Archimedische Spirale 3

Aufgabenblatt-Archimedische Spirale 4+Lösungen.doc 1Archimedische Spirale 4Aufgabe 1An einem Holzpflock mit quadratischem Querschnitt (Seitenlänge z.B. 1cm) ist im Punkt B eine Schnur befestigt, die vonB nach S reicht. Die Schnur wird im Gegenuhrzeigersinn so lange es geht um den (festen) Pflock gewickelt.Konstruieren Sie die Bahn, die das Schnurende S beschreibt.Diskutieren Sie den Zusammenhang mit archimedischen Spiralen.Führen Sie die Konstruktion mit DynaGeo durch, ebenso den Vergleich mit einer archimedischen Spirale (AusgangsdateiBlatt4-1a.geo).y654321-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B-1Sx-2-3-4Machen Sie das Gleiche mit einem Pflock, dessen Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck ist.(Ausgangsdatei Blatt4-1b.geo)y 654321-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10BS1 cm -1x-2-34

Aufgabenblatt-Archimedische Spirale 4+Lösungen.doc 2Aufgabe 2Jetzt werden reguläre n-Ecke zur Konstruktion verwandt.Beschreiben Sie, was das bewirkt (sehr vage Frage). Machen Sie Skizzen!Zuletzt betrachtet man einen Pflock mit kreisförmigem Querschnitt.Stellen Sie sich vor, die Schnur sei in ihrer ganzen (endlichen) Länge um den Pflock gewickelt, und sie beginnen jetzt, dieSchnur aufzuwickeln. Das gibt ja wohl etwas Spiralenartiges.Beschreiben Sie den Zusammenhang mit den n-Eck-Pfosten.Bis zu welcher Stellung wollen Sie die Schnur aufwickeln, damit Sie eine „gute“ Spirale erhalten? Machen Sie eine Skizze.

Aufgabenblatt-Archimedische Spirale 4+Lösungen.doc 3Aufgabe 10 phi=173 720r = 7,5 - 1/90*phi5,576y7654321-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-50 phi=271 540r = 6,4 - 1/90*phi3,387y654321-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 91 cm-1-2-3-4BSx

Aufgabenblatt-Archimedische Spirale 4+Lösungen.doc 4Aufgabe 3Hier sehen Sie eine Abbildung der Abwicklung einer Schnur von einem Pflock mit kreisförmigem Querschnitt.(Datei Blatt4-1c.geo zum experimentieren)Erklären Sie die Zeichnung. (Wo ist die Schnur, was ist sonst noch eingezeichnet?) Schreiben Sie Erklärungen an dieentsprechenden Stellen in der Zeichnung.Begründen Sie, warum die Spirale wohl kein Teil einer echten archimedischen Spirale ist.Begründen Sie, warum die Spirale nach viiiielen Windungen eine gewisse archimedische Spirale immer besser annähert.Durch eine kleine technische Einrichtung lässt sich aus dieser Anordnung ein echter archimedischer Spiralenzirkelherstellen. Erfinden Sie diesen neu!PMτaϕr

Aufgabenblatt-Archimedische Spirale 4+Lösungen.doc 5Aufgabe 3Schnur, tangentialan den Kreis in BSchnurende undBahn des SchnurendesPBogen, an dem dieabgewickelte Schnur anlagBrRadius vom Pol M zurAbwickelspiraleτ ist der Winkel zwischenPolarachse undBerührradius MB.τ ist der Winkel der denKreisbogen derabgewickelten Schnurbestimmt.M Pol einerarchimedischen SpiraleMτaϕφ Polarwinkel zum Radius rS Startpunkt derAbwickelspiraleMS PolarachseDie Abwickelspirale ist wohl keine echte archimedische Spirale, da zwar die Strecke BP um den Kreisumfang U pro 360°kontinuierlich zunimmt, diese Strecke aber nicht von einem festen Pol aus gemessen wird, sondern vom ständigwechselnden Berührpunkt B auf dem Kreisumfang.Für große Winkel φ, also nach Abwickeln von mehreren Umfängen, sollte sich dieser Unterschied zwischen M und B nichtmehr stark bemerkbar machen und sich die Abwickelspirale einer echten archimedischen Spirale annähern.Beobachtung:Wird der Winkel φ groß, dann verlaufen MP und BP fast parallel, der Winkel ∠ BPM wird immer kleiner.Damit gilt τ ≈ φ+90° für große Winkel φ, also nach mehreren Umläufen. Für diesen Fall ist auch BP ≈ r .BP ist die Länge der abgewickelten Schnur, also so lang wie der Kreisbogen von S nach B. Das heißt für große φU UU U 2πa2πaπaπar ≈ BP = ⋅τ ≈ ⋅(ϕ + 90°) = ⋅ϕ+ ⋅90°= ⋅ϕ+ ⋅90°= ⋅ϕ+360°360°360°360°360°360°180°2Damit hat man mitπaπar = ⋅ϕ+180°2die Gleichung einer echten archimedischen Spirale, die für große Winkel φ immer besser mit der Abwickelspiraleübereinstimmt. Da immer τ < φ+90° ist, ist auch r Kreiswickelspirale < r archimedische Spirale , d.h. die Kreiswickelspirale nähert sich„von innen“ an die Kreiswickelspirale an.

Aufgabenblatt-Archimedische Spirale 4+Lösungen.doc 6Vergleich der Kreiswickelspirale („Kreisevolvente“) und der berechneten archimedischen Spirale.-90 phi=25,8 360r1 = pi*d(M;B)/180*phi + pi*d(M;B)/25,028y87654P3B2,5 cm-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7τM21ϕ-1-2-3arApproxKorrigiert man den Anfangspunkt, dann stimmen die Spiralen zwar für kleinere Winkel φ besser überein, für große φschneiden sich die Spiralen aber dann schließlich und die archimedische Spirale entfernt sich von der Kreisevolvente.-90 phi=25,8 360r1 = pi*d(M;B)/180*phi + pi*d(M;B)/2*0,954,833y987654P3B2,5 cm-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7τM21ϕ-1-2-3arApprox

Aufgabenblatt-Archimedische Spirale 4+Lösungen.doc 7Exakte Berechnungen:(alle Winkel im Gradmaß gemessen; mit dem Bogenmaß werden die Ausdrücke etwas einfacher, da der Faktor π/180° beider Berechnung der Bogenlänge wegfällt)Aus der Skizze entnimmt man sofort den Zusammenhang zwischen den Winkeln φ und τ:πa ⋅τ⋅BPtan( )180°πϕ −τ= = = τ ⋅a a 180°−1πτ − ϕ = tan ( τ ⋅ )180°−1πϕ = τ − tan ( τ ⋅ )180°Da für τ → ∞− πtan 1 ( τ ⋅ ) → 90°, erhält man so die zuvor verwandte Annäherung τ ≈ φ+90° für große Winkel τ.180°Man kann die Kreisevolvente damit auch berechnen, allerdings nicht so einfach explizit als φ-r-Funktion, sondern inParameterdarstellung mit dem Parameter τ:222 ⎛ π ⎞r = a + BP = a + ⎜a⋅τ⋅ ⎟⎝ 180°⎠− πϕ = τ − tan 1 ( τ ⋅ )180°2= a⎛ π ⎞1+⎜τ⋅ ⎟⎝ 180°⎠2In DynaGeo kann man eine solche Kurve in Parameterdarstellung einfach zeichnen lassen:Zu einem Zahlobjekt tau (τ) mit geeignetem Bereich (z.B. 0 bis 1080°) wird ein Punkt P(x,y) mit den Koordinatenx = r*cos(φ)y = r*sin(φ)konstruiert, wobei für r und φ die zuvor angegebenen Terme eingesetzt werden.Für kleine Winkel φ, τ:-90 phi=25,8 360y8r1 = pi*d(S;M)/180*phi + pi*d(S;M)/25,0280 tau=191 360r2 = d(S;M)*sqrt(1 + ( pi/180*tau )^2)8,673phi2 = ( tau - arctan(pi/180*tau) )118,1Wickelspiralpunkt_exakt 75 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 S3 4 5 6 7B2,5 cmτM654321-1-2-3ϕarPApprox

Aufgabenblatt-Archimedische Spirale 4+Lösungen.doc 8Für große Winkel φ, τ:-90 phi=384 1,08E3r1 = pi*d(S;M)/180*phi + pi*d(S;M)/2210 tau=437 1,08E3r2 = d(S;M)*sqrt(1 + ( pi/180*tau )^2)19phi2 = ( tau - arctan(pi/180*tau) )3,5E+2ApproxMSWickelspiralpunkt_exaktFormeln für die Winkel im Bogenmaß (viel einfacher):2r = a 1+τ−ϕ = τ − tan 1 ( τ )