Zusatzblatt 1

Aufgaben zur VorlesungMathematik für Naturwissenschaften, Teil 2Zusatzblatt 1SS 13PD. Dr. J. Schürmannkeine AbgabeAufgabe 1: Es wird viermal eine Karte aus einem Skatspiel (32 Karten) gezogen und wiederin das Deck gemischt. Ein Testkandidat soll nun sagen, welche Karten gezogen wurden und wieoft diese gezogen wurden.a) Wieviele mögliche Antworten gibt es?b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass vier verschieden Karten gezogen wurden?Aufgabe 2: a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, eine acht-elementige Menge in eine zwei-elementigeund drei zwei-elementige Mengen zu zerlegen?b) Die Wahrscheinlichkeit, eine Krankheit mit einer gegebenen Therapie zu heilen sei 30%. Weiterhinkönnen bei nichtgeheilten Patienten Nebenwirkungen auftreten. In insgesamt 10% allerFälle treten diese Nebenwirkungen auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 4 Patientengenau zwei geheilt werden und bei genau einem eine Nebenwirkung auftritt?Aufgabe 3: Wir betrachten eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ = 2. Für welcheder Zahlen n = 2, 3, 4, 5 ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {0, 1, . . . , n} über 70 %?Aufgabe 4: Welche der folgenden Aussagen sind wahr oder falsch?a) Beim Würfeln mit zwei Würfeln sind die Ereignisse “Mindestens eine 1” und “die Augensummeist größer als 3” stochastisch unabhängig?b) Bei einem Laplace-Experiment sind je zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?Aufgabe 5: Ein Lachs schwimmt einen Bachlauf hinauf und muss dazu einen kleinen Sturzüberwinden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Sturz bei einem Sprung überwindet, liegebei p = 0, 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fisch mindestens zweimal,aber höchstens viermal springen muss, um den Sturz zu überwinden?Aufgabe 6: Wie groß ist beim Würfeln mit zwei Würfeln die bedingte Wahrscheinlichkeitp(A|B) für die EreignisseA = {(i, j)| i ≤ 3} und B = {(i, j)| |i − j| ≥ 2} ?

Aufgabe 7: Sie würfeln mit 2 verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher.(a) Die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf die Augensumme 3 oder 4 zu erzielen ist:( )636(b) Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen mindestens einmal die Augensumme 11 zu erzielenist:( )536( )512( )( ) 34 10( ) 1 −36( ) 35 10( ) 1 −36( ) 34 1036Aufgabe 8: Sie haben 6 verschiedene Moleküle.(a) Wie viele Molekülketten der Länge 12 kann man hiermit bilden?( )( ) 126( ) 6 12 ( ) 6 · 12(b) Wie viele Molekülketten der Länge 3 kann man hiermit bilden, wenn in jeder Kette keinMolekül doppelt vorkommt?( )( 63)( ) 6 3 ( ) 6 · 5 · 4Aufgabe 9: Von 60 Labormäusen sind 20 erkrankt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beieiner Stichprobe von 10 Mäusen 3 kranke zu finden?( )20 3 · 40 760 10 ( )( ) ( ) 20 40·3 7( ) ( )60101060 · 320Aufgabe 10: Es sei (Ω, p) eine Laplace-Verteilung. Welche der folgenden Aussagen sind richtigfür alle E 1 , E 2 ⊂ Ω ?( )( )( )p(E 1 ∪ E 2 ) = p(E 1 ) + p(E 2 )p(E 1 ) ≤ p(E 2 ) für E 1 ⊂ E 2p(E 1 ∪ E 2 ) = p(E 1 ) + p(E 2 ) − p(E 1 ∩ E 2 )2