenden Organisation wird durch Systemdenkendeutlich: Die Menschen entdecken, dass sie ihre Realität selbst erschaffen –und sie daher auch verändern können.Diese Disziplinen ähneln mehr künstlerischen Disziplinen als traditionellenManagementdisziplinen. Sie sind nicht durch Nachahmung auszuüben – siehandeln davon, wie wir denken, was wir wirklich erreichen wollen und wiewir mit anderen interagieren und mit ihnen gemeinsam lernen.7.3.4 Die SystemarchetypenFür Netzwerkarbeit scheint vor allem Senges Beschreibung der Systemarchetypenvon Bedeutung: Eine Beschreibung von mindestens problematischen,häufig hinderlichen oder sogar selbstzerstörerischen Mechanismen, die in Unternehmenwirken und oft alle Beteiligten hilflos lassen. Sie sind nicht grundsätzlichneu, einiges ist der klassischen Regelungstechnik entnommen. Bestechendist die Klarheit und Einfachheit, mit der sie beschrieben sind, und denunmittelbaren Bezug zum Unternehmensalltag.Die folgenden zehn Systemarchetypen sind die am besten dokumentiertenStrukturen. Bevor eine bestimmte schwierige Situation mithilfe dieser Analysetechnikbearbeitet werden kann, muss das entsprechend wirksame Musteridentifiziert werden. Möglicherweise bestehen noch weitere subtile Verknüpfungenin der zu analysierenden Situation. Dies ist systemtheoretisch immermöglich.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 147

Leitidee SystemdenkenDialogMatheSystemarchetyp ist ein vom US-Amerikaner Peter M. Senge kreierter Begriffzur systemischen Beschreibung und Darstellung von Strukturen häufig beobachtbarerVerhaltensmuster von Menschen. Als derart veranschaulichteMuster sollen sie die jeweils zugrunde liegende Dynamik allgemein verständlichund über den Lerneffekt mögliche Folgen bestimmter Handlungenvorhersagbar machen. Insbesondere soll die Eigendynamik der Verhaltensmusternachvollziehbar werden, um unerwünschte, bzw. unbeabsichtigteAuswirkungen des eigenen Handelns vermeiden zu können.7.3.5 Zeitliche Dynamiken in sozialen SystemenDas „streitende Ehepaar“ (nach P. Watzlawick)Sie: „Ich nörgle, weil du dauernd in die Kneipe gehst!“Er: „Ich gehe in die Kneipe, weil du dauernd nörgelst!“Systemischer Prozess: Eskalierende Rückkoppelung!148 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheSystem Typologie in den SozialwissenschaftenAnalyse des Systems: Beide Partner sehen das Verhalten des Anderen als das„Problem“ und ihr eigenes Verhalten als „die Lösung“.Systemdynamisch ergibt sich ein eskalierender Kreislauf.Konflikttheoretisch: Aporie (Systemische Konflikte nach G. Schwarz: „Konfliktmanagement“,zwei einander entgegengesetzte Positionen)• beide sind wahr bzw. berechtigt• beide sind voneinander abhängigLösung durch (scheinbar) paradoxes Verhalten:ER: geht nicht mehr in die Kneipe, obwohl sie meckert.SIE: meckert nicht mehr, obwohl er noch in die Kneipe geht.Aporien sind logisch unmöglich - und trotzdem real. Aporien kann man nichtlösen, man muss sie „leben“!Beispiele: Streik, Konflikt zwischen Arbeitgeber und Arbeitnehmer, Freiheitund Ordnung, Wettrüsten.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 149

Leitidee SystemdenkenDialogMathe7.3.6 Systemarchetyp: Abrutschende Ziele (Erodierende/Abdriftende Ziele)(original: Eroding Goals)StrukturHier sind zwei balancierende Kreisläufe über einen Soll-Ist-Vergleich miteinandergekoppelt; der eine ist handlungsgeregelt, der andere erwartungsgeregelt.Verglichen werden also Handlungsergebnisse und Zielsetzungen.DynamikEin angestrebtes Ziel (= Erwartung) führt zunächst zu entsprechenden Handlungen.Gleichzeitig besteht ein latenter Druck, das Ziel zu erreichen. Führendie Handlungen nicht in angemessener Zeit zum Erfolg, erhöht sich derDruck. Nun können äussere oder innere Umstände dazu führen, das Ziel entwederzu senken oder um zu definieren, was in der Praxis aufs Gleiche hinausläuft;das Ziel rutscht ab. Solange die Möglichkeit besteht, werden lieberZielmarken gesenkt als Anstrengungen gesteigert, das Ziel doch noch zu erreichen.Beispiele1) Um ein giftiges, aber mit hohem Kapitalaufwand hergestelltes Produktrentabel auf den Markt zu bringen, werden die Grenzwerte gesenkt, abdenen es als unbedenklich gilt (Alternative: auf Giftstoffe verzichten).2) Um schuldenabhängige Kriterien zu erfüllen, definiert ein Staat seineSchulden um, indem er den bedenklichen Teil davon aus der Berechnungauslagert.LösungEs kann gute Gründe für das Absenken von Zielen geben, etwa wenn sie ausErfahrungsmangel unrealistisch waren. Wird ein Ziel aber bewusst gesenktoder umdefiniert, obwohl es erreichbar wäre, müssen die Strukturen kritisiertwerden, die den Druck in diese Richtung erzeugt haben.150 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheKomplexe Systeme7.4 Komplexe SystemeIm Zeitalter der Globalisierung werden die Lebensbedingungen der Menschenimmer komplexer und unübersichtlicher. Täglich erleben wir die labilenGleichgewichte in Politik, Wirtschaft und Gesellschaft. Einige Länder fürchtenden Verlust gewohnter Besitzstände und den Absturz ins Chaos. Anderesehen die Chancen kreativer Innovation und den Aufbruch zu neuen Märkten.Chaos, Ordnung und Selbstorganisation entstehen nach den Gesetzenkomplexer dynamischer Systeme – in der Natur und der Gesellschaft.Komplexe dynamische Systeme werden bereits erfolgreich in Technik- undNaturwissenschaft untersucht – von atomaren und molekularen Systemen inPhysik und Chemie über zelluläre Organismen und ökologische Systeme derBiologie bis zu neuronalen Netzen der Gehirnforschung und denComputernetzen im Internet. Mittlerweile werden auch Anwendungen inWirtschafts- und Sozialwissenschaften diskutiert. Was können wir ausChaos, der Entstehung von Ordnung und Selbstorganisation in der Naturlernen? Welche Konsequenzen lassen sich für das Komplexitätsmanagementin Unternehmen, Firmen, und Verwaltungen ziehen? Welche Perspektivenergeben sich für Länder, Kulturen und Religionen in Asien und Europa? Inder Diversität moderner Welt bietet die Komplexitätsforschung Integrationoder- mit den Worten von Leibniz- „Einheit in der Vielheit“.7.4.1 Komplexität und Selbstorganisation in der NaturNichtlineare Dynamik führt jedoch nicht nur zu Chaos, sondern ermöglichtauch Selbstorganisation von Ordnung in komplexen Systemen. Dabei kommtes zu charakteristischen Rückkopplungen von Systemelementen, bei denenWirkungen von Ursachen selber wieder zu Ursachen werden, um ihreUrsachen zu beeinflussen. So entstehen makroskopische Strukturen, die nichtdurch die Systemelemente vorgegeben sind, aber durch ihre Wechselwirkungbei geeigneten Anfangs- und Nebenbedingungen (d.h. Einstellung vonKontrollparametern) möglich werden. Man spricht dann auch von EmergenzLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 151

Leitidee SystemdenkenDialogMathevon Ordnung. Der menschliche Organismus ist ein komplexes zelluläresSystem, in dem beständig labile Gleichgewichte durch Stoffwechselreaktionenaufrecht erhalten werden müssen. Das Netzwerk der Stoffwechselreaktioneneiner einzigen Leberzelle zeigt, wie ausbalanciert die lokalen Gleichgewichtesein müssen, um die globalen Lebensfunktionen zu garantieren. Die dabeiauftretenden Rückkopplungsschleifen von Zirkelkausalitäten entsprechengenau den gekoppelten nichtlinearen Gleichungen komplexer dynamischerSysteme. Gesundheit als medizinischer Ordnungsparameter des Organismusbeschreibt eine Balance zwischen Ordnung und Chaos. Starre Regulationwürde verhindern, auf Störungen flexibel zu reagieren. So funktioniert unserHerz nicht wie eine ideale Pendeluhr. Seine nichtlineare Dynamik ist ein gutuntersuchtes Anwendungsgebiet komplexer Systeme in der Medizin.Dazu wird das Herz als ein komplexes zelluläres Organ aufgefasst.Elektrische Wechselwirkungen der Zellen lösen Aktionspotentiale aus, die zuoszillierenden Kontraktionen (Herzschlag) als makroskopischen Mustern(,Ordnungsparametern’) führen. Ein Elektrodiagramm ist eine Zeitreihe mitcharakteristischen Mustern für die Herzschläge. Um diese Dynamik zustudieren, müssen geeignete Kontrollparameter verändert werden. Dabeikann die Herzdynamik einen periodenverdoppelnden Kaskadenverlauf beginnen,der schliesslich im Chaos als Zustand des Herzkammerflimmernsmündet. In der Sprache der Mathematik wäre Herzkammerflimmern wiederein Beispiel für die Emergenz eines Makrozustands nichtlinearer Dynamik. Esgibt also unerwünschte und unkontrollierbare Emergenz. Sie lässt sich nurvermeiden, indem wir die kritischen Kontrollparameter, unter denen sie eintritt,kennen und vermeiden.Eine der aufregendsten fachübergreifenden Anwendungen komplexerSysteme ist das menschliche Gehirn. Dazu wird das Gehirn als ein komplexesSystem von Nervenzellen (Neuronen) aufgefasst, die über Synapsen elektrischoder neurochemisch wechselwirken und sich zu Aktivitätsmustern verschaltenkönnen. Die Dynamik von Gehirnzuständen lässt sich dann durch152 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF

DialogMatheKomplexe SystemeGleichungen von (makroskopischen) Ordnungsparametern modellieren, diesolchen neuronalen Verschaltungsmustern entsprechen.Der Mensch ist als komplexer Organismus mit vielen rückgekoppelten lokalenGleichgewichten aufzufassen und nicht als auseinander- undzusammensetzbare Maschine nach dem Vorbild linearer Kausalität. In derMedizin wurde daher bereits der Begriff der dynamischen Krankheiteneingeführt. Bei Patienten mit dynamischer Systemerkrankung ist der Körpernicht mehr in der Lage, physiologische Gleichgewichte selbstständigauszubalancieren und weitvernetzte Koordinationen zu übernehmen. Auf derMakroebene sind neben dem Herzschlag die lebenserhaltenden Rhythmender Atemfrequenz, der regelmässigen Verdauung oder der Hormonzyklen zuerwähnen.7.4.2 LiteraturUm die in komplexen Systemen ablaufenden dynamischen Prozesseverstehen zu können, müssen sie mit den Mitteln der Systemanalyse, dermathematischen Modellbildung und der Computersimulation erschlossenwerden. In den drei Bänden des 'Systemzoos' werden etwa hundertSimulationsmodelle aus allen Lebensbereichen vollständig dokumentiert. Siesind ausgeprüft und lauffähig und können mit frei verfügbarerSimulationssoftware betrieben werden.H. Bossel: Systemzoo 1 - Elementarsysteme, Technik und Physik.Der 'Systemzoo 1' enthält Modelle elementarer Systeme und komplexererSysteme aus Technik und Physik, darunter: exponentielles und logistischesWachstum, Schwingungen, Verzögerungen, Speicher-, Ansteckungs-,Übergangs- und Überlastungsphänomene, komplexe Systeme mitGrenzzyklen, mehrfachen Gleichgewichtspunkten und chaotischenAttraktoren, sowie Anwendungen aus Regeltechnik, Flugdynamik,Aerodynamik und Wärmeübergang.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 153

Leitidee SystemdenkenDialogMatheH. Bossel: Systemzoo 2 - Klima, Ökosysteme und Ressourcen.Der 'Systemzoo 2' enthält Simulationsmodelle des Wasser- und Kohlenstoff-Haushalts, der Photoproduktion der Pflanzen, des Waldwachstums und desWasser-, Energie- und Nährstoffhaushalts in der Landwirtschaft sowie derInteraktion von Pflanzen, Tieren und Menschen mit anderen Organismen undRessourcen durch Konkurrenz um Nahrung und Nährstoffe und durchNutzung erneuerbarer und Ausbeutung nicht erneuerbarer Ressourcen.H. Bossel: Systemzoo 3 - Wirtschaft, Gesellschaft und Entwicklung.Der 'Systemzoo 3' enthält Modelle aus Wirtschaft, Gesellschaft und globalerEntwicklung: Produktion, Lagerhaltung, Verkauf und Konsum, Konkurrenz,Lebensplanung, Arbeitslosigkeit, Ökosteuer, Eskalation, Abhängigkeit,Aggression, Bevölkerungsentwicklung, kommunale Entwicklung,Schuldenkrise, Globalisierung, sowie die Weltmodelle des Club of Rome vonForrester und Meadows und Beispiele der nichtnumerischenWissensverarbeitung für Folgenabschätzungen und zur Simulation vonEntscheidungsvorgängen.H. Bossel: Systemzoo – 100 Simulationsmodelle aus Systemdynamik,Technik, Physik, Ökologie, Land- und Forstwirtschaft, Ressourcendynamik,Wirtschaft, Gesellschaft und Entwicklung. CD-Rom, co.Tec, Rosenheim, 2005.154 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF