Das Matching Polytop - Institut für Mathematik - TU Berlin

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemSettingIm folgenden sei G = (V , E) ein ungerichteter Graph.Definition (Matching)Eine Menge M ⊆ E heisst Matching in G, wenne ∩ f = ∅∀ e, f ∈ MEin Matching M heisst perfekt, wenn jeder Knoten v ∈ V zueiner Kante e ∈ M inzident ist.

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemÜberblick1 Beschreibungen durch UngleichungenDas Perfekte Matching PolytopDas Matching Polytop2 Total Dual Integrality des Matching PolytopsWiederholung TDIMatching PolytopPerfektes Matching Polytop3 SeparierungsproblemSeparierungsproblem für P perfect matching

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Perfekte Matching PolytopDas Perfekte Matching PolytopDefinition (Perfektes Matching Polytop)Das Perfekte Matching Polytop eines Graphen G = (V , E) istdie konvexe Hülle aller Inzidenzvektoren perfekter Matchings inG.P perfect matching (G) := conv({χ M | M ist perfektes Matching in G})

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Perfekte Matching PolytopVorüberlegungenGanz offensichtlich gilt für jeden Vektorx ∈ P perfect matching (G)x e ≥ 0 ∀e ∈ E (1)Ein perfektes Matching M überdeckt jeden Knoten v ∈ V ,und somit gilt auch:x(δ(v)) = 1 ∀v ∈ V (2)Jede ungerade Knotenmenge hat mindestens eineausgehende Kantex(δ(U)) ≥ 1 ∀ U ∈ P odd (V ) (3)

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Perfekte Matching PolytopEdmonds Satz vom Perfekten Matching PolytopSatzFür einen ungerichteten Graphen G = (V , E) gilt:P perfect matching (G) = Q(G)wobei⎧⎨Q(G) :=⎩ x ∈ RE mitx e ≥ 0 ∀ e ∈ E (1)x(δ(v)) = 1 ∀ v ∈ V (2)x(δ(U)) ≥ 1 ∀ U ∈ P odd (V ) (3)⎫⎬⎭

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Perfekte Matching PolytopEdmonds Satz vom Perfekten Matching PolytopBeweis:P perfect matching (G) ⊆ Q(G) ist klarSei G ein bzgl. |V | + |E| minimales GegenbeispielSei x eine Ecke von Q(G) mit x /∈ P perfect matching (G)wir zeigen Widerspruch: x lässt sich konvex aus perfektenMatchings kombinierenSei also 0 < x < 1 und damit deg(v) ≥ 2 und |E| ≥ |V |Wir können |E| > |V | annehmenDa x Ecke von Q(G) sind |E| linear unabh. Constraintsscharf∃ U ⊂ P odd (V ) mit 3 ≤ |U| ≤ |V | − 3 und x(δ(U)) = 1

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Perfekte Matching PolytopEdmonds Satz vom Perfekten Matching PolytopUG =(V,E)V \ Ubetrachte Projektionen x ′ und x ′′ von x aufG/U bzw. G/(V \ U)es gilt: x ′ ∈ P perfect matching (G/U)∃ M ′ 1 , . . . , M′ lperf. Matchings in G/U mit:l∑G/Ux ′ = 1 li=1χ M′ ianalog: ∃ M ′′1 , . . . M′′ m perf. Matchings inG/Ū mit:G/(V \ U)x ′′ = 1 mm∑i=1χ M′′ i

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Perfekte Matching PolytopEdmonds Satz vom Perfekten Matching PolytopG =(V,E)UV \ Umit k := kgV(l, m) gilt:x ′ = 1 kk∑i=1χ M′ ibzw. x ′′ = 1 kk∑i=1χ M′′ iG/UG/(V \ U)da x e = x e ′ = x e′′ist M i := Mi ′ ∪ Mi′′also ist:x = 1 k∀e ∈ δ(U)perf. Matching in Gk∑i=1d.h. x ∈ P perfect matching (G)q.e.dχ M i

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Matching PolytopMatching PolytopDefinition (Matching Polytop)Das Matching Polytop eines Graphen G = (V , E) ist diekonvexe Hülle aller Inzidenzvektoren von Matchings in G.P matching (G) := conv({χ M | M ist Matching in G})

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Matching PolytopVorüberlegungenDie Nichtnegativität behalten wir bei:x e ≥ 0 ∀ e ∈ E (4)(2) relaxieren wir zu:x(δ(v)) ≤ 1 ∀ v ∈ V (5)Jede Knotenmenge U ⊆ V enthält höchstens ⌊ 1 2 |U|⌋Kanten eines Matchingsx(E[U]) ≤ ⌊ 1 |U|⌋ ∀ U ⊆ V mit |U| ungerade (6)2

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Matching PolytopEdmonds Satz vom Matching PolytopSatz (Edmonds Satz vom Matching Polytop)Für einen ungerichteten Graphen G = (V , E) gilt:P matching (G) = P(G)wobei⎧⎨P(G) :=⎩ x ∈ RE mit⎫x e ≥ 0∀ e ∈ E ⎬x(δ(v)) ≤ 1 ∀ v ∈ Vx(E[U]) ≤ ⌊ 1 2 |U|⌋ ∀ U ∈ P ⎭odd(V )

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Matching PolytopEdmonds Satz Matching Polytop (Beweis)Beweis.P matching (G) ⊆ P(G) ist klar. Sei x ∈ P(G)Kopie G ′ = (V ′ , E ′ ) von G = (V , E)Kanten E V := {e v = {v, v ′ } | v ′ ist Kopie von v}Graph ˜G := (Ṽ := V ∪ V ′ , Ẽ := E ∪ E ′ ∪ E V )Definiere ˜x ∈ RẼ mit:˜x e ′ := ˜x e := x e˜x (v,v ′ ) := 1 − x(δ(v))∀ e ∈ E∀ v ∈ V˜x ∈ P perfect matching ( ˜G) ⇒ x ∈ P matching (G)

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Matching PolytopEdmonds Satz vom Matching Polytopzeige: ˜x ∈ P perfect matching ( ˜G)Beweis.˜x ≥ 0˜x(˜δ(v)) = ˜x(δ(v)) + ˜x (v,v ′ ) = 1˜x(˜δ(U)) ≥ 1 ∀ U ∈ P odd (Ṽ )˜x(˜δ(U)) ≥ 1 ∀ U ∈ P odd (V ) genügt.˜x(˜δ(U)) + 2˜x(E[U]) = ∑ v∈U ˜x(˜δ(v)) = |U|˜x(˜δ(U)) = |U| − 2˜x(E[U]) ≥ |U| − 2⌊ 1 2 |U|⌋ = 1

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemDas Matching PolytopEdmonds Satz vom Matching PolytopSei U ∈ P odd (Ṽ ) mit U = W ∪ X ′ mit W ⊆ V , X ′ ⊆ V ′Es gilt: ˜x(˜δ(U)) ≥ ˜x(˜δ(W \ X)) + ˜x(˜δ(X ′ \ W ′ ))V \ (W ∪ X)V \ (W ∪ X )X \ WX \ W W ∩ XW ∩ X W \ XW \ X

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemÜberblick1 Beschreibungen durch UngleichungenDas Perfekte Matching PolytopDas Matching Polytop2 Total Dual Integrality des Matching PolytopsWiederholung TDIMatching PolytopPerfektes Matching Polytop3 SeparierungsproblemSeparierungsproblem für P perfect matching

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemWiederholung TDITDIDefinition (totally dual integral)Ein System Ax ≤ b mit A ∈ Q m×n und b ∈ Q m heisst totallydual integral oder kurz TDI, falls für jedes c ∈ Z n das dualeProgramm zu max{c ⊤ x | Ax ≤ b}, nämlichmin{y ⊤ b | y ≥ 0 , y ⊤ A = c ⊤ }ganzzahlige optimale Lösungen hat (wenn beschränkt).Anmerkung: TDIness ist Eigenschaft der Beschreibung einesPolytops

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemMatching Polytopgewichtsmaximale MatchingsSei w : E → R + eine Gewichtsfunktion.maxw ⊤ xs.t. x e ≥ 0 ∀ e ∈ Ex(δ(v)) ≤ 1 ∀ v ∈ Vx(E[U]) ≤ ⌊ 1 2 |U|⌋ ∀ U ∈ P odd(V )

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemMatching PolytopDuales ProgrammDas zu max{w ⊤ x | x ∈ P matching } duale Programm lautet:min∑y v +v∈V∑U∈P odd (V )z U ⌊ 1 |U|⌋ (7)2wobei y ∈ R V + und z ∈ R P odd(V )+ unter den Nebenbedingungen:∑y v χ δ(v) +∑z U χ E[U] ≥ w (8)v∈VU∈P odd (V )

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemMatching PolytopCunningham-March FormelSatz (Cunningham-March Formel)Wenn w ∈ Z + existiert eine ganzzahlige Optimallösung zu∑min y v +∑z U ⌊ 1|U|⌋2v∈V∑y v χ δ(v) +v∈VU∈P odd (V )∑U∈P odd (V )z U χ E[U] ≥ wz kann so gewählt werden, dass {U ∈ P odd (V ) | z U > 0}laminar ist.

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemMatching PolytopLaminaritätDefinitionWir nennen ein Mengensystem F laminar, wenn U ∩ W = ∅oder U ⊆ W oder W ⊆ U für alle U, W ∈ F gilt.Beispiel eines laminaren Mengensystems:

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemMatching PolytopCunningham-March Formel (Beweis)Beweis:Vollständige Induktion über |E| + w(E)Wir können w ≥ 1 annehmen1.Fall: ∃ u ∈ V , der von jedem GewichtsmaximalenMatching überdeckt wirdbetrachte Gewichtsfunktion w ′ := w − χ δ(u)nach IV existieren y v, ′ zU ′ ganzzahlig und optimal bzgl. w′erhöhen von y u ′ um 1 ist zulässig und optimal bzgl.w2.Fall: ∀ v ∈ V existiert ein gewichtsmaximales Matchingdas v nicht überdecktdann gilt: y = 0 (komplementärer Schlupf)

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemMatching PolytopCunningham-March Formel (Beweis)Sei (0, z) Optimallösung maximal bzgl.∑z U ⌊ 1 2 |U|⌋2 (9)U∈P odd (V )F := {U ∈ P odd | z U > 0} ist laminar(0, z) ist ganzzahlig (Widerspruch)Sei U inklusionsmaximal mit z U /∈ Z + und U 1 , . . . , U k ⊆ Finklusionsmaximal und echt in U enthalten.abrunden von z U um α und erhöhen aller z Ui um α bleibtzulässig.wegen ∑ ki=1 ⌊ 1 2 |U i|⌋ < ⌊ 1 2|U|⌋ reduziert sich aber der Wertder Zielfunktion

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemPerfektes Matching PolytopPrimal:Beschreibung von P perfect matching ist nicht TDIbetrachte K 4 mit Einheitsgewichten.Gewicht jedes perfekten Matchings ist 2.max1 ⊤ xs.t. x(δ(v)) = 1 ∀ v ∈ Vx ≥ 0Dual:mins.t.∑v∈V y v∑v∈V y vχ δ(v) ≥ 1y ∈ R Vy v = 1 2∀ v ∈ V ist eindeutige Optimallösung.

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemÜberblick1 Beschreibungen durch UngleichungenDas Perfekte Matching PolytopDas Matching Polytop2 Total Dual Integrality des Matching PolytopsWiederholung TDIMatching PolytopPerfektes Matching Polytop3 SeparierungsproblemSeparierungsproblem für P perfect matching

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemSeparierungsproblem für P perfect matchingSeparierungs Problem P perfect matchingProblemEntscheide ob x ∈ R E im Perfekten Matching Polytop liegt.Wenn nicht, gib eine x und P perfect matching trennendeHyperebene anüberprüfe x ≥ 0 und x(δ(v)) = 1 ∀v ∈ Vx(δ(U)) ≥ 1 ∀ U ∈ P odd (V )einzeln überprüfen? schlecht!!besser: interpretiere x als Kapazitäten, und δ(U) alsSchnittx(δ(U)) ≥ 1 ∀ U ∈ P odd (V )kann durch einen bzgl. x minimalen ungeraden Schnittentschieden werden

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemSeparierungsproblem für P perfect matchingminimale ungerade SchnitteSatzSei G = (V , E) ein ungerichter Graph mit |V | gerade undc ∈ R E + eine Kapazitätsfunktion.Sei T = (V , F) der zu (G, c) gehörende Gomory-Hu Baum.Dann ist einer der durch T gegebenen fundamentalen Schnitteein minimaler ungerader Schnitt.DefinitionSei G = (V , E) ungerichter Graph mit |V | gerade, undT = (V , F) Gomory-Hu Baum von G bzgl. c ∈ R E +. Eine Kantef ∈ F heisst (un)gerade wenn T − f aus zwei (un)geradenZusammenhangskomponenten besteht.

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemSeparierungsproblem für P perfect matchingUgeradeungeradeU fsei δ G (U) ein minimalerungerader Schnitt in GBeh:δ T (U) enthält mind. eineungerade KanteAnn.: δ T (U) enthält nur geradeKantenbetrachte Komponente U ′ vonU in Tlösche f ∈ δ T (U ′ )U ′ enthaltende Komponenteist gerade⇒ U ′ ist gerade

Beschreibungen durch Ungleichungen Total Dual Integrality des Matching Polytops SeparierungsproblemSeparierungsproblem für P perfect matchingVielen Dank!