Leitidee Vektoren Leitidee Vektoren

No paranadaUn poco Regular BastantelimitadoImposiblede realizar8.- Durante la última semana, ¿hatenido usted dificultad para realizar sutrabajo u otras actividades cotidianas1 2 3 4 5debido a su problema en el brazo,hombro o mano?Por favor ponga puntuación a la gravedad o severidad de los siguientes síntomasNinguno Leve Moderado Grave Muygrave9.- Dolor en el brazo, hombro o mano. 1 2 3 4 510.-Sensación de calambres(hormigueos y alfilerazos) en su brazo1 2 3 4 5hombro o mano.11.- Durante la última semana, ¿cuantadificultad ha tenido para dormirdebido a dolor en el brazo, hombro omano?.No Leve Moderada Grave Dificultadextrema queme impedíadormir1 2 3 4 5Cálculo de la puntuación del “Quick Dash” (Discapacidad/Síntomas) =([(suma de n respuestas)/n] -1) x 25, donde n es igual al número derespuestas completadas. La puntuación del “Quick Dash” no puede sercalculada si hay más de 1 ítem sin contestar.

Leitidee VektorenDialogMatheVorwortIn dieser Lerneinheit werden dir neue mathematische Objekte, die Vektorenvorgestellt. Für deine zukünftige Tätigkeit ist das Vektormodell sehr wichtig,daher solltest du dich mit dem Inhalt dieser Lerneinheit besonders aufmerksamauseinandersetzen. Die Theorie der Vektoren wird dir anhandzahlreicher Anwendungen dargeboten. Du brauchst eine effizienteArbeitsmethode um die abstrakten Definitionenund Zusammenhänge zu begreifen und mitihnen arbeiten zu können. Benutze denDreischritt „Ich, Du, Wir“ um deineindividuellen Lernprozesse möglichst wirksamund nachhaltig anzuregen. Nimm dir Zeit mitdem Skript zu arbeiten. Gebrauche diezahlreichen Lernhilfen wie dynamische Arbeitsblätter, Partnerinterviews,Übungsaufgaben sowie die Repetitionstests als Lernkontrollen. Führe einLernjournal, in dem du deine Lernfortschritte dokumentierst, vor allem deine„Aha-Erlebnisse“. Stelle aber auch Fragen, die du dann in der Lerngruppediskutieren kannst.Aufbau der LerneinheitKapitel 1Einführung und Anwendungen von VektorenDas erste Kapitel versucht dir denVektorbegriff etwas näher zu bringen. Dazuwerden zahlreiche Anwendungen der Vektoren aus verschiedenen Gebietenkurz aufgezeigt, jedoch wollen wir den Vektorbegriff im folgendengeometrisch fassen. Wir werden den Vektor unabhängig von einemKoordinatensystem als Verschiebung interpretieren und so versuchen diewesentlichen Dinge zu erfassen. Diese Zusammenhänge werden dir späterhelfen, Lösungsstrategien für Probleme in der Geometrie zu entwickeln.Obwohl wir im Kapitel 2 für den Einstieg in die Theorie der Vektoren nur diealgebraische und graphische Darstellungsform benutzen, wird dir in diesemKapitel der Umgang mit der numerischen Darstellung von Vektoren gezeigt.In dieser Darstellung kannst du vektorielle Berechnungen mit deinem Rechnerdurchführen.IILerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheLeitidee VektorenDie Physik gibt dir die Gelegenheit das Vektormodell anzuwenden, etwa inder Bewegungslehre als Geschwindigkeitsvektor oder in der Statik mit denKräften als Vektoren. Nutze diese Chance um Verständnis für die Vektoren zugewinnen. Sei dir aber bewusst, dass die Vektoren in der Physik eineAnwendung des allgemeinen mathematischen Vektorbegriffs ist.Kapitel 2Elementare Operationen mit VektorenEs gilt nun mit den neuen Objekten zu rechnen. Dazu verwenden wir diealgebraische und graphische Darstellung der Vektoren. Die Betrachtungen inder algebraischen Darstellungsform gelten für beliebige Dimensionen, diegraphische Darstellungsform dient zur Veranschaulichung und kann nur imzweidimensionalen (Ebene) oder gelegentlich im dreidimensionalen Raumeingesetzt werden. Bewusst wird in diesem Kapitel die numerischeDarstellungsform, welche ein Koordinatensystem verlangt und somit von derDimension abhängig ist, noch nicht verwendet. Um die algebraische Struktureines Vektorraums zu erhalten, definieren wir die Addition von zweiVektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl. Darauslässt sich der zentrale Begriff der Linearkombination definieren. Diesenwollen wir durch Anwendungen vorallem in der Geometrie begreifen.„Linear unabhängig“ ist eine Eigenschaft der Vektoren, die es uns gestattet, ineinem Vektorraum eine „Basis“ zu definieren und somit ein Koordinatensystemeinzuführen. Dadurch wird die numerische Darstellung möglich undes können Vektorberechnungen dem Rechner übergeben werden.Kapitel 3Vektoren im KoordinatensystemZu Beginn wollen wir die Darstellung eines Punktes und einer Geraden in derEbene mit Hilfe der Vektoren beschreiben. In diesem Kapitel behandeln wirzweidimensionale Problemstellungen. Dies garantiert dir den anschaulichenZugang in allen Darstellungsformen der Vektoren. Achte aber darauf, dassdu die Sachverhalte auch unabhängig der Dimension verstehst, denn diesekönnen auf beliebige Dimensionen übertragen werden. Versuche dieeinfachen Prinzipien (Vektoraddition = Verschiebung, Multiplikation einesVektors mit einer Zahl = Streckung, Linearkombination) so zu verstehen, dassdu sie für Problemlösungen anwenden kannst. Mit Hilfe einesLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©III

Leitidee VektorenDialogMatheKoordinatensystems können wir die Vektoren so beschreiben, dass es unsgelingt mit ihnen einfach zu rechnen.Kapitel 4Das Skalarprodukt von VektorenFür die Vektoren gibt es zwei Produkte, das Vektorprodukt „Vektor malVektor = Vektor“ und das Skalarprodukt „Vektor mal Vektor = Zahl“.Wir behandeln hier nur das Skalarprodukt . Beachte den Unterschied zurskalaren Multiplikation „Zahl mal Vektor = Vektor“, welche keineVerknüpfung zwischen zwei Vektoren ist. Da die Struktur des Skalarproduktsin der Physik vorkommt, veranschaulichen wir zuerst die Definitionphysikalisch mit Hilfe des Begriffs der Arbeit. Die abstrakt mathematischeDefinition des Skalarprodukts lässt sich geometrisch als Projektioninterpretieren. Mit Hilfe des Skalarprodukts lassen sich Winkelberechnungendurchführen. Der wichtige Spezialfall „Vektor mal Vektor = 0“ zeichnet denrechten Winkel aus. Dadurch lassen sich in der Geometrie Anwendungen, indenen rechte Winkel vorkommen, berechnen.Kapitel 5Vektoren im RaumDu kannst alles, was du in der Ebene über die Struktur der Vektoren gelernthast in den Raum übertragen. Versuche die Probleme im Raum durchSchaufiguren auf deinem Lösungsblatt zu erfassen. Für die Rechnung mit denVektoren spielt die Dimension keine Rolle. Es lassen sich alle Prinzipienübertragen. Hast du das Prinzip der vektoriellen Geradengleichungverstanden? In Analogie dazu kannst du die vektorielle Ebenengleichungentwickeln und anwenden. Aufgabenstellungen können geometrisch oderalgebraisch gelöst werden. Benutze, wenn möglich, die algebraischeLösungsmethode: Verwende einen Ansatz für das Gesuchte und stelle fürdie eingeführten Unbekannten Gleichungen auf. Da dein Rechner gewisseGrundaufgaben durch vordefinierte Befehle ausführen kann, lassen sichKonzepte für die Lösung von umfangreichen Problemstellungen schnell undeffizient erledigen. Der Rechner nimmt dir die Rechenarbeit ab, nicht aber dassuchen von Lösungsstrategien. Du erhälst auch die Gelegenheit, eleganteLösungsstrategien mit Hilfe des CAS zu entwickeln. Nutze diese Chance.IVLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheWas ist ein Vektor?1 Einführung und Anwendungen von Vektoren1.1 Was ist ein Vektor?Das Wort Vektor hört sich für viele entsetzlich an, geheimnisvoll und schwerzu verstehen. Also müssen wir diesen Begriff zuerst verständlich machen. Dieganze Welt lebt von Fachausdrücken. Diese sind ganz nützlich, wenn manihre Bedeutung kennt. Ihr Sinn liegt darin, dass man durch so einen Fachausdruckgleich ein ganzes Bündel von Eigenschaften oder Massnahmen oderZusammenhängen erfassen kann. Nur mit einem Wort. Wer die Bedeutungkennt, kann dann sofort Bezüge herstellen, nachdenken, verstehen. Zunächsteinmal müssen Vektoren mit der Geometrie gar nichts zu tun haben. Sie sindetwas ganz Allgemeines, das man sich zunächst nicht einmal vorstellen kann,wenn man das etwa so formuliert: Vektoren sind die Elemente einer Menge,mit denen man nach bestimmten Regeln rechnen kann. Diese Menge nenntman den Vektorraum. Wenn also ein Mathematiker davon spricht, dass er mitVektoren arbeitet, dann sagt uns das zunächst nur, dass er mit irgendwelchenObjekten bestimme Rechnungen ausführen kann. Das klingt doch so, als obwir plötzlich Algebra betreiben. Und dies stimmt auch. Die Vektorrechnunggehört zur Algebra. Man sagt, die Vektorrechnung ist die Lineare Algebra.Das kommt daher, dass dort alles mit linearen Gleichungen berechnet wird,also keine Quadrate usw. vorkommen.Die Vektoren wurden zuerst in der Geometrie definiert. Die Vektorgeometrieist auch heute noch ein sehr starkes mathematisches Werkzeug fürverschiedene Anwendungsgebiete, wobei wir in diesem Skript ab Kapitel 2die Vektoren als geometrische Objekte behandeln.1.1.1 Erfinder (Entdecker) der VektorenDer deutsche Gymnasialprofessor Hermann Grassmannhatte Mitte des 19. Jahrhunderts eine bahnbrechende Ideezur Behandlung der Geometrie. 1844 verfasste er ein Buch,in dem er die Grundlagen der Vektorrechnung legte. Dochgelang es ihm nicht seine Ideen seinen Mitmenschen zuvermitteln. Sein Genie wurde verkannt und die neueH. GrassmannMathematikerLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 1

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheVektorrechnung zu den Akten gelegt. Grassmann ärgertesich und widmete sich in der Folge nur noch Sprachstudien.Etwa 40 Jahre später fand der Physiker Willard Gibbs heraus,dass sich mit Hilfe der Vektoren komplizierte Sachverhalteviel einfacher und übersichtlicher darstellen lassen. DiePhysiker waren begeistert und verwendeten das neueHilfsmittel immer mehr. Als die Mathematiker das sahen,W. GibbsPhysikerbesannen sie sich reumütig auf die Veröffentlichung von Hermann Grassmann.In der Folge entstand eine sich kräftig entwickelnde mathematischeTheorie der Vektoren. Diese ist heute ein wesentlicher Teil der Mathematikund das Modell des Vektors wird in vielen anderen Bereichen z.B. der Physik,der Technik und den Wirtschaftswissenschaften erfolgreich angewendet.1.1.2 Bedeutung von VektorenVektoren in der GeometrieSowohl in der Ebene als auch im dreidimensionalen Raum können vieleAufgabenstellungen konstruktiv gelöst werden. Mit Hilfe der Vektorenwerden diese zu Berechnungsproblemen. Vektoren können aber auch bei derModellierung in verschiedenen Anwendungsbereichen ausserhalb derGeometrie genutzt werden.Vektoren im KopfGeist im Netz, Modelle für Lernen, Denken und Handeln (Manfred Spitzer)Information kann in unterschiedlicher Form vorhandensein. Dies ist gleichbedeutend damit, dass bestimmteAspekte der Aussenwelt oder des Verhaltens neuronalunterschiedlich codiert sind. Man spricht statt von einemCode auch von einer Repräsentation. Die Repräsentationvon Eigenschaften durch Vektorräume, die vongrundlegenden Dimensionen aufgespannt werden, istunglaublich effektiv: Wenige Dimensionen mit nur wenigen Abstufungenerlauben die Kodierung von Millionen Eigenschaften. Eine solche Eigenschaftlässt sich als Endpunkt eines Vektors in einem entsprechenden Raum verstehen.2 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheWas ist ein Vektor?1.1.3 Anwendung Vektormodell für FarbenDer Begründer der Vektorrechnung Hermann Grassmann entwickelte 1853auch ein mathematisches Modell für die Farbenlehre. Mit Hilfe der Mathematiklassen sich verschiedene Farbmodelle ineinander umrechnen.Das RGB-FarbmodellDie häufigste Form der Farbdarstellung in der Computergrafik ist dasRGB-Farbmodell. Es benutzt die additive Farbmischung, die auch bei derDarstellung von Farben auf dem Computerbildschirm angewandt wird. DasRGB-Farbmodell benutzt drei Werte, um eine Farbe zu kennzeichnen, jeweilseinen Wert für den Rot-, Grün- und Blauanteil der Farbe. In der Regel wirdfür jeden Farbanteil ein Byte Speicherplatz belegt. Jeder Farbanteil kann alsoWerte von 0 bis 255 annehmen, sodass 256 Farbabstufungen je Farbkanaldargestellt werden können. Kombiniert man die drei Farbanteile, ergeben sich256 ⋅ 256 ⋅ 256 = 16 '777 ' 216Farbmischungen. Die Darstellung mit ca. 16,7Millionen Farben wird auch als "True Color" bezeichnet. Da das menschlicheAuge keine feineren Unterschiede mehr wahrnehmen kann, spricht man von"Wahrhaftigen Farben".Mathematische Darstellung von Farben als VektorenMöchte man alle Farben des RGB-Farbmodells darstellen, wird eindreidimensionaler Raum benötigt. Auf den Achsen x, y, z werden die dreiWerte für R, G, B dargestellt. Im Ursprung (0,0,0) befindet sich Schwarz, dieäussere Ecke des Würfels (1, 1, 1) bzw. (255,255,255) zeigt Weiss. DieDiagonale von (0,0,0) bis (1, 1, 1) enthält alle möglichen Grautöne (R = G = B)des RGB-Farbmodells.RGB-Farbraum: Jede Farbe kann als Farbvektor (R,G,B) dargestellt werden.Dieser kann als Zeilenvektor oder als Spaltenvektor geschrieben werden.Der Farbraum kann mit Hilfe von drei Basisvektoren beschrieben werden,wobei jede Farbe als Linearkombination ihres Rot-, Grün- und Blau-Anteilsbeschrieben werden kann.⎛ 1 ⎞Basisvektoren: Rot: R =⎜0⎟⎜0⎟⎝ ⎠Grün:⎛ 0 ⎞G =⎜1⎟⎜0⎟⎝ ⎠⎛ 0 ⎞Blau: B =⎜0⎟⎜1⎟⎝ ⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 3

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheFarbvektoren als LinearkombinationenGelb:⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 255 ⎞255 ⋅⎜0⎟255⎜1⎟0⎜0⎟ ⎜255⎟+ ⋅ + ⋅ =⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; Königsblau:⎛ 65 ⎞⎜105⎟⎜225⎟⎝ ⎠Da der Farbraum mit Hilfe von drei Basisvektoren dargestellt werden kann,lässt sich dieser auch geometrisch als Pfeile im dreidimensionalen Rauminterpretieren. Es gibt auch Farbmodelle, die fünf Basisvektoren benötigen.Ein solcher fünfdimensionaler Farbraum kann nicht mehr geometrisch alsPfeil veranschaulicht werden.Farbmodelle in der FernsehtechnikDas YUV-Modell entspricht der deutschen Fernsehnorm PAL (PhaseAlternation Line). Die Y-Komponente enthält die Helligkeitsinformation("Luminanz"). U und V enthalten die Farbinformation ("Chrominanz"). DasYUV-Modell kann als Linearkombination des RGB-Modells dargestelltwerden. Die Umrechnung von RGB inYUV ergibt sich durch das nebendstehendelineare Gleichungssystem.Man sagt, dass ein (R,G,B) Farbvektor durch das Gleichungssstem auf einen(Y,U,V) Farbvektor abgebildet wird. Das Gleichungssystem beschreibt alsoeine Abbildung vom RGB-Farbraum in den YUV-Farbraum.Und umgekehrt die Umrechnung von YUV in RGB:4 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheSkalare und Vektoren1.2 Skalare und Vektoren1.2.1 SkalareSachen die durch eine einzige Zahl gekennzeichnet werden können, nenntman Skalare.Gewichtstück:1 KilogrammZeit einer Uhr:12:34 Uhrabgegebene Spannung einesAkku: 12 VoltVolumen einerFlasche: 1 LiterSkalare Grössen in der PhysikViele physikalische Grössen lassen sich durch eine einzige Zahl beschreiben.Diese Zahl heisst Masszahl und ist das Verhältnis der zu messenden Grössezu einer gewählten Masseinheit definiert. Solche durch eine Zahl bestimmteGrössen heissen skalare Grössen. Beispiele: Masse, Temperatur, Druck,Arbeit, . . .1.2.2 VektorenGrössen die durch mehr als eine Zahl zu kennzeichnen sind, werden alsVektoren bezeichnet.Bluejeans sind durchein Längenmass undein Taillenmass inZoll gekennzeichnet:39x25Schrauben sind durchihre Längen und dieZahl ihrer Gewindegängepro Zentimetergekennzeichnet.Eine amerikanischeStrassenkreuzung istdurch die beidenStrassenziffern gekennzeichnet.Die Miss Schweiz istmindestens durchdrei Masse z.B.95-53-90 gekennzeichnet.Vektorielle Grössen in der PhysikIn der Physik gibt es Grössen, die zu ihrer Bestimmung nebst einer Masszahlund einer Masseinheit noch die Angabe einer Richtung benötigen. Wir nennenGrössen mit einer Richtung und einem Betrag, die durch Angabe einesVektors festgelegt werden können, Vektorgrössen.Beispiele: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, . . . . .Gebundene Vektoren in der PhysikBei physikalischen Vektorgrössen kommt oftmals der Angriffspunktdazu. Wir sprechen dann von einem gebundenen Vektor.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 5

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMathe1.3 Vektorraum als algebraische StrukturIm allgemeinen Sinn versteht man unter einem Vektor ein Element einesVektorraums. Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur, die in fast allenZweigen der Mathematik verwendet wird. Die Elemente eines Vektorraumsheissen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden,das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Vektorräumeermöglichen es eine Vielzahl von Variablen gleichzeitig als ein Element zubetrachten, ohne dabei die Unterscheidung zwischen den verschiedenenVariablen aufgeben zu müssen. Wir können so beispielsweise vieleartverschiedene Blumen als ein Blumenstrauss, einen „Blumenvektor“,betrachten und gleichzeitig die Information darüber erhalten, wie vieleBlumen welcher Art dieser Strauss enthält.1.3.1 Lineare Algebra (Vektoralgebra)Die Lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumenund linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt. Dies schliesstinsbesondere auch die Betrachtung von linearen Gleichungssystemen undMatrizen mit ein (siehe LE 1.2, Kap. 6.4 Gauss’sches Eliminationsverfahren).Die Lineare Algebra entstand aus zwei konkreten Anforderungen heraus:Einerseits dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, andererseits derrechnerischen Beschreibung geometrischer Objekte, der so genanntenanalytischen Geometrie. Ein 2x2 Gleichungssystem kann geometrisch alsschneiden von zwei Geraden, ein 3x3 Gleichungssystem als schneiden vondrei Ebenen interpretiert werden (siehe LE 1.2).Gleichungssysteme können als Vektorgleichungen geschrieben werden. A ⋅ x = b : Vektor x wird linear durch die Matrix A auf Vektor b abgebildet.⎛a11 a12 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛b1⎞⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔a a x b⎝ 21 22 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠a ⋅ x + a ⋅ x = b11 1 12 2 1a ⋅ x + a ⋅ x = b21 1 22 2 2Im allgemeinen Sinn versteht man in der Linearen Algebra unter einemVektor (lateinisch vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums,d.h. ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die alsSkalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann (Linearkombination).6 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorraum als algebraische StrukturIm engeren Sinne versteht man in der analytischen Geometrie unter einemVektor ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene2R oder im RaumR 3 beschreibt. Ein Vektor kann durch einen Pfeil dargestelltwerden. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare inder Ebene bzw. Zahlentripel im Raum dargestellt, die oft untereinander als„Spaltenvektoren“ geschrieben werden. Motiviert von der Koordinatendarstellungder geometrischen Vektoren werden oft auch n-Tupel reellerZahlen als Vektoren in einem n-dimensionalen RaumR bezeichnet.n- dimensionale VektorräumeEin Vektorraum hat folgende algebraische Struktur: Wenn a und b Elemente des Vektorraumes sind und x , y reelle Zahlen, dann ist c = x ⋅ a + y ⋅ b ebenfallsein Element des Vektorraumes (siehe LE 1.2, Kap. 6.8 Vektorräume alsmathematische Struktur). Die Elemente eines Vektorraums werden allgemeinals Vektoren bezeichnet. Da unser räumliches Vorstellungsvermögen auf dreiDimensionen beschränkt ist, können mehrdimensionale Vektoren (n > 3) nichtmehr grafisch mit einem Pfeil dargestellt werden. Für die Berechnungen wirddie numerische Darstellung als n-Tupel verwendet.Ein 4-dimensionaler Vektorraum wird durch 4 Basisvektoren aufgespannt.n⎛1⎞ ⎜ ⎟0Basisvektoren: e1= ⎜ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ ⎟⎝0⎠⎛0⎞ ⎜ ⎟1= ⎜ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ ⎟⎝0⎠, e2⎛0⎞ ⎜ ⎟0= ⎜ ⎟⎜ 1 ⎟⎜ ⎟⎝0⎠, e3⎛0⎞ ⎜ ⎟0= ⎜ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ ⎟⎝1⎠, e4Ein Element des Vektorraumes (4-dimensionaler Vektor x ) kann dann alsLinearkombination der Basisvektoren dargestellt werden. ( x als 4-Tupel)Linearkombination:⎛ x1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜x⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟x = = x ⋅ + x ⋅ + x ⋅ + x ⋅⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 2 3 4⎜ x3⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ x ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠4Die reellen Zahlen x 1, x 2, x 3, x 4 heissen Komponenten des Vektors x und werden mit den Basisvektoren e 1,e 2,e 3,e4multipliziert und dann addiert.Das Vektormodell lässt sich überall dort anwenden, wo wir die algebraischeStruktur eines Vektorraumes vorfinden. Beispiele solcher Verwendung desVektorbegriffs finden sich namentlich in der Wirtschaftsmathematik.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 7

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMathe1.3.2 Vektoren in der WirtschaftDa wir es in der Volkswirtschaftslehre fast ausschliesslich mit Systemen vielerVariablen sowie Abbildungen zwischen diesen Systemen zu tun haben, spieltder Begriff des Vektorraums in den mathematischen Modellen derVolkwirtschaftslehre eine ganz zentrale Rolle. So betrachten wirbeispielsweise die Kaufentscheidung eines Konsumenten als Tausch von Geld(eine Variable) gegen ein Bündel ganz unterschiedlicher Waren inverschiedenen Mengen (viele Variablen). Oder wir weisen solchenWarenbündel in dem Versuch, Kaufentscheidungen zu rationalisieren, einenNutzwert zu (eine Variable). Firmen produzieren Waren, indem sieverschiedene Inputs wie Arbeit, Rohstoffe usw. benutzen, um diese in einoder mehrere Produkte umzuwandeln, so dass wir es auch hier wieder mitverschiedenen Bündeln in Form von Inputs und Outputs zu tun haben. DerBegriff des Vektors erlaubt es uns nun, all diese Bündel als ein Objekt mitverschiedenen Komponenten zu betrachten und nicht etwa als unstrukturierteMenge von Einzelobjekten.Anwendung in der WirtschaftsmathematikEin Unternemen produziert nichtnegative Outputmengen z 1 , z 2 , z 3 , z4vonvier verschiedenen Gütern und benutzt als Input die nichtnegativen Mengenx 1 , x 2 , x 3 , x4derselben vier Güter. Definieren wir für jedes Gut i (i = 1, 2, 3, 4)durch yi = zi − xiden netto Output des Gutes i. Es ist pider Preis des Gutes i.⎛p1⎞⎜ ⎟p2Preisvektor: p =⎜ ⎟⎜ p ⎟3⎜p⎟⎝ 4 ⎠, Inputvektor:⎛ x1⎞⎜ ⎟x2x =⎜ ⎟ , Outputvektor:⎜ x ⎟3⎜ x ⎟⎝ 4 ⎠⎛ z1⎞⎜ ⎟z2z =⎜ ⎟⎜ z ⎟3⎜ z ⎟⎝ 4 ⎠Netto-Outputvektor:Einnahmen des Unternehmens: E Kosten des Unternehmens: K = p ⋅ xGewinn des Unternehmens: G⎛ y1 ⎞ ⎛ z1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ z1 − x1⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟y2 z2 x2 z2 x2y⎜ ⎟ −= = z − x =⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ y ⎟ ⎜3 z ⎟ ⎜3 x ⎟ ⎜3 z3 − x ⎟3⎜ y ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ z − x ⎟⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ = p ⋅ z = p ⋅ y(Skalarprodukt, siehe Kapitel 4)8 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorraum als algebraische Struktur p ⋅ z − p ⋅ x = p ⋅ z − x = p ⋅ yGewinn = Einnahmen – Kosten = ( ) Beachte: Ist p ⋅ y negativ, macht das Unternehmen Verlust!Berechnungen mit dem Rechner [Skalarprodukt dotP()]Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist kein Vektor, sondern eine Zahl(Skalar)! „Vektor mal Vektor = Zahl“. Diese wichtige Verknüpfung von zweiVektoren werden wir im Kapitel 4 studieren.1.3.3 Vektoren in der TechnikDie Geometrie eines Werkstückes kann durch einen achtdimensionalenVektor k beschrieben werden.edgahfcbk⎛a ⎞ ⎛32⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜b⎟ ⎜26⎟⎜c ⎟ ⎜10⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟d 14=⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜e⎟ ⎜ 9 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ f ⎟ ⎜11⎟⎜g⎟ ⎜9⎟⎜h⎟ ⎜11⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠mmMit Hilfe des Vektors k (array) kann der Datensatz einesWerkstücks abgespeichert werden. Durch Multiplizierendes Vektors mit einer Zahl kann die Grösse des Werkstücks verändert werden. z.B. k1= 0,62 ⋅kDie skalare Multiplikation („Zahl mal Vektor = Vektor“), eines Vektors miteiner Zahl werden wir in Kapitel 2 definieren.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 9

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMathe1.4 Der geometrische Begriff des Vektors1.4.1 Vektor = VerschiebungDurch eine Parallelverschiebung in derEbene oder im Raum geht jede Figur in einezu ihr deckungsgleiche Figur über.Jede Parallelverschiebung kann durch einenPfeil, einen so genannten Vektor dargestelltwerden, der von einem Punkt P zu seinemBildpunkt P’ weist. a = PP ' Der Vektor averschiebt das Dreieck ABC in das DreieckA’B’C’, wobei A in A’, B in B’ und C in C’ verschoben wird. Die Punkte A, Bund C werden gleich weit und in die gleiche Richtung bewegt. Die PfeilePP ' , AA ' , BB ' und CC ' stellen den gleichen Vektor a dar. Daraus lässt sich dieFrage, wann zwei Vektoren gleich sind, beantworten. Zwei Vektoren a und b sind gleich, wenn sie die gleiche Verschiebung bewirken. Wenn amüssen a und b die gleiche Richtung und die gleiche Länge haben.= bist, so1.4.2 Definition: Gleichheit von zwei VektorenZwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleiche Länge und gleiche Richtung haben.Da es somit gleichgültig ist, von welchem Ausgangspunkt aus wir einenVektor zeichnen, sprechen wir auch von „freien Vektoren“.1.4.3 Repräsentant eines freien VektorsVektor = PfeilAls naive Mathematiker stellen wir uns denVektor einfach als Pfeil vor.Als raffinierte Mathematiker sehen wir eineMenge gleich langer und gleich gerichteter Pfeileals Vektor an.Vektor = Menge aller Pfeile desRaumes oder der Ebene, mit einerbestimmten Länge und RichtungJeder Pfeil der Menge heisst Repräsentant desVektors.10 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDer geometrische Begriff des VektorsKontrollfragenWelche der folgenden Behauptungen sind richtig?a) Je zwei Repräsentanten desselben Vektors sind immer gleich lang.b) Je zwei Repräsentanten desselben Vektors sind immer parallel.c) Wenn zwei Pfeile gleich lang und parallel sind, dann handelt es sichum den gleichen Vektor.d) Wenn zwei Pfeile gleich lang sind und gleiche Richtung haben, dannhandelt es sich um den gleichen Vektor.e) Verbinden wir die Spitzen zweier Repräsentanten desselben Vektorsmiteinander, und machen wir dasselbe mit den Anfangspunkten, soerhalten wir immer ein Parallelogramm.1.4.4 Bezeichnungen von VektorenEin Vektor mit Anfangspunkt A und dem Endpunkt B bezeichnenwir mit AB . Wir können einen Vektor auch mit einem lateinischen Buchstabenmit darüber gesetztem Pfeil bezeichnen.Beispiele: a , v , F , G , . . . . . . . . .Betrag eines Vektors (Länge)Die Länge eines Vektors a bezeichnen wir mit a (Betrag von a ) oder kurzBeispiel Parallelogrammmit a (ohne Pfeil). Der Betrag des Vektors AB ist die Länge der Strecke AB :AB = ABIst ABCD ein Parallelogramm, so folgtnach der Definition der Gleichheit vonzwei Vektoren:A B = DC = a ( ABund DCsind Repräsentanten des Vektors a ) BC = AD = b ( ADund BCsind Repräsentanten des Vektorsb )Weiter gilt: AB =AB =a = a (Länge des Vektors a )Worin stimmen die Vektoren AB und BA überein?Wodurch unterscheiden sich die beiden Vektoren?Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 11

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheKontrollfragenABCDEFGH ist ein Würfel. AB = a , AD = b , AE = ca) Welche Vektoren werden durch folgendeRepräsentanten dargestellt?DC =DH =EH =FG =HG = b) Gib einen weiteren Repräsentanten des Vektors HF an: HF =c) Durch wie viele Repräsentanten ist in der Zeichnung der Vektor a vertreten, wie heissen sie?a = = =Lösungen Kapitel 1.3 der geometrische Begriff des VektorsLösungen Kontrollfragen Seite 6Behauptungen a) , b) und d) sind richtig. Behauptung c) ist falsch. ParalleleVektoren können gleiche Richtung oder entgegengesetzte Richtung haben.(antiparallel) Zu e) Spezialfall: Wenn die beiden Repräsentanten auf einerGeraden liegen ergibt sich ein „entartetes Parallelogramm“ (keine Fläche)Lösungen Beispiel Parallelogramm Seite 7 AB = BA : Die Vektoren haben die gleiche Länge. Sie unterscheidensich in der Richtung. BA hat die entgegengesetzte Richtung von AB .Lösungen Kontrollfragen Seite 8 a) DC = a ; DH = c ; EH = b ; FG = b ; HG = a b) HF = DB c) a = AB = DC = EF = HG ; a ist durch 4 Repräsentanten vertreten.12 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDer geometrische Begriff des Vektors1.4.5 Übungen zum geometrischen Begriff des VektorsDynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Verschiebung_DreieckZeit: 10 MinutenDer Vektor (Pfeil)a = PP ' verschiebt einen Punkt Pin seinen Bildpunkt P’. Diese Verschiebung istcharakterisiert durch eine Länge und eine Richtung.Schieberegler:Länge der Verschiebung: : Die Länge a kann in denGrenzen von 0 bis 5 verändert werden.Richtung der Verschiebung: : Der Winkel α kannvon 0 0 bis 180 0 verändert werden. (zurDas DreieckHorizontalen im Gegenuhrzeigersinn) ∆ ABC wird durch den Vektor a = PP ' = AA ' = BB ' = CC ' in seinBilddreieck ∆A 'B 'C ' verschoben. Die vier gezeichneten Pfeile haben alle diegleiche Länge und Richtung. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant des Vektors a .Arbeitsaufträge:1) Experimentiere mit der Länge und der Richtung vona .00Betrachte folgende Beispiele: ( a = 4; α = 90 ) , ( a = 3; α = 127 )0)2) Einstellung: ( a = 5; α = 0 . Verändere die Länge a von 5 auf 0 und wieder auf 5zurück. Beobachte dabei das Bilddreieck ∆ A 'B 'C '. Was beobachtest du für a = 0. 3) Gib dem speziellen Vektor a = PP = AA = BB = CC einen n Namen und untersucheseine Richtung ( a = 0 ; α .)usw.MerkeDie geometrische Interpretation des Vektors als Verschiebung ist sehrwichtig und kann dir beim Umgang mit Vektoren in der Praxis helfen.Wir werden in den folgenden Kapiteln davon Gebrauch machen!Partnerinterview VektorgeometrieVektor_GrundlagenZeit: 10 MinutenFrage 1:Was ist ein Skalar? Was ist ein Vektor? Gib je drei Beispiele.SkalarVektorLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©13

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheFrage 2:Wie viele verschiedene Vektoren werden dargestellt?Frage 3:Welche Folgerung ist falsch? Begründe! 1) a b ⇒=a = b 2) a = b ⇒ a b=Übung 1 : Repräsentanten von Vektoren in der EbeneDie Figur besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken.Gib alle Pfeile an, die1) den Vektor a repräsentieren.2) den Vektor b repräsentieren.Übung 2 : Repräsentanten von Vektoren im RaumDie Figur stellt einen Würfel dar. Gib mit Hilfe derEckpunkte alle Pfeile an, die den folgenden Vektorrepräsentieren:1) BC2) DE3) AGLösungen Übung 1 1) Vektor a : AM ; FE ; MD ; BC 2) Vektor b : AF ; ME ; BM ; CD Lösungen Übung 2 1) BC= AD = EH = FG2) DE = CF3) Für AG gibt es in der Figur keinen Repräsentant!14 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDer geometrische Begriff des Vektors1.4.6 Vektoren in PolarformVektoren in der Ebene können durch den Betrag (Länge) und einen Winkelzur Horizontalen beschrieben werden.a = a| α =Betrag | Winkel( ) (Zeichne jeweils den Winkel bei dengezeichneten Vektoren ein!Beachte:α ∈ ⎣0 0⎡⎣ 0 ;180⎤⎦ und 0 0α ∈ ⎡⎣0 ; −180)⎤⎦(Winkel im Urzeigersinn sind negativ)In der Praxis ist es oft zweckmässig die Vektoren in Polarform anzugeben.ÜbungGib die drei Vektoren in Koordinaten-darstellung und in Polarform an.Berechne den Betrag (Länge) der Vektoren.Dynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Polarform_Vektoren in der EbeneZeit: 10 MinutenVektoren in der Ebene können durch die Länge und den Winkel zurHorizontalen beschrieben werden (Polarform):a = ( α | a = 5 ) : Winkel α ∈ ⎡ ⎣ 0 ;1800 0b = ( β | b = 5 ): Winkel β ∈ ⎡⎣0 ; −1800 0⎤ ⎦ im Gegenuhrzeigersinn⎤⎦ im Uhrzeigersinn (negative Winkel)Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©15

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheSchieberegler:Arbeitsaufträge:0 0Winkel α ∈ ⎡ ⎣ 0 ;180Winkel β ∈ ⎡ ⎣ 0 ;1800 0⎤ ⎦ im Gegenuhrzeigersinn⎤ ⎦ im Uhrzeigersinn1) Überlege dir mit Hilfe der Trigonometrie, wie die Vektoren in Polarformin die Koordinatendarstellung umgerechnet werden können. ⎛ ax⎞ ⎛ bx⎞Fall 1 : a = ( α | a ) → a = ⎜a⎟ Fall 2: b = ( β | b ) → b = ⎜⎝ y ⎠b⎟⎝ y ⎠2) Lass dir die trigonometrischen Funktionen vom Taschenrechneraufzeichnen und interpretiere die Werte (insbesondere das Vorzeichen).Fall 1 : sin ( α ) und ( )Fall 2 : sin( β ) und cos ( β ) für0 0cos α für α ∈ ⎡ ⎣ 0 ;180 ⎤ ⎦0 0β ∈ ⎡⎣0 ; −180⎤⎦Partnerinterview VektorgeometrieVektoren in PolarformZeit: 5 MinutenGegeben sind die zwei Vektoren a und b in Polarform:00a = ( 3| 0 ) ; b = ( 4| 90 ) . Der Vektor d ist die Differenz von a und b : d = a − b . Zeichne die Vektoren in das untenstehende Gitter ein. Welche Aussagen zum Vektor d = a − b sind richtig, welche falsch?Begründe deine Antwort kurz!d = 7d = 5d = 5d = a − b d = a − b ⎛ 3 ⎞d = ⎜−4⎟⎝ ⎠d = a − brichtigfalschDiskutiere Beispiele aus der Physik (Geschwindigkeits- und Kräftevektor)−v = 4ms 1 | 600 . BestimmeBeispiel Schiefer Wurf: Abschussgeschwindigkeit 0 ( )Geschwindigkeitsvektor am höchsten PunktGeschwindigkeitsvektor beim Auftreffen am Boden16 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGeschwindigkeit als Vektor1.5 Geschwindigkeit als Vektor1.5.1 Überlagerung von BewegungenDie Erfahrung lehrt uns, dass Bewegungen sich überlagern können ohne sichgegenseitig zu beeinflussen. Diese Eigenschaft nennen wir dasUnabhängigkeitsprinzip der Bewegungen.UnabhängigkeitsprinzipDie Bewegung eines Körpers lässt sich so in mehrere Teilbewegungenin verschiedenen Richtungen zerlegen, dass diese in der gleichen Zeitwie die Gesamtbewegung und unabhängig voneinander ablaufen.1.5.2 Beispiel FlussströmungEin Boot soll einen Fluss, dessen StrömungsgeschwindigkeitvF= 5ms −1beträgt, überqueren. In welcher Richtung und wie schnell muss das Bootfahren ( v B ), damit es trotz der Abdrift durch die Strömung den Flusssenkrecht mitvR1= 12ms − überquert.Überlagerung von zwei Bewegungen (Geschwindigkeiten) v + v = vB F RBootsgeschwindigkeit plus Strömungsgeschwindigkeit ergibt dieresultierende Geschwindigkeit v = v + − v = v − v( )B R F R Fv F : Strömungsgeschwindigkeit des FlussesLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 17

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMathev B : Geschwindigkeit des Bootes in ruhigem Wasser(Eigengeschwindigkeit)v R : Resultierende Geschwindigkeit1Beträge der Vektoren: v = 5ms − ;FvR1= 12ms − v = v + v = 12 + 5 = 169 = 13ms −2 2B R F2 2 1v 5 5Abdriftwinkel: tan( α ) = = → α = arctan⎛ ⎞= 22,62v 12⎜12⎟⎝ ⎠F 0RLösung mit RechnerFür die Eingabe verwenden wir die Polarform der Geschwindigkeitsvektoren.Der Rechner rechnet in kartesischen Koordinaten (rectangular).Gegeben:−v = 12 ms ; 90RF1 o( )v = 5 ms ; 0−1 o( )undGesucht:−v = x ms ; α + 90F1 o( )1.5.3 Beispiel: horizontaler WurfEine Kugel rollt mitvK1= 2ms − über einen Tisch, der eine Höhe vonH = 1,2m besitzt. In welcher Entfernung L von der Tischkante schlägt dieKugel auf dem Boden auf?18 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGeschwindigkeit als VektorLösungsideeDie Kugel schlägt nach der Zeit t A am Boden auf. Die Bahnkurve ist eineParabel. Wir zerlegen die Bewegung in eine horizontale und eine vertikaleTeilbewegung.TeilbewegungenHorizontal: ( „wir schalten gedanklich die Erdbeschleunigung g aus“ )Gleichförmige Bewegung mit der GeschwindigkeitvK1= 2ms − .Die Kugel legt in der Zeit t A den Weg L zurück:L = v ⋅ t (Bahnkurve horizontale Gerade)KAVertikal: ( „wir schalten gedanklich die Geschwindigkeit v K aus“ )Freier Fall d.h. gleichmässig beschleunigte Bewegung aus der Ruhelagea = g = 9,81ms −2 . Die Kugel legt in der Zeit t A den Weg H zurück:Hg 2= ⋅ tA(Bahnkurve vertikale Gerade)2Nun benützen wir den Freien Fall um die Flugzeitt A zu berechnen:Hg 22H 2 ⋅ 1,2m= ⋅ tA→ tA = = =2g29,81ms −0,495 sMit Hilfe der Flugzeitt A erhalten wir aus der gleichförmigen Bewegung die−1Wurfweite L: L = v ⋅ t = 2ms ⋅ 0,495 s = 0,98mKAAnwendungEin Biker möchte mit Hilfe einerhorizontalen Sprungschanze über denRand eines tiefen Canyons hinaus aufdie andere Seite springen. WelcheAbsprunggeschwindigkeit v 0 muss ermindestens haben, wennh = 20m und L = 10m beträgt?Rechne mit der Erdbeschleunigungg = 10ms −2 .Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 19

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheDynamisches Arbeitsblatt Horizontaler WurfGeoGebra Datei: Horizontaler WurfZeit: 10 MinutenEine Kugel wird horizontal auf der Höhe h = 20 mit der Geschwindigkeitv horizontalnachrechts geschossen. Verlässt die Kugel die Kanone, so unterliegt sie dem freien Fall. DieBewegung der Kugel, dessen Bahnkurve eine Parabel ist, kann in zwei Teilbewegungenaufgeteilt werden.Horizontal:Vertikal:Gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit v horizontal (konstant).Freier Fall, gleichmässig beschleunigte Bewegung aus der Ruhelage v vertikal . Die beiden Bewegungen überlagern sich und es gilt: v = v horizontal+vvertikal .Schieberegler:Mit dem Schieberegler t (Zeit) kann der Verlauf der Bewegung simuliertwerden. Die bewegten Punkte hinterlassen eine Spur. Im Menu Ansicht kannmit Ansichten auffrischen die Spur gelöscht werden.Arbeitsaufträge:1) Beobachte den Abstand der horizontalen und vertikalen Punkte. Wasstellst du fest? Kannst du diesen Sachverhalt erklären?2) Kannst du die Bewegung mit Hilfe der Teilbewegungen berechnen? Wannschlägt die Kugel am Boden auf? An welchem Ort schlägt die Kugel amBoden auf? Wie gross ist die Geschwindigkeit beim Aufschlag? WelcheRichtung hat sie?20Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGeschwindigkeit als Vektor1.5.4 Beispiel: Schiefer WurfDynamisches Arbeitsblatt Schiefer WurfGeoGebra Datei: Schiefer Wurf_ExperimentZeit: 20 MinutenExperiment: Schuss auf eine Kugel.Die Achse des Rohres einer Federkanone istgenau auf den Punkt P gerichtet, in welchemsich eine Kugel K befindet, die an einemElektromagneten hängt. Das Geschossverlässt die Mündung mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 und unterbrichtgleichzeitig den Stromkreis des Elektromagneten, so dass die Kugel zu fallenbeginnt. Auch das Geschoss beginnt in diesem Augenblick zu fallen, da esnicht mehr vom Rohr geführt wird. Wenn die von der Erdanziehung herrührendeBeschleunigung des Geschosses wirklich unabhängig ist von seinemBewegungszustand, dann fällt es in der Zeit t um dieselbe Strecke wie dieKugel, d.h. zu jeder Zeit liegt das Geschoss um ∆ h= 12g ⋅ t tiefer als dieGerade g, die der Bahn ohne Einwirkung der Erdanziehung entspricht. Eswird also immer die fallende Kugel treffen, unabhängig von seiner Anfangsgeschwindigkeit.Bei grosser Anfangsgeschwindigkeit trifft das Geschoss dieKugel nach einer kurzen Fallstrecke, bei einer kleinen nach einer grossenFallstrecke.⋅2Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©21

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheDynamisches Arbeitsblatt: Schiefer Wurf_Experiment_1(Zeit: 10 Minuten)Schieberegler:• Abschusswinkel (Richtung von v 0 ): Mit dem Schieberegler Abschusswinkel kann derWinkel α (Winkel der Abschussgeschwindigkeit v 000 zur x-Achse) von 0 bis 90eingestellt werden.• Schieberegler v 0 (Betrag von v 0 ; Schnelligkeit). Mit dem Schieberegler v 0 kann dieSchnelligkeit der Abschussgeschwindikeit des Geschosses eingestellt werden.• Schieberegler Zeit t . Mit dem Schieberegler t kann der Verlauf der Bewegung simuliertwerden. Das Geschoss (Punkt G) hinterlässt eine Spur. Im Menu Ansicht kann mitAnsichten auffrischen die Spur gelöscht werden.Arbeitsaufträge: Schiefer Wurf1) Der Geschwindigkeitsvektor v 0wird in Komponenten in Richtung der Achsen zerlegt.Berechne die Komponenten in Abhängigkeit des Winkels α .2) Beobachte die Geschwindigkeitskomponenten v 0x(Schieberegler Zeit t). Was stellst du fest?und v 0y während der Bewegung3) Was kannst du über den Geschwindigkeitsvektor (Richtung und Betrag) am höchstenPunk der Bahn aussagen?4) Nach welcher Zeit und wo schlägt die Kugel am Boden auf? Welcher Abschusswinkelliefert bei konstant gehaltener Schnelligkeit die maximale Wurfweite?Schuss auf die Kugel K5) Verlässt das Geschoss den Koordinatenursprung so beginnt die Kugel K beim Punkt P zufallen. Was sind die Voraussetzungen, dass das Geschoss die Kugel trifft? Untersuchedeine Hypothesen. Experimentiere mit dem Geschwindigkeitsvektor, d.h. mit derSchnelligkeit und der Richtung.UnabhängigkeitsprinzipDa sich die Teilbewegungen unabhängig voneinander überlagern [z.B. dieBeschleunigung g ist vom Bewegungszustand v 0 des Körper unabhängig],können wir die kinematischen Grössen (Weg, Geschwindigkeit,Beschleunigung) als Vektoren behandeln. Wir beschreiben den Ort zur Zeit t des Geschosses bzw. der Kugel mit Hilfe der Ortsvektoren r Geschoss , rKugel(Pfeile vom Koordinatenursprung zum Geschoss bzw. zur Kugel).22 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGeschwindigkeit als VektorDie Spitze des Ortsvektors durchläuft die Bahn des Geschosses (Parabel) bzw.der Kugel (Gerade).Wir zeigen nun rechnerisch, dass es genügt die Kanone inRichtung der Kugel auszurichten, d.h. der Geschwindigkeitsvektor v 0die Richtung des Ortsvektors r 0 der Kugel haben.Arbeitsauftrag: Versuche mit Hilfe des Arbeitsblattes Schiefer Wurf_Experiment_2 dienachfolgende Vektorberechnung zu verstehen:mussDynamisches Arbeitsblatt: Schiefer Wurf_Experiment_2(Zeit: 10 Minuten)Beschreibung der Bewegung mit Hilfe der Ortsvektoren.⎧ Verschiebung durch ⎫ ⎧ Verschiebung durch ⎫r Ortsvektor = { Anfangsort } + ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬⎩ gleichförmige Bewegung ⎭ ⎩ Freien Fall ⎭ 1 2r Geschoss = 0 + t ⋅ v0+ ⋅ t ⋅ g2 1 2r Kugel = r0+ 0 + ⋅ t ⋅ g2Bedingung für Zusammentreffen: r Geschoss = r Kugel 1 2 1 2 1 2t ⋅ v0 + ⋅ t ⋅ g = r2 0 + ⋅ t ⋅ g / − ⋅ t ⋅ g2 2 t ⋅ v = r0 0Folgerungen aus der Vektorgleichung:1) Richtung: v 0 muss die Richtung von r 0 haben.r02) Betrag: t ⋅ v0 = r0→ t =v0Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 23

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMathe1.6 Kraft als VektorDie Kräfte können durch das Vektormodell beschrieben werden.1.6.1 Addition von Kräften, das ParallelogrammprinzipZwei Kräfte F 1 und F 2 mit gemeinsamem Angriffspunkt A lassen sich durcheine einzige Kraft F res ersetzen. Diese hat in jeder Beziehung die gleicheWirkung wie F 1 und F 2 . F resbesitzt denselben Angriffspunkt A und wird alsDiagonale des von beiden Kräften F 1 und F 2 aufgespanntenParallelogramms erhalten. DieErsatzkraft F res wird Resultierendeder Kräfte F 1 und F 2 genannt.Dies ist nichts anderes als dieVektoraddition: F = F + Fres 1 2Beachte :Statt des vollständigen Parallelogrammsgenügt es nur ein Kräftedreieck zuzeichnen.„ F 2 an den Kopf von F 1 anhängen“Haben wir mehr als zwei Kräfte, so ergibt sich ein Kräftepolygon.Bei manchen Problemen ist es vorteilhaft, umgekehrt vorzugehen und einegegebene Kraft durch zwei andere Kräfte zu ersetzen.24 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheKraft als Vektor1.6.2 Die Zerlegung einer KraftIst F 1 und F 2 gegeben, so können wir F res = F1 + F 2BeispieleUmgekehrt können wir eine gegebene Kraft F ( =und F 2 von vorgeschriebener Richtung zerlegen.Diese nennen wir die Komponenten von F .Gegeben: Eine Kraft F und zwei Richtungen g 1 und g 2 .bestimmen.F res ) in zwei Teilkräfte F 1Gesucht : Komponenten F 1 , F 2 von F mit den Richtungen g 1 , g 2Schiefe EbeneZerlege die Gewichtskraft G in eine Komponente G Komponente G ⊥ senkrecht zur Unterlage.parallel und eineLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 25

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheDynamisches Arbeitsblatt Zerlegung einer KraftGeoGebra Datei: Zerlegung_Kraft in der EbeneZeit: 10 Minuten1) Zerlege die beiden Kräfte F 1 und F 2jeweils in die Komponenten F a undF b : F 1 = a ⋅ F a + b ⋅Fb bzw. F2 = a ⋅ Fa + b ⋅ Fb.Bestimme jeweils die Zahlen a und b.2) Beschreibe jeweils dein Vorgehen für die Zerlegung.g Gerade parallel zu F a ; gbGerade parallel zu F b )( aGegeben sind die Kräfte F a und F b .Schieberegler:Mit dem Schieberegler a kann die KraftF a multipliziert werden: a ⋅ FaMit dem Schieberegler b kann dieKraft F bmultipliziert werden:Arbeitsaufträge:Welches sind die Voraussetzungen für die Kräfte F aund F b damit dieKraft F zerlegt werden kann? Lässt sich jede Kraft F (im Raum) in dieKomponenten von F a und F bzerlegen? Welches ist die Voraussetzung fürdie Kraft F , damit sie nach F a und F bzerlegt werden kann?b ⋅ FbDynamisches Arbeitsblatt Zerlegung der GewichtskraftGeoGebra Datei: Schiefe Ebene Zerlegung_GewichtskraftZeit: 20 Minuten26Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheKraft als VektorBeim Problemlösen in der Praxis ist es sinnvoll Kräfte in Komponenten zuzerlegen, so dass sich die Behandlung des Problems vereinfacht. Ein einfachesBeispiel ist die Zerlegung der Gewichtskraft bei der schiefen Ebene. Für dieAnalyse der Bewegung eines Klotzes auf der schiefen Ebene bringt dieAufteilung der Gewichtskraft G in eine Komponente parallelG pund eineKomponente senkrechtG zur Unterlage grosse Vorteile. Es gilt dies Vektoraddition: G = Gp + Gs. Die zwei Komponenten haben die gleicheWirkung wie die Gewichtskraft.Lageplan:Kräfteplan:Gewichtskraft wird beim Klotz auf der schiefen Ebene eingezeichnet.Für die Berechnung der Komponenten wird die Gewichtskraft isoliert.Schieberegler: m: Masse des Klotzes (Die Gewichtskraft ist proportional zur Masse:Arbeitsaufträge:G = m ⋅ g wobei g ≈ 10ms −2 die Erdbeschleunigung ist)1) Die Punkte E und D lassen sich bewegen. Untersuche folgende zweiSpezialfälle:a) Schiebe den Punkt D nach unten, so dass die Neigung der schiefenEbene00 wird. Beobachte dabei die Komponenten der Gewichtskraft.Wie gross sindG undG 0s, wenn die Neigung 0 beträgt.pb) Schiebe den Punkt E nach links, so dass die Neigung der schiefen Ebene090 wird. Beobachte dabei die Komponenten der Gewichtskraft.Wie gross sindG undG 0s, wenn die Neigung 90 beträgt.p2) Wähle für die Neigung der schiefen Ebene030 und berechne die BeträgeG und G , wenn die Gewichtskraft G bekannt ist.ps(Tipp: Verwende die Eigenschaften des0 0 030 - 60 - 90 Dreiecks)Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck:Berechne die BeträgeG und G aus der Gewichtskraft G für einen beliebigenps0 0Winkel α ∈ [0 ; 90 ] . Überprüfe die im Punkt 1) erhaltenen Spezialfälle, mitdem Resultat aus der Trigonometrie.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 27

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMathe1.6.3 Übungen schiefe EbeneRechne mit einer Erdbeschleunigungg = 10 ms −2Übung 1: StatikÜbung 2: DynamikWelche Kraft F in Newton zeigt der Kraftmesser an?Voraussetzungen: keine Reibung, Seil undKraftmesser sind masselos!0Daten: Masse m = 10 kg , Winkel α = 50 ,Gegeben ist die nebenstehende Anordnung.Annahmen: Seil und Rollen masselos, keinLuftwiderstand , keine ReibungDaten: Massen: m 1= 2 kg ; m 20= 3kg ; α = 70Berechne die Beschleunigung a der Masse m 2 .Tipp: Die Umlenkrolle lenkt die Kräfte nur um.Anordnung auf Horizontal transformieren undentsprechende Kräfte übertragen.FBewegungsgesetz: 2. Newtonsches Axiom Fres= mtotal⋅ a → a =mrestotalLösungen Übung schiefe EbeneÜbung 1: Statik Kräftezerlegung der Gewichtskraft−2 0( ) ( ) ( )−2 0( ) ( ) ( )G = G⋅ sin α = m⋅ g⋅ sin α = 10kg ⋅10ms ⋅ sin 50 = 76,6NG⊥ = G⋅ cos α = m⋅ g⋅ cos α = 10kg ⋅10ms ⋅ cos 50 = 64,3NF = G = 76, 6NÜbung 2: Dynamik Bewegungsgesetz: 2. Newtonsches AxiomFresFres= mtotal⋅ a → a =mtotalF = G − G = g ⋅ [ m − m ⋅ sin ( α ) ]res 2 12 1( ) [ ( ) ]F = m + m ⋅ a = g⋅ m − m ⋅ sin αres 1 2 2 10( ) 3kg − 2kg ⋅ sin( 70 )m − m ⋅ sin αa = ⋅ g = ⋅ 10 ms = 2,24msm + m 5kg2 1 −2 −21 228 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheKraft als Vektor1.6.4 Anwendungen KräftezerlegungAnwendung 1: Umlenkrolle, LagerkraftDie Kraft F sei so gross, dass die Last G ( F G = 800N ) stillsteht. Bestimme die resultierende Kraft F = ( F | ϕ ) , die0im Rollenlager L wirkt, wenn α = 40 ist.LLDynamisches Arbeitsblatt Umlenkrolle LagerkraftGeoGebra Datei: Umlenkrolle_LagerkraftZeit: 10 MinutenSchieberegler0 0α ⎡⎣0 ; 90⎤⎦ : Winkel zwischen den beiden Kräften F und F G .Auf das Lager wirken zwei Kräfte F und F G. Die Lagerkraft F L erhalten wir als Vektorsumme der beiden Kräfte (Resultierende) F L = FG+F (gelbgefärbtes Dreieck). Wir zerlegen die Kraft F in eine senkrechte und einehorizontale Komponente (blaues Dreieck):F = F⋅ cos( α)SenkrechtFür die Lagerkraft erhalten wir folgende Komponenten:F= ⋅ α ; F = F⋅ sin( α )= FHorizontalF = F + F; L HorizontalHorizontal L Senkrecht G SenkrechtArbeitsaufträge:1) Variiere den Winkel0 0α ⎡ ⎣ 0 ; 90⎤ ⎦ und überprüfe dein Resultat der0Anwendung 1 α = 40 .002) Interpretiere die Spezialfälle α = 0 und α = 90Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©29

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheAnwendung 2: Kräftesumme, Betrag der Resultierenden0Gegeben: F1=( 10N | 0) ; ( 00F2= 8N|120 ) ; F3 = ( F 3| −150 ) Bestimme die möglichen Werte für F 3 so, dass gilt: F 1 + F 2 + F 3

DialogMatheAnwendung Statik: Vektormodell für Kräfte1.7 Anwendung Statik: Vektormodell für KräfteStatik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich mit Kräften in unbewegtenSystemen beschäftigt. Im Bauingenieurwesen werden in der Baustatik realestatische Systeme wie Häuser, Brücken, usw. berechnet. Für diese technischenAnwendungen werden Vektoren als Modell für Kräfte eingesetzt.Partnerinterview KräfteVektor_GrundlagenZeit: 10 MinutenDiskutiere die folgenden drei Fragen mit deinem Lernpartner.Was sind Kräfte?Wie können Kräfte dargestellt werden?Wie kannst du mit Kräften rechnen?1.7.1 Darstellung von KräftenDie Kraft ist eine physikalische Grösse, die durch Stärke und Richtungbestimmt wird. Solche Grössen lassen sich mit dem mathematischen Modellder Vektoren beschreiben. Für das Rechnen mit Kräften in der Statik, brauchtes spezielle Vektoren wie gebundene Vektoren (Angriffspunkt) oder ,linienflüchtige Vektoren (starrer Körper).Wie üblich in der Mathematik können Objekte algebraisch, graphisch odernumerisch dargestellt werden, wobei mit allen drei Darstellungen gerechnetwerden kann. Rechnen mit Kräften heisst Kräfte addieren oder Kräfte miteiner Zahl zu multiplizieren z.B. eine Kraft zu halbieren.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 31

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheAlgebraische Darstellung von VektorenDie Kräfte (Vektoren) werden als Symbole dargestellt: F 1 , F 2 , F G , F N , usw.Mit diesen Symbolen kann dann wie in der Algebra mit Zahlen gerechnet werden, z.B können wir zwei Kräfte (Vektoren) addieren: Fres = F1 + F1Beachte: F res heisst Resultierende und beschreibt die Wirkung der beidenKräfte F 1 und F 2 .Graphische Darstellung von VektorenDie Kräfte (Vektoren) werden als Pfeile dargestellt. In der graphischen Darstellungkönnen Berechnungen mittels Trigonometrie durchgeführt werden.Die Kraftvektoren können in Polarform erfasst werden.F = F , α F = F , αGegeben: ( ) und ( )1 1 1Gesucht: F = ( F , α )resresBild Vektoraddition2 2 2Die Berechnung von F reskann mittels rechtwinkligenDreiecken (siehe Zerlegungin Komponenten ) oder mitHilfe des Cosinussatzesdurchgeführt werden.F = [ F ⋅ sin( α ) + F ⋅ sin( α )] + [ F ⋅ cos( α ) + F ⋅ cos( α ) ]2 2res 1 1 2 2 1 1 2 22 2F = F + F − 2 ⋅ F ⋅ F ⋅ cos( β ) mitres 1 2 1 2β = 180o− α + α2 1F1 ⋅ sin( α 1 ) + F2 ⋅ sin( α2)tan( α ) =F ⋅ cos( α ) + F ⋅ cos( α )1 1 2 2Numerische Darstellung von VektorenDie Kräfte (Vektoren) werden in einem Koordinatensystem dargestellt: ⎛ Fx⎞F = ⎜F ⎟ , wobei Fxund Fydie Komponenten der Kraft F sind.⎝ y ⎠32 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheAnwendung Statik: Vektormodell für KräfteBild: Zerlegung einerKraft in KomponentenBasisvektoren längsder Achsenrichtung:ex⎛ 1 ⎞= ⎜0 ⎟⎝ ⎠, ey⎛ 0 ⎞= ⎜1 ⎟⎝ ⎠Kraft als Linearkombination der Basisvektoren:F⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ F⎛ 0 ⎞ ⎛ Fxxx ⋅ ⎜ Fy0 ⎟ + ⋅ ⎜1 ⎟ = ⎜0 ⎟ + ⎜F ⎟ = ⎜y F ⎟y⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎞Beachte: Bei einer Linearkombination wird die Basis mit einer Zahl ( F xbzw.F y ) multipliziert und dann werden die beiden vektoriellen KomponentenF x⎛ ⎞⎜0⎟⎝ ⎠ und ⎛ 0 ⎞⎜F⎟ addiert. In der numerischen Darstellung können Berechnun-⎝ y ⎠gen auch von Rechnern einfach durchgeführt werden.Beispiel Addition von Kräften: Kräfte können komponentenweise addiert werden. F = F + F1 2⎛ Fres x⎞ ⎛ F1 Fx⎞ ⎛ 2x⎞⎜ = +F ⎟ ⎜ F ⎟ ⎜ F ⎟⎝ resy ⎠ ⎝ 1y ⎠ ⎝ 2y⎠⎛ F⎜⎝F1 2x x= ⎜ ⎟1 2y+ F+ Fy⎞⎟⎠Interpretiere das nebenstehendeBild!Beispiel Multiplikation von Kräften mit einer Zahl n z.B. n = 2 F = 2 ⋅ F1F⎛ F ⎞ ⎛ 2 ⋅ F ⎞⎛ x ⎞ 1x1x⎜ 2F⎟ = ⋅ =⎝ x ⎠⎜ F ⎟ ⎜1 2 F ⎟⎝⋅y ⎠ ⎝ 1y⎠⎞Interpretiere das nebenstehendeBild!Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 33

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMathe1.7.2 Beispiele für das Rechnen mit KraftvektorenDa in der Statik auch im dreidimensionalen Raum, häufig ebene Kraftsystemevorkommen, beschränken wir uns hier auf zweidimensionale Vektoren, d.h.auf Vektoren in der Ebene. Rechnungen mit drei- oder mehrdimensionalenVektoren gehen analog.RechnereinstellungDas Vektorformat muss eingestelltwerden.Rectangular (kartesische Koordinaten)Cylindrical ( Zylinderkoordinaten, inder Ebene, Polarkoordinaten)Eingabe von VektorenDie Vektoren können alsZeilenvektoren oderSpaltenvektoreneingegeben werden.VektormenuBeispiel: Mit [menu 7 C 4 ] können Vektoren mit kartesische Koordinaten inPolarkoordinaten umgerechnet werden.Beispiel Addition von Kräften in kartesischen Koordinaten Anwendung GleichgewichtDurch welche Gegenkraft F ⎛ 20 ⎞lassen sich die Kräfte⎜ ⎟F1= −100 kN,⎜ −20⎟⎝ ⎠⎛ −120⎞⎛ −40⎞ ⎜ ⎟ F2= 80 kN und⎜ ⎟F3= 40 kN im Gleichgewicht halten.⎜ 60⎟⎜⎝ ⎠50 ⎟⎝ ⎠34 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheAnwendung Statik: Vektormodell für Kräfte Resultierende: FRes = F1 + F2 + F31,2,3 Gleichgewichtsbedingung: FRes = 0 = FRes + F ⇒ F = − FRes1,2,3 1,2,3Die Gegenkraft f bekommen wir,indem wir die Resultierendefres123 mit der Zahl -1multiplizieren.⎛ 140⎞ ⎜ ⎟F = −20 kN⎜ −90⎟⎝ ⎠Beispiel Multiplikation einer Kraft mit einer Zahl in kartesischen KoordinatenVektoren in PolarkoordinatenFür die Eingabe eines Winkels brautman das Winkelzeichen.Wird der Vektor in Polarkoordinateneingegeben, so werden diese nach enterin kartesische Koordinaten umgerechnet,da der Rechner in diesem Vektorformateingestellt ist.Addition von VektorenExact-Modus: Der Rechner bestimmtmittels Trigonometrie die kartesischenKomponenten und addiert diese. ImApproximate-Modus werden dieKomponenten berechnet.Will man das Resultat in Polarkoordinaten, so muss die Summe umgerechnetwerden (Alternativ: Umstellen des Vektorformats).Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 35

Einführung und Anwendungen von VektorenDialogMatheMultiplizieren eines Vektor mit einer ZahlMöchten wir einen Vektor halbieren, so könnenwir in mit 1 2 multiplizieren.Will man das Resultat in Polarkoordinaten, somuss umgerechnet werden.Zuweisen und Speichern eines VektorsExact-ModusApproximate-ModusAnwendung resultierende KraftF = 80N| 00 F = 100N | 45Beispiel 1 1 ( ) , 2 ( 0 ) , F3= ( 50N | −600 ). Die drei Kräfte greifenin einem Punkt eines Körpers an. Bestimme die Resultierende Kraft F R .GraphischExact-ModusApproximate-Modus36 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheBeispiel 2 Gegeben: F1= ( 12N | 00 ) , F2= ( 6N | 1400 ) , F3= ( x | −1000 )Bestimme die Resultierende F R so, dass gilt:FR= x .SchaufigurResultierende fr berechnen.Betrag der ResultierendenFR= norm(fr)Gleichung F = xRnach x auflösen.F R für x = 6,9 berechnen.Anwendung mittlere BeschleunigungBeispiel Ein Fahrzeug hat zum Zeitpunkt t 11−1 0( )v = 20ms | 0v = 30ms | 302−1 0( )und im Zeitpunkt t 2Bestimme die mittlere Beschleunigung v2 − v1am= .t − t2 1.= 6s die Geschwindigkeit= 8s die GeschwindigkeitGraphischLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 37

Elementare Operationen mit VektorenDialogMathe2 Elementare Operationen mit VektorenWir haben mit den Vektoren neue mathematische Objekte eingeführt. Wenndiese z.B. in der Physik nützlich sein sollen, so müssen wir mit ihnen auchrechnen können. Kräfte zum Beispiel will der Physiker nicht nur einzeichnen,er will die Wirkung verschiedener Kräfte auf denselben Körper auchrechnerisch erfassen können. Wir werden also in diesem KapitelRechenoperationen für Vektoren einführen und ihre Rechengesetzeuntersuchen. Die Operationszeichen werden meistens dieselben sein wie wirsie aus dem gewöhnlichen Rechnen mit Zahlen kennen. Es kann aber nichtgenug betont werden, dass sie überhaupt nicht dasselbe darstellen! Vektorenund Zahlen sind nicht dasselbe. Aus diesem Grund können wir auch nichtunbedingt erwarten, dass die Rechengesetze mit jenen aus den Zahlenübereinstimmen. Diese Gesetze müssen sorgfältig hergeleitet werden.Glücklicherweise zeigt es sich aber, dass immerhin in vielen Fällen dieseÜbereinstimmung doch vorhanden ist.2.1 Die VektoradditionBei der Addition von Zahlen haben wir folgende Gesetze kennengelernt:1) Kommutativgesetz [ a + b = b + a ]2) Assoziativgesetz [ (a + b) + c = a + (b + c) ]3) Neutralelement (Null) [ a + 0 = a ]4) Inverses Element (Gegenzahl) [ a + ( – a) = 0 ]Wenn wir diese Gesetze auch für Vektoren bestätigen können, wird dieVektoralgebra genau so einfach wie die Zahlenalgebra.2.1.1 Definition: Summe zweier VektorenDie Addition von zwei Vektoren lässt sich durch die Parallelverschiebungerklären.Die Summe a + b der Vektoren a und b ist jener Vektor c, welcher derZusammensetzung der zu a und b gehörenden Parallelverschiebungenentspricht.38 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDie VektoradditionBeispiel a = AB , d.h. , der Punkt A wird nach B verschoben. b = BC , d.h. , der Punkt B wird nach C verschoben. c = AC , d.h. , der Punkt A wird nach C verschoben. AB + BC = ACWir verschieben A über B nach C = A direkt nach C verschiebenDer Vektor b wird zum Vektor a addiert, indem wir den Anfangspunkt vonb an den Endpunkt von a ansetzen. Der Summenvektor a + b zeigt dannvom Anfangspunkt von a zum Endpunkt von b BeachteBeim Addieren von zwei Vektoren, die mit Anfangs- und Endpunktengegeben sind, kann folgende Vereinfachung vorgenommen werden. AB + BC= ACB + BweggelassenWenn also bei einer Vektoraddition rechts und links vom „+“ Zeichenderselbe Buchstabe steht, können wir ihn mitsamt dem „+“ Zeichenweglassen. Oder: Wenn wir den Punkt von A nach B verschieben und dannvon B nach C, so können wir den Punkt A direkt nach C verschieben.Beispiele a) AB + BC + CD = b) CA + BC = c) PQ + QP =Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 39

Elementare Operationen mit VektorenDialogMatheDynamisches Arbeitsblatt VektoradditionGeoGebra Datei: Vektoraddition_VerschiebungZeit: 10 MinutenVektoraddition: Die Motivation fürdie nachfolgende Definition holen wirwieder bei den Verschiebungen.Gegeben sind zwei Vektoren a und b .Jeder von ihnen stellt eine Verschiebungdar. Diese Verschiebungführen wir nun hintereinander aus.Das heisst, wir verschieben zunächstden Punkt A um den Vektor a = ABnach B, den erhaltenen den Vektor = Punkt B umb BC nach C. Durch diebeiden Verschiebungen wird einedritte Verschiebung definiert, diedirekt den Punkt A auf den EndpunktC verschoben hätte. c = a + b =AB + BC= AC Der zugehörige Pfeil AC stellt denSummenvektor der gegebenen Vektoren a und b dar.Schieberegler: Verschiebung a: von A nach B ; b: von B nach C ; c: von A nach CArbeitsaufträge:1) Stelle alle Schieberegler auf Null. Verschiebe nun A nach B, dann B nach Cund A direkt nach C.2) Mach dir folgende Definition klar: Der Vektor b indem der Anfangspunkt von b wird zuman den Endpunkt von a Vektor a addiert,Der Summenvektor a + bverschoben wird.Endpunkt von b zeigt dann vom Anfangspunkt von a zum.Dynamisches Arbeitsblatt Vektoraddition_SpezialfälleGeoGebra Datei: Vektoraddition_SpezialfälleZeit: 10 MinutenWir betrachten c = a + b den Summenvektorund c = a + b studieren die Längein Abhängigkeit desZwischenwinkels der Vektoren a und b .Schieberegler:• Winkel zwischen den VektorenDer Winkel kann in den Grenzenvon 0 0 bis 180 0 verändert werden.• Länge der VektorenDie Länge der Vektorena und b kann von 0 bis 5 cm verändertwerden.40Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDie VektoradditionArbeitsaufträge:1) Definiere den Zwischenwinkel zweier Vektoren a und b !2) Experimentiere mit dem Zwischenwinkel von a und b . Beobachte dieLänge des Summenvektors. Bestätige folgende Ungleichung: c ≤ a + b3) Berechne die Länge c für folgende Einstellungen:a)b)c)a = 4 ; b = 3 ; α = 0 0a = 4 ; b = 3 ; α = 90 0a = 4 ; b = 3 ; α = 180 0Partnerinterview VektorgeometrieVektoraddition_SpezialfallZeit: 15 MinutenFrage: Welche Aussagen sind falsch? (Begründe kurz!)d)a = 5 ; b = 5 ; α = 0 0e) a = 5 ; b = 0 ; α beliebigf)a = 5 ; b = 5 ; α = 180 0Gegeben sind die drei Vektoren a , b und cgemäss nebendstehender Figur.1. c = a + b22. 2 2c = a + b3.c = a + b4. a = b − c5. c = a − b6. a + b > cFrage:Partnerinterview VektorgeometrieSummenvektor_BetragZeit: 10 MinutenWas kannst du über die Vektoren a , b und c aussagen, wenn sie jeweils diefolgenden zwei Gleichungen erfüllen? 1. c = a + bundc = a + b 2. c = a + bund c = a − b 3. c = a + bundc= b −a 4. c = a + bundc =aLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 41

Elementare Operationen mit VektorenDialogMatheDynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Ergebnis_Summenvektor_BetragZeit: 10 Minuten 1) c = a + b 2) c = a + b 3) c = a + b 4) c = a + bund c= a +ba und b sind parallel und haben gleiche Richtung. [P,Q ,R liegen auf einerGeraden. Punkt Q liegt zwischen P und R]. Verschiebe den Punkt Q mit derMaus zwischen P und R. Überprüfe die beiden Gleichungen. und c= a −ba und b sind antiparallel. Vektor a ist länger als b . [P,Q ,R liegen auf einerGeraden. Punkt Q liegt z.B. zwischen R und S]. Verschiebe den Punkt Q mitder Maus zwischen R und S. Überprüfe die beiden Gleichungen. und c= b − aa und b sind antiparallel. Vektor a ist kürzer als b . [P,Q ,R liegen auf einerGeraden. Punkt Q liegt z.B. zwischen P und T] .Verschiebe den Punkt Q mitder Maus zwischen und c = a P und T. Überprüfe die beiden Gleichungen.a und b sind Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks.Die Spitzen von a und b liegen auf einem Kreis. Die Punkte A und C könnenmit der Maus auf dem Kreis bewegt werden. a) a = c, was folgt dann für den Vektor b Überprüfe folgende Spezialfälle:? b) a = − c, was folgt dann für den Vektor b ? c) a = b= c d) b = 2 ⋅ c= 2 ⋅a2.1.2 Gesetze für die VektorenadditionDas Addieren von Vektoren ist a) kommutativ: a + b = b + a b) assoziativ: a + ⎡⎣b + c ⎤⎦= ⎡⎣a + b⎤⎦+ c42Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDie VektoradditionBegründungDas Zusammensetzen von Parallelverschiebungen ist kommutativ undassoziativ.a) Graphisches Beispiel zum Kommutativgesetzb) Graphisches Beispiel zumAssoziativgesetzc) Beispiel Assoziativgesetz: ⎡⎣AB + BC ⎤⎦+ CD = AC + CD = AD AB + ⎡⎣BC + CD ⎤⎦= AB + BD =ADDynamisches Arbeitsblatt Gesetze der VektoradditionGeoGebra Datei: Vektoraddition_GesetzeZeit: 10 MinutenDie Vektoren lassen sich an denAnfangspunkten mit der Mausverschieben.Arbeitsaufträge:1) Bestätige das Kommutativgesetz.2) Bestätige das Die Vektoren a Assoziativgesetz., b und c lassen sich anden Punkten A, B und C mit der Maus inRichtung und Länge verändern. Hast duSpezialfälle, die du austesten möchtest?Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©43

Elementare Operationen mit VektorenDialogMathe2.1.3 Definition: VektorketteEine Vektorkette ist die Addition vonmehreren Vektoren.Beispiel: Addition von fünf Vektoren AB + BC + CD + DE + EFResultierendeDer Vektor AF heisst Summe oderResultierende der fünf Vektoren.Wir erhalten ihn durch den Pfeil vomAnfangspunkt des ersten bis zum Endpunktdes letzten Vektors.Geschlossene VektorketteSpezialfall: AB + BC + CD + DE + EADer Summenvektor ist der Nullvektor 0 .Anwendung:Die Figuren a) und b) stellen Vektorpolygone (Vektorketten) von Kräftendar, die alle am selben Angriffspunkt wirken. Worin liegt der Unterschiedin der Bedeutung der beiden Figuren?a)b)F ist die Resultierende der vier Kräfte F 1 ,F 2 ,F 3 ,F4.4∑ F i = F 5 ; 5i=15∑ F i = 0 ; Gleichgewicht ( resi=1F = 0, geschlossene Vektorkette)44 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDie VektoradditionDynamisches Arbeitsblatt VektorketteGeoGebra Datei: VektorketteZeit: 10 MinutenGegeben sind die fünf Vektoren: a = A 1 S 1 , b = A 2 S 2 , c =A 3 S 3, d = A S , d = AS . Du kannst die1 4 4 2Vektoren jeweils im Anfangspunkt A mitder Maus verschieben (Mit der Mausjeweils auf den entsprechendenAnfangspunkt gehen und bei gedrückterMaustaste den Vektor verschieben)Arbeitsaufträge: 1) Bilde graphisch die Vektorsumme der vier Vektoren: (Anfangspunkt A 2 vom Vektor b a + b + c + d 1an die Spitze S 1verschieben, Vektors b dann Anfangspunkt A3vom Vektor c des Vektors a an die Spitze S 2 des verschieben, usw.). Was stellst du fest? 2) Bilde graphisch die Vektorsumme der drei Vektoren: vergleiche den Summenvektor mit dem Vektor d a + b + c und2Welcher Zusammenhang besteht zwischen d . Was1 und d stellst du fest?2 ?Frage:Partnerinterview VektorgeometrieVektorketteZeit: 20 MinutenAls Hilfe für die Problemstellung 2 kann das dynamische ArbeitsblattVektorkette benutzt werden.Was verstehen wir unter einer Vektorkette?Problem 1:Diskutiere und löse die folgende Problemstellung.Die drei Vektoren a , b und c haben denselben Betrag: a = b = c .Zeichne die drei Vektoren so, dass folgende Gleichung gilt: (1) a + b + c =0(2) a + b = cLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©45

Elementare Operationen mit VektorenDialogMatheProblem 2:Diskutiere und löse die folgende Problemstellung.Übertrage den mathematischen Sachverhalt auf das Vektormodell der Kräftein der Physik! Gegeben sind die beiden Vektorketten: (1) a + b + c + d1=0 (2) a + b + c = d2a) Stelle die beiden Vektorketten grafisch dar!b) Worin unterscheiden sich die beiden Vektorketten?c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen d 1 und d 2 ?d) Anwendung in der Physik: In der Physik können Kräfte mit Hilfe vonVektoren dargestellt werden. Nehme an, dass die Vektoren in (1) und (2)Kräfte sind. F + F + F + F =0 F + F + F = F(1) a b c 1(2) a b c 2Welche Bedeutung haben die beiden Vektorketten?Welcher Zusammenhang besteht zwischen F 1 und F 2 ?2.1.4 Definition: Der NullvektorDen zur identischen Abbildung gehörigen Vektor nennen wir Nullvektor.Bezeichnung: 0 Repetition: Dynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Verschiebung_Dreieck(Arbeitsauftrag 3, Seite 13)Offensichtlich gilt für jeden Vektor a : 1) a + 0 =a oder AB + BB = AB 2) a + − a =0( ) oder AB + BA = AADynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Vektoraddition_Spezialfälle(Arbeitsauftrag 3 e , f, Seite 40) Zu 1) : a = 5 ; b = 0 ; α beliebig a ; b = 0 zu 2) : a = 5 ; b = 5 ; α = 180 0 a ; b = − a46Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDie Vektoraddition2.1.5 Definition: Der GegenvektorIst a ein Vektor, so heisst der Vektor mit derselben Länge, aberentgegengesetzter Richtung der Gegenvektor von a .Bezeichnung : − aBemerkungen 1. Aus a = AB folgt − a = BA− − =2. ( a )a3. Addieren wir zum Vektor a seinen Gegenvektor − a , so erhalten wir a + − a gehörige Abbildung ist die identischekeinen Pfeil. Die zu ( )Abbildung. Damit die Zusammensetzung zweier Parallelverschiebungenstets wieder eine Parallelverschiebung ist, zählen wir dieidentische Abbildung auch zu den Parallelverschiebungen. 4. Mit a = AB und − a = BA folgt a + ( − a ) = AB + BA = AA. PunktA wird nach B verschoben und dann Punkt B nach A, d.h., der Punkt A wird nicht verschoben. AA = 0BeispielIn der nebenstehenden Zeichnungist das Drahtmodell eines Quadersdargestellt.Drei Vektoren (Verschiebungen) a, b und c sind eingezeichnet.Beschreibe durch 2 Vektorgleichungen, wie der Vektor x = CEund wie derVektor y = HB durch die Vektoren a, b und c zusammengesetzt werdenkönnen.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 47

Elementare Operationen mit VektorenDialogMatheÜbungen Vektoraddition Übung 1 In einem Rechteck ABCD ist a = AB ; b = AC und c = AD .Vereinfache folgende Ausdrücke mit Hilfe einer Figur. a) a + b + c b) a + b − c c) a − b + c d) a − b − cÜbung 2 Vereifache die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich: a) AB + BC b) UV + VW c) CD − ED d) AB + CA g) AB + BC − CA e) UV + VW + WZ h) UY − XY − UX f) PQ + QR − SRLösungen Beispiel oben und Übungen Vektoraddition Beispiel x = CE = CB + BA + AE = − b + ( − c ) + ( − a ) = − b − c − a y = HB = HE + EF + FB = − b + c + a Übung 1 a) a + b + c = a + c + b = b + b = 2 ⋅bÜbung 2 b) a + b − c = a + a = 2 ⋅a c) a − b + c = a + c − b = b − b = 0 d) a − b − c = − c − c = ( −2 ) ⋅ ca) AC b) UW c) CD + DE = CE d) CA + AB = CBf) PS g) AC + AC = 2 ⋅ ACe) UZ h) UY + YX + XU = UX + XU = UU = 02.1.6 Differenz zweier VektorenUnter der Differenz a .Vektor a + ( − b ) a − b = a + − b( ) − b zweier Vektoren a und b verstehen wir denSubtraktion = Addition des Gegenvektors!Graphische Subtraktion1. Möglichkeit:Der Vektor b wird vom Vektor a subtrahiert, indemwir a und b in einen gemeinsamen Anfangspunkt (A) verschieben. Die Differenz a − b ist dann der Vektor,48 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheMultiplikation eines Vektors mit einer Zahl2.Möglichkeit:der vom Endpunkt von b zum Endpunkt von a zeigt. BC = BA + AC = − b + a = a − bAus b den Gegenvektor− b bilden.Zum Vektor a den Gegenvektor− b addieren.Länge des Differenzvektors Es gilt: a − b = b − a b − a ist der Gegenvektor von a − b : ( ) − a − b = − a + b = b − a2.2 Multiplikation eines Vektors mit einer ZahlDefinition:Wir fassen 3 ⋅ a auf als Abkürzung für a + a + a .Wir fassen ( 3 ) a .− ⋅ auf als Abkürzung für − ( 3 ⋅ a ) = − ( a + a + a )Ist a ein Vektor und k eine reelle Zahl, so verstehen wir unterk ⋅ a den Vektor:1) mit k - facher Länge von a und2) mit der gleichen Richtung wie a , wenn k positiv istmit der entgegengesetzter Richtung wie a , wenn k negativ ist.Spezialfälle:Beispiele: 3 a⋅ ; ( −3)5⋅ a ; Multiplikation mit 1 : 1⋅ a = aMultiplikation mit ( 1) − : ( −1)⋅ a = − a Multiplikation mit 0 : 0 ⋅ a = 0(Gegenvektor von a )(Nullvektor)Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 49

Elementare Operationen mit VektorenDialogMatheGesetze:Es gelten folgende Gesetze: Voraussetzungen: k , k 1 , k 2, n ∈R (reelle Zahlen) ; a, b Vektoren ( k + k )⋅ a = k ⋅ a + k ⋅a1 2 1 2 k ⋅ a + b = k ⋅ a + k ⋅ b( )( k ⋅ k )⋅ a = k ⋅ k ⋅ a( )1 2 1 2a 1 = ⋅ a ( n ≠ 0)n n Beispiele: (33 + 4)⋅ a = 3 ⋅ a + 4 ⋅ a = 7 ⋅a( 5 ⋅ a + b)= 5 ⋅ a + 5 ⋅ b (33 ⋅ 4 ) ⋅ a = 3⋅ ( 4 ⋅ a ) = 12 ⋅ aa1 a= ⋅ a ; 10 a5 5 0,1 = ⋅(Distributivgesetz)(Distributivgesetz)(Assoziativgesetz)Dynamisches Arbeitsblatt Gesetze Multiplikation SkalarGeoGebra Datei: Gesetze_Multiplikation_SkalarZeit: 10 MinutenFür die Multiplikation einesVektors mit einem Skalargelten folgende Gesetze:Distributivgesetz ( k + k )⋅ a = k ⋅ a + k ⋅a1 2 1 2Distributivgesetz k ⋅ a + b ⋅ = k ⋅ a + k ⋅bSchieberegler: k 1 , k 2 , k : reelle Zahlen im Intervall − 2; 3Die Vektoren lassen sich am Anfangspunkt mit der Maus bewegen.Arbeitsaufträge:: reelle Zahlen im Intervall [ ]1) Versuche die oben aufgeführten Gleichungen, graphisch zu verifizieren.Bei der Addition von Vektoren lässt sich der Anfangspunkt des zweitenVektors an die Spitze des ersten verschieben. Mache verschiedene Zahlenbeispiele,die Faktoren lassen sich mit den Schiebereglern verändern.2) Mache auch einige Spezialfälle z.B. ( k 1 = 1 , k 2 = − 1 )(Assoziativgesetz k ⋅ k ⋅ a = k ⋅ k ⋅a( ))( )1 2 1 250Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheMultiplikation eines Vektors mit einer ZahlErgebnisblatt Distributivgesetz ( k + k ) ⋅ a = k ⋅ a + k ⋅ a1 2 1 2Distributivgesetz ( ) k ⋅ a + b ⋅ = k ⋅ a + k ⋅ bAssoziativgesetz ( k1 ⋅ k2 ) ⋅ a = k1⋅ ( k2⋅ a )Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 51

Elementare Operationen mit VektorenDialogMathePartnerinterview VektorgeometrieMultiplikation mit einem SkalarZeit: 10 MinutenFrage 1:Welche Gleichungen sind falsch? (Begründe)Gegeben sind die drei Vektoren a , b und c gemäss Figur.1) b = sin ( α ) ⋅ c2) a = cos ( )α ⋅c3)ba= tan( α )4)ba= tan( α )b5) a= tan( α )Frage 2: Welche Länge hat der Vektor u ?u1= ⋅aa2.2.1 Beispiele VektoralgebraBeispiel 1 Gegeben ist ein quadratisches Gitternetz mit den Vektoren a und b .Drücke die beiden Vektor x und y durch dieVektoren a und b aus. x = b + 1 a2 1 y = − x + a = − ( b + a2 ) + a= − b − 1 a + a = 1 a − b2 252 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheMultiplikation eines Vektors mit einer ZahlBeispiel 2Die Pyramide ABCDS hat eine rechteckigeGrundfläche. M ist der Diagonalschnittpunkt desRechtecks ABCD.a = AB , b = AD , c = AS Drücke den Vektor M S durch a , b und c aus. MS = MA + AS ; AS = c MA = − 1 ⋅ AC = − 1 ⋅ 1 1 12 2 ( AB + BC ) = − ⋅2 ( a + b ) = − ⋅ a − ⋅ b2 2 MS = MA + AS = − 1 ⋅ a − 1 ⋅ b + c2 2Beispiel 3Die beiden Vektoren a und b bilden ein allgemeines Dreieck ABC. Für denPunkt D auf der Seite AB gilt: AD : DB = 2 : 1.Bestimme den VektorDC aus a und b . DC = DA + AC ; AC = − b DA = 2 ⋅ BA = 2 ⋅3 3 ( BC + CA ) = 2 ⋅ 2 23 ( − a + b ) = − ⋅ a + ⋅ b3 3 DC = DA + AC = − 2 ⋅ a + 2 ⋅ b − b = − 2 ⋅ a − 1 ⋅ b3 3 3 3Übungen VektoralgebraÜbung 1 Zeichne ein Parallelogramm ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M. Setze a = CB und b = CM.Drücke die Vektoren AD , AM , DM , AB ,CD durch a und b aus.Übung 2K ist der Schnittpunkt der Körperdiagonalen desWürfels. M ist der Mittelpunkt der Kante FG. a = AB , b = AD , c = AE Drücke die Vektoren AF , AM , CM , AK , MK , CKdurch a ,b und c aus.Lösungen Übung Vektoralgebra ⎯⎯→ → Übung 1 AD = − a ; AM = − b ; DM = a − b ; AB = a − 2b ; CD = 2b − aLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 53

Elementare Operationen mit VektorenDialogMathe Übung 2 AF = a + c ; AM = a + 12⋅ b + c CM = − 1⋅ b + c2 ; AK = 1⋅ a + 1⋅ b + 1⋅c2 2 2⎯⎯→ → → MK = − 1⋅ a − 1⋅ c ; CK = − 1⋅ a − 1⋅ b + 1⋅c2 22 2 22.2.2 Kollineare VektorenDefinition kollinearZwei Vektoren heissen kollinear, wenn sie zu einer einzigen Geraden parallelsind (dabei wird der Nullvektor als zu jeder Geraden parallel betrachtet).Haben sie denselben Anfangspunkt, so liegen sie auf einer einzigen Geraden.Beispiele:Folgerung:a und b sind kollinear, es gilt b 1 = 2⋅ a (a und b sind parallel)a und c sind kollinear, es gilt c = 2 ⋅ a (a und c sind parallel)a und d sind kollinear, es gilt d = ( −1)⋅ a (a und d sind antiparallel)Jedes Vielfache k ⋅ aeines Vektors a (also auch 0 ⋅ a = 0) ist mit a kollinear,und umgekehrt ist jeder mit a kollineare Vektor ein Vielfaches von a .2.3 LinearkombinationDefinition Linearkombination Gegeben sind die Vektoren a , b , c , d,.... und beliebige reelle Zahlenk 1 , k 2 , k 3 , k 4 , .... . Wir nennen jeden Vektor u der Form u = k1 ⋅ a + k2 ⋅ b + k3 ⋅ c + k4⋅ d + ........... eine Linearkombination der Vektoren a , b , c , d,.... .Merke: Eine Linearkombination ist ein Vektor! u1 = k1⋅ a : Der Vektor u 1 ist eine Linearkombination des Vektors a .54 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheLinearkombination u3 = k1 ⋅ a + k2 ⋅ b + k3⋅ c : Der Vektor 3u ist eine Linearkombination derVektoren a , b und c .Beispiele von Linearkombinationen (siehe Beispiele 1, 2 und 3 Seite 52 und 53) Beispiel 1: x = b + 1 2a ; x ist eine Linearkombination der Vektoren a und b .y 1 = a − b;2y ist eine Linearkombination der Vektoren a und b . Beispiel 2: MS = − 1 ⋅ a − 1 ⋅ b + c2 2 ; M S ist eine Linearkombination der Vektoren a , bund c . Grafisches Beispiel: Gegeben sind die Vektoren a , b und c . Dann ist zum Beispiel der Vektor u = 3 ⋅ a + 2 ⋅ b + 5 ⋅ c eine Linearkombination der Vektoren a , b und c .Die Linearkombination entsprichtgrafisch einer Vektorkette, wobei derGegenvektor von u die Vektorketteschliesst.2.3.1 Definition NullsummeEine Linearkombination von Vektoren, die den Nullvektor ergibt, heisstNullsumme. Die Nullsumme heisst trivial, wenn alle Koeffizienten 0 sind.Sie heisst nicht trivial, wenn wenigstens ein Koeffizient nicht 0 ist.Frage: Gibt es im Beispiel oben drei Zahlenk 1 , k 2 , k 3 , so dass die Linearkombination k1 ⋅ a + k2 ⋅ b + k3⋅ c den Nullvektor ergibt, d.h. k1 ⋅ a + k2 ⋅ b + k3⋅ c = 0 muss einegeschlossene Vektorkette sein.Nebenstehende Figur zeigt eine nicht triviale Nullsumme (geschlossene Vektorkette) 3 ⋅ a + 2 ⋅ b + 4 ⋅ c = 0Triviale Nullsumme: Ein Spezialfall ist die triviale Nullsumme, bei der alle Koeffizienten k , k , k gleich 0 sind: 0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 0 ⋅ c = 0 .1 2 3Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 55

Elementare Operationen mit VektorenDialogMatheDynamisches Arbeitsblatt trivialeNullsummeGeoGebra Datei: Linearkombination_trivialeNullsummeZeit: 10 MinutenGegeben sind die n = k ⋅ a + k ⋅ b beiden nicht kollinearen Vektoren a und b und die Linearkombinationder beiden Vektoren.abSchieberegler:• k a : Koeffizient vom Vektor a • k b : Koeffizient vom Vektor b Arbeitsaufträge:1) Versuche durch die Wahl der Koeffizientenkaund k bmit der n = k ⋅ a + k ⋅ b Linearkombinationden Nullvektor darzustellen.abWie viele Zahlenpaare ( k a , k b ) gibt es?2) Diskutiere: Vektoren a Es ist und b nicht möglich mit beliebigeneine Nullsummedarzustellen.Welche Eigenschaften müssen die Vektorenhaben?3) Bearbeite das folgende Arbeitsblatt:Linearkombination_Nullsumme.Dynamisches Arbeitsblatt NullsummeGeoGebra Datei: Linearkombination_NullsummeZeit: 10 MinutenGegeben sind die beiden b kollinearen Vektoren a undund die Linearkombination n = k a⋅ a + k b⋅ bderbeiden Vektoren.Schieberegler:• k a: Koeffizient vom Vektor a k : Koeffizient vom Vektor b • bArbeitsaufträge:4) Versuche durch die Wahl der Koeffizientenkaund k bmit der n = k ⋅ a + k ⋅ b Linearkombinationden Nullvektor darzustellen.abWie viele Zahlenpaare ( k a , k b ) gibt es?5) Diskutiere: Es ist nicht möglich mit beliebigen Vektoren a und b eine Nullsummedarzustellen. Welche Eigenschaften müssen die Vektoren haben?6) Bearbeite das Arbeitsblatt: Linearkombination_trivialeNullsumme56Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheLinearkombinationPartnerinterview VektorgeometrieLinearkombination, triviale NullsummeZeit: 10 MinutenSatz:Diskutiere die untenstehende Aussage. Als Hilfsmittel eignen sich die soebenbearbeiteten zwei Arbeitsblätter:Dynamisches Arbeitsblatt: Linearkombination_trivialeNullsummeDynamisches Arbeitsblatt: Linearkombination_NullsummeVoraussetzung: a und b sind zwei nicht kollineare Vektoren.Wenn die Linearkombination von a und b den Nullvektor darstellen soll k1 ⋅ a + k2⋅ b = 0 , dann folgt k1 = k 2 = 0 , d.h. die Nullsumme ist trivial.Beweis: Sind a und b nicht kollinear, ist k1 ⋅ a + k2⋅ b = 0 und wäre z.B.k 1k 1k2≠ 0 , so wäre ⋅ a + b = 0 , also b = − ⋅ akk , also wären a und b kollinear.2Dies ergibt einen Widerspruch.Sind a und b kollinear, so ist z.B. b = k1⋅ a , also k1⋅ a + ( −1 ) ⋅ b = 0 , also ist die Gleichung k1 ⋅ a + k2⋅ b = 0 erfüllt für ein k2≠ 0 .22.3.2 Lineare Abhängigkeit und lineare UnabhängigkeitVektoren heissen linear abhängig, wenn es möglich ist, mit ihnen eine nichttriviale Nullsumme zu bilden.Wenn dies auf keine Art und Weise möglich ist, d.h. wenn eine Nullsummenur auf triviale Weise – mit lauter Nullen als Koeffizienten – möglich ist,dann nennen wir die Vektoren linear unabhängig.Behauptung• Kollineare Vektoren sind linear abhängig. Zeige, dass zwei paralleleoder antiparallele Vektoren stets linear abhängig sind.• Nicht kollineare Vektoren sind linear unabhängig. Zeige, dass zweinicht parallele Vektoren stets linear unabhängig sind.Satza und b sind dann und nur dann nicht kollinear, wenn die Gleichung k1 ⋅ a + k2⋅ b = 0 nur erfüllt ist für k 1 = k 2 = 0 . (triviale Nullsumme)Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 57

Elementare Operationen mit VektorenDialogMatheBeweis Sind a und b nicht kollinear, ist k1 ⋅ a + k2⋅ b = 0 und wäre z.B. k2≠ 0 , sok 1k 1wäre ⋅ a + b = 0 , also b = − ⋅ ak2k , also wären a und b kollinear.2Dies ergibt einen Widerspruch.Sind a und b kollinear, so ist z.B. b = k1⋅ a , also k1⋅ a + ( −1 ) ⋅ b = 0 , also ist die Gleichung k1 ⋅ a + k2⋅ b = 0 erfüllt für ein k2≠ 0 .Andere Formulierung des Satzes:Sind die Vektoren einer Nullsumme linear unabhängig, so muss dieNullsumme trivial sein , d.h. alle Koeffizienten müssen 0 sein.Frage 1:Partnerinterview Vektorgeometrielinear abhängige, linear unabhängig VektorenZeit: 10 MinutenWann sind zwei Vektoren linear abhängig?Spezialfall: Der Nullvektor 0 Zeige: Ein beliebiger Vektor a und der Nullvektor 0 sind linear abhängig.Frage 2:Wann können Vektoren eine geschlossene Vektorkette bilden?Diskutiere: Es ist nicht möglich mit beliebigen Vektoren eine geschlosseneVektorkette zu bilden. Welche Eigenschaften müssen die Vektoren haben?Übungen lineare AbhängigkeitÜbung 1Übung 2Sind die folgenden Vektoren linearabhängig oder linear unabhängig?a) AP , CDc) AP , AM , BCb) AB , AMd) AM , MDGegeben ist der Würfel ABCDEFGH. Sind diefolgenden Vektoren linearabhängig oder linear unabhängig?a) AB , AD , AEb) AB , BC , GFc) AC , AF , AG, AE58 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheAnwendung Geometrie: TeilverhältnisseIm Parallelogramm ABCD teilt der Punkt N die Seite DC im Verhältnis1 : 3 .In welchem Verhältnis teilt dann der Punkt T die Diagonale AC.Berechne das VerhältnisATv = .TCVerwende zur Lösung diebeiden nicht kollinearenVektoren:a = AB und b = AD .Lösungsplan:Lösung 1) geschlossene Vektorkette: z.B. AB + BT + TA = 0 2) Die drei Vektoren AB, BT, TA durch a und b ausdrücken (a und b sindnicht kollinear). Dazu müssen wir zwei Unbekannte x und y einführen. AB = a BT x BN x 3 = ⋅ = ⋅ ( b − 4⋅ a ) TA = y ⋅ CA = y ⋅ −b − a( ) AB BT TA a x 3 + + = + ⋅ ( b − 4⋅ a ) + y ⋅ ( −b − a ) = 0 a x b 3 + ⋅ − 4x ⋅ a − y ⋅ b − y ⋅ a = 0Alle a Vektoren und alle b Vektoren zusammenfassen:3 1− 4x − y ⋅ a + x − y ⋅ b = 03 1− 4x − y ⋅ a + x − y ⋅ b = 0 = 0= 0( ) ( )3) triviale Nullsumme: ( ) ( )Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 61

Elementare Operationen mit VektorenDialogMathe2.4.4 WinkelhalbierendeDynamisches Arbeitsblatt WinkelhalbierendeGeoGebra Datei: WinkelhalbierendeZeit: 10 MinutenDie Vektoren a auf b sindVielfache der jeweiligen Einheitsvektoren a = k ⋅ e ABund b = k ⋅ e AC(mit gleichemFaktor k). Der Vektor w = a + bist derSummenvektor.Arbeitsaufträge:1) Welche Eigenschaften muss das Viereck AEGF haben, damit AG denWinkel bei A halbiert? der Vektoren a ,b Sindund w diese Eigenschaften durch die spezielle Wahlerfüllt?2) Gib ein Verfahren an, wie du bei einem Dreieck ABC einen Vektor inRichtung der Winkelhalbierenden bekommst. (Gegeben sind dieKoordinaten der drei Eckpunkte.)3) Verändere z.B. die Ecke A mit der Maus und beobachte die beidenStreckenverhältnisse AB BDund (oben links). Was stellst du fest?AC CD Formuliere einen Satz! Kannst du das Teilungsverhältnis berechnen?2.4.5 Komplanare VektorenDefinition komplanarDrei Vektoren heissen komplanar, wenn sie zueiner einzigen Ebene parallel sind (dabei wirdder Nullvektor als zu jeder Ebene parallelbetrachtet).Haben sie denselben Anfangspunkt, so liegensie in einer einzigen Ebene.a , b und c sind komplanarFolgerung: Jede Linearkombination x ⋅ a + y ⋅ bvon a und b ist mit a und b komplanar.64Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheAnwendung Geometrie: Teilverhältnisse2.4.6 Zusammenhang kollinear, komplanar und linear abhängigPartnerinterview VektorgeometrieKollineare und komplanare VektorenZeit: 10 MinutenDiskutiere die Aussagen für die Ebene und den 3-dimensionalen Raum.Beziehung zwischen Vektoren in der EbeneZwei kollineare Vektoren a und b sind linear abhängig.Drei beliebige Vektoren a ,b und c in der Ebene sind immer linearabhängig. (Sind sie auch kollinear?)Beziehung zwischen Vektoren im RaumDrei komplanare Vektoren a ,b und c sind linear abhängig.Vier beliebige Vektoren a ,b , c und d im Raum sind immer linearabhängig. (Sind sie auch komplanar?)Diskutiere folgende zwei Sätze.Satz: Zerlegung eines Vektors nach zwei nicht-kollinearen VektorenSind a und b zwei nicht kollineare Vektoren, so lässt sich jeder mit a und b komplanare Vektor c eindeutig als Summe von zwei Vektoren, die mit a bzw. b kollinear sind, darstellen, d.h. als Linearkombination c = x ⋅ a + y ⋅ b .Die beiden Vektoren x ⋅ a und y ⋅ b heissen die vektoriellen Komponenten,die Zahlen x und y die skalaren Komponenten von c nach a und b .Satz: Zerlegung eines Vektors nach drei nicht-komplanaren VektorenSind a ,b und c drei nicht komplanare Vektoren, so kann jeder beliebigeVektor d eindeutig in drei Summanden zerlegt werden, die zu den einzelnengegebenen Vektoren kollinear sind, d.h. der Vektor d ist eineLinearkombination von a , b und c : d = x ⋅ a + y ⋅ b + z ⋅ c .Die Vektoren x ⋅ a , y ⋅ b und z ⋅ c heissen die vektoriellen Komponenten, dieZahlen x, y und z die skalaren Komponenten von d nach a , b und c .Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 65

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3 Vektoren im Koordinatensystem3.1 Vektorielle Darstellung eines PunktesDie absolute Lage eines Punktes P in der Ebene oder im Raum können wirnicht angegeben. Die Lage eines Punktes P lässt sich nur relativ zu einemBezugspunkt O angeben. In der Praxis werden Koordinatensysteme benutzt,wobei der Koordinatenursprung O als Bezugspunkt dient.3.1.1 Definition OrtsvektorDer Vektor OP vom Koordinatenursprung O zum Punkt P heisst Ortsvektordes Punktes P.Merke:Ortsvektoren gehen immer vomKoordinatenursprung O aus, d.h. siesind an den Anfangspunkt O gebunden.Somit sind Ortsvektoren keine freienVektoren, sondern gebundene Vektoren.Es gilt:Die Differenz zweier Ortsvektoren istein freier Vektor. OQ − OP = PQ = a OQ − OP = − OP + OQ = PO + OQ = PQGeometrische Interpretation:Der Punkt P wird über denKoordinatenursprung O nach Qverschoben.Beachte:Die Summe eines Ortsvektors und eines freien Vektors ist wieder einOrtsvektor. OP + a = OQ oder OP + PQ = OQ66 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorielle Darstellung eines Punktes3.1.2 Anwendungen: Mittelpunkt, Schwerpunkt Gegeben: Ortsvektoren zu den Eckpunkten eines Dreiecks ABC: OA , OB,OCGesucht:1. Ortsvektor OM des Mittelpunktes M der Strecke BC2. Ortsvektor OS des Schwerpunktes AB = − OA + OB = OB − OA ; BC = − OB + OC = OC − OB1) Ortsvektor OM zum Mittelpunkt M der Strecke BC OM = OA + AB + 1BC = OA − OA + OB + 12 2 ( − OB + OC ) = OB − 1OB + 1 OC = 1OB + 1 OC2 2 2 2 Merke: OM = 1 ( OB + OC )2Der Ortsvektor zum Mittelpunkt einer Strecke ist das arithmetische Mittel derOrtsvektoren zu den Endpunkten.2) Ortsvektor OS zum Schwerpunkt S des Dreiecks ABC AM = − OA + OM = − OA + 1OB + 1OC2 2 OS = OA + 2 AM = OA − 2 OA + 1OB + 1OC = 1OA + 1OB + 1OC3 3 3 3 3 3 3 Merke: OS = 1 ( OA + OB + OC )3Der Ortsvektor zum Schwerpunkt eines Dreiecks ist das arithmetische Mittelder Ortsvektoren zu den Eckpunkten.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 67

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3.2 Vektorielle Darstellung einer GeradenEine Gerade g in der Ebene oder im Raum ist eindeutig durch zwei Punkte Aund B festgelegt ( A≠ B ).Wir überlegen uns, wie eine Gerade g vektoriell beschrieben werden kann. Eslässt sich zu jedem Punkt P der Geraden einen Ortsvektor angeben. Da dieGerade g aus unendlich vielen Punkten P besteht, wird sie vektoriell durchunendlich viele Ortsvektoren OP beschrieben.3.2.1 Parameterdarstellung einer Geraden gEine Gerade kann vektoriell beschrieben werden, indem wir zu allen PunktenP der Geraden einen Ortvektor angeben.Definition OP = OA + t ⋅ ABParameterdarstellung der Geradenwobei t∈ R Parameter und AB Richtungsvektor der Geraden g heisst.Jede reelle Zahl t liefert einen Ortsvektor OP so, dass der Punkt P auf derGeraden g liegt. Durch die obige Gleichung wird die Gerade g beschrieben.Welchen Parameter t besitzen die Punkt A und B?Welche Punkte ergeben sich, wenn t negativ ist ( t < 0 )?68 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorielle Darstellung einer Geraden3.2.2 Dynamische Interpretation der Geraden in der EbeneDynamisches Arbeitsblatt Gerade in der EbeneGeoGebra Datei: Gerade in der EbeneZeit: 10 MinutenDie Gerade durch die Punkte A und Bwird beschrieben durch einen Orts-Ortsvektoren zu den Punkten P, diealle auf der Geraden AB liegen. Wirkönnen den Punkt P z.B. als Autobetrachten, das sich auf der Geraden AB bewegt, wobei die Bewegung durch die Spitze des Ortsvektors r = OPbegleitet wird. Der Parameter t kann dann als Zeit interpretiert werden.Schieberegler: Der Parameter t kann von – 5 bis 5 verändert werden. P hinterlässt eine Spur,die gelöscht werden kann (Menu: Ansicht / Ansicht auffrischen)Arbeitsaufträge:1) Wir starten zum Zeitpunkt t = 0, wo befinden wir uns auf der Geraden?2) Wo befinden wir uns zum Zeitpunkt t = 1?3) Wie muss t gewählt werden, damit wir eine Entfernung von 4 ⋅ AB von A haben?4) Wie gelangen wir zu Punkten P, die unterhalb von A liegen? 5) Mach dir folgenden Sachverhalt klar: Alle Ortsvektorenr = r + t ⋅u mit t ∈ Rstellen eine Grade dar. Diese Darstellung nennen wir Parameterdarstellung derGeraden.3.2.3 Interpretation tation der Parameterdarstellung der GeradenPartnerinterview VektorgeometrieParameterdarstellung einer GeradenZeit: 20 Minuten1) Parameterdarstellung, Ortsvektor, freier Vektor Erkläre anhand der Parameterdarstellung r = r0+ t ⋅ uden Unterschiedzwischen einem Ortsvektor und einem freien Vektor.vektor r A(Stützvektor der Geraden) und einen Richtungsvektor u = AB .Der Richtungsvektor wird mit demParameter t ( t ∈ R, eine beliebigereelle elle Zahl) multipliziert, kann alsobeliebig gestreckt oder gestauchtwerden und auch in dieGegenrichtung von AB zeigen. r = r + t ⋅ usind für t ∈ RAALerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©69

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe2) Parameterdarstellung, Beispiele für verschiedene Parameter Zeichne den Ortsvektor r = r0+ t ⋅ u für folgende Parameter: t1 = 2 → r1= r0+ 2 ⋅ ut4 = 0,5 → r4= r0+ 0,5 ⋅ u t2 = −3 → r2= r0+ ( −3 ) ⋅ ut5 = −1 → r5= r0+ ( −1)⋅ u t = 0 → r = r + 0 ⋅ ut = −2,5 → r = r + ( −2,5 ) ⋅ u3 306 6 03) Parameterdarstellung, Beispiele für verschiedene ParameterbereicheWelche geometrische Figur (Punkt, Halbgerade, Strecke) wird durch die Gleichung r = r0+ t ⋅ u und die folgenden Parameter definiert?a) t 0 ( t R)> ∈ b) 0 ≤ t ≤ 1 ( t ∈ R)c) t ≤ 3 ( t ∈ R)d) t ∈ Z (ganze Zahlen)70 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in der Ebene3.3 Vektoren in der Ebene3.3.1 Basis einer EbeneSatzEin beliebiges Paar linear unabhängiger Vektoren b 1 und b 2 bilden eine Basisder Ebene, d.h.:(1) Jeder weitere Vektor a kann als Linearkombination von b 1 und b 2 dargestellt werden: a = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2( a 1 und a 2 sind reelle Zahlen)(2) Diese Darstellung ist eindeutig.Die Summanden a1 ⋅ b 1 und a2 ⋅ b 2 der Linearkombination heissenvektorielle Komponenten, die reellen Zahlen a1und a2Komponenten von a bezüglich der Basis b 1 , b 2 .Die Vektoren b 1 , b 2 heissen Basisvektoren.heissen die skalarenBeweisWir wollen grafisch und algebraisch beweisen, dass es für a Darstellungen der folgenden Form gibt: a = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2.Grafischer BeweisWir finden die Zerlegungkonstruktiv, indem wir die Vektoren b1 = OB1, b2 = OB2und a = OAmit gemeinsamem Anfangspunkt Ozeichnen (siehe Figur). Die dreiVektoren liegen in einer Ebene. DieParallelen durch A zu OB1und OB2schneiden die Geraden OB 1 und OB 2 in den Punkten B 1 ' und B 2 '. Dann ist '' 'OB = a ⋅ b , OB = a ⋅ b und a = OA = OB + OB = a ⋅ b + a ⋅ b1 1 1'2 2 21 2 1 1 2 2d.h. a ist eine Linearkombination von b 1 und b 2 . Diese Konstruktion ist nichtmöglich, wenn b 1 und b 2 kollinear (d.h. linear abhängig) sind.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 71

DialogMatheVektoren in der EbeneÜbungen Basisvektoren in der EbeneAufgabe 1 Welche der nebenstehenden Vektorpaare b 1 , b 2 bilden eine Basis der Ebene?Begründe deine Antwort kurz.Aufgabe 2Es ist möglich, jeden Vektor der Ebene als Linearkombination der dreigezeichneten Vektoren b 1 , b 2 und b 3 darzustellen. So gilt z.B. für dengezeichneten Vektor a : a = 3 ⋅ b1 + 2 ⋅ b2 − b3. Warum bezeichnen wirwohl diese drei Vektoren nicht auch als Basis der Ebene?Aufgabe 3 Konstruiere die Linearkombination der Basisvektoren 1 b und 2 b , dieden Vektor a darstellt, und bestimme die Koeffizienten durch Messen.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 73

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathePartnerinterview VektorgeometrieParameterdarstellung einer GeradenZeit: 10 MinutenFrage:Welche Aussagen sind richtig, welche falsch? (Begründe kurz!)Als Basis der Ebene sind zwei Vektoren b 1 und b 2 brauchbar, wenn sie1) nicht zur gleichen Geraden parallel sind.2) entgegengesetzt gerichtet sind.3) linear abhängig sind.4) linear unabhängig sind.5) jeden anderen Vektor der Ebene als Linearkombination darstellen können.6) gleich lang sind.7) aufeinander senkrecht stehen.8) gleich lang sind und aufeinander senkrecht stehen.3.3.2 Orthonormalbasis einer EbeneEine Basis e 1 und e 2 der Ebene heisst Orthonormalbasis, wenn die beidenVektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge 1 haben. Oft bezeichnetman die Basisvektoren einer Orthonormalbasis auch mit e x und e y .Zur Bezeichnung: Ortho - wegen orthogonal ( = senkrecht) und normal wegender Normierung der Länge auf 1.74 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in der EbeneBeispiel: Ortsvektoren1) Der Ortsvektor OP kann alsLinearkombination der orthonormalenBasis e 1 und e 2 dargestellt werden. Linearkombination: OP = 4 ⋅ e1 + 3 ⋅ e22) Die vektoriellen und die skalarenKomponenten des Ortsvektors OPbezüglich der orthonormalen Basis e 1und e 2 sind:Vektorielle Komponenten: 4 ⋅ e 1 , 3 ⋅ e2Skalare Komponenten: 4 , 3 Komponentendarstellung : OP = 4 ⋅ e1 + 3 ⋅ e2Koordinatendarstellung (kurzschreibweise des Ortsvektors) : ⎛ 4 ⎞OP = ⎜3 ⎟⎝ ⎠Beachte:Bei der Koordinatendarstellung eines Ortsvektors, werden die skalarenKomponenten in runder Klammer untereinander geschrieben. Die skalarenKomponenten entsprechen den Koordinaten des Punktes P, welche aber inrunder Klammer nebeneinander geschrieben werden.Koordinaten des Punktes P: P ( 4 | 3 )3) Mit dem Pythagoras folgt für die Länge des Ortsvektors OP :2 2Betrag: OP = 4 + 3 = 25 = 5Vervollständige die Tabelle für die Ortsvektoren OQ und OR .Siehe Bild oben!Linearkombination(Komponentendarstellung)Vektorielle KomponentenSkalare KomponentenOrtsvektor OQOrtsvektor ORKoordinatendarstellungBetrag (Länge)Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 75

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheBeispiel : Freie Vektoren1) Der freie Vektor a kann alsLinearkombination derorthonormalen Basis e 1 und e 2dargestellt werden. Linearkombination: a = 5 ⋅ e1 + 3 ⋅ e22) Die vektoriellen und dieskalaren Komponenten desfreien Vektors a bezüglich derorthonormalen Basis e 1 und e 2 sind:Vektorielle Komponenten: 5 ⋅ e 1 , 3 ⋅ e2Skalare Komponenten: 5 , 3 Komponentendarstellung : a = 5 ⋅ e1 + 3 ⋅ e2Koordinatendarstellung (kurzschreibweise des freien Vektors) : a2 23) Betrag(Länge) des freien Vektors: a = 5 + 3 = 34 = 5,83⎛ 5 ⎞= ⎜3 ⎟⎝ ⎠Vervollständige die Tabellen für den freien Vektoren b .Linearkombination Vektor b Vektorielle KomponentenSkalare KomponentenKoordinatendarstellungBetrag (Länge)Diskutiere die beiden Spezialfälle c und d Vektor c LinearkombinationVektor d Vektorielle KomponentenSkalare KomponentenKoordinatendarstellungBetrag (Länge)76 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in Koordinatendarstellung (Ebene)3.4 Vektoren in Koordinatendarstellung (Ebene)Ein Vektor a habe bezüglich der Basis e 1 und e 2 ( e1 = e2= 1und e1 ⊥ e2) in der Ebene die Komponentendarstellung a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2 .Wir bezeichnen dann die Koeffizienten a 1 , a2als erste, zweite Koordinate vona bezüglich dieser Basis. Unter der Koordinatendarstellung von a verstehenwir die abgekürzte Schreibweise ⎛ a1⎞a = ⎜a ⎟ für die Komponentendarstellung.⎝ ⎠2Für den Betrag von a 2 2erhalten wir: a = a + a1 2Speziell: ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞0 = ⎜0 ⎟ ; e1= ⎜⎝ ⎠ 0 ⎟ ; e2= ⎜⎝ ⎠ 1 ⎟⎝ ⎠2 22 2e = 1 + 0 = 1 = 1 ; e = 0 + 1 = 1 = 112Aufgabe:Berechne den Betrag von ⎛ −8⎞a = ⎜6 ⎟⎝ ⎠; a =Zusammenhang zwischen dem Ortsvektor und den Koordinaten eines PunktesOrtsvektor r Punkt PPKomponentendarstellung Koordinatendarstellung Koordinaten r = 2 ⋅ e + eP 1 2 ⎛ − 3 ⎞rP= ⎜1 ⎟⎝ ⎠P ( 5| − 3)MerkeUm den Unterschied zwischen Punkt- und Vektorkoordinaten klar zumachen, schreiben wir die Punktkoordinaten nicht untereinander, sondernnebeneinander und mit einem Trennstrich: ⎛ x ⎞rP= ⎜y ⎟⎝ ⎠; P ( x | y ) Man schreibt eigenartigerweise und nicht sehr logischbeim Punkt die Koordinaten ohne „=“ direkt hinter den Namen des Punktes.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 77

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3.4.1 Rechnen mit KoordinatenAddition und Subtraktion von VektorenAddition von Vektoren: a + b=⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1⎞⎜a⎟ + ⎜ =b⎟ ⎜a + b⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2 2 2Subtraktion von Vektoren: a − b=⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 − b1⎞⎜a⎟ − ⎜ =b⎟ ⎜a − b⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2 2 2Wichtige Grundaufgabe: Vektor aus Anfangs- und EndpunktGegeben sind die Punkte A(5 | 3) und B(8 | 4). Welche Koordinaten hat derVektor AB ?Lösung: Den Vektor AB erhalten wir als Differenz der Ortsvektorenr B (Endpunkt) und r A (Anfangspunkt) ⎛ 8 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 8 − 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞AB = rB− rA= ⎜ − = =4⎟ ⎜3⎟ ⎜4 − 3⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠allgemein: AB r r⎛ b− a1 1= B − A = ⎜b2 a ⎟⎝ − 2 ⎠⎞„Endpunkt minus Anfangspunkt“Multiplikation eines Vektor mit einer ZahlMultiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl: ⎛ a1 ⎞ ⎛ x ⋅ a1⎞x ⋅ a = x ⋅ ⎜ =a⎟ ⎜x ⋅ a⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 23.4.2 Aufgaben Vektoren im KoordinatensystemAufgabe 1Zeichne je einen Repräsentanten (kein Ortsvektor) der folgendenVektoren. ⎛ 3 ⎞a = ⎜4 ⎟⎝ ⎠, ⎛ 2 ⎞b = ⎜−5⎟⎝ ⎠, ⎛ −2⎞c = ⎜4 ⎟⎝ ⎠, ⎛ −6⎞d = ⎜−3⎟⎝ ⎠Aufgabe 2 Notiere zu den Punkten A ( 2 | −1)und B ( 4 | 3 )Ortsvektoren. ⎛ 5 ⎞, e = ⎜0 ⎟⎝ ⎠, ⎛ 0 ⎞f = ⎜−4⎟⎝ ⎠− − die zugeordnetenAufgabe 3Welcher Unterschied besteht zwischen einem Ortsvektor und einemRepräsentanten eines freien Vektors?Aufgabe 4 Berechne den Betrag der folgenden Vektoren. ⎛ 8 ⎞ ⎛ −4⎞ ⎛ −9⎞a = ⎜0 ⎟ , b = ⎜⎝ ⎠ 3 ⎟ , c = ⎜⎝ ⎠ −5⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ −7,5⎞d = ⎜2,5 ⎟⎝ ⎠78 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in Koordinatendarstellung (Ebene)Lösungen Aufgabe 2:OA⎛ 2 ⎞= ⎜−1⎟⎝ ⎠, ⎛ −4⎞OB = ⎜−3⎟⎝ ⎠Aufgabe 3: Ein Ortsvektor geht immer vom Ursprung des Koordinaten-systems aus, bei einem Repräsentanten eines Vektors ist dies nichtnötig.Aufgabe 4: a = 8, b = 5, c = 106, d = 62,53.4.3 Aufgaben elementare VektoroperationenAufgabe 5 Berechne den Vektor a + 3b − 2c ⎛ 5 ⎞mit a = ⎜6 ⎟⎝ ⎠, ⎛ −3⎞b = ⎜2 ⎟⎝ ⎠und ⎛ 4 ⎞c = ⎜−7⎟⎝ ⎠Überprüfe das Resultat graphisch.Aufgabe 6Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass bei der Addition der dreiVektoren der Nullvektor resultiert. Dabei gilt: b1 = b2. ⎛ −3⎞a = ⎜7 ⎟⎝ ⎠, ⎛ b1⎞b = ⎜b ⎟⎝ ⎠2,c⎛ 8 ⎞= ⎜c ⎟⎝ ⎠2 ⎛ 4 ⎞Aufgabe 7 Gegeben : p = ⎜−6⎟⎝ ⎠, ⎛ q1⎞q = ⎜q ⎟⎝ ⎠2, ⎛ −5⎞r = ⎜r ⎟⎝ ⎠2, ⎛ 21 ⎞s = ⎜−31,5⎟⎝ ⎠Berechne die fehlenden Koordinaten unter folgenden Bedingungen:p ist kollinear zu r und s = 2p − q − 3rAufgabe 8Gegeben: ⎛ 1,5 ⎞a = ⎜2 ⎟⎝ ⎠, ⎛ 10 ⎞b = ⎜−8⎟⎝ ⎠, ⎛ −3⎞c = ⎜−7⎟⎝ ⎠, ⎛ −59⎞s = ⎜−22⎟⎝ ⎠Bestimme die Koeffizienten x und y so, dass gilt: s = x ⋅ a + y ⋅ b − 1,5x ⋅ cAufgabe 9Welche Vektoren sind linear abhängig (kollinear)?a)b)c)d) ⎛ 3 ⎞ ⎛ 5 ⎞p = ⎜7 ⎟ , q = ⎜⎝ ⎠ 9 ⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ 4,5 ⎞r = ⎜10,5 ⎟⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1,5 ⎞ ⎛ −2,25⎞u = ⎜7,5 ⎟ , v = ⎜⎝ ⎠ 3,5 ⎟ , w = ⎜⎝ ⎠ −5,25⎟⎝ ⎠ ⎛ −5⎞ ⎛ 12,5 ⎞x = ⎜8,5 ⎟ , y = ⎜⎝ ⎠ −21⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ −2⎞ ⎛ 2,2 ⎞a = ⎜−93⎟ , b = ⎜⎝ ⎠ 102,3 ⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ 1,5 ⎞z = ⎜−2,5⎟⎝ ⎠ ⎛ 0,4 ⎞c = ⎜18,6 ⎟⎝ ⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 79

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheLösungen Aufgabe 5: ⎛ −12⎞a + 3b − 2c = ⎜26 ⎟⎝ ⎠Aufgabe 6: b1 = b2= − 5 ; c 2 = − 2Aufgabe 7: q1 = 2 ; q2 = − 3 ; r2= 7,5Aufgabe 8: x = − 4 ; y = − 3,5Aufgabe 9: a)b)d) ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4,5 ⎞p = ⎜ und r =7⎟ ⎜10,5⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1,5 ⎞ ⎛ −2,25⎞v = ⎜ und w =3,5⎟ ⎜−5,25⎟ c) keine⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 2,2 ⎞ ⎛ 0,4 ⎞a = ⎜ und b = und c =−93 ⎟ ⎜102,3⎟ ⎜18,6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3.4.4 Aufgaben Vektor aus Anfangs- und EndpunktAufgabe 10 Die Punkte A ( 4 | 2 ) , B ( −3 | 5 ) und C ( 2 | 1)− sind gegeben. a) Bestimme die Vektoren: OA , AB , BA , CA und BC .b) Berechne die Abstände AB , BC und AC.Aufgabe 11 Welcher Punkt auf der x-Achse ist von den Punkten A ( 3 | 6 ) und B ( 10 | 12 )gleich weit entfernt?Aufgabe 12Berechne den Ortsvektor des Mittelpunktes M der Strecke AB aus denOrtsvektoren r A und r B .Aufgabe 13 Die Punkte A ( −10 | − 8 ) , B ( 8 | −2) und ( )Berechne die Länge der Seitenhalbierenden s a .C 6 | 18 sind gegeben.Rechne zuerst allgemein, d.h. mit den Ortsvektoren von A, B und C.Lösungen Aufgabe 10: a) ⎛ 4 ⎞OA = ⎜2 ⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ −7⎞ AB = ⎜3 ⎟ , BA⎝ ⎠⎛ 7 ⎞= ⎜−3⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞CA = ⎜3 ⎟⎝ ⎠ ⎛ 5 ⎞, BC = ⎜−6⎟⎝ ⎠b) AB = 58 , BC = 61 , AC = 13Aufgabe 11:⎛ 199 | 0⎞⎜14⎟⎝ ⎠Aufgabe 12: 1 rM = ⋅2 ( rA + rB) OM21 = ⋅ OA + OBAufgabe 13: s 1 1a = r2 B + r2 C − rA= 545oder ( )80 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in Koordinatendarstellung (Ebene)3.4.5 Dynamische Arbeitsblätter Vektoren in KoordinatendarstellungDynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Vektoraddition_KoordinatendarstellungZeit: 10 Minuten ⎛ ax ⎞ ⎛ bx ⎞ ⎛ ax + bx⎞Vektoraddition: c = a + b= ⎜ a⎟ + ⎜y b⎟ = ⎜y ay b⎟ . Vektoren in Koordinatendarstellung⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ + y⎠werden addiert, indem ihre Koordinaten addiert werden.Arbeitsaufträge:1) Überprüfe die oben gemachte Aussage anhand der Figur. c = a + b = a ⋅ e + a ⋅ e + b ⋅ e + b ⋅ e = a + b ⋅ e + a + b ⋅e( )( )x 1 y 2 x 1 y 2 x x 1 y y 22) Die Punkte A, B und D lassen sich mit der Maus bewegen. Verändere dieVektoren und überprüfe die Berechnungsregel. Mache auch einige Spezialfälle, z.B. a, b kollinear (horizontal, vertikal)GeoGebra: DifferenzOrtsvektoren_KoordinatendarstellungZeit: 10 MinutenDie Punkte P und Q können mit der Maus verändert werden.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©81

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheArbeitsaufträge:1) Überprüfe folgende Aussage: Der freie Vektor PQ kann als Differenz der Ortsvektoren OQ und OP berechnet werden. Interpretiere diesenSachverhalt mit Hilfe einer Verschiebung (Umweg über O).2) Überlege dir anhand der gezeichneten Vektoren folgende Grundaufgabe:Gegeben sind die Koordinaten der Punkte P ( x P | y P )Gesucht sind die Koordinaten des Vektors PQ und Q ( x Q | y Q ) ..3) Wähle neue Punkte P und Q (Beachte: Wähle die Position der Punkte inallen vier Quadranten) und berechne die Koordinaten des VektorsPQ .4) Schreibe dir 5 Beispiele iele für P und Q heraus (samt Lösung PQ ) und gib dieKoordinaten von P und Q als Aufgabe einer Mitschülerin oder einemMitschüler.Korrigiere die Resultate und diskutiere auftretende Fehler!GeoGebra: Koordinatendarstellung_Ortsvektor_freierVektorektor_freierVektorZeit: 10 MinutenAuf dem Arbeitsblatt siehst du zwei Vektoren:• einen Ortsvektor OP• einen freien Vektor ABWie unterscheiden eiden sich die beiden Vektoren? Die Koordinatendarstellung derVektoren ist vektoren e eine 1und e Kurzschreibweise einer Linearkombination der Basis-2 . Welche Eigenschaften haben die Vektorene 1 und e 2 ?Die Punkte A, B und P können mit der Maus bewegt werden.Arbeitsaufträge:1) Verschiebe den Punkt P mit der Maus und beobachte die Koordinaten des Punktes P und die Koordinaten des Vektors OP. Was fällt auf?2) Verändere Vektors AB die Position der Punkte A und B. Wie können die Koordinaten desaus den Koordinaten der Punkte A und B berechnet werden?3) OPkann als spezieller Repräsentant (mit Anfangspunkt in O) des Vektors ABinterpretiert retiert werden. Wähle die Punkte A, B und P so, dass dies zutrifft.82Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in Koordinatendarstellung (Ebene)3.4.6 Schwerpunkt eines DreiecksDynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Schwerpunkt_DreieckZeit: 10 Minuten Gegeben: Ortsvektoren zu den Eckpunkten eines Dreiecks ABC: OA , OB, OCGesucht: Ortsvektor des Schwerpunktes OSDie Eckpunkte A, B und C des Dreiecks lassen sich mit der Maus verschieben.Arbeitsaufträge: 1) Untersuche e den folgenden Zusammenhänge: OS = 1(OA + OB + OC 3)OM 1C=2 (OA +OB ) , OM 1( )a = OB + OC , ( OM 12b= OA +OC2 )2) Mache verschiedene Beispiele indem du die Ecken des Dreiecks veränderst.Wie müssen die Ecken verändert werden, damit die Koordinaten desSchwerpunktes S ganzzahlig bleibt.3) Verifiziere: Die Koordinaten des Schwerpunktes S kann aus den Koordinatender Eckpunkten des Dreiecks A ( x | y ) , ( )xA xB xC yA yB yCberechnet werden:S⎛ + + + +|⎞⎜3 3⎟⎝ ⎠ .AAB x | y und C x | yBB( )CCLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©83

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3.4.7 EinheitsvektorenEin Vektor mit dem Betrag 1 heisstEinheitsvektor. Symbol: e Wie erhälst du aus einem beliebigenVektor a einen Einheitsvektor?Einheitsvektor in Richtung des Vektors a :Umgekehrt können wir jeden Vektor a unter Verwendung seiner Länge a und dem Einheitsvektore a darstellen:ea= a = a ⋅ eaaaDynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Einheitsvektor_KoordinatendarstellungZeit: 10 MinutenDer Anfangspunkt A und der Endpunkt B des Vektors ABlassen sich mit der Maus bewegen. Die Koordinaten des Vektors AB, sowie der Betrag und die Koordinaten des Einheitsvektorswerden automatisch berechnet.Arbeitsaufträge:1) Stell dir einige Berechnungsbeispiele zusammen:Gegeben: Koordinaten von A und B Gesucht: Einheitsvektor in Richtung AB(Verifiziere die Lösung undeABeABschreibe sie dir auf!) Gib die Beispiele an eine Mitschülerin oder einenMitschüler weiter, oder löse deine Beispiele am darauf folgenden Tag alsÜbung selbst.2) Mache auch einige Spezialfälle z. B. AB parallel zur x-Achse.84Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in Koordinatendarstellung (Ebene)BeispielGegeben sind die zwei Punkte P(3 | 6) , Q(6 | 2) . Bestimme den Vektoru mitfolgenden Eigenschaften: u hat die Richtung von PQ und u hat die Länge 1.Vektor PQ aus Anfangspunkt P und Endpunkt Q:2Betrag (Länge): PQ = 3 + ( − 4 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 ⎛ 6 − 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞PQ = ⎜ =2 − 6⎟ ⎜− 4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Einheitsvektor in Richtung PQ :u =3PQ 1 1 3⎛ ⎞⎛ ⎞5= ⋅ PQ= ⋅ = ⎜ ⎟PQ PQ 5 ⎜− 4⎟⎝ ⎠ ⎜ − 4 ⎟⎝ 5 ⎠3.4.8 Aufgaben EinheitsvektorenAufgabe 14Was kannst du über die Grösse der Koordinaten eines Einheitsvektors ⎛ e1⎞e = ⎜e ⎟ aussagen?⎝ ⎠2Aufgabe 15Berechne den Einheitsvektor von ⎛ 12 ⎞a = ⎜0 ⎟⎝ ⎠, ⎛ 1⎞b = ⎜1 ⎟⎝ ⎠,c⎛ 20 ⎞= ⎜−40⎟ .⎝ ⎠Aufgabe 16Berechne die Koordinate k, sodass der folgende Vektor ein Einheitsvektor ist:a)⎛ 1 ⎞⎜k⎟⎝ ⎠, b)⎛ 0,5 ⎞⎜k⎟⎝ ⎠, c)⎛ k ⎞⎜−0,8⎟⎝ ⎠, d)⎛ k ⎞⎜k⎟⎝ ⎠Aufgabe 17Berechne alle Punkte auf der Geraden AB, die 8cm von A entfernt sind.A ( 2 | 10 ) , B ( 22 | 6 )− . ( ex = ey= 1cm )Aufgabe 18 Die Punkte A ( −3 | − 4 ) , B ( 7 | 1)und C ( 2 | 10 ) sind gegeben.Berechne den Punkt D, so dass das Viereck ABCD ein Trapez ( AB CD ) mitCD= 6cm bildet. ( ex = ey= 1cm )Aufgabe 19 Die Gerade PQ mit P ( 5 | 0 ) , Q ( 15 | 20 ) und ein Punkt A ( 2 | 7 ) sind gegeben.Das Lot zur Geraden PQ durch A schneidet PQ in B. ( ex= ey= 1cm )a) Berechne den Einheitvektor e 1 von AB .b) Berechne mit Hilfe von e 1 den Abstand des Punktes A von derGeraden PQ.c) A werde an der Geraden PQ gespiegelt. Berechne den Bildpunkt A’.2 2Lösungen Aufgabe 14: e + e = 1 ; −1 ≤ e1 ≤ 1 ; − 1 ≤ e2≤ 11 2 ⎛ 1 ⎞Aufgabe 15: ea= ⎜0 ⎟⎝ ⎠; eb ⎛ 0,5 ⎞= ⎜ ⎟⎝ 0,5 ⎠ ⎛ 0,2 ⎞= ⎜ ⎟⎝ − 0,8 ⎠; ecLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 85

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheAufgabe 16: a) k = 0 , b)3k = ± , c)2k3= ± , d)5k= ±12⎛ 40 32Aufgabe 17: 2 |10⎞⎜ + − ⎟ ≈ ( 8,25 | 5,00 )⎝ 41 41 ⎠⎛ 40 322 |10⎞⎜ − + ⎟ ≈ ( −4,25 |15,0 )⎝ 41 41 ⎠undAufgabe 18: ( 2 − 2,4 ⋅ 5 |10 − 1,2 ⋅ 5 ) ≈ ( − 3,37 | 7,32 ) ⎛ 0,4 ⋅ 5 ⎞Aufgabe 19: a) e1= ⎜ ⎟ , b) 2,6 5 5,81⎝ −0,2 ⋅ 5 ⎠⋅ ≈ , c) A ' = ( 12,4 |1,8 )3.4.9 Überblick VektorartenPartnerinterview VektorgeometrieArten von VektorenZeit: 10 MinutenWas verstehen wir unter den folgenden Vektoren? Wie sind sie definiert?OrtsvektorRichtungsvektorGegenvektorNullvektorEinheitsvektor86 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMathe3.4.10 Repetitionstest Rechnen mit VektorenAufgabe 1Repetitionstest Rechnen mit VektorenBearbeitungszeit: 30 MinutenAufgabe 2Gegeben sind die zwei Punkte A(2 | 5) undB(8 | − 3) . Bestimme:a) den Vektor AB . AB = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠b) den Betrag des Vektors AB .AB =Welchen Abstand d hat der Punkt P(8 | 6) vom Ursprung O?d =Aufgabe 3 ⎛ 4 ⎞AB = ⎜3 ⎟⎝ ⎠; ⎛ 2 ⎞BC = ⎜−5⎟⎝ ⎠. Berechne AC .AC = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠Aufgabe 4Aufgabe 5Aufgabe 6 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞a = ⎜2 ⎟ b = ⎜⎝ ⎠ 5 ⎟ c = ⎜⎝ ⎠ 1 ⎟⎝ ⎠ Berechne den Vektor d = 2a − b + 5c ⎛ 5 ⎞Gegeben sind die Ortsvektoren : OA = ⎜1 ⎟ und⎝ ⎠Bestimme den Vektor AB .Bestimme die Komponenten des Vektors a :⎛ −2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜ + a =5⎟ ⎜0⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ 7 ⎞ 1⎜ + a =⎛ ⎞3⎟ ⎜0⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞⎜ + a =3⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞OB = ⎜3 ⎟⎝ ⎠AB = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠aad = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞a = ⎜ ⎟⎝ ⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 87

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheAufgabe 7Bestimme y so, dass die Vektoren⎛ 3 ⎞⎜8⎟⎝ ⎠ und ⎛ 9 ⎞⎜y⎟⎝ ⎠kollinear sind.Aufgabe 8Aufgabe 9Gegeben sind die zwei Punkte P(3 | 6) , Q(6 | 2) . Bestimme den Vektora mitfolgenden Eigenschaften: a hat die Richtung von PQ und a hat die Länge 1y =a =Gegeben sind die zwei Punkte P( − 1| 2) und Q(7 | − 4) . Bestimme:a) den Ortsvektor OPb) den VektorPQ⎛⎜⎜⎝⎞⎟⎟⎠⎛ ⎞OP =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞PQ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠c) die Länge der Strecke PQ . PQ =Aufgabe 10d) den Einheitsvektor in Richtung PQ .e) Die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke PQf) den VektorPM .⎛M ⎜|⎝⎛ ⎞e⎜ ⎟PQ = ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞PM =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Verdoppeln wir die Strecke AB über B hinaus, so erhalten wir den Punkt C.Wie lauten die Koordinaten des Punktes C? A(2 | 2) , B(4 | − 2) .⎞⎟⎠88 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheAufgabe 11zer- ⎛ 8 ⎞Ein Vektor c = ⎜9 ⎟ soll in Richtung der Vektoren⎝ ⎠legt werden. Wie lautet die Zerlegung? ⎛ 4 ⎞a = ⎜2 ⎟⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞und b = ⎜3 ⎟⎝ ⎠Lösungen Repetitionstest ⎛ 6 ⎞ 2Aufgabe 1 : a) AB = ⎜−8⎟ b) AB = 6 + ( − 8 ) 2 = 100 = 10⎝ ⎠2 2Aufgabe 2 : d = OP = 6 + 8 = 100 = 10Aufgabe 3 : ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 6 ⎞AC = AB + BC = ⎜ + =3⎟ ⎜−5 ⎟ ⎜−2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 4 : ⎛ 6 − 1+0 ⎞ ⎛ 5 ⎞d = ⎜ =4 − 5 + 5⎟ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 5 : ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −4⎞AB = OB − OA = ⎜ − =3⎟ ⎜1⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 6 : ⎛ 2 ⎞ ⎛ −6⎞ ⎛ 0 ⎞a = ⎜−5⎟ Gegenvektor ; a = ⎜⎝ ⎠−3⎟ ; a = ⎜⎝ ⎠ 0 ⎟⎝ ⎠Nullvektor9 yAufgabe 7 : = → 3y = 9 ⋅ 8 → y = 243 83⎛ 3 ⎞ PQ 1 ⎛ 3 ⎞⎛ ⎞5Aufgabe 8 : PQ = ⎜ ; PQ 5 ; a⎜ ⎟4⎟ = = = ⋅ =−PQ 5 ⎜−4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ −4⎟⎝ 5 ⎠ ⎛ −1⎞ ⎛ 8 ⎞ Aufgabe 9 : a) OP = ⎜2 ⎟ b) PQ = ⎜⎝ ⎠−6⎟ c) PQ = 10⎝ ⎠4PQ 1 ⎛ 8 ⎞⎛ ⎞5 d) ePQ= = ⋅ = ⎜ ⎟PQ 10 ⎜−6⎟ e) M ( 3 / − 1)f) 1 ⎛ 4 ⎞PM =⎝ ⎠ ⎜ −3⎟2⋅ PQ = ⎜−3⎟⎝ 5 ⎠⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 6 ⎞Aufgabe 10 : OC = OA + AC = OA + 2 ⋅ AB = ⎜ + =2⎟ ⎜−8 ⎟ ⎜−6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; C ( 6 / − 6 ) ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 6 ⎞Oder OC = OB + BC = OB + AB = ⎜ + =−2 ⎟ ⎜−4 ⎟ ⎜−6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Aufgabe 11 : c = x ⋅ a + y ⋅ b ;⎛ 8 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 8 = 4x + y⎜ x y9⎟ = ⋅ ⎜2⎟ + ⋅ ⎜3⎟ →⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 = 2x + 3y→ x = 1,5 ; y = 2Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 89

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3.5 Rechnungsmethoden für Vektoren in der Ebene3.5.1 Zerlegung eines Vektors ⎛ 7 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ − 4 ⎞Zerlege den Vektor c = ⎜−1⎟ in Richtung von a = ⎜⎝ ⎠3 ⎟ und b = ⎜⎝ ⎠− 5 ⎟ .⎝ ⎠Andere Formulierung: Stelle c als Linearkombination von a und b dar.Lösungsmethode:Verwende einen Ansatz für die gesuchte Linearkombination und stelle für dieeingeführten Unbekannten Gleichungen auf. Ansatz: c = x ⋅ a + y ⋅ b (Unbekannte x und y)Vektorgleichung:⎛ 7 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ − 4 ⎞⎜ = x ⋅ + y ⋅−1 ⎟ ⎜3⎟ ⎜− 5⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Gleichungssystem für x und y:7 = 5x − 4y− 1 = 3x − 5y35 = 25x − 20y4 = − 12x + 20y39 = 13x → x = 3 5y = 3x + 1 = 9 + 1 = 10 → y = 2 ; Linearkombination: c = 3 ⋅ a + 2 ⋅ bÜbungen Zerlegung eines VektorsStelle c als Linearkombination von a und b dar.a)b)c)d) ⎛ −7⎞ ⎛ 3 ⎞a = ⎜4 ⎟ , b = ⎜⎝ ⎠ − 9 ⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞c = ⎜16,5 ⎟⎝ ⎠ ⎛ 8,5 ⎞ ⎛ 10,5 ⎞ ⎛ 29,4 ⎞a = ⎜−11⎟ , b = ⎜⎝ ⎠ − 15 ⎟ , c = ⎜⎝ ⎠ −42⎟⎝ ⎠ ⎛ 16 ⎞ ⎛ 3,5 ⎞a = ⎜−20⎟ , b = ⎜⎝ ⎠ 7,5 ⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ 11,4 ⎞c = ⎜0 ⎟⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −9⎞ ⎛ 8 ⎞a = ⎜−8⎟ , b = ⎜⎝ ⎠ 24 ⎟ , c = ⎜⎝ ⎠ 2 ⎟⎝ ⎠Lösungen Übungen Zerlegung eines Vektors a) c = −1,5 ⋅ a − 2,5 ⋅ b c) c = 0,45 ⋅ a + 1,2 ⋅ b b) c = 0 ⋅ a + 2,8 ⋅ bd) nicht möglich90 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheRechnungsmethoden für Vektoren in der Ebene3.5.2 Abstand Punkt zu Punkt (Betrag)ProblemstellungWelcher Punkt auf der x-Achse ist von den Punkten A ( 0 |6gleich weit entfernt?Analyse mit Hilfe eines dynamischen ArbeitsblattesDynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Abstand_Punkt_Punkt_BetragZeit: 10 MinutenA 0 |6 ) und B( 10 |12 )1. Lösungsidee: Abstand = Länge von VektorenWir betrachten alle möglichen Punkte Pxx |0 auf der x-Achse. Der gesuchte Punkt P hat die Eigenschaft PA = PB . Mit dem AnsatzPx( x |0 ) erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für x: Px A = PxB.Wir betrachten alle möglichen Punkte ( )( )Arbeitsblatt: P xx |0 lässt sich auf der x-Achse mit der Maus bewegen. Bewege ihn soweit nach rechts, bis Px A = PxB.2. Lösungsidee: Mittelsenkrechte von AB mit der x-Achse schneiden Der Punkt P liegt auf der Geraden r = OP = OM + t ⋅ nauf der Mittelsenkrechten, OM mAB , Pmist ein PunktStrecke AB und n ist der Ortsvektor zumAB der Normalvektor zum Vektor AB Mittelpunkt M der. Pm liegt auf derx-Achse, wenn die y-Koordinate von OPmNull ist. So kann t rechnerischbestimmt werden. Arbeitsblatt: Verändere t (Schieberegler oben) bis Pmauf diex-Achse zu liegen kommt.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©91

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheRechnerische Durchführung der 1. LösungsideeAlgebraische Lösung mit einem Ansatz!Ansatz für Punkt P auf der x-Achse: P( x |0 ) 1. Lösungsidee: PA = PBoderPAPB2 2= ⎛ −x⎞PA = ⎜6 ⎟⎝ ⎠ ⎛ 10 − x ⎞PB = ⎜12 ⎟⎝ ⎠2x + 6 = ( 10 − x ) + 12; ( ) 2 2PA = − x + 62 2 22 2; ( ) 2 2PB = 10 − x + 12x + 36 = 100 − 20x + x + 144; PA = ( − x ) + 620820x = 208 → x = = 10,4 → P ( 10,4 | 0 )202 2 2; PB = ( 10 − x ) + 122 2 22. Lösungsidee: Das Dreieck ABP ist gleichschenklig. Die Spitze P liegt auf derMittelsenkrechten der Strecke AB .Rechnerische Durchführung der 2. LösungsideeGeometrische Lösung: Mittelsenkrechte schneiden mit x-Achse Parametergleichung für Mittelsenkrechte r = OM + t ⋅ nABMit ⎛ 10 ⎞AB = ⎜6 ⎟ ,⎝ ⎠ ⎛ 5 ⎞OM = ⎜9 ⎟⎝ ⎠ ⎛ 6 ⎞= ⎜−10⎟⎝ ⎠, nABerhalten wir⎛ x 5 6⎜ ⎞ ty⎟ = ⎛ ⎜ ⎞ + ⋅⎛ ⎞9⎟ ⎜− 10⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aus der Vektorgleichung ergibt sich das Gleichungssystemx = 5 + 6ty = 9 − 10tDa P auf der x-Achse liegt ist y = 0:0 = 9 − 10t → t = 910x = 5 + 6t = 5 + 5, 4 = 10, 4Der Normalenvektor ist Richtungsvektor der Mittelsenkrechten. Der Normalenvektor zu einem gegebenen Vektor a kann folgendermassennabestimmt werden (Achtung geht nur in der Ebene!) ⎛ ax⎞a = ⎜ ⇒a⎟⎝ y ⎠ ⎛ − ay⎞n =a ⎜ ⎟⎝ a ⎠x ⎛ ay⎞oder der Gegenvektor n =a ⎜ ⎟⎝ −a⎠x92 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheRechnungsmethoden für Vektoren in der Ebene3.5.3 Dynamisches Arbeitsblatt NormalvektorDynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: NormalvektorZeit: 10 Minuten ⎛ ax⎞ ⎛ bx⎞Gegeben sind die beiden Vektoren a = ⎜a⎟ und b = ⎜⎝ y ⎠b⎟ in⎝ y⎠Koordiantendarstellung.Der Zwischenwinkel der beiden Vektoren lässt sich00durch den Schieberegler α von α = 0 bis α = 180einstellen.Arbeitsaufträge: 1) Zeige, dass a =b . 02) Stelle den Schieberegler α = 0 . Jetzt ist a = boder in Koordinatendarstellung⎛ ax⎞ ⎛ bx⎞⎜ =a⎟ ⎜y b⎟. Was kannst du über die vier Zahlen a x ,a y , b x ,b yaussagen?⎝ ⎠ ⎝ y ⎠03) Stelle den Schieberegler auf α = 90und beobachte dabei die Änderungen derSeiten des gelben Dreiecks. In welcher Beziehung stehen nun die Koordinatena x ,a y , b x ,b yder zwei Vektoren? 04) Stelle den Schieberegler auf α = 180 . Jetzt ist a = − b . ( b 5) Die Spitze B vom Vektor a Gegenvektor von a ) kann mit der Maus bewegt werden, wobei a = b0erhalten bleibt. Stelle den Schieberegler auf α = 90und verändere die Positionvon B so, dass a = b =5 . Wieviele Möglichkeiten gibt es? ⎛ 4 ⎞ ⎛ b1⎞Übung NormalvektorGegeben: a = ⎜7 ⎟ , b = ⎜⎝ ⎠ b ⎟⎝ 2 ⎠a) Bestimme die Vektoren, die senkrecht zu a stehen und den gleichenBetrag wie a haben.b) Bestimme alle Vektoren, die senkrecht zu a stehen.c) Allgemein: Bestimme alle Vektoren, die senkrecht zu b stehen.Lösungen Übung Normalvektor⎛ 7 ⎞a) ⎜−4⎟⎝ ⎠ ⎛ − 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞und ⎜4⎟ b) k ⋅ ⎜⎝ ⎠ −4⎟⎝ ⎠ mit k ∈ R c) k ⎛ b2⎞⋅ ⎜b ⎟ mit k ∈ R⎝ −⎠1Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©93

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3.6 Gerade in der EbeneDynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Gerade_ParameterdarstellungZeit: 10 MinutenGegeben ist die Strecke ABdurch die Punkte A und B.M ist Mittelpunkt von ABfür C gilt: BC = 12⋅ ABfür D gilt: BD = ABfür E gilt: BE = 32⋅ ABfür F gilt: AF = ABfür G gilt: AG = 54⋅ AB Schieberegler für den Parameter t : rP = rA+ t ⋅ ABArbeitsaufträge:1) Bestimme r jeweils Mr (P = M) ; r den ParameterB (P = B) ; r t fürC (P = C) ; r folgende OrtsvektorenD (P = D) ; r r P :EA (P = A) ; r F (P = F) ) ; r (P = E) ;G (P = G)2) Kontrolliere deine Werte mit Hilfe des Schiebereglers t.3) Mach dir folgende Aussage klar: Die Punkte P mit den Ortsvektoren r P = r A + t ⋅ AB ( t ∈ R ) liegen alleauf einer Geraden durch die beiden Punkte A und B. Wir nennen r P = r A + t ⋅ ABdie Parameterdarstellung der Geraden,welche durch die Punkte A und B gegeben ist.3.6.1 Parameterdarstellung einer Geraden in der Ebene r = r + t ⋅ u0r : Ortsvektor eines beliebigen Punktesder Geradenr : Ortsvektor eines Ausgangspunktes0der Geradenu : Richtungsvektor der Geradent : Parameter ( t ∈R)94Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade in der EbeneParameterdarstellung:x⎛ x⎛ u⎛ ⎞ 0x⎜ ty⎟ = ⎜ + ⋅ ⎜y⎟0u⎟y⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎞⎞Komponentendarstellung:x = x + t ⋅ u0 xy = y + t ⋅ u0 yBeispiel:⎛ x ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ − 6 ⎞⎜ ty⎟ = ⎜ + ⋅4⎟ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔x = −1 − 6 ⋅ ty = 4 + 4 ⋅ tElimination des Parameters t ergibt:2x = −2 − 12 ⋅ t3y = 12 + 12 ⋅ t2 102x + 3y = 10 → y = − ⋅ x +3 3Vergleiche mit der Funktionslehre.Funktionsgleichung einer lineareFunktion: y = m⋅ x + qFunktionsgraph = Gerade2Gerade: Steigung m = − und y-Achsenabschnitt310q =33.6.2 Punkt auf einer GeradenGegeben: Gerade g:⎛ x ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ −1⎞⎜ ty⎟ = ⎜ + ⋅4⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠und zwei Punkte A ( 11|8 ) ; B( 5 |14 )Auftrag: Bestimme die Koordinaten eines Punktes P( x |y ) , der folgendeEigenschaften hat:• P liegt auf der Geraden gLösungsidee:Ansatz für P:Lösung:• PA = PB PA = PB2 2x = 9 − ty = 4 + tP( 9 − t |t + 4 ) ⎛ 11 − ( 9 − t ) ⎞ ⎛ 2 + t ⎞PA = ⎜ ⎟ =8 − ( t + 4⎜) 4 − t⎟⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 5 − ( 9 − t ) ⎞ ⎛ t − 4 ⎞PB = ⎜ ⎟ =14 − ( 4 + t⎜) 10 − t⎟⎝⎠ ⎝ ⎠; PA = ( 2 + t ) + ( 4 − t )2 2 2; PB = ( t − 4 ) + ( 10 − t )2 2 2( 2 + t ) + ( 4 − t ) = ( t − 4 ) + ( 10 − t )2 2 2 22 2 2 24 + 4t + t + 16 − 8t + t = t − 8t + 16 + 100 − 20t + t24t = 96 → t = 4x = 9 − t = 9 − 4 = 5y = 4 + t = 4 + 4 = 8P( 5 |8 )Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 95

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheÜberdenke deinen Lösungsweg nochmals mit Hilfe des folgenden Arbeits-blattes. Zeichne eine Schaufigur und beschreibe den Lösungsweg in Worten!Dynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Punkt auf einer GeradenZeit: 10 MinutenGegeben:Gerade g:⎛ x ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ −1⎞⎜ ty⎟ = ⎜ 4⎟ + ⋅ ⎜ 1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Punkte A ( 11|8 ) ; B(5 |14)Gesucht:P ( x | y ), der folgende Eigenschaften hat :P liegt auf der Geraden g und PAAufgabenvarianten: a) PB = 2 ⋅ PAb)und zwei= PB .∢ BPA = 90Schieberegler : t = Parameter der Geraden goArbeitsauftrag:Überdenke deinen Lösungsweg mit Hilfe der dynamischen Konstruktion.Mit Hilfe des Schiebereglers t (Laufparameter der Geraden) können diePunkte Pgder Geraden g durchlaufen werden.Interpretiere die vektorielle Geradengleichung!3.6.3 Schnittpunkt von zwei GeradenAuftrag: Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h. x 0 3Gerade g: rg= ⎛ ⎜ ⎞ ty⎟ = ⎛ ⎜ ⎞ 3⎟ + ⋅⎛ ⎜ ⎞5⎟⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ −1⎞Gerade h: rh= ⎜ sy⎟ = ⎜4⎟ + ⋅ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Lösungsidee: rg = rhLösung:Vektorgleichung⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ −1⎞⎜ + t ⋅ = + s ⋅−3 ⎟ ⎜5⎟ ⎜4⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠0 + 3t = 9 −s− 3 + 5t = 4 +sGleichungssystem3t + s = 95t − s = 78t = 16 → t =2Schnittpunkt: ⎛ xS⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 6 ⎞rg= OS = ⎜ = + 2 ⋅ =y⎟⎜−3 ⎟ ⎜5⎟ ⎜ 7⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠SS ( 6 |7 )Zeichne eine Schaufigur und überdenke deinen Lösungsweg nochmals!Bestimme den Schnittpunkt, indem du r h verwendest!96Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade in der EbeneÜbung Schnittpunkt von zwei GeradenAufgabe 1Aufgabe 2Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h. x 5 3Gerade g: rg= ⎛ ⎜ ⎞ ty⎟ = ⎛ ⎜ ⎞ 8⎟ + ⋅⎛ ⎜ ⎞2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎛ x ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ − 6 ⎞Gerade h: rh= ⎜ sy⎟ = ⎜4⎟ + ⋅ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 1 3Gerade g: rg= ⎛ ⎜ ⎞ ty⎟ = ⎛ ⎜ ⎞ 2⎟ + ⋅ ⎜ ⎛ ⎞1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 5 1Gerade h: rh= ⎛ ⎜ ⎞ = ⎛ ⎞ + s⋅⎛ ⎞y⎟ ⎜2⎟ ⎜−1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Lösungen Übung Schnittpunkt von zwei GeradenAufgabe 1Kein Schnittpunkt ghAufgabe 2Schnittpunkt( 4 | 3 )Dynamisches ArbeitsblattGeoGebra Gebra Datei: Schnittpunkt von zwei GeradenZeit: 10 MinutenGegeben sind zwei Geraden: g: rg= rA+ t ⋅ ABund h: r h = r C + s ⋅ CDDie beiden Geraden sind jeweils gegebendurch zwei Punkte: Gerade g (A,B),Gerade h (C,D).Die vier Punkte lassen sich mit der Mausbewegen.Schieberegler für die beiden Parameter t und s für die beiden Geraden g und h.Arbeitsaufträge:1) Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden, d.h. S kann als Ortsvektorvon g und als Ortsvektor von h dargestellt werden. Wie lautet dievektorielle Bedingung für einen Schnittpunkt zweier Geraden?2) Für welche Werte der beiden Parameter t und s ergibt sich derSchnittpunkt S?3) Entwickle ein allgemeines Vorgehen für die Ermittlung einesSchnittpunktes zweier Geraden in der Ebene.4) Diskutiere die Lage zweier Geraden in der Ebene. Charakterisiere die verschiedenen Fälle durch die Stützvektoren r A , r CRichtungsvektoren AB und CD und die beidender beiden Geraden g und h. Stelle einigeBeispiele in der dynamischen Konstruktion dar. Du kannst jeweils dieAnfangspunkte A, C oder Endpunkte B, D der Richtungsvektoren mit derMaus verändern.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©97

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3.6.4 WinkelhalbierendeIn einem Rombus (Parallelogramm mit gleich langen Seiten) ist die DiagonaleWinkelhalbierende (siehe auch Kap. 2.4.3 Seite 67).Analysiere den Sachverhalt mit Hilfe eines dynamischen Arbeitsblattes.Dynamisches ArbeitsblattGeoGebra: Vektor in Richtung der WinkelhalbierendenZeit: 10 Minuten Der Vektor w = ea+ebEinkeitsvektoren e halbierta und e den Zwischenwinkel der beiden b . Der Vektor c = a + b = a ⋅ e a + b ⋅ebist eineLinearkombination der Einheitsvektoren.0 0Schieberegler: α ∈ ⎡⎣0 ;180⎤⎦ : Zwischenwinkel der Einheitsvektoren ea ∈ [ − 5 ; 5 ]: Skalare Komponente von c in Richtung e a und e ba.b ∈ [ − 5 ; 5 ]: Skalare Komponente von c in Richtung e b.Arbeitsaufträge1) Welche Bedingung müssen die skalaren Komponenten a und b des Vektors c erfüllen, damit die Spitze S auf der Winkelhalbierenden liegt.02) Wähle den Zwischenwinkelder Vektoren e a , α = 90e b und w und betrachte die Koordinatendarstellung. Welche Länge hat der Vektor w ?3) Was lässt sich über den Vektor w 0sagen, wenn der Zwischenwinkel α = 180wird?4) Wähle eine der skalaren Komponenten des Vektorsc z.B. a negativ. Was kannstdu beobachten für a = b? Welche Richtung hat nun der Vektor c . Was kannstdu über den Zwischenwinkel von c und w aussagen?BeispielBerechne einen Vektor, der den Winkel α des Dreiecks ABC halbiert.A ( 4 |0 ) ; B(12 |6 ) ; C( 0 |3 )98Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade in der Ebene Lösungsidee: Wir wählen einen Rhombus mit der Seitenlänge 1: AW = eAB + eAC ⎛ 12 − 4 ⎞ ⎛ 8 ⎞AB = ⎜ =6 − 0⎟ ⎜6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 4 ⎞ ⎛ − 4 ⎞AC = ⎜ =3 − 0⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠eAB= ⋅ AB = ⋅ = 10 6 0,6; AB = 64 + 36 = 100 = 10; AC = 16 + 9 = 25 = 51 1 ⎛ 8 ⎞ ⎛ 0,8 ⎞ 1 1 ⎛ − 4 ⎞ ⎛ −0,8⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ; eAC= ⋅ AC = ⋅ =AB⎝ ⎠ ⎝ ⎠ AC 5 ⎜3⎟ ⎜0,6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0,8 ⎞ ⎛ −0,8 ⎞ ⎛ 0 ⎞AW = eAB+ eAC= ⎜ + =0,6⎟ ⎜0,6⎟ ⎜1,2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠und ⎛ 4 ⎞ ⎛ 0 ⎞w α : r = ⎜ + t ⋅0⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Lösung mit Rechner [ Einheitsvektor mit: unitv() ]Löse die folgende Aufgabe von Hand und studiere anschliessend dieRechnerlösung!Aufgabe Gegeben: Dreieck ABC mit A ( 6 |1) , B (11|1) und C (12 | 9 ) a) Bestimme die Parameterdarstellung r = r0+ t ⋅ u derWinkelhalbierenden w α .b) Bestimme die Parameterdarstellung der Geraden BC.c) Bestimme den Schnittpunkt E der Winkelhalbierenden mit derGeraden BC.d) Zeige, dass AB : AC = BE : EC ist.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 99

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheRechnerlösung3.6.5 Aufgaben zur WinkelhalbierendenAufgabe 20 Der Winkel, den der Strahl OP, P ( 3 | 4 ) , mit der positiven x-Achse bildet, solldurch einen Vektor w halbiert werden. Berechne einen solchen Vektor.Die Aufgabe ist ohne Trigonometrie zu lösen.Tipp: Im Rhombus halbieren die Diagonalen die Innenwinkel. Wähle einenRhombus mit der Seitenlänge 1.Aufgabe 21Berechne einen Vektor, der den Winkel α des Dreiecks ABC halbiert.A ( 8 | 2 ) , B ( 16 | 5 ) , C ( 4 | 11 ) .Aufgabe 22 Berechne den Mittelpunkt M eines Kreises mit Radius r = 10 , der den StrahlOA, A ( − 2 | 6 ) , und die x-Achse berührt. Alle Lösungen angeben! ⎛ 1,6 ⎞Lösungen Aufgabe 20: w = ex + eOP= ⎜0,8 ⎟⎝ ⎠Aufgabe 21:Aufgabe 22: M1( 7,21|10 ) ; M2( −13,9|10 )⎛ 0,530 ⎞≈ ⎜1,26 ⎟⎝ ⎠100 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade in der Ebene3.6.6 Repetitionstest Rechnen mit VektorenAufgabe 1Repetitionstest Rechnen mit VektorenBearbeitungszeit: 45 MinutenGegeben sind die Koordinaten der Punkte A( −7 | −3) , B( − 1| 5) und C(2 | 1) .Bestimme:⎛ ⎞a) den Ortsvektor OC =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞b) den Vektor AB =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠c) den Betrag AB =⎛ ⎞d) den Vektor BC =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠e) den Einheitsvektor in Richtung BC :⎛ ⎞f) den Vektor AC =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎜ ⎟e = ⎜ ⎟BC ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞g) die Vektorsumme AB + BC =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Aufgabe 2 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞Gegeben sind die drei Vektoren: a = ⎜6 ⎟ b = ⎜⎝ ⎠ −6⎟ c = ⎜⎝ ⎠ −2⎟ .⎝ ⎠Berechne den Vektor d 1 = ⋅ a − 2 ⋅ b + 5 ⋅ c .3⎛ ⎞d =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 101

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheAufgabe 3Aufgabe 4Gegeben sind die zwei Ortsvektoren:Berechne den Vektor AB .Bestimme den Gegenvektoru von ⎛ 5 ⎞OA = ⎜7 ⎟⎝ ⎠ ⎛ −4⎞AB = ⎜3 ⎟⎝ ⎠Welche der folgenden Gleichungen sind richtig? u = BA richtig falsch; ⎛ −3⎞OB = ⎜4 ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞AB =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞u =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠AB=urichtigfalsch AB = ( −1)⋅ urichtigfalschAufgabe 5ABu = −1 richtig falsch AB − u = 0 ⎛ −7⎞BA = ⎜4 ⎟⎝ ⎠;richtig ⎛ 2 ⎞CB = ⎜−3⎟⎝ ⎠falsch. Berechne AC .⎛ ⎞ ⎜ ⎟AC = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Aufgabe 6Die Punkte A , B , C und D bilden ein Parallelogramm ABCD. Berechne dieKoordinaten des Punktes D, wenn dieKoordinaten der anderen drei Punktegegeben sind.A(2 | − 3) , B(8 | 1) , C(4 | 5) .Beschreibe kurz deine Lösungsidee!102 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade in der EbeneAufgabe 7Die Punkte A, B und C sind die Ecken einesDreiecks ABC. A(2 | − 3) , B(8 | 1) , C(4 | 5)a) Berechne die Koordinaten des Mittelpunktesder Strecke AC: M a ( | )b) Berechne die Koordinaten des Mittelpunktesder Strecke BC : M b ( | )⎛ ⎞c) Berechne den Vektor MaM⎜ ⎟b = ⎜ ⎟⎝ ⎠ d) Vergleiche den Vektor MaMbmit dem Vektor AB .Welcher Zusammenhang besteht?Aufgabe 8Aufgabe 9 ⎛ 5 ⎞Gegeben: Ortsvektor OA = ⎜7 ⎟⎝ ⎠Gesucht: Ortsvektor OBund der freie Vektor ⎛ −3⎞AB = ⎜2 ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞OB =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Aufgabe 10Wir kennen die Ortsvektoren der Eckpunkte eines Dreiecks ABC. ⎛ 3 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 4 ⎞OA = ⎜4 ⎟ ; OB = ⎜⎝ ⎠ 7 ⎟ ; OC = ⎜⎝ ⎠ −2⎟⎝ ⎠Berechne den Ortsvektor OS des Schwerpunktes des Dreiecks.⎛ ⎞OS =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Bestimme die Parameterdarstellung r = r0+ t ⋅ u der Geraden g durch diebeiden Punkte A( −5 | 7) und B(3 | 11) .Aufgabe 11x 3 1Gegeben ist die Parameterdarstellung der Geraden g:⎛ ⎜ ⎞ ty⎟ = ⎜ ⎛ ⎞ + ⋅⎛ ⎞7⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Wie lautet die Gleichung der Geraden h, die durch H(5 | 2) geht und zurGeraden g parallel ist?Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 103

Vektoren im KoordinatensystemDialogMatheWie lautet die Gleichung der Geraden k, die durch K ( − 4 | 2) geht und zurGeraden g senkrecht ist?Aufgabe 12Liegt der Punkt P( − 3 / 7) auf der Geraden g? g :⎛ x 3 3⎜ ⎞ ty⎟ = ⎜ ⎛ ⎞ + ⋅⎛ ⎞−3 ⎟ ⎜−4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 13Bestimme die Parameterdarstellung der Geraden, die parallel zur y – Achseist und durch den Punkt A( 2 | 5) − − geht.Aufgabe 14Was lässt sich über die gegenseitige Lage der beiden Geraden g und h sagen.x 5 3g :⎛ ⎞ ⎛ ⎞ t⎛ ⎞⎛ x ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ −6⎞⎜ = + ⋅y⎟ ⎜8⎟ ⎜−2⎟ h : ⎜ s⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠y⎟ = ⎜ + ⋅4⎟ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠a) g und h schneiden sichb) g und h sind parallelc) g und h liegen aufeinanderBegründe deine Antwort kurz!Aufgabe 15Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g und h.x 0 3g :⎛ ⎞ ⎛ ⎞ t⎛ ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ −1⎞⎜ = + ⋅y⎟ ⎜−3 ⎟ ⎜5⎟h : ⎜ s⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠y⎟ = ⎜ + ⋅4⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠104 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade in der EbeneLösungen Repetitionstest ⎛ 2 ⎞ ⎛ 6 ⎞ 2 2⎛ 3 ⎞Aufgabe 1: a) OC = ⎜1 ⎟ b) AB = ⎜⎝ ⎠8 ⎟ c) AB = 6 + 8 = 10 d) BC = ⎜⎝ ⎠−4⎟⎝ ⎠3BC 1 ⎛ 3 ⎞⎛ ⎞5 e) e = = ⋅ = ⎜ ⎟⎛ 9 ⎞ ⎛ 9 ⎞BCBC 5 ⎜−4⎟ f) AC =⎝ ⎠ ⎜ −4⎟⎜4 ⎟ g) AB + BC = AC = ⎜⎝ 5 ⎠⎝ ⎠4 ⎟⎝ ⎠Aufgabe 2 : ⎛ 4 − 4 + 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞d = ⎜ =2 + 12 − 10⎟ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 3 : ⎛ −8⎞AB = OB − OA = ⎜−3⎟⎝ ⎠ ⎛ −4⎞ ⎛ 4 ⎞ Aufgabe 4: AB = ⎜3 ⎟ ; u = − AB = BA = ⎜⎝ ⎠−3⎟ ; u = BA richtig ( AB = − BA );⎝ ⎠ AB = u richtig (Vektor und Gegenvektor haben gleiche Länge); ABAB = ( −1)⋅ u richtig ( AB = − u = − BA ) ; u = −1 falsch (Division von zwei Vektoren ist nicht definiert); AB − u = 0 falsch ( AB + u = 0 )Aufgabe 5 : ⎛ 5 ⎞AC = − ( CB + BA ) = ⎜−1⎟⎝ ⎠Aufgabe 6 : ⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ −2⎞OD = OA + BC = ⎜ + =−3 ⎟ ⎜4⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; D ( −2 | 1)Aufgabe 7: ⎛ 3 ⎞ ⎛ 6 ⎞ a) Ma( 3 | 1 ) b) Mb( 6 | 3 ) c) MaMb= ⎜2 ⎟ d) AB = ⎜ ; 1 ⎛ 3 ⎞⎝ ⎠4 ⎟ MaMb= ⋅ AB =2 ⎜⎝ ⎠2 ⎟⎝ ⎠Aufgabe 8: ⎛ 2 ⎞OB = OA + AB = ⎜9 ⎟⎝ ⎠Aufgabe 9: 1 ⎛ 2 ⎞OS = ⋅ ( OA + OB + OC ) =3 ⎜3 ⎟⎝ ⎠Aufgabe 10: ⎛ −5 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎛ 2 ⎞r = OA + t ⋅ AB = ⎜ + t ⋅7⎟ ⎜4⎟ ; r = ⎜ + t ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 11:x 5 1h :t⎛ x ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎜ = + ⋅y⎟ ⎜2⎟ ⎜3⎟ ; k : ⎜ t⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠y⎟ = ⎜ + ⋅2⎟ ⎜−1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 12:x = 3 + 3t − 3 = 3 + 3t t = −2→→y = −3 − 4t 7 = −3 − 4t 7 = 5P liegt nicht auf g.Aufgabe 13:⎛ x ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜ ty⎟ = ⎜ + ⋅−5 ⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 14: Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind kollinear, d.h. die beidenGeraden sind parallel oder liegen aufeinander.⎛ −1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ − 1 = 5 + 3t t = −2⎜ t4⎟ = ⎜8⎟ + ⋅ ⎜ → →2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ 4 = 8 − 2t 4 = 12der Geraden h liegt nicht auf g. g und h sind parallel.Aufgabe 15 : ⎛ 0 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ −1⎞3t = 9 − srg = rh→ ⎜ + t ⋅ = + s ⋅−3 ⎟ ⎜5⎟ ⎜4⎟ ⎜1⎟ →⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− 3 + 5t = 4 + s3t + s = 9→5t − s = 7;x 0 3 6⎜ ⎞ 2y⎟ = ⎜ ⎛ ⎞ 3⎟ + ⋅ ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞5⎟ = ⎜7⎟⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠8t = 16 → t = 2Schnittpunkt S ( 6 | 7 )Der Punkt ( −1| 4 )Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 105

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3.6.7 RepetitionsaufgabenAufgabe 1: UmkreismittelpunktArbeitsauftragGegeben sind die Eckpunkte A ( 4 | 8 ), B ( − 8 | 8 ) und C ( − 5 | − 1) desDreiecks ABC. Bestimme die Koordinaten des Umkreismittelpunktes U.Löse die Aufgabe von Hand und studiere anschliessend die folgenden zweiRechnerlösungen!Die Aufgabe lässt sich auf zwei verschiedene Arten lösen. Es gibt einealgebraische Lösung mit Hilfe eines Ansatzes und eine geometrische Lösungdurch schneiden von zwei geometrischen Örtern.Algebraische Lösung mit Hilfe eines AnsatzesGeometrische Lösung durch schneiden von zwei Mittelsenkrechten106 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade in der EbeneAufgabe 2: Schwerelinie, HöheGegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte eines Dreiecks ABC.A ( 7 | 8 ) , B ( − 5 | − 4 ) , C ( 11 | − 4 ) .a) Bestimme die Parametergleichung der Geraden s a (Schwerelinie durch A).b) Bestimme die Parametergleichung der Geraden h b (Höhe durch B).c) Bestimme den Schnittpunkt P der beiden Geraden.Löse die Aufgabe mit deinem Rechner und studiere anschliessend diefolgende Lösung von Hand! a) rs = ra A + t ⋅ AMa; M a Mittelpunkt der Seite a= BC : M ( 3 | − 4 )a ⎛ 7 ⎞ ⎛ − 4 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 ⎞rs= + t ⋅ → r = + t ⋅aa⎝ 8 ⎠ ⎝ −12 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) r = r + s ⋅ nbh B AC ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞; AC = ⎜ →−12 ⎟ ⎜−3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞= ⎜1 ⎟⎝ ⎠; nAC ⎛ −5 ⎞ ⎛ 3 ⎞rh b= ⎜ + s ⋅−4 ⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎛ 3 ⎞c) Schnittpunkt P : rs= ra h → t sb ⎜ + ⋅ = + ⋅8⎟ ⎜3⎟ ⎜−4 ⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠7 + t = − 5 + 3s 12 = − t + 3s→ → → t = −3 → s = 38 + 3t = − 4 + s 12 = − 3t + s ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞OP = ⎜ + ( −3 ) ⋅ = → P ( 4 | −1)8⎟ ⎜3⎟ ⎜−1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aufgabe 3: InkreismittelpunktGegeben sind die EckpunkteA ( 7 | 2 ) , B ( − 1| 8 ) und C ( − 1| 2 )des Dreiecks ABC.Bestimme die Koordinaten desInkreismittelpunktes I.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 107

Vektoren im KoordinatensystemDialogMathe3.6.8 RepetitionsfragenAllgemeine FragenGeometrische Begriffe1. Was ist anschaulich ein Vektor, bzw. ein Ortsvektor?2. Was ist ein Vektor im mathematischen Sinne, d.h., woraus besteht er undwelche elementaren Operationen sind für Vektoren definiert?3. Wie addierst du Vektoren graphisch?4. Wie subtrahierst du zwei Vektoren graphisch?5. Was bedeutet die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl anschaulich?6. Was bedeutet es anschaulich, wenn wir einen Vektor durch eine Zahldividieren?7. Was ist der Unterschied zwischen Vektorgeometrie im Raum und Vektorgeometriein de Ebene?8. Wie beschreiben wir einen Punkt in der Ebene?9. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Punkten und Vektoren?10. Was verstehen wir unter der Länge eines Vektors und welche Notationbenützen wir?11. Wie berechnen wir die Länge eines Vektors?12. Wie beschreiben wie den Abstand zwischen zwei Punkten mit Hilfe derVektorenschreibweise?13. Was ist der Zwischenwinkel von zwei Vektoren?14. Wann sagen wir, dass zwei Vektoren normal zueinander stehen?15. Was bedeutet die folgende Schreibweisea⎛ a1⎞= ⎜a ⎟ ?⎝ ⎠216. Wie berechnest du den Betrag a eines Vektors?17. Was ist ein Einheitsvektor?108 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade in der Ebene18. Wie erhältst du aus einem Vektora⎛ a1⎞= ⎜a ⎟⎝ ⎠2den Einheitsvektor in Rich-tung ea ?19. Wie erhältst du einen Richtungsvektor einer Winkelhalbierenden?20. Wie zerlegen wir einen Vektor a in die Richtung von zwei Vektoren a 1und a 2 ? 21. Wie nennen wir eine solche Zerlegung: a = x ⋅ a1 + y ⋅ a2?22. Wann sind zwei Vektoren linear abhängig?Geraden23. Wie kann eine Gerade vektorgeometrisch dargestellt werden?24. Was brauchen wir, dass eine Gerade in der Ebene genau bestimmt ist?25. Wie prüfst du, ob die Punkte A,B und C auf einer Geraden liegen?26. Wie stellst du eine Gerade mit Hilfe der Vektorgeometrie dar und wienennen wir diese Darstellung?27. Wie können zwei Geraden in der Ebene zueinander liegen?28. Wie können zwei Geraden im Raum zueinander liegen? 29. Wie prüfst du ob zwei Geraden r 1 = a 1 + t ⋅ u 1 und r 2 = a 2 + t ⋅ u 2 parallelsind? 30. Wie prüfen wir ob ein Punkt auf einer Geraden r = a + t ⋅ u liegt? 31. Wie prüfst du ob zwei Geraden r 1 = a 1 + t ⋅ u 1 und r 2 = a 2 + t ⋅ u 2deckungsgleich sind?32. Wie gehen wir vor, wenn wir den Schnittpunkt von zwei Geraden r1 = a1 + t ⋅ u1und r 2 = a 2 + t ⋅ u 2 berechnen wollen?33. Welchem mathematischen Problem entspricht das Finden des Schnittpunktes?Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 109

Das Skalarprodukt zweier VektorenDialogMathe4 Das Skalarprodukt zweier VektorenIn diesem Kapitel wird es sich leider zeigen, dass sich doch nicht alleOperationen, die wir von Zahlen her kennen auf Vektoren übertragen lassen.In der Vektoralgebra gibt es zwei völlig verschiedene Arten der Multiplikationvon Vektoren, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt. Dabei stimmen diezugehörigen Rechenregeln nur teilweise mit jenen der Zahlenmultiplikationüberein.Das Produkt, welches wir in diesem Kapitel behandeln werden, liefert alsProdukt zweier Vektoren keinen Vektor, sondern das Resultat wird ein Skalar(Zahl) sein. Deshalb nennen wir dies auch Skalarprodukt.Das andere Produkt (das Vektorprodukt) behandeln wir hier nicht. Du wirstes später im Studium kennen lernen.Die Motivation für die Definition dieser Operationen stammt aus der Physik.In der Newton’schen Mechanik wird die Arbeit W als Kraft F mal Weg s definiert. Da die Kraft und der Weg Vektoren sind, die Arbeit aber ein Skalar,brauchen wir ein Produkt das aus zwei Vektoren als Resultat ein Skalar liefert: W = F ⋅ sDieses wird in der Mechanik durch folgendes Modell erreicht: Eine Kraft F verschiebt längs eines Weges s einen Körper. Haben die Kraft und der Wegverschiedene Richtungen, so trägt nur die Kraftkomponente längs derVerschiebung zur Arbeit bei. Diese Kraftkomponente erhalten wir, wenn derKraftvektor auf den Verschiebungsvektor projiziert wird.Achtung: Diese Definition der Arbeit ist in der Physik vernünftig, imalltäglichen Leben führt sie aber häufig zu Widersprüchen. Es ist daherwichtig, dass du dir im Klaren bist, dass die physikalische Arbeit für eineKraft F definiert ist und nicht für uns Menschen.Mit Hilfe der Definition der Arbeit wird die Energie in die Newton‘scheMechanik eingeführt und zusammen mit dem Energieerhaltungssatz zu demwichtigsten Modell, das wir kennen. Mit diesem lassen sich komplexeProbleme auch in anderen Naturwissenschaften einfach lösen.110 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDefinition der Arbeit einer Kraft4.1 Definition der Arbeit WF einer Kraft F Unter der Arbeitwir den Ausdruck:WF der konstanten Kraft F längs des Weges s verstehenDefinition W = F ⋅ s ⋅ cos ( ϕ ) = F ⋅ cos ( ϕ ) ⋅ s = F ⋅ s = F • sFss FF sϕ ϕ : Zwischenwinkel von F und sF s = F ⋅ cos ϕ : Kraftkomponente in Wegrichtung F • s : Skalarprodukt der Vektoren F (Kraft) und s (Weg) F • s = F ⋅ s ⋅ cosϕEinheiten: Kraft mal Weg = Arbeit (Newton ⋅ Meter = N ⋅ m = J = Joule )Spezialfälle Arbeit einer Kraft F (spezielle Zwischenwinkel)1. Kraft und Verschiebung gleichgerichtetoBeispiel: F1= 100N ; s1= 10m ; ϕ 1 = 0W = F ⋅ s ⋅ cos ( ϕ )F 1 1 110( )= 100N ⋅ 10m ⋅ cos 0 = 1000Nm = 1kJ12. Kraft und Verschiebung senkrecht zueinanderF2= 1200N ; s2W = F ⋅ s ⋅ cos ϕ2o= 40m ; ϕ 2 = 90( )F 2 2 20( )= 1200N ⋅ 40m ⋅ cos 90 = 0 J3. Kraft und Verschiebung entgegengesetztoF3= 50N ; s3= 100m ; ϕ 3 = 180W = F ⋅ s ⋅ cos ( ϕ )F 3 3 3300( )= 50N ⋅ 100m ⋅ cos 180 = − 5000Nm = − 5 kJ−1Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 111

Das Skalarprodukt zweier VektorenDialogMatheÜberblick Skalarprodukt als ProjektionKraft F , Weg s ; Arbeit W = F ⋅ s ⋅ cos ( ϕ )F; Projektion cos( ϕ )112 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheSkalarprodukt in der Mathematik4.2 Skalarprodukt in der Mathematik4.2.1 Definition Skalarprodukt zweier Vektoren Das Skalarprodukt a ⋅ b zweier Vektoren a und b ist die Zahl (der Skalar) a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos( ϕ ) , wobei ϕ ≤ π der Zwischenwinkel von a und b ist.Vorzeichen: Das Vorzeichen bestimmt die Kosinusfunktion. Das Skalarprodukt ist • positiv : a ⋅ b > 0 für 0 ≤ ϕ

Das Skalarprodukt zweier Vektoren4.2.3 Wichtiger Spezialfall: Skalarprodukt = Null Satz:Aus der Definition a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos( ϕ ) folgt:1. Verändere den Zwischenwinkel ϕProjektiondes Vektors b der beidenauf den Vektor a Vektoren. Beobachte dabei die.DialogMatheDas Skalarprodukt ist dann, und nur dann gleich Null, wenn einer derVektoren der Nullvektor ist oder wenn die Vektoren normal (rechtwinklig)zueinander stehen.Der Betrag eines Vektors a ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt vona mit sich selbst:a = a ⋅ a a ⋅ a = a ⋅ a 0⋅ cos ( 0 )=a24.2.4 Aufgaben Skalarprodukt Berechne den Wert des Skalarproduktes p ⋅ qbei folgenden Angaben:a) 0p = 3,7 , q = 4,6 , ∡ ( p, q ) = 25⎡⎣p ⋅ q = 15,4 ⎤⎦b) 0p = 1,5, q = 12,1 , ∡ ( p, q ) = 45⎡⎣p ⋅ q = 12,8 ⎤⎦c) 0p = 3,2 , q = 4,8 , ∡ ( p, q ) = 0⎡⎣p ⋅ q = 15,4 ⎤⎦d) 0p = 11,9 , q = 26,5 , ∡ ( p, q ) = 90⎡⎣p ⋅ q = 0 ⎤⎦e) 0p = 34,2 , q = 12,6 , ∡ ( p, q ) = 180 ⎡⎣p ⋅ q = −430,9⎤⎦Dynamisches ArbeitsblattGeoGebra Datei: Skalarprodukt_MathematikZeit: 10 Minuten Skalarprodukt: a ⋅ bFunktionsgraph von cos( ϕ ) für die0 0Zwischenwinkelϕ ∈ ⎡ ⎣ 0 ;180 ⎤ ⎦ a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos(ϕ ) = ba⋅a alsRechtecksfläche dargestellt. ⎛ ax⎞ ⎛ bx⎞a ⋅ b = ⎜ a⎟ ⋅ ⎜y b⎟⎝ ⎠ ⎝ y⎠= ax ⋅ bx + ay ⋅bySkalarprodukt in Komponentenberechnet.Schieberegler: ϕ: Zwischenwinkel der Vektoren a und b .Arbeitsaufträge:b a114Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheSkalarprodukt in der Mathematik2. Diskutiere das Skalarprodukt für folgende drei Fälle:0 ≤ ϕ < , ,2π ϕ =2π π2 < ϕ ≤ π 3. Interpretiere das Vorzeichen des Skalarprodukts a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos( ϕ ) mit Hilfeder Kosinusfunktion.Partnerinterview VektorgeometrieSkalarproduktZeit: 30 Minuten1) Welcher Term ist ein Skalar, welcher ein Vektor und welcher ist nicht definiert? a) a ⋅ ( b − c ) b) ( a ⋅ b ) − c c) ( a + b ) ⋅ ( c ⋅ d) a ⋅ b ⋅ c ⋅ d2) Beweise:d) ( ( ) ) a) a ⋅ b ≤ a ⋅ bab) ( ) 2 2= a3) Ist die Implikation wahr oder falsch? Begründe die Antwort (Gegenbeispiel). 3a) a ⋅ b = 3 ⇒ b = a 6b) r ⋅ ( a ⋅ b ) = 6 und a ⋅ b ≠ 0 ⇒ r = a ⋅ b dc) ( a ⋅ b ) ⋅ c = d und a ⋅ b ≠ 0 ⇒ c = a ⋅ bd) ( a ) 2= 9 ⇒ a = 3 2 2 a = b ⇒ a = be) ( ) ( ) 2a + b ⋅ a − b = a − bf) ( ) ( )4) Ist die folgende Umformung richtig oder falsch? Begründe deine Antwort! 2 2a + b ⋅ a − b = a − ba) ( ) ( ) a ⋅ a = a = ab) ( ) 2 2 2c) ( a ⋅ b ) = ( a ⋅ b ) a ⋅ 2 ⋅ a − 3 ⋅ b = 2 ⋅ a − 3 ⋅ a ⋅ bd) ( ) ( ) 2 a ⋅ b ⋅ b = a ⋅ b a ⋅ b b = a ⋅ a ae) ( ) ( ) 2f)Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 1152

Das Skalarprodukt zweier VektorenDialogMathe 5) Warum gilt das Assoziativgesetz ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )nicht?6) Mit a = 2, b = 5 ∡ stellt ϕ ֏ a ⋅ b eine Funktion dar.und ϕ = ( a, b )0 0a) Zeichne den Graphen für 0 ≤ ϕ ≤ 180 .b) Gib den Wertebereich und alle Nullstellen an.4.2.5 Skalarprodukt in KomponentenGegeben: ⎛ a1⎞a = ⎜a ⎟⎝ ⎠2 ⎛ b1⎞, b = ⎜b ⎟⎝ ⎠2 ; Gesucht: a ⋅ bUm dieses Produkt berechnen zu können, stellen wir die beiden Vektoren alsLinearkombinationen der Basisvektoren dar: a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2und b = b1 ⋅ e1 + b2 ⋅ e2 a ⋅ b = ( a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2 ) ⋅ ( b1 ⋅ e1 + b2 ⋅ e2) = a ⋅ b ⋅ e ⋅ e + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2Hier gilt: e1 ⋅ e1 = e1= 1 2e ⋅ e = e = 1und2 2 2 e ⋅ e = 0 und e2 ⋅ e1= 0;1 2 weil die Einheitsvektoren die Länge 1 haben e1 = e2= 1 und der Zwischenwinkel für e1 ⋅ e1bzw. e2 ⋅ e2e 1 ⊥ e , Zwischenwinkel o( o)2ϕ = 0 ooist ( ( )ϕ = 90 → cos 90 = 0cos 0 = 1).Somit erhalten wir: a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ e ⋅ e + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e = a ⋅ b + a ⋅ b1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 22 21 0 0 1 ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1⎞a ⋅ b = ⎜ ⋅ = a ⋅ b + a ⋅ ba⎟ ⎜b⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 1 2 2Das Skalarprodukt zweierSpaltenvektoren ist die Summe der Produkte entsprechender Komponenten.Beispiele Berechne u ⋅ v .a) ⎛ 5 ⎞u = ⎜−13⎟⎝ ⎠;v⎛ 7 ⎞= ⎜−3⎟⎝ ⎠ ⎡⎣u ⋅ v = 74 ⎤⎦b) ⎛ −5,5⎞u = ⎜−4,5⎟⎝ ⎠;v⎛ −3,6⎞= ⎜4,8 ⎟⎝ ⎠ ⎡⎣u ⋅ v = −1,8⎤⎦116 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheBerechnung von Zwischenwinkeln von Vektoren4.3 Berechnung von Zwischenwinkeln von VektorenFür den Zwischenwinkel ϕ zweier Vektoren a und b erhalten wir direkt aus a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ →der Definition des Skalaproduktes ( )cos( ϕ ) = a ⋅ b ; ( ) a b cos ϕ = ⋅ = e a ⋅ eba ⋅ ba bAufgaben Berechne den Winkel zwischen a und b . a) a ⋅ b = 22 b) a ⋅ b = 17 c) a ⋅ b = −14 d) a ⋅ b = 0 e) a ⋅ b = −16,2, a = 11, a = 12, a = 6,5, a = 7,8, a = 4,5, b = 4, b = 7,5, b = 3,4, b = 2,3, b = 3,6⎡⎣ϕ = 60 o ⎤⎦⎡⎣ϕ = 79,1 o ⎤⎦⎡⎣ϕ = 129,3 o ⎤⎦⎡⎣ϕ = 90 o ⎤⎦⎡⎣ϕ = 180 o ⎤⎦ ⎛ 2 ⎞f) Gegeben: a = ⎜1 ⎟ ,⎝ ⎠4.3.1 Orthogonale Vektoren ⎛ 3 ⎞b = ⎜4 ⎟⎝ ⎠Gesucht: Zwischenwinkel von a und b .⎡⎣ϕ = 26,57 o ⎤⎦Begriffe: orthogonal, normal und rechtwinklig werden synonym verwendet.SatzZwei Vektoren a und b (a,b ≠ 0 ) sind genau dann orthogonal , wenn ihrSkalarprodukt den Wert Null hat. a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0Beispiel 1:Beispiel 2:Bestimme das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Welche sind orthogonal? ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ a = ⎜6 ⎟ ; b = ⎜⎝ ⎠ −2⎟ ; a ⋅ b =⎝ ⎠ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 4 ⎞ c = ⎜3 ⎟ ; d = ⎜⎝ ⎠ −1⎟ ; c ⋅ d =⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 7 ⎞ e = ⎜7 ⎟ ; f = ⎜⎝ ⎠ −2⎟ ; e ⋅ f =⎝ ⎠ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 5 ⎞Sind die beiden Vektoren a = ⎜6 ⎟ und b = ⎜⎝ ⎠0 ⎟ rechtwinklig zueinander?⎝ ⎠Begründe deine Antwort rechnerisch!Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 117

Das Skalarprodukt zweier VektorenDialogMatheBeispiel 3: Bestimme den Normalvektor n ⎛ 5 ⎞b zum Vektor b = ⎜−2⎟⎝ ⎠ Welchen Wert erwartest du für das Skalarprodukt n b ?b. n b Berechne: n b b = Beispiel 4: e x ,eysind Einheitsvektoren in x bzw. in y Richtung. Berechne: e e =x x; x y e e =; ey e y =⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠Beispiel 5:Bestimme x so, dass die Vektoren⎛ 1 ⎞⎜−6⎟⎝ ⎠ und ⎛ 2x ⎞⎜2⎟⎝ ⎠senkrecht aufeinanderstehen.Beispiel 6:Bestimme x so, dass die beiden Vektoren ⎛ 2 ⎞a = ⎜x ⎟⎝ ⎠und b⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ 1 ⎠x 2senkrechtaufeinander stehen.Beispiel 7:Die Vektoren a , b und c bilden Seiten eines Quadratesmit der Länge 5. Berechne die folgenden drei Skalarprodukte: a ⋅ b = a ⋅ c = a ⋅ b + c =( )2 2 2Beispiel 8: Beweise vektoriell den Pythagoras: c = a + bAnleitung (siehe nebenstehende Figur)Drücke den Vektor c mit Hilfe von a und b aus und berechne das Produkt c ⋅ c .Beispiel 9:Gegeben sind die Punkte A(11| 8 ) und B(1| 2 ) in der Grundebene.Bestimme alle Punkte C auf der x-Achse, so dass das Dreieck ABCrechtwinklig ist. (90 0 Winkel bei der Ecke C)4.3.2 Übungen SkalarproduktÜbung 1: Berechne den Winkel zwischen a und b .a) ⎛ 2 ⎞a = ⎜6 ⎟⎝ ⎠; ⎛ 8 ⎞b = ⎜2 ⎟⎝ ⎠b) ⎛ −2⎞a = ⎜11 ⎟⎝ ⎠; ⎛ 9 ⎞b = ⎜4 ⎟⎝ ⎠c) ⎛ 5 ⎞a = ⎜−3⎟⎝ ⎠; ⎛ −5,5⎞b = ⎜7,5 ⎟⎝ ⎠d) ⎛ −70⎞a = ⎜−35⎟⎝ ⎠; ⎛ 25 ⎞b = ⎜−65⎟⎝ ⎠118 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheBerechnung von Zwischenwinkeln von VektorenÜbung 2:Berechne mit Hilfe des Skalarproduktes die Winkel des Dreiecks ABC:A ( −4 | − 3 ) , B ( 7 | − 5 ) , C ( 5 | 9 )Übung 3:Übung 4:⎛ 4 ⎞ a) Gib drei verschiedene Lösungen der Gleichung ⎜ ⋅ x = 101⎟ an.⎝ ⎠b) Erkläre mit Hilfe von a), warum wir den Quotienten k a ( SkalarVektor ) nichtsinnvoll definieren können.Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Koordinaten der PunkteA ( 2 | 5 ) , B ( 0 | 2 ) und C ( 4 | 0 ) . Berechnea) die Länge der Seite b und den Winkel βb) den Einheitsvektor in Richtung von ABc) den Schnittwinkel der Schwerelinie saund der Höhe h bd) sowie einen Richtungsvektor der Winkelhalbierenden w γ .Übung 6: Während der Verschiebung eines Körpers um s wirke die Kraft F . ⎛ 10m ⎞s = ⎜ ;3m ⎟⎝ ⎠ ⎛ 2N ⎞F = ⎜7N ⎟ .⎝ ⎠a) Berechne die von der Kraft F verrichtete Arbeit.b) Unter welchem Winkel steht die Kraft F zum Verschiebungsvektor s ?Übung 7Eine Kraft F = 85 N verschiebt einen Körper um die Strecke s = 32 m und verrichtetdabei die Arbeit W = 1360 J. Unter welchem Winkel greift die Kraft an?Lösungen Übungen Skalarprodukt0000Übung 1 a) 57,5 b) 76,3 c) 157,2 d) 84,50 0 0Übung 2 α = 63,4 ; β = 71,6 ; γ = 45,0Übung 31 0 0,25a) z.B.⎛ ⎜ ⎞ ; ;6⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞10⎟ ⎜9⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) Weil die Gleichung a ⋅ x = kÜbung 4 a) b = AC = 29c)068,2 d)0Übung 6 41Nm ; 57, 40Übung 7 60( k ≠ 0 ) unendlich viele Lösungen hat.1cos( β ) = − → β = 97,1 b)65 ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞⎛ −1,266⎞e + = + ⎜ =⎜ ⎟ ⎟ ⎜1,376 ⎟⎠⎝ ⎠2 229 5e CA CB 5 ⎜ 1⎝ 29 ⎠ ⎝ 5−2⎛ 13⎜AB −3⎝ 13 ⎞e = ⎜ ⎟⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 119

Vektoren im RaumDialogMathe5 Vektoren im Raum5.1 Vektoren in Koordinatendarstellung5.1.1 Orthonormalbasis des RaumesDefinitionEine Basis e 1 , e 2 und e 3 des Raumes heisst Orthonormalbasis, wenn die dreiVektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge 1 haben. Oft bezeichnetman die Basisvektoren einer Orthonormalbasis auch mit e x , e y und e z .Beispiel: Ortsvektor6⎛ ⎞Der Ortsvektor OP =⎜8⎟⎜5⎟⎝ ⎠ für die Linearkombination OP = 6 ⋅ e + 8 ⋅ e + 5 ⋅ e .zum Punkt P ( 6 | 8 | 5 ) ist die Kurzschreibweise1 2 3Die vektoriellen und die skalaren Komponenten des Ortsvektors:Skalare Komponenten: 6, 8, 5 Vektorielle Komponenten: 6 ⋅ e 1 , 8 ⋅ e 2 , 5 ⋅ e3Betrag des Ortsvektors:2 2 2OP = 6 + 8 + 5 = 125 = 5 ⋅ 5 ≈ 11,2Beispiel : Freier VektorGegeben sind die zwei Punkte A(2 | − 1| 3) undB( − 2 | 7 | 4) . Der Vektor−2 − 2 − 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞AB =⎜7 − ( − 1)⎟=⎜8⎟ist die Kurzschreibweise für die Linearkombination⎜4 − 3⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ AB = ( − 4 ) ⋅ e1 + 8 ⋅ e2 + 1⋅e3Die vektoriellen und die skalaren Komponenten des freien Vektors:Skalare Komponenten: – 4, 8, 1 Vektorielle Komponenten: ( − 4 ) ⋅ e 1 , 8 ⋅ e 2 , e3Betrag des Ortsvektors: ( ) 2 2 2AB = − 4 + 8 + 1 = 81 = 9120 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in KoordinatendarstellungEin Vektor a habe bezüglich der Basis e 1 , e 2 und e 3 ( e1 = e2 = e3= 1 und e1 ⊥ e2, e1 ⊥ e3, e2 ⊥ e3) im Raum die Komponentendarstellung a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2 + a3 ⋅ e3.Wir bezeichnen dann die Koeffizienten a 1 , a 2 , a 3 als erste, zweite, dritteKoordinate von a bezüglich dieser Basis.Unter der Koordinatendarstellung von a verstehen wir die abgekürztea1⎛ ⎞Schreibweise a =⎜a⎟2für die Komponentendarstellung.⎜a⎟⎝ 3 ⎠Für den Betrag von a 2 2 2erhalten wir: a = a + a + a1 2 3⎛ 0 ⎞ 1Speziell: 0 =⎜0⎟⎛ ⎞ ⎛ 0 ⎞ 0; e⎜1 0⎟= ; e⎜2 1⎟⎛ ⎞= ; e3=⎜0⎟⎜0⎟ ⎜⎝ ⎠ 0⎟ ⎜⎝ ⎠ 0⎟ ⎜⎝ ⎠ 1⎟⎝ ⎠2 2 22 2 2e = 1 + 0 + 0 = 1; e = 0 + 1 + 0 = 1 ;12 2 2e = 0 + 0 + 1 = 132Zusammenhang Ortsvektor und Koordinaten eines PunktesOrtsvektor r PKomponentendarstellung KoordinatendarstellungPunkt PKoordinaten r = 2 ⋅ e + e − 5eP 1 2 3−3⎛ ⎞rP=⎜5⎟⎜1⎟⎝ ⎠P ( 5 | − 4 | − 3 )Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 121

Vektoren im RaumDialogMathe5.1.2 Repetitionstest Vektoren im RaumRepetitionstestBearbeitungszeit für den: 45 MinutenDer folgende Test besteht aus 15 Kurzaufgaben zur Repetition. Geprüft wirdvor allem das Verständnis für die neu definierten Vektorbegriffe sowie dasrechnerische Handwerk (Rechnen mit der Koordinatendarstellung) .Aufgabe 1Gegeben sind die zwei Punkte A(3 | 2 | − 1) und B(4 | − 2 | 7) . Bestimme:a) den Vektor AB .⎛ ⎞AB =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠b) die Länge der Strecke AB . AB =c) Die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB .⎛M ⎜ ; ;⎝⎞⎟⎠Aufgabe 2Welchen Abstand d hat der Punkt P(8 | − 4 | 1) vom Ursprung O?d =Aufgabe 34⎛ ⎞AB =⎜3⎟⎜7⎟⎝ ⎠;2⎛ ⎞BC =⎜−5⎟⎜−3⎟⎝ ⎠. Berechne AC .⎛ ⎞AC =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Aufgabe 4Aufgabe 5⎛ 3 ⎞a =⎜2⎟⎜5⎟⎝ ⎠−1⎛ ⎞b =⎜−5⎟⎜3⎟⎝ ⎠⎛ 0 ⎞c =⎜1⎟⎜−5⎟⎝ ⎠Gegeben sind die Ortsvektoren :Bestimme den Vektor AB . . Berechne den Vektor d = 2a − b + 5c⎛ ⎞d =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ 5 ⎞1OA =⎜1⎟⎛ ⎞und OB =⎜3⎟⎜2⎟⎜⎝ ⎠−2⎟⎝ ⎠⎛ ⎞AB =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠122 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in KoordinatendarstellungAufgabe 6Gegeben sind die zwei Punkte A (6 | − 2 | 3) und B ( − 2 | 2 | 4) . Bestimme:a) Den Ortsvektor OAb) den Vektor ABc) die Länge der Strecke AB .d) den Einheitsvektor in Richtung AB .⎛ ⎞OA =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞AB =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠AB =⎛ ⎞ ⎜ ⎟e ⎜ ⎟AB = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Aufgabe 7Aufgabe 8e) Die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke ABf) den Vektor AM .⎛M ⎜ ; ;⎝⎛ ⎞AM =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞g) den Ortsvektor zum Mittelpunkt M. OM =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ 6 ⎞ ⎛ x ⎞⎜Bestimme x und z so, dass die Vektoren 8⎟ ⎜und 4⎟kollinear sind.⎜−2⎟ ⎜⎝ ⎠ z⎟⎝ ⎠x = z =Gegeben sind die Koordinaten der Punkte A (3 | −2 | 5), B(7 | 510) undC(5 | 9 | 3) . Berechne die Vektorensummen : a) AB + BC + CA =⎞⎟⎠ b) BA + AC + BC =Aufgabe 9Gegeben ist das Dreieck ABC mit: A(3 | −2 | 5) , B(7 | 5 | 10) , C(5 | 9 | 3)Bestimme die Komponenten des Ortsvektors zum Schwerpunkt S desDreiecks ABC.⎛ ⎞OS =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 123

Vektoren im RaumDialogMatheAufgabe 10Gegeben sind die VektorenBerechne den Vektor CA .5⎛ ⎞AB =⎜1⎟⎜3⎟⎝ ⎠und4⎛ ⎞BC =⎜3⎟.⎜2⎟⎝ ⎠CA⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Aufgabe 11Gegeben sind die zwei Punkte P(3 | 6 | −1) , Q(6 | 2 | − 1) .Bestimme den Vektora mit folgenden Eigenschaften:a hat die Richtung von PQa hat die Länge 1a =⎛⎜⎜⎝⎞⎟⎟⎠Aufgabe 12Von der Pyramide ABCDE kennen wir dieKoordinaten von den Eckpunkten. M ist derMittelpunkt der Kante BE.A(4 | 0 | 0) , B(4 | 3 | 0)C(0 | 3 | 0) , D(0 | 0 | 0) , E(2 | 1,5 | 10)⎛ ⎞a) Bestimme den Ortsvektor zum Punkt M. OM =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠b) Berechne die Vektorensumme : MB + BA + AE =c) Bestimme die Koordinaten des Diagonalschnittpunktes S desRechtecks ABCD.⎛S ⎜ ; ;⎝⎞⎟⎠d) Bestimme die Höhe h der Pyramide. h =124 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektoren in KoordinatendarstellungAufgabe 13Bestimme den Einheitsvektor in Richtung des Vektors⎛ 4 ⎞a =⎜0⎟.⎜3⎟⎝ ⎠Aufgabe 14Verdoppeln wir die Strecke AB über B hinaus, so erhalten wir den Punkt C.Wie lauten die Koordinaten des Punktes C.A(2 | 2 | − 1) , B(4 | − 2 | 7)Aufgabe 15Von einem Dreieck sind zwei Ecken A, B und der Schwerpunkt S gegeben.Bestimme die Koordinaten der Ecke C.A ( 0 | 0 | 4 ) ; B ( 5 | 2 | 0 ) ; S ( 3 | − 1 | 3 )Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 125

Vektoren im RaumDialogMatheLösungen Repetitionstest⎛ 1⎞Aufgabe 1: a) =⎜−⎟2 2 2AB 4b) AB = 1 + ( − 4 ) + 8 = 81 = 9 c) M ( 3,5 | 0 | 3 )⎜ ⎟⎝ 8 ⎠2 2 2d = OP = 8 + − 4 + 1 = 81 = 9Aufgabe 2: ( )Aufgabe 3:⎛ 6 ⎞⎛ 6 + 1+0 ⎞ ⎛ 7AC = AB + BC =⎜−2⎟⎞Aufgabe 4: d =⎜4 + 5 + 5⎟=⎜14⎟⎜ ⎟⎝ 4⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠⎝ 10 − 3 − 25 ⎠ ⎝ −18⎠Aufgabe 5:⎛ −4 ⎞AB = OB − OA =⎜2⎟⎜−⎟⎝ 4 ⎠Aufgabe 6:⎛ 8 ⎞⎛ 6⎞ ⎛ −8⎞−9a) OA =⎜−2⎟b) =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ABAB 4c) AB = 81 = 9 d) e = = ⎜ 4 ⎟AB9⎜ ⎟⎝ 3⎜ ⎟AB ⎜ ⎟⎠ ⎝ 1 ⎠⎜ 1 ⎟⎝ 9 ⎠e) M ( 2 | 0 | 3,5 )⎛ −8 ⎞ ⎛ −4 ⎞⎛ 21 1f) = ⋅ = ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟⎞AM AB 4 2g) OM =⎜0⎟2 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 1 ⎠ ⎝ 0,5⎜ ⎟⎠⎝ 3,5 ⎠Aufgabe 7: x = 3 ; z = −1Aufgabe 8:⎛ 0 ⎞a) AB + BC + CA = AC + CA = AA = 0 =⎜ ⎟0⎜ ⎟⎝ 0 ⎠⎛ −2 ⎞ ⎛ − 4 ⎞b) BA + AC + BC = BC + BC = 2 ⋅ BC = 2 ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟4 8⎜−⎟ ⎜−⎟⎝ 7 ⎠ ⎝ 14 ⎠Aufgabe 9:⎛ 5 ⎞⎛ −91= ⋅⎜ ⎟⎞OS ( OA + OB + OC ) = 43Aufgabe 10: CA =⎜ ⎟−4⎜ ⎟⎝ 6⎜ ⎟⎠⎝ −5⎠Aufgabe 11:⎛ 3⎞⎛ 3 ⎞ ⎜ 5 PQ 1⎟a = e = = ⋅⎜−⎟= ⎜ − ⎟4 4PQPQ 5⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟⎝ 0 ⎠ ⎜ 0 ⎟⎝ ⎠Aufgabe 12:⎛ 3 ⎞−1a) =⎜ ⎟ ⎛ ⎞OM 2,25b) MB + BA + AE = ME =⎜−0,75⎟c) S ( 2 | 1,5 | 0 ) d) h = 10⎜ ⎟⎝ 5⎜⎠5⎟⎝ ⎠Aufgabe 13:4 4 ⎛ ⎞⎛ ⎞ 5a 1 ⎜ ⎟e = = ⋅⎜0⎟= 0a⎜ ⎟a 5⎜3⎟ 3⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ 5 ⎠Aufgabe 14: C ( 6 | −6 | 15 )Aufgabe 15: C ( 4 | −5 | 5 )126 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheÜbungen Vektoren im Raum5.2 Übungen Vektoren im Raum5.2.1 Vektorgeometrie mit dem RechnerSyntaxBetragnorm(Vektor)BeispieleEinheitsvektorunitV(Vektor)SkalarproduktdotP(Vektor,Vektor)5.2.2 Vektoren im räumlichen KoordinatensystemÜbung 1 Wo liegen alle Punkte, derena) y - und z - Koordinate Null ist?b) z - Koordinate Null ist?c) x - Koordinate Null ist?d) y - Koordinate 5 ist?e) x - Koordinate 2 ist?f) y - und z - Koordinate 3 ist?Übung 2 Wo liegen die Punkte Pn( 2k | 3k | 5k ) für positive, reelle Zahlen k?Übung 3 Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte P' , wenn P ( 2 | 3 | 5 )a) an der y-z-Ebene gespiegelt werden.b) an der x-y -Ebene gespiegelt werden.c) an der x-Achse gespiegelt werden.d) an der z-Achse gespiegelt werden.e) am Ursprung gespiegelt werden.f) am Punkt S ( 6 | 6 | 6 ) gespiegelt werden.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 127

Vektoren im RaumDialogMatheÜbung 4Welcher Vektor v beschreibt die Verschiebung, die den Punkt P auf denPunkt P' abbildet?a) P ( 5 | 2 | − 1), P '( 7 | 10 | 3 )b) P ( 2,8 | − 3,3 | 6, 4 ) , P ' ( − 3, 4 | 4,1 | 1,8 )c) P ( −76 | 56 | − 18 ) , P ' ( 24 | 55 | − 2 )d) P ( p 1 | p 2 | p 3 ) , P '( k | 2k | 3k )Übung 5 Gegeben sind die Punkte A ( a 1 | a 2 | a 3 ) , B ( b 1 | b 2 | b 3 ) , C ( c 1 | c 2 | c 3 ) undD ( d 1 | d 2 | d 3 ) .Unter welchen Bedingungen sind die Vektoren AB und CD gleich?Übung 6Bestimme den Betrag der Vektoren⎛ 2 ⎞− 3a) a =⎜12⎟⎛ ⎞, b =⎜−18⎟,⎜7⎟ ⎜⎝ ⎠−10⎟⎝ ⎠− 1⎛ ⎞c =⎜− 6⎟⎜−3,5⎟⎝ ⎠b)2,4⎛ ⎞a =⎜1,6⎟⎜−0,4⎟⎝ ⎠,0,48⎛ ⎞b =⎜0,30⎟⎜−0,08⎟⎝ ⎠,−2,88⎛ ⎞c =⎜−1,92⎟⎜0,48⎟⎝ ⎠LösungenÜbung 1: a) x-Achse b) x-y-Ebene c) y-z-Ebened) Ebene parallel zur x-z-Ebene durch P(0|5|0)e) Ebene parallel zur y-z-Ebene durch P(2|0|0)f) Gerade parallel zur x-Achse durch P(0|3|3)Übung 2: Halbgerade von O aus durch P(2|3|5)Übung 3: a) P‘( – 2|3|5) b) P‘(2|3|– 5) c) P‘(2|– 3|– 5) d) P‘( – 2|– 3|5)e) P‘(– 2|– 3|– 5) f) ) P‘(10|9|7)Übung 4: a)2⎛ ⎞v =⎜8⎟⎜4⎟⎝ ⎠b)−6,2⎛ ⎞v =⎜7,4⎟⎜−4,6⎟⎝ ⎠c)100⎛ ⎞v =⎜− 1⎟⎜16⎟⎝ ⎠d)k − p1⎛v =⎜2k − p⎜⎝ 3k − p23⎞⎟⎟⎠Übung 5: b1 − a1 = d1 − c1und b2 − a2 = d2 − c2und b3 − a3 = d3 − c3Übung 6: a) a = 14,0b) a = 2,915.2.3 Elementare Vektoroperationenb = 20,8b = 5,572c = 7,02c = 3,49Übung 1 Gegeben: A ( 1 | 2 | 3 ) , B ( 2 | − 1 | 4 ) , C ( − 5 | 6 | 10 ) Berechne: OA , AB , CBBerechne die Abstände: AB , BC und AC.128 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheÜbungen Vektoren im RaumÜbung 2−6⎛ ⎞ ⎛ −3⎞ 9Gegeben: u =⎜3⎟; v⎜2⎟⎛ ⎞= −; w =⎜−10⎟⎜−8⎟ ⎜⎝ ⎠ 7⎟ ⎜⎝ ⎠ 15⎟⎝ ⎠Berechne z so, dass u + v + w + z = 0 ergibt.Übung 3Welche Vektoren sind linear abhängig?− 3⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ − 1a) a =⎜−18⎟, b⎜12⎟⎛ ⎞= , c =⎜− 6⎟⎜−10⎟ ⎜⎝ ⎠7⎟ ⎜⎝ ⎠ −3,5⎟⎝ ⎠b)2,4⎛ ⎞a =⎜1,6⎟⎜−0,4⎟⎝ ⎠,0,48⎛ ⎞b =⎜0,30⎟⎜−0,08⎟⎝ ⎠,−2,88⎛ ⎞c =⎜−1,92⎟⎜0,48⎟⎝ ⎠c)−9,6⎛ ⎞a =⎜−1,4⎟⎜−12⎟⎝ ⎠,5,28⎛ ⎞b =⎜0,77⎟⎜−6,6⎟⎝ ⎠,−15,36⎛ ⎞c =⎜− 2,24⎟⎜−19,2⎟⎝ ⎠d)0,7⎛ ⎞a =⎜−0,9⎟⎜2,5⎟⎝ ⎠,1,96⎛ ⎞b =⎜−2,6⎟⎜7⎟⎝ ⎠,−2,45⎛ ⎞c =⎜3,3⎟⎜−8,75⎟⎝ ⎠Übung 4Gegeben sind die Vektoren⎛ 3 ⎞7a =⎜4⎟⎛ ⎞, b =⎜1⎟⎜−5⎟ ⎜⎝ ⎠−1,5⎟⎝ ⎠ a) 2 ⋅ a − b − 3 ⋅ c, b) − a + 3 ⋅ b − 2,5 ⋅ c− 3⎛ ⎞c =⎜− 2⎟. Berechne⎜4⎟⎝ ⎠ 4 ⋅ a + 2 ⋅ b − 1,5 ⋅ cc) ( )Lösungen Übung 1: a)1⎛ ⎞OA =⎜2⎟⎜3⎟⎝ ⎠;1⎛ ⎞AB =⎜−3⎟⎜1⎟⎝ ⎠;7⎛ ⎞CB =⎜−7⎟⎜−6⎟⎝ ⎠b) AB = 3,317 ; BC = 11,58 ; AC = 10,05Übung 2:Übung 3:0⎛ ⎞z =⎜9⎟⎜−14⎟⎝ ⎠ a) b und c b) a und c c) a und cd) keineÜbung 4: a)⎛ 8 ⎞⎜13⎟⎜−20,5⎟⎝ ⎠b)⎛⎜⎜⎝25,5 ⎞4⎟− 9,5⎟⎠c)⎛ 35 ⎞⎜24⎟⎜−35⎟⎝ ⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 129

Vektoren im RaumDialogMathe5.2.4 VektorzerlegungStelle den Vektor d als Linearkombination von a , b und c dar, d.h. , zerlegeden Vektor d nach den Vektoren a , b und c .4⎛ ⎞ ⎛ 1⎞1d =⎜2⎟ ; a⎜1⎟⎛ ⎞ ⎛ −1⎞= , b⎜1⎟ = −, c =⎜1⎟.⎜−12⎟ ⎜⎝ ⎠ −1⎟ ⎜⎝ ⎠ 1⎟ ⎜⎝ ⎠ 1⎟⎝ ⎠d als Linearkombination von a , b und c : x ⋅ a + y ⋅ b + z ⋅ c = dergibt ein Gleichungssystem für die Unbekannten x, y und z.⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 4 ⎞x ⋅⎜1⎟+ y ⋅⎜− 1⎟+ z ⋅⎜1⎟=⎜2⎟⎜−1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜−12⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Lösung : 3 ⋅ a − 4 ⋅ b − 5 ⋅ c = dx + y − z = 4→ x − y + z = 2− x + y + z = −12ÜbungStelle u als Linearkombination von r , s und t dar.⎛ −11⎞ 2a) u =⎜−12⎟⎛ ⎞ ⎛ −3⎞ − 8, r =⎜5⎟, s⎜5⎟⎛ ⎞= , t =⎜− 6⎟⎜1⎟ ⎜⎝ ⎠ −2⎟ ⎜⎝ ⎠ 5⎟ ⎜⎝ ⎠ 4⎟⎝ ⎠b)−19⎛ ⎞u =⎜−9⎟⎜−20,5⎟⎝ ⎠,2⎛ ⎞r =⎜5⎟⎜7⎟⎝ ⎠,−6⎛ ⎞s =⎜0⎟⎜−3⎟⎝ ⎠,12⎛ ⎞t =⎜− 2⎟⎜4⎟⎝ ⎠⎛ 14,5 ⎞ −1c) u =⎜−139,5⎟⎛ ⎞ ⎛ 8 ⎞ 15, r⎜5⎟= , s⎜3⎟⎛ ⎞= −, t =⎜−20⎟⎜25⎟ ⎜⎝ ⎠ −3⎟ ⎜⎝ ⎠ 5⎟ ⎜⎝ ⎠ 5⎟⎝ ⎠ Lösung a) u = r − s + 2 ⋅ t b) u = −2 ⋅ r + 1,5 ⋅ s − 0,5 ⋅ t c) u = −15 ⋅ r − 8,5 ⋅ s + 4,5 ⋅ t5.2.5 Länge eines Vektors (Betrag), EinheitsvektorÜbung 1Berechne den Umfang des Dreiecks ABC.A ( 4 | −1 | − 2 ) , B ( 2 | 4 | 1 ) , C ( − 1 | 7 | 9 )(Lösung: U = 29,7 )Übung 2Bestimme den Einheitsvektor des folgenden Vektors.⎛ 3 ⎞ ⎛ −4⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0,4 ⎞⎜a) 0⎟b)⎜3⎟c)⎜4⎟d)⎜−1⎟e)⎜1,6⎟⎜0⎟ ⎜⎝ ⎠ 0⎟ ⎜⎝ ⎠ −1⎟ ⎜⎝ ⎠ 1⎟ ⎜⎝ ⎠ 1,2⎟⎝ ⎠f)a⎛a1⎜ ⎟= ⎜ a2⎟⎜⎝a3⎞⎟⎠130 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheÜbungen Vektoren im RaumÜbung 3Berechne den Vektor mit dem Betrag 7, der diea) gleiche b) entgegengesetzte Richtung hat wie⎛ −3⎞⎜4,5⎟⎜−9⎟⎝ ⎠5.2.6 Verlängerung einer StreckeGegeben ist die Strecke AB durch A ( 1| 5 | 9 ) und B ( 7 | 5 | 1).a) Bestimme die Länge der Strecke AB .b) Bestimme den Einheitsvektor in Richtung AB .c) Verlängere die Strecke AB über B hinaus um 3 Längeneinheiten.Wie lauten die Koordinaten des neuen Endpunktes C?6⎛ ⎞a) AB =⎜0⎟;⎜−8⎟⎝ ⎠b) Einheitsvektor in Richtung AB :AB = AB = 36 + 0 + 64 = 100 = 1066 ⎛ ⎞⎛ ⎞ 10AB 1⎜ ⎟eAB= = ⋅⎜0⎟= ⎜ 0 ⎟AB 10⎜8⎟ 8⎝ − ⎠ ⎜ − ⎟⎝ 10 ⎠c) Verlängerung:7 0,6 7 1,8 8,8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞OC = OB + 3 ⋅ eAB=⎜5⎟3⎜0⎟ ⎜5⎟ ⎜0⎟ ⎜5⎟+ ⋅ = + =⎜1⎟ ⎜−0,8 ⎟ ⎜1⎟ ⎜−2,4 ⎟ ⎜−1,4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠C( 8,8 | 5 | −1,4)Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 131

Vektoren im RaumDialogMathe5.2.7 AbstandsproblemWelche Punkte auf der y-Achse haben vomPunktA ( 12 | 12 | −6)doppelte Entfernungwie vom Punkt B ( 6 | 15 | 3 ) ?Ansatz für Punkt auf der y-Achse:Y ( 0 | y | 0 )Bestimmungsgleichung für die Unbekannte y: AY = 2 ⋅ BY−12⎛ ⎞AY =⎜y − 12⎟⎜6⎟⎝ ⎠;− 6⎛ ⎞BY =⎜y − 15⎟⎜− 3⎟⎝ ⎠2 2 22 2 2( − 12 ) + ( y − 12 ) + 6 = 2 ⋅ ( − 6 ) + ( y − 15 ) + ( −3 ) / quadrieren144 + ( y − 12 ) 2 + 36 = 4 ⋅ ⎡36 + ( y − 15 )2 + 9 ⎤⎣⎦2y − 32y + 252 = 0;y1,2232 ± 32 − 200 32 ± 4= =2 2y1 = 18 ; y2= 14 Y ( 0 | 18 | 0 ) ; Y ( 0 | 14 | 0 )12Rechner5.2.8 Abstandsproblem (Kugel)Wo schneidet die Kugel mit dem MittelpunktM (2 | 3 | −6)und dem Radiusr = 9 die x-Achse?Ansatz für den Schnittpunkt :X ( x | 0 | 0 )2 − x⎛ ⎞XM⎜3⎟= ; XM ( 2 x ) 2= − + 9 + 36 = 9⎜−6⎟⎝ ⎠( ) 2 22 − x + 45 = 81 → x − 4x − 32 = 04 ± 16 + 128 4 ± 144 4 ± 12x 1,2 = = = ; x1 = 8 ; x2= −42 2 2RechnerÜbung 1 Berechne den Ortsvektor r des Mittelpunktes M der Strecke ABM⎛ 3 ⎞1a) für r⎜A 1⎟⎛ ⎞= und rB=⎜3⎟−b) allgemein für r A und r B .⎜2⎟ ⎜⎝ ⎠6⎟⎝ ⎠132 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheÜbungen Vektoren im RaumÜbung 2 Gegeben: A ( 4 | 0 | 0 ) , B ( 0 | 6 | 0 ) , C ( 0 | 0 | 8 )a) Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks ABC undden Abstand OS .b) Berechne den Ortsvektor r S des Schwerpunktes eines Dreiecks ABC ausden Ortsvektoren r , r und r .ABCÜbung 3Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C des Dreiecks, wenn Folgendesbekannt ist:Eckpunkte A ( 2 | − 3 | 1), B ( 6 | 10 | 3 ) , und Schwerpunkt S ( 1| 4 | 5 ) .Übung 4Sind die folgenden Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines Parallelogrammes? (Müssen die Gleichungen AB = DC und AD = BC erfüllt sein oder genügteine der beiden Bedingungen?)a) A ( 3 | 5 | − 7 ) , B ( − 1 | 3 | 9 ) , C ( −4 | − 12 | 10 ) , D ( 0 | −9,5 | −6)b) A ( 1 | 8 | − 3 ) , B( 3 | 11| − 2 ) , C ( − 1 | 6 | 9 ) , D( −3 | 3 | 9 )Übung 5Bestimme die Koordinaten des Punktes D so, dass die Punkte A, B, C und Dein Parallelogramm bilden. (Alle nicht kongruenten Lösungen angeben!)a) A ( 6 | 1| 7 ) , B ( 4 | − 2 | 5 ) , C ( 7 | 9 | −4)b) A ( −10 | − 9,6 | 6 ) , B ( − 15,5 | 4,5 | 7 ) , C ( 6 | 2 | 0 )Übung 6Bestimme die Koordinaten des Punktes C so, dass die Punkte A, B, C und DEckpunkte eines Trapezes mit den Parallelseiten AB und CD sind.A ( −5 | − 6 | 7 ) , B ( 16 | − 12 | 19 ) , C ( 4 | y | z ) , D( −3 | 4 | 8 )Übung 7 Welche Punkte auf der y-Achse haben vom Punkt A ( 12 | 12 | −6) doppelteEntfernung wie vom Punkt B ( 6 | 15 | 3 ) ?2⎛ ⎞Lösungen Übung 1: a) r⎜M 1⎟ = − b)1rM = ⋅ ( rA + r2B )⎜4⎟⎝ ⎠Übung 2: a)4 8S | 2 | ; OS = OS = 3,59 b)Übung 3:Übung 4: a) nein, z.B. D 0 | 10 | 6 b) nein, z.B.Übung 5: a) D ( 9 | 12 | 2 ) b)Übung 6: y = 2 ; z = 12Übung 7:( )3 3C( −5 | 5 | 11)( )0 | 18 | 0 und ( 0 | 14 | 0 ) r r r r( )1M = ⋅3 A + B + C( − − )D( −3 | 3 | 8 )− D( 11,5 | −12,1| −1)Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 133

Vektoren im RaumDialogMathe5.3 Gerade im RaumEine Gerade in der Ebene lässt sich durch die Koordinatengleichungaax + by + c = 0 beschreiben [ y = − x − c = mx + q ]. Für eine Gerade im Raumb benötigen wir die Parameterdarstellung OP = OA + t ⋅ AB (Gerade durch diePunkte A und B, siehe Kap. 3.2 Seite 74). Diese Parameterdarstellungbeschreibt mittels eines Parameters t ∈Rden Ortsvektor OP zu einem allgemeinen Punkt P auf der Geraden. u = AB ist der Richtungsvektor derGeraden. Durchläuft der Parameter t den ganzen Zahlenbereich, so durchläuftP die ganze Gerade g. Jedem t∈Rist eindeutig ein Geradenpunkt Pzugeordnet. In Koordinatenschreibweise sieht das folgendermassen aus:⎛ x ⎞ ⎛ ax⎞ ⎛ ux⎞g :⎜y⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ay+ t ⋅uy⎜z⎟ ⎜a⎟ ⎜u⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠zzoder P( ax + t ⋅ u x | ay + t ⋅ u y | az + t ⋅ uz)5.3.1 Durchstosspunkt (Spurpunkt)Gegeben sind die zwei Punkte A(2 | 0 | 6) ,B(3 | 5 | 2) . Bestimme die Koordinaten desDurchstosspunktes D der Geraden AB mit derxy-Ebene.LösungsideeDen Ortsvektor OD über den Punkt A darstellen. Der Vektor AD = t ⋅ AB kann durch den Vektor AB dargestellt werden. DerStreckungsfaktor t lässt sich aus der z-Komponente des Ortsvektors ODbestimmen. Es gilt z = 0. OD = OA + AD = OA + t ⋅ AB⎛ x ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜y⎟=⎜0⎟+ t ⋅⎜5⎟⎜z⎟ ⎜6⎟ ⎜−4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Gleichungssystem :x = 2 + ty = 5tz = 6 − 4t3 15 7z = 6 − 4t = 0 → t = → y = 5t = = 7,5 und x = 2 + t = = 3,52 2 2x 3,5⎛ ⎞ ⎛ ⎞OD =⎜y⎟ ⎜7,5⎟= → D ( 3,5 | 7,5 | 0 )⎜z⎟ ⎜0⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠134 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheGerade im Raum5.3.2 Punkte auf einer GeradenKläre ab, ob der Punkt C ( −8 | 8 | − 6) auf der Geraden durch A( −2 | 5 | −4)und B(10 | − 1| 0) liegt.Wenn C auf der Geraden AB liegt, dann gibt es ein t so dass gilt:−2 12 −8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞OA + t ⋅ AB = OC ; OA⎜5⎟; AB⎜6⎟= = − ; OC =⎜8⎟⎜−4 ⎟ ⎜4⎟ ⎜−6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ −2 ⎞ ⎛ 12 ⎞ 8?⎛ − ⎞⎜5⎟+ t ⋅⎜− 6⎟=⎜8⎟→⎜−4 ⎟ ⎜4⎟ ⎜−6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− 2 + 12t = −8 1 − 2 − 6 = −8t=−25 − 6t = 8 → 5 + 3 = 8− 4 + 4t = −6 − 4 − 2 = −6C liegt auf der Geraden AB.5.3.3 Mittelpunkt, Schwerpunkt, SpurpunktGegeben sind die Punkte A ( 8 | 4 | 2 ) , B ( 6 | 10 | 0 ) und C ( − 2 | 10 | 4 ) .M ist der Mittelpunkt der Strecke AB , S der Schwerpunkt des Dreiecks ABC.Bestimme die Koordinaten des Punktes P mit den folgenden Eigenschaften:- P liegt auf der Geraden SM und- P liegt in der Grundebene ( xy-Ebene, Spurpunkt )Koordinaten des Mittelpunktes von AB : MAB( 7 | 7 | 1 )Koordinaten des Schwerpunktes des Dreiecks ABC: S ( 4 | 8 | 2 )Lösungsidee: Wir wählen einen Umweg vom Ursprung O über S nach P. Vom Punkt Sgehen wir in Richtung SM bis wir in der Grundebene sind. OP = OS + t ⋅ SM . Der Ortsvektor OP hat die z-Komponente z = 0, daP ( x | y | 0 ) in der xy-Ebene liegt. So lässt sich der Parameter t beimRichtungsvektor SM bestimmen.3⎛ ⎞ ⎛ 4 ⎞ xSM =⎜−1⎟OS⎜8⎟⎛ ⎞= OP⎜y⎟ = → OP = OS + t ⋅ SM⎜−1⎟ ⎜⎝ ⎠ 2⎟ ⎜⎝ ⎠ 0⎟⎝ ⎠⎛ x ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞x = 4 + 3t⎜y⎟=⎜8⎟+ t ⋅⎜−1⎟→Gleichungssystem y = 8 − t⎜0⎟ ⎜2⎟ ⎜−1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠0 = 2 − taus 0 = 2 − t ergibt sich t = 2 und daraus x = 4 + 3t = 10 und y = 8 − t = 6die Koordinaten von P P( 10 | 6 | 0 )Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 135

Vektoren im RaumDialogMathe5.3.4 Die gegenseitige Lage zweier GeradenWir unterscheiden 4 Fälle von gegenseitiger Lage:zusammenfallend parallel sich schneidend windschiefWie kannst du diese vier Fälle rechnerisch unterscheiden?Diskutiere folgendes Verfahren und wende es auf die Beispiele an.Partnerinterview Vektorgeometriegegenseitige Lage zweier GeradenZeit: 30 MinutenSind zwei Geraden durch eine Parameterdarstellung gegeben, so kann die gegenseitigeLage folgendermassen festgestellt werden:Frage: Sind die Richtungsvektoren kollinear?JA→ die Geraden sind parallel oder zusammenfallendEs muss überprüft werden, ob der eine Geradenpunkt auch auf deranderen Geraden liegt. Wenn ja, dann zusammenfallend, sonst parallel.NEIN → die Geraden schneiden sich oder sind windschiefEs muss das Schnittproblem gelöst werden (Geraden schneiden), d.h.die ersten beiden Koordinaten werden gleich gesetzt und damit die beiden(unterschiedlichen) Parameterwerte bestimmt. Mit diesen Parameterwertenwird überprüft, ob die dritte Koordinate auch gleich ist. Wenn dem so ist,haben wir den Schnittpunkt bestimmt, sonst sind die Geraden windschief.Beispiele: a)b)c)g :⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜y⎟=⎜3⎟+ t ⋅⎜3⎟; h :⎜y⎟=⎜2⎟+ s ⋅⎜1⎟⎜z⎟ ⎜2⎟ ⎜1⎟ ⎜z⎟ ⎜1⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠g :⎛ x ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −6⎞⎜y⎟=⎜2⎟+ t ⋅⎜0⎟; h :⎜y⎟=⎜2⎟+ s ⋅⎜0⎟⎜z⎟ ⎜3⎟ ⎜−1 ⎟ ⎜z⎟ ⎜5⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠g :6 4 14 −7⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r⎜10⎟t⎜12⎟= ; h : r⎜4⎟s⎜6⎟− + ⋅ − = − + ⋅⎜24⎟ ⎜6⎟ ⎜3⎟ ⎜6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠136 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDas Skalarprodukt im Raum5.4 Das Skalarprodukt im Raum⎛ a1⎞ b1Gegeben: a =⎜a⎟⎛ ⎞2, b =⎜b⎟2⎜a⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ b⎟⎝ 3 ⎠ ; Gesucht: a ⋅ bUm dieses Produkt berechnen zu können, stellen wir die beiden Vektoren alsLinearkobinationen der Basisvektoren dar: a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2 + a3 ⋅ e3und b = b1 ⋅ e1 + b2 ⋅ e2 + b3 ⋅ e3 a ⋅ b = ( a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2 + a3 ⋅ e3 ) ⋅ ( b1 ⋅ e1 + b2 ⋅ e2 + b3 ⋅ e3) = a1 ⋅ b1 ⋅ e1 ⋅ e1 + a1 ⋅ b2 ⋅ e1 ⋅ e2 + a1 ⋅ b3 ⋅ e1 ⋅ e3 + a2 ⋅ b1 ⋅ e2 ⋅ e1 + a2 ⋅ b2 ⋅ e2 ⋅ e2 + a2 ⋅ b3 ⋅ e2 ⋅ e3 + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e + a ⋅ b ⋅ e ⋅ e3 1 3 1 3 2 3 2 Hier gilt: e1 ⋅ e2= 0 2e ⋅ e = e = 1 ,2 2 2 e ⋅ e = 0, 1 33 3 3, 2 33 3 3 3 e ⋅ e = 0 , 2e ⋅ e = e = 1 ,1 1 1 2e ⋅ e = e = 1. Somit erhalten wir:a1 b1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a ⋅ b =⎜a⎟ ⎜b⎟⋅ = a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b⎜a⎟ ⎜b⎟2 2 1 1 2 2 3 3⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠Das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren ist die Summe der Produkteentsprechender Komponenten.Beispiele Berechne u ⋅ v .a)−7⎛ ⎞u =⎜4,5⎟⎜7⎟⎝ ⎠;−5⎛ ⎞v =⎜3,5⎟⎜12⎟⎝ ⎠ ⎡⎣u ⋅ v = 134,75 ⎤⎦b)7,8⎛ ⎞u =⎜−4⎟⎜8,2⎟⎝ ⎠;−7,2⎛ ⎞v =⎜−5,6⎟⎜−0,9⎟⎝ ⎠ ⎡⎣u ⋅ v = −41,14⎤⎦5.4.1 Übungen Skalarprodukt, Winkel im RaumÜbung 1 Berechne den Winkel zwischen a und b .5⎛ ⎞a) a =⎜−6⎟;⎜8⎟⎝ ⎠−12⎛ ⎞c) a =⎜−7,5⎟;⎜−3,4⎟⎝ ⎠−4⎛ ⎞b =⎜3⎟⎜7⎟⎝ ⎠b)−4,5⎛ ⎞b =⎜2,4⎟⎜3,8⎟⎝ ⎠d)−5,5⎛ ⎞a =⎜−4⎟⎜5,5⎟⎝ ⎠;−6,2⎛ ⎞a =⎜5,4⎟⎜9,6⎟⎝ ⎠;−3,5⎛ ⎞b =⎜9,5⎟⎜−2,5⎟⎝ ⎠−6,4⎛ ⎞b =⎜11,2⎟⎜−8,6⎟⎝ ⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 137

Vektoren im RaumDialogMatheÜbung 2 Berechne den Winkel zwischen p und den Koordinatenachsen (positiveRichtung). a)6,5⎛ ⎞p =⎜5,5⎟⎜4⎟⎝ ⎠b)−7⎛ ⎞p =⎜−6⎟⎜−3⎟⎝ ⎠Übung 3 Berechne a1so, dassa 1⎛ ⎞⎜3⎟⎜3⎟⎝ ⎠und⎛ −4,5⎞⎜0⎟⎜−4,5⎟⎝ ⎠0einen Winkel von 135 einschliessen.Übung 4Berechne mit Hilfe des Skalarproduktes den Winkel zwischen derKörperdiagonalen und den Begrenzungsflächen eines Würfels.Übung 5Berechne mit Hilfe des Skalarproduktes die Winkel des Dreiecks ABC:A ( − 2 | 3 | 6 ) , B ( 4 | 5 | 9 ) , C ( 8 | 9 | − 4 )Übung 6Berechne y so, dass die Vektoren⎛ 1 ⎞⎜y⎟⎜0⎟⎝ ⎠und⎛ 0 ⎞⎜y⎟⎜1⎟⎝ ⎠einen Winkel vono60einschliessen.Lösungen Übung 1: a)o79,2 b)o110,6 c)o75,6 d)o84,8o o oo o oÜbung 2: a) 46,3 ; 54,2 ; 64,8 b) 136,2 ; 128,2 ; 108,0Übung 3: a1= 1,5Übung 4:Übung 5:o35,26α = 67,0 ooo; β = 86,0 ; γ = 27,0Übung 6: y1 = 1 ; y2= − 15.4.2 Abstand eines Punktes P von einer Gerade g, RechnereinsatzAufgabenstellungGegeben: Punkt P ( 5 | 4 | −2) und Gerade g durch diePunkte A ( −5 | 3 | − 6 ) und B ( −3 | 2 | − 4 )Gesucht: Koordinaten des Punktes F und Abstand dEntwickle für diese Grundaufgabe verschiedene Lösungskonzepte!138 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheDas Skalarprodukt im RaumLösung mit RechnerEingabe der OrtsvektorenParametergleichung der Geraden gAnsatz für Punkt F auf g:Ortsvektor OF Unbekannte tVektor PFLösungskonzept SkalarproduktVektor AB Skalarprodukt PF ⋅ AB = 0Bestimmungsgleichung für tF( 1| 0 | 0 )d = PF = 3Lösungskonzept Pythagoras ∆PAFEingabe der Vektorender DreiecksseitenDie Gleichung liefert zwei Lösungenfür t.t = 0 ist keine Lösung AF2= 0F2= ALerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 139

Vektoren im RaumDialogMatheLösungskonzept Extremalwertproblemmit AbstandsfunktionBerechnung aller Streckenlängen PFmit F ∈ g . Die minimale Streckeliefert den gesuchten Punkt F.Minimum: (3|6)x = t = 3d = 65.4.3 Problemstellungen zur Repetition, RechnereinsatzAufgabe 1 Vom Rechteck ABCD kennen wir die Ecken A(9 | 6 | 3) und C( −1| −6 | 4) .Die Ecke B liegt auf der positiven x-Achse. Berechne die Koordinaten von Bund D sowie den Flächeninhalt des Rechtecks.Aufgabe 2 ABCDEFGH ist ein Würfel mit der Kantenlänge k = 4 .M ist die Mitte der Kante AE .a) Stelle den Vektor DF alsLinearkombination der Vektoren DB , DE und DG dar.Aufgabe 3: Maturaaufgabeb) Welche Koordinaten hat der Punkt Pauf der Geraden durch C und G, dervon B und M den gleichen Abstand hat?Gegeben sind der Punkt D und die Gerade g imRaum. Punkt D ( 2 | 21| 10 )⎛ 3 ⎞ ⎛ 1⎞Gerade g: r =⎜4⎟+ t ⋅⎜− 2⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠Gesucht ist das Quadrat ABCD, so dass A und B auf der Geraden g liegen.Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte A, B und C.140 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorielle Darstellung der EbeneB( 11| 0 | 0 ) ( )Lösungen Aufgabe 1: , D −3 | 0 | 7 , A = AB ⋅ CB = 7 ⋅ 14 = 98 Aufgabe 2: a) DF = 0,5 ⋅ DB + 0,5 ⋅ DE + 0,5 ⋅ DG , = b) 0,5P ⋅ 0 DB | 4 + | 5DE + DG( )Aufgabe 3: A ( 0 |10 | 0 ) ; B1( 5 | 0 |10 ) ; 1( ) ; B2( −5 | 20 | − 10 )C 7 |11| 20 C ( −3 | 31| 0 )25.5 Vektorielle Darstellung der EbeneEine Ebene E im Raum ist eindeutig durch drei Punkte A, B und C festgelegt ( AB, AC nicht kollinear). Wir überlegen uns, wie eine Ebene E vektoriellbeschrieben werden kann (analog einer Geraden g). Wir können zu jedemPunkt P der Ebene einen Ortsvektor angeben. Da die Ebene E aus unendlichvielen Punkten P besteht, wird sie vektoriell durch unendlich vieleOrtsvektoren OP beschrieben.5.5.1 Parameterdarstellung einer Ebene EEine Ebene kann vektoriell beschrieben werden, indem wir zu allen Punkten Pder Ebene einen Ortvektor OP angeben.Definition Parameterdarstellung der Ebene durch 3 Punkte A,B,C OP = OA + t ⋅ AB + s ⋅ ACParametergleichung der Ebene wobei t,s ∈ R Parameter und AB, AC Richtungsvektorn der Ebene E heissen. OP = OA + AP : Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt P in der Ebene E.OA : Ortsvektor zu einem Punkt A in der Ebene E AP = t ⋅ AB + s ⋅ AC : Linearkombination der beiden Richtungsvektoren.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 141

Vektoren im RaumDialogMathePartnerinterview VektorgeometrieParametergleichung einer EbeneZeit: 30 Minuten1) Parameterdarstellung, Ortsvektor, freier VektorErkläre anhand der Parametergleichung r = r + t ⋅ u + s ⋅ v0den Unterschiedzwischen einem Ortsvektor und einem freien Vektor. Vergleiche mit der Parameterdarstellung einer Geraden r = r + t ⋅ u .02) Durch welche Parameterdarstellung wird keine Ebene beschrieben?Begründe deine Antwort!1) ⎛1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r = s ⋅ 2 + t ⋅1⎜3⎟ ⎜ 1⎟⎝ ⎠ ⎝ − ⎠2) ⎛ 4 ⎞ ⎛ −2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r = s ⋅ − 2 + t ⋅1⎜ 8 ⎟ ⎜ 4⎟⎝ ⎠ ⎝ − ⎠3) ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r = − 2 + s ⋅ − 1 + t ⋅ −1⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠4) ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r = 0 + s ⋅ 0 + t ⋅ −2⎜3⎟ ⎜3⎟ ⎜ 1 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠5) ⎛1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r = 1 + s ⋅ 2 − t ⋅3⎜1⎟ ⎜3⎟ ⎜ 4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠6) ⎛1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r = s ⋅ 1 + t ⋅ 1 + u ⋅0⎜0⎟ ⎜1 ⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3) Welche Bedingung müssen die Punkte A, B und C ( ( A ≠ B ≠ C ≠ O ) erfüllen,damit die folgende Gleichung eine Ebene beschreibt? a) r = s ⋅ AB + t ⋅ ACb)c) r = OA + s ⋅ AB + t ⋅ BC r = OC + s ⋅ OA + t ⋅ OB142 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorielle Darstellung der Ebene4) Welche Punktmenge (geometrische Figur) stellt die Parametergleichung3 2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r =⎜2⎟+ s ⋅⎜− 1⎟+ t ⋅⎜0⎟⎜4⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠dar, wenna) s = 2 undb) s = 3 undc) s ≥ 2 undt = 1t∈ Rt ≥ 3d) s ≤ 4 und t ∈ R∈ [ − ] t ∈ [ 3 ; 4 ]e) s 1;1 undÜbungen Parametergleichung einer EbeneÜbung 1 Bestimme eine Parametergleichung der Ebene durch die drei Punkte A, B, C.a) A ( 0 | 0 | 0 ), B ( 4 | 2 | −1 ), C ( 1 | − 2 | 5 )b) A ( 1 | 0 | 0 ), B ( 0 | 2 | 0 ), C ( 0 | 0 | 3 )c) A ( 1 | 2 | 3 ), B ( 7 | 0 | −3 ), C ( 8 | − 12 | 4 )Übung 2Bestimme eine Parametergleichung der Ebene, die durch die Gerade g undden Punkt P geht.⎛2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟a) g : r = 3 + t ⋅ −1⎜5⎟ ⎜ 0 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠P 4 | 1| 2( − )⎛1 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟b) g : r = 0 + t ⋅1⎜1 ⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠P 12 | 10 |14( − )Übung 3Bestimme eine Parametergleichunga) der x-y-Ebene eines räumlichen Koordinatensystems.b) der y-z-Ebene eines räumlichen Koordinatensystems.c) der Ebene, die zur x- und z-Achse parallel ist und durch den PunktA ( 4 | 2 | − 1)geht.d) der Ebene, die zur x- und y-Achse parallel ist und die z-Achse bei – 5schneidet.Übung 4 Welche Punkte A ( 9 | 2 | −2 ), B ( −18 | 14 | 23 ), C ( 20 | 8 | 2 ) liegen in derEbene2 3 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r =⎜4⎟+ s ⋅⎜0⎟+ t ⋅⎜1⎟?⎜3⎟ ⎜−1 ⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 143

Vektoren im RaumDialogMathe2 4 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Übung 5 Eine Ebene r = p + s ⋅ a + t ⋅ b ist durch p⎜1⎟, a⎜3⎟= − = , und b =⎜1⎟⎜3⎟ ⎜2⎟ ⎜0⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ gegeben. Die Ortsvektoren p , p + a , p + b und p + a + b bestimmen einViereck.1) Um was für ein Viereck handelt es sich?2) Berechne alle Seiten und Winkel des Vierecks.Übung 6Liegt die Gerade g in der Ebene5 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r =⎜− 1⎟+ s ⋅⎜0⎟+ t ⋅⎜4⎟⎜2⎟ ⎜1⎟ ⎜6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠?⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞5 4a)g : r =⎜− 1⎟+ k ⋅⎜−6⎟ b)⎛ ⎞ ⎛ ⎞c)g : r =⎜1⎟k⎜4⎟− + ⋅ −⎜2⎟ ⎜−4⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠2⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Übung 7Berechne die z-Koordinate des Punktes D so, dass die vier PunkteA ( 2 | −1 | −3 ), B ( 1 | 0 | −2 ), C ( 0 | 2 | 2 ), D ( 6 | 10 | z ) ein ebenes Viereckbilden.15 38⎛ ⎞ ⎛ ⎞g : r =⎜5⎟k⎜16⎟− + ⋅⎜2⎟ ⎜39⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Übung 8In welchen Punkten schneidet die EbeneKoordinatenachsen?5 −3 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r =⎜0⎟+ s ⋅⎜6⎟+ t ⋅⎜4⎟⎜8⎟ ⎜11⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠dieLösungen ÜbungsaufgabenÜbung 1:4 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞1 −3 7a) r = s ⋅⎜2⎟+ t ⋅⎜−2⎟b) r⎜0⎟s⎜2⎟t⎜0⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅c) r =⎜2⎟s⎜1⎟t⎜14⎟+ ⋅ + ⋅ −⎜−1 ⎟ ⎜5⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0⎟ ⎜0⎟ ⎜3⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3⎟ ⎜3⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Übung 2:⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −2⎞1 0 11a) r⎜3⎟s⎜1⎟t⎜4⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ − + ⋅b) r =⎜0⎟s⎜1⎟t⎜10⎟+ ⋅ + ⋅ −⎜5⎟ ⎜0⎟ ⎜3⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1⎟ ⎜2⎟ ⎜13⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Übung 3: a)⎛1 ⎞ ⎛ 0 ⎞0 0r s⎜0⎟t⎜1⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅b) r = s ⋅⎜1⎟+ t ⋅⎜0⎟⎜0⎟ ⎜0⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠0⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠c)⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞0 1 0r =⎜3⎟+ s ⋅⎜0⎟+ t ⋅⎜0⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞d) r =⎜0⎟s⎜0⎟t⎜1⎟+ ⋅ + ⋅⎜−1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−5 ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Übung 4: A und B Übung 5: 1) Parallelogramm 2)Übung 6: a) Ja , b) Nein , c) Ja Übung 7: z = 38Übung 8: ( 15,5 | 0 | 0 );( 0 | −8,13| 0 );( 0 | 0 | 11,8 )27 ; 26 ; α = 33,1 ; β = 146,9144 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©oo

DialogMatheVektorielle Darstellung der Ebene5.5.2 Koordinatengleichung einer Ebene Eax + by + cz = d Koordinatengleichung der Ebenea, b, c, d ∈ R und nich alle Faktoren a, b, c gleich Null.1) Welche Gleichung beschreibt keine Ebene?2) Spezielle EbenenPartnerinterview VektorgeometrieKoordinatengleichung einer EbeneZeit: 30 Minutena) x + y + z = 0b) 3 y + z = −1c) z = 4d) 0 ⋅ x + 0 ⋅ y + 0 ⋅ z = 0e) x − 2z = 6f)22x − 0,2y + z = 1g) x ⋅ y = 8h) x = 0Eine Ebene ist durch die Koordinatengleichung ax + by + cz = d gegeben.a) Wie kannst du an der Gleichung ablesen, welche Koordinatenachsengeschnitten werden?Beispiele:Parallel zur y-Achseax + cz + d = 0( z = mx + q )Parallel zur z-Achseax + by + d = 0( y = mx + q )Parallel zur xz-Ebeneby + d = 0( y = konstant )b) Welche Bedingung müssen die Parameter a, b, c, d erfüllen, damit dieebene durch den Ursprung geht?Welche spezielle Lage hat die folgende Ebene?a) − x + 3z = 5b) −4y − 1,5z = −7c) 5y = 3Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 145

Vektoren im RaumDialogMathe3) Spurpunkte und Spurgeraden einer EbeneEine Ebene hinterlässt Spuren im Koordinatensystem.Einerseits nennt man die Durchstosspunkteder Koordinatenachsen mit der EbeneSpurpunkte und andererseits sind dieSchnittgeraden mit den KoordinatenebenenSpurgeraden.SpurpunkteS : E ∩ x-Achse1S : E ∩ y-Achse2S : E ∩ z-Achse3Spurgeradens : E ∩ x-y-Ebene1s : E ∩ y-z-Ebene2s : E ∩ x-z-EbeneDie Berechnung der Spurpunkte und der Spurgeraden gestaltet sich sehr einfach,da die Bedingungen (gewisse Koordinaten müssen Null sein) einfach indie Koordinatengleichung der ebene eingesetzt werden können.Beispiel: E : 2x − 3y + z − 6 = 0Spurpunkte S1( 3 | 0 | 0 ) S2( 0 | − 2 | 0 ) S3( 0 | 0 | 6 )Spurgerade s 1 : 2x − 3y − 6 = 0 s 2 : − 3y + z − 6 = 0 s 3 : 2x + z − 6 = 035.5.3 Analogie der Geradengleichung und der EbenengleichungDimension Gerade EbeneKoordinatengleichung ax + by = cax + by + cz = dAchsenabschnittgleichung x y+ = 1u vx y z+ + = 1u v wcdu = x-Achse: ( u | 0 | 0 ) u =aacdy-Achse: ( 0 | v ) ; v =y-Achse: ( 0 | v | 0 ) v =bbdz-Achse: ( 0 | 0 | w)v =cBeispiel (Spurpunkte): Die Achsenabschnitte sind die Spurpunkte der Ebene.Achsenabschnitte x-Achse: ( u | 0 ) ;2x − 3y + z − 6 = 0 | + 6 |: 6x y z− + = 1 Achsenabschnitte: x = 3 , y = 2 und z = 33 2 6146 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorielle Darstellung der Ebene5.5.4 Bestimmung der Koordinatengleichung einer EbeneKoordinatengleichung aus drei PunktenEine Ebene wird durch drei Punkte bestimmt.Gegeben sind die drei Punkte A ( 2 | 0 | 3 ) , B( 1| −1| 5)und C( 3 | 2 | 0)Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene.− .Variante 1 Ansatz: ax + by + cz = d , Beachte:Der Ansatz enthält 4 Unbekannte a, b, c und d. Da wir nur drei Punkte für dieBestimmung der Ebene benötigen, erhalten wir nur drei Gleichungen.Interpretiere die folgende Rechnerlösung:Damit die Koeffizienten a, b und c ganzzahlig werden, setzen wir d = c1 = 23 .Damit ergibt sich a = 7 , b = −1und c = 3.Die Koordinatengleichung der Ebene lautet also: 7x − y + 3z = 23Variante 2 Ansatz: ax + by + cz = 17 1 3Die Koordinatengleichung der Ebene lautet: x − y + z = 123 23 23Um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten kann die Gleichung mit 23 multipliziertwerden. Wir erhalten also das gleiche Resultat wie bei Variante 1:7x − y + 3z = 23Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 147

Vektoren im RaumDialogMatheKoordinatengleichung aus der ParametergleichungAus den drei Punkte A ( 2 | 0 | 3 ) , B( 1| −1| 5)und C( 3 | −2 | 0)Parametergleichung der Ebene bestimmt werden, z.B.: r = OA + t ⋅ AB + s ⋅ ACkann die⎛ x⎞ ⎛2⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟y = 0 + t ⋅ − 1 + s ⋅ −2⎜ z ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠x = 2 − t + s⇔ y = − t − 2sz = 3 + 2t − 3sAus dem Gleichungssystem müssen die Parameter t und s eliminiert werden.Durch umformen erhalten wir: 7x − y + 3z = 23Alternativ können aus der Parametergleichung jeweils drei Punkte der Ebeneermittelt werden und damit die Koordinatengleichung bestimmt werden.Übungen Koordinatengleichung einer EbeneÜbung 9 Welchen Punkte liegen in der Ebene 3x − y + 5z = 6 ?A ( 0 | 0 | 0 ), B ( 3 | 3 | 0 ), C ( −2 | −7 | 1 ), D ( 1 | 4 | −1)Übung 10 Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene durch die Punkte A, B, C.a) A ( 0 | 0 | 0 ), B ( 4 | 2 | −1 ), C ( 1 | − 2 | 5 )b) A ( 1 | 0 | 0 ), B ( 0 | 2 | 0 ), C ( 0 | 0 | 3 )c) A ( 9 | 2 | −10 ), B ( 5 | −2 | −20 ), C ( 7 | 4 | − 5 )d) A ( 1 | 2 | 3 ), B ( 7 | 0 | −3 ), C ( 8 | − 12 | 4 )Übung 11Bestimme aus der Parametergleichung der Ebene die Koordinatengleichung.a)4 1 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r =⎜6⎟+ s ⋅⎜2⎟+ t ⋅⎜1⎟⎜2⎟ ⎜3⎟ ⎜−3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠b)3 −1 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞r =⎜1⎟+ s ⋅⎜− 1⎟+ t ⋅⎜1⎟⎜0⎟ ⎜2⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Übung 12Die Ebene E bildet mit den drei Koordinatenebenen ein Tetraeder. Wie grossist das Volumen dieses Tetraeders?a) E : 5x + 8y + z = 80b) E : 6x − y − 3z = 24148 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorielle Darstellung der EbeneLösungen ÜbungsaufgabenÜbung 9:Übung 10:Übung 11:Übung 12:B und Ca) 8x − 21y − 10z = 0 ; b) 6x + 3y + 2z = 6 ; c) 5y − 2z = 30d) 43x + 24y + 35z = 196a) x − 2y + z = −6 ; b) x − 3y − z = 0a) V = 2133,3 ; b) V = 1285.5.5 Die Normalen einer EbeneEin Vektor, der senkrecht zu einerEbene steht, heisst Normalenvektor.a⎛ ⎞Der Vektor n =⎜b⎟ist ein Normalenvektor der Ebene E: ax + by + cz = d .⎜c⎟⎝ ⎠x ⎛ ⎞ax + by + cz= d ⇔ n ⋅ r = d mit r =⎜y⎟⎜z⎟⎝ ⎠r Ortsvektor zu einem Punkt P ∈ EBeweise diese Behauptung mit Hilfe des Skalarprodukts!Beachte:Ein Normalenvektor zu einer Ebene E lässt sich nicht in eindeutiger Weisefestlegen. Zu einem bestimmten Normalenvektor n ist auch jedes Vielfachek ⋅ n (k ∈ R ) ein Normalenvektor von E.Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E n ⋅ ( rP− rA)d = mit A ∈ E und n ⊥ E .nBeweise diese Behauptung mit Hilfe des Skalarprodukts!Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 149

Vektoren im RaumDialogMathe n ⋅ r − r = 0Spezialfall P liegt in der Ebene (d = 0): ( P A )Normalform der Ebenengleichung n ⋅ r − r = 0Die Gleichung ( P A )Ebenengleichung.nennt man die Normalenform der Sie lässt sich auch in folgender Weise schreiben: n ⋅ rP − n ⋅ rA= 0 n ⋅ r = n ⋅ rPBeispiel:A⇔ ax + by + cz = dKoordinatengleichung der Ebene E: 3x − 2y + z = 10 ; A ( 2 | 1 | 6 ) ∈ EEs gilt:⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟n = −2⎜ 1 ⎟⎝ ⎠⎛2⎞ ⎜ ⎟r = 1⎜6⎟⎝ ⎠; A⎛ x ⎞ ⎜ ⎟= y⎜ z ⎟⎝ ⎠; rP⎛ 3 ⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟n ⋅ rP= −2 ⋅ y = 3x − 2y + z⎜ 1 ⎟ ⎜ z ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Somit: 3x − 2y + z = 10und⎛ 3 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟n ⋅ rA= −2 ⋅ 1 = 6 − 2 + 6 = 10⎜ 1 ⎟ ⎜ 6⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Übungen Normalen einer EbeneÜbung 13Bestimme einen Normalenvektor der folgenden Ebene und den Abstand derEbene vom Ursprung.a) x + y + z = 1 b) 2x − 3y − 5z = − 20 c) 2x − 4z = 76d) y − 2z = 0e) x = 10f) 3y = − 7Übung 14 Gegeben sind die Ebene E: 3x − 4y − 2z = 96 und der Punkt P ( 6 | 12 | − 9 ) .a) Bestimme eine Parametergleichung jener Geraden, die durch P geht undsenkrecht auf E steht.b) Wie gross ist der Abstand des Punktes P von der Ebene E?Übung 15Bestimme den geometrischen Ort aller Punkte, die von den PunktenA ( 2 | 2 | 5 ) und B ( 4 | 6 | 13 ) den gleichen Abstand haben.Übung 16 Gegeben ist ein Tetraeder ABCD mit A ( 8 | 2 | 6 ), B ( 4 | 3 | 4 ),C ( 5 | −2 | 5 ), D ( 4 | 0 | 5 ).Von jeder Ecke wird das Lot (Höhe) auf diegegenüberliegende Dreiecksfläche gelegt. Schneiden sich die vier Geraden ineinem Punkt? Wenn ja, berechne seine Koordianten.150 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheVektorielle Darstellung der EbeneLösungen ÜbungsaufgabenÜbung 13:Übung 14:Übung 15:Übung 16:⎛ 1⎞⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞1a)⎜1⎟20; ≈ 0,577 b)⎜3⎟76− ; ≈ 3,24 c)⎜0⎟; ≈ 17,0⎜ 31⎟38⎜⎝ ⎠−5⎟⎜20⎝ ⎠4⎟⎝ − ⎠⎛ 0 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 0 ⎞d)⎜1⎟; 0 e)⎜0⎟7; 10 f)⎜3⎟;⎜−2⎟⎜⎝ ⎠0⎟⎜3⎝ ⎠0⎟⎝ ⎠⎛ 6 ⎞ ⎛ 3⎞108a) r =⎜12⎟+ t ⋅⎜−4 ⎟; b) ≈ 20,1⎜ 29−9 ⎟ ⎜−2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ebene senkrecht zu AB durch den Mittelpunkt von ABE : x + 2y + 4z = 47⎛ 4 ⎞ ⎛ −9⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ −5⎞g ABC : r =⎜0⎟+ t ⋅⎜2⎟g ABD : r =⎜− 2⎟+ t ⋅⎜4⎟⎜5⎟ ⎜19⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠5⎟ ⎜12⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ 4 ⎞ ⎛ 2⎞⎛ 8 ⎞ ⎛ 2 ⎞g ACD : r =⎜3⎟+ t ⋅⎜1⎟g BCD : r =⎜2⎟+ t ⋅⎜1⎟⎜4⎟ ⎜−10⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠6⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Geraden schneiden sich nicht in einem Punkt.5.5.6 Durchstosspunkt von Gerade und EbeneGegeben: Ebene E und Gerade gGesucht: Koordinaten des Durchstosspunktes D.LösungsverfahrenD liegt auf der Geraden g und der Ebene E, alsokönnen die parametrischen Koordinaten von g in die Ebenengleichung eingesetztwerden. Damit erhalten wir eine lineare Gleichung für den Parameter t.Beispiel: Ebene E: 2x + 5y + 3z − 2 = 0 ; Gerade g:⎛ x ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎜y⎟ ⎜3⎟t⎜4⎟= + ⋅⎜z⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ansatz für D: ( 4 + 2t | 3 + 4t | 1)Einsetzen in die Koordinatengleichung der Ebene:2 ⋅ ( 4 + 2t ) + 5 ⋅ ( 3 + 4t ) + 3 ⋅1− 2 = 0 → t = −1 → D( 2 | − 1| 1)Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 151

Vektoren im RaumDialogMathe5.5.7 Spiegelung und ReflexionGegebenPunkte A ( 0 | −2 | 1 ) , B ( 4 | 3 | − 5 )Ebene E: x + 3y + 2z − 24 = 0GesuchtKoordinaten vom Reflexionspunkt Rdes Lichtstrahls von A nach B unterReflexion an der Ebene E.LösungsideeDer Einfallswinkel α und der Ausfallswinkel β müssen gleich sein, damitmuss der reflektierte Strahl auf der Geraden A’B liegen, wobei A‘ die Spiegelungvon A an der Ebene E ist.Lösung: Normale n durch A:⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜y⎟ ⎜2⎟t⎜3⎟= − + ⋅⎜z⎟ ⎜1⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ansatz für Durchstosspunkt F: ( t | − 2 + 3t | 1 + 2t )Normale n schneiden mit Ebene E: x + 3y + 2z − 24 = 0t + 3 ⋅ ( − 2 + 3t ) + 2 ⋅ ( 1 + 2t ) − 24 = 0 → 14t − 28 = 0 → t = 2Folgerung: Von A nach F gelangt man mit t = 2, ergo gelangt man von A nachA‘ mit t = 4. → A '( 4 | 10 | 9 ) → Gerade A 'B : r = OA ' + t ⋅ A 'B⎛ x ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜y⎟ ⎜10⎟t⎜7⎟= + ⋅⎜z⎟ ⎜9⎟ ⎜14⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Ansatz für Durchstosspunkt R: ( 4 | 10 + 7t | 9 + 14t )Gerade A’B schneiden mit Ebene E: x + 3y + 2z − 24 = 044 + 3 ⋅ ( 10 + 7t ) + 2 ⋅ ( 9 + 14t ) − 24 = 0 → 7t + 4 = 0 → t = −→R( 4 | 6 | 1)Weiteres Beispiel: Ebene E: x − 2y + 2z + 3 = 0 ; Punkte A ( 7 | 35 | 12 ) , B ( 7 | 7 | 8 )75.5.8 Schneiden von EbenenSiehe Lerneinheit 1.2 Strukturelles Denken, Kapitel 3x3 Gleichungssysteme.152 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheRechnereinsatz bei umfangreicheren Aufgabenstellungen5.5.9 Übersicht Formen der EbenengleichungÜberlege dir, wie du von einer Form in die andere umrechnen kannst. Parametergleichung: x = p + t ⋅ u + s ⋅ vKoordinatengleichung: n1 ⋅ x1 + n2 ⋅ x2 + n3 ⋅ x3= q n ⋅ x − p = 0Normalengleichung: ( )xp⎛ x1⎜ ⎟= ⎜ x2⎟⎜⎝ x⎛p3⎞⎟⎠1⎜ ⎟= ⎜ p2⎟⎜⎝p3⎞⎟⎠: Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt P( x 1 | x 2 | x 3 ) der Ebene.: Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt P( p 1 | p 2 | p 3 ) der Ebene.⎛n1⎞ ⎜ ⎟n = ⎜ n2⎟ Normalenvektor der Ebene.⎜n⎟⎝ 3 ⎠ u ,v Richtungsvektoren der Ebene ; t ,s ∈RParameter ; q = n ⋅ p5.6 Rechnereinsatz bei umfangreicheren AufgabenstellungenDie folgenden drei Aufgaben sind Problemstellungen aus den letztjährigenMaturaprüfungen Teil 2 mit Rechnereinsatz.Wichtig: Versuche die Aufgabenstellungen selbständig zu lösen!Entwickle Lösungsideen und führe deinen Lösungsplan strukturiert durch.Mache jeweils für das gesuchte Objekt einen Ansatz und rechne damit!5.6.1 MaturaaufgabenAufgabe 1a) Gegeben sind die beiden Punkte A ( −5 | −4 | 5 )und C ( 8 | − 5 | 2 ) . Bestimme alle RechteckeABCD, dessen Ecke B auf der x-Achse liegt.Berechne die Koordinaten der Eckpunkte B undD für alle möglichen Rechtecke.b) Bestimme die z-Koordinate des PunktesA ( −5 | −4 | z ) so, dass es nur noch ein Rechteck gibt. Berechne dieKoordinaten von B und D für dieses Rechteck.Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 153

Vektoren im RaumDialogMatheAufgabe 2Gegeben sind der Punkt A und die Gerade g im Raum.Punkt A ( 8 | 9 | 22 )Gerade g:⎛ 4 ⎞ ⎛ 1⎞r =⎜ ⎟+ ⋅⎜−⎟2 t 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 8 ⎠ ⎝ 2 ⎠Gesucht ist das Rechteck ABCD, so dass B und Cauf der Geraden g liegen und die DiagonaleAC =261 lang ist.a) Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte B, C und D.b) Das Rechteck ABCD ist Grundfläche eines Quaders mit den Kanten AE , BF ,CG und DH . Bestimme die Koordinaten der vier Eckpunkte E, F, G und Hso, dass das Volumen des Quaders 675 wird.Aufgabe 3Gegeben: Pyramide ABCDS• Quadratische Grundfläche ABCD• Kante AS liegt in der xy-Ebene.• M ist Schnittpunkt der Diagonalenim Quadrat.• n ist Richtungsvektor für die Höheh= MSder Pyramide.a) Die Grundfläche ABCD der oben gezeichneten Pyramide ist ein Quadrat,wobei die Ecke A in der xy-Ebene liegt. Berechne die Koordinaten von A undC, wenn die Punkte B ( 5 | 21| 10 ) und D ( 8 | 0 | 10 ) gegeben sind. Wenn dufür den Punkt A zwei Lösungen erhältst, dann wähle eine der beidenMöglichkeiten für die weitere Rechnung.b) Bestimme den Normalenvektor n zur Grundfläche ABCD. Die Spitze S der Pyramide liegt sowohl auf der Geraden r = OM + t ⋅ n als auch in der xy-Ebene. Berechne die Koordinaten von S sowie die Höhe h= MS der Pyramide.154 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheRechnereinsatz bei umfangreicheren Aufgabenstellungen5.6.2 MusterlösungenDie Musterlösungen werden mit Hilfe des Rechners durchgeführt. Studiereund analysiere die vorgeschlagenen Lösungen. Lerne wie du für vektorgeometrischeAufgabenstellungen deinen Rechner einsetzen kannst. Achte auf dieZuweisungen von gegebenen sowie berechneten Objekten.Als Übung lohnt es sich die Lösungen nochmals mit dem Rechner und vonHand durchzuführen!Lösung Aufgabe 1 Teilaufgabe a)Lösungsidee für die Bestimmung der Koordinaten des Punktes B:• B liegt auf der x-Achse: Ansatz für B (x|0|0) • Rechter Winkel bei B: Skalarprodukt BA ⋅ BC = 0[Alternativ: Pythagoras für Dreieck ABC]Durchführung des Lösungsplans mit dem Rechner Eingabe Ortsvektoren OA und OCZuweisung:= (Doppelpunkt gleich)Ansatz für B (x|0|0), Unbekannte xEingabe der Ortsvektors OBBerechnung der Vektoren BA und BCaus den Ortsvektoren.Bestimmungsgleichung für x: Skalarprodukt BA ⋅ BC = 0Es gibt zwei Rechtecke:B1 ( 5 | 0 | 0 ) ; B2( − 2 | 0 | 0 )Alternativ: Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ABCLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 155

Vektoren im RaumDialogMatheBerechnungen der Ortsvektoren fürEcke D.D1 ( 5 | − 9 | 7 ) ; D2( −2 | − 9 | 7 )Lösung Aufgabe 1 Teilaufgabe b)Lösungsidee für die Bestimmung der z-Koordinate des Punktes A:Bei der Berechnung von x ergab sich in Teilaufgabe a) eine quadratischeGleichung mit zwei Lösungen. In dieser Gleichung erscheint nun derParameter z. Dieser kann mit Hilfe der Diskriminante D so bestimmt werden,dass die Gleichung nur eine Lösung besitzt (D = 0).Ansatz für B (x|0|0) und A (-5|-4|z)Unbekannte x, Parameter zEingabe Ortsvektoren OA ,und OB ,OCBerechnung der Vektoren BA undBC aus den Ortsvektoren.Bestimmungsgleichung für x: Das Skalarprodukt BA ⋅ BC = 0liefert eine quadratische Gleichungmit Parameter z.Bestimmen z so, dass die Gleichungnur eine Lösung hat.Diskriminante = 0A ( −5 | − 4 | 11,125 ) ; B ( 1,5 | 0 | 0 )Berechnung des Ortsvektors für dieEcke D für die gefundenen Werte fürx und z. D ( 1,5 | − 9 | 13,125 )156 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©

DialogMatheRechnereinsatz bei umfangreicheren AufgabenstellungenLösung Aufgabe 2 Teilaufgabe a)Lösungsidee für die Bestimmung der Koordinaten des Punktes B:• B liegt auf der Geraden g: Ansatz für B ( t + 4 | − 2t + 2 | 2t + 8)• Rechter Winkel bei B: Skalarprodukt BA mit Richtungsvektor derGeraden g ist Null .Eingabe Gerade gOrtsvektor OAAnsatz für B (t+4|2-2t|2t+8) auf g,Unbekannte t , Ortsvektors OBBerechnung des Vektors BARechter Winkel bei B. Skalarprodukt desVektors BA mit dem Richtungsvektorder Geraden g muss Null sein.Bestimmung Ortsvektor OBB( 6 | − 2 |12)Lösungsidee für die Bestimmung der Koordinaten des Punktes C:• C liegt auf der Geraden g: Ansatz für C( t + 4 | − 2t + 2 | 2t + 8)• Länge der Diagonalen AC : AC = 261Ansatz für C (t+4|2-2t|2t+8) auf g, Unbekannte tEingabe der Ortsvektors OCBestimmungsgleichung für t: 2AC = 261Alternativ: Pythagoras ∆ABCAlternativLerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF© 157

Vektoren im RaumDialogMatheC1 ( 4 | 2 | 8 ) , C2( 8 | − 6 |16)Bestimmung von D:Vektorgeometrisch ergänzen.D1 ( 6 |13 |18 ) , D2( 10 | 5 | 26 )Lösung Aufgabe 2 Teilaufgabe b)Höhe h des Quaders bestimmen (Volumen durch Rechtecksfläche)Koordinatengleichung der Ebene (g, A), Normalenvektor.Höhe h des Quaders berechnenAnsatz EbenengleichungZwei Punkte der Geraden undPunkt A einsetzen.Gleichungssystem lösenEbenengleichungLänge des Normalenvektor:Einheitsvektor mal HöheErgänzen:E( 15 |10 |19,5 ) F( 13 | − 1| 9,5)G ( 11| 3 | 5,5 ) H ( 13 |14 |15,5)11Lösung Aufgabe 3 Teilaufgabe a)A1 ( 3 |10 | 0 ) , A2( 10 |11| 0 ) , C1( 10 |11| 20 ) , C2( 3 |10 | 20 )Lösung Aufgabe 3 Teilaufgabe b)⎛14⎞ ⎛14⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟n1= 2, n2= 2⎜ −5⎟⎜⎝ ⎠ 5 ⎟⎝ ⎠S( 34,5 |14,5 | 0 ) , h = 30158 Lerneinheit 3 | Vektoren | 2012/13 | BF©