Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 3Schwierigkeitsgrad 22.)a)3154=+x(AL) b)255342=−+xx(AL) c)71223+=−xx(AL)d)xxxx 122312−=++(AL)e)1332134−+=−−xxxx(AL) f)54252)2(−−=−−xxxx(AL)g) 43242=−x −h) 43512=+x +i) 2233 =− x −j)2635−−=+−xxxxk)661184374++=++xxxxl)722342143−+=−+xxxxSchwierigkeitsgrad 33.)a)22344714−++=+ xxx(AL) b)2246166220+−=−++xxxx(AL)c)6215531322211++=+−−+−xxxxxx(AL)d)63324218453−+=−++−−xxxxxxe)363933043122−−=−−−−+xxxxxxf)162338224833−++−+=+−−xxxxxxg)xxxx−−=− 52452h)xxxx3913 −+=−i)234682=−−+−xxxxSchwierigkeitsgrad 44.)a)49212 −=−xx(AL) b)92432322 −=++−xxx(AL)c) 2324912462=++++ xxxx(AL) d)²472122xxx−=−−+e) 025²163954155452=−+−−+ xxxf)2434²87263−−=−+++−xxxxxxg)51253225²155++=−−+−−xxxxxxh)431443316²935−=++−xxx

C. Bruchgleichungen mit ParameternIn einer Bruchgleichung können neben der Unbekannten x weitere Unbekannte auftreten, nachdenen die Gleichung aber nicht aufgelöst werden soll. Diese weiteren Unbekannten heissen Parameter(„Platzhalter“). Das berechnete x soll mit Hilfe dieser Parameter angegeben werden.Das Vorgehen beim Auflösen ist gleich wie bei „normalen“ Bruchgleichungen.pBeispiel : x + = 1 xpDefinitionsbereich bestimmen:Die x bestimmen, für die der oder dieNenner, in denen x enthalten ist, Nullergibtxp = 0 ⇒ x = 0 ⇒ D = R\{0}Dann beginnt das Auflösen der Gleichung:1x+ xpp=1 | ⋅ xpp + p = xp2 p = xp | : p2 = xMultiplikation mit demHauptnenner (HN)x∈D ⇒ L={2 ; p ≠ 0 } Bedingung(en) für den ParameterauflistenAufgaben1)3)5)7)1 1h x − h= 1 − (AL) 2) = (AL)x − t tb x3x+ p x +=11 + x(AL) 4) = a3x− 1 x − p1 − xx 1 1+ =m m − 16) 7 t + 4 3t− 2− + =220t + tx tx tx + x2( x − c)x + c 1−=22a + ab − ac − bc a + ab + ac + bc a + b(AL)g − hx x + 18) − = 1gx − g x −1(AL)Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 4

D. Textaufgaben zu BruchgleichungenDas Vorgehen beim Lösen von Textaufgaben mit Bruchgleichungen ist dasselbe wie zum Lösenvon allgemeinen Textaufgaben:1. Schritt: Aufgabe genau lesen und verstehen2. Schritt: Genaue Wahl der Unbekannten3. Schritt: Aufstellen der Gleichung. Wichtig: Masseinheiten aufschreiben !4. Schritt: Lösen der Gleichung5. Schritt: Prüfen der Lösung6. Schritt: AntwortsatzBei Textaufgaben zu Bruchgleichungen gibt es drei Arten, die immer wieder auftauchen: Aufgaben, in denen eine Zahl gesucht wird: Zahlenterme Leistungsaufgaben GeschwindigkeitsaufgabenAufgaben171) Ein Bruch hat den Wert . Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und zum18Nenner addieren, damit sein Wert 32 wird ?2) Ein leeres Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in 15 Stunden gefüllt werden. Istdas Becken voll, so dauert es 20 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. DasBecken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schliessen.Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?3) Zum Entladen eines Getreideschiffes benötigen zwei Fördergebläse drei Stunden. Das eineGebläse arbeitet doppelt so schnell wie das andere. Wie viele Stunden benötigt jedes Gebläsealleine?4) In einem Braunkohletagebau haben zwei Bagger zusammen 85 Tage benötigt, um die Erdeüber der Braunkohle zu entfernen. Der kleinere der beiden schafft 40% der Leistung desgrösseren. Wie viele Tage hätte jeder Bagger benötigt, wenn er jeweils allein gearbeitethätte?5) Läufer A benötigt für eine 25 km lange Strecke 30 Minuten mehr, als Läufer B für 15 kmbraucht. Die Geschwindigkeit von A ist um 2.5 km/h grösser als die von B. Berechne dieLaufzeit von A.Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 5

E. Lösungen aller AufgabenLösungen Aufgaben BruchgleichungenSchwierigkeitsgrad 11a)735= − x 6 x14Definitionsbereich bestimmen:3 x = 0⇒x = 0, 6x= 0⇒x = 0 ⇒ D = R\{0}7 5 1= −3x 6x428 = 3x18 = 3xx = − 6| ⋅ 12x10 − | − 10− | : ( − 3)Kontrolle, ob x∈D :− 6∈D=R\{0} ⇒ L={-6}1b)5 7 1− =6x15x9Definitionsbereich bestimmen:6 x = 0⇒x = 0 , 15x= 0⇒x = 0 ⇒ D = R\{0}5 7 1− =6x 15x 9| ⋅ 90x75 − 42 = 10 x33 = 10 x| : 10x = 3 . 3Kontrolle, ob x∈D :3.3∈D=R\{0} ⇒ L={3.3}Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 6

Lösungen - Schwierigkeitsgrad 44a)1=x − 292x − 4Definitionsbereich bestimmen:2x − 2 = 0⇒x = 2, x − 4 = ( x − 2)( x + 2) = 0⇒x = 2, x = −2⇒ D = R\{-2,2}1 9=x − 2 x2 − 419=x − 2 ( x − 2)( x + 2)| ⋅ ( x − 2)( x + 2)x + 2 = 9 | − 2x = 7Kontrolle, ob x∈D :7 ∈ D = R\{-2,2} ⇒ L={7}4b)2+x − 32=x + 3x242 −9Definitionsbereich bestimmen:x − 3 = 0⇒x = 3, x + 3 = 0⇒x = −3,x2− 9 = ( x − 3)( x + 3) = 0⇒ D = R\{-3,3}daraus resultieren die selben x.2 2 24+ =x − 3 x + 3 x2 − 92 224+ =x − 3 x + 3 ( x − 3)( x + 3)| ⋅ ( x − 3)( x + 3)2(x + 3) + 2( x − 3)= 242x + 6 + 2x− 6 = 244 x = 24 | : 4x = 6Kontrolle, ob x∈D :6 ∈ D = R\{-3,3} ⇒ L={6}Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 13

6 4x4c) + = 224x+ 12x+ 9 2x+ 3Definitionsbereich bestimmen:4x2 + 12x+ 9 = (2x+ 3)(2x+ 3) = 0⇒2x+ 3 = 0, ⇒ x = −dasselbe x ergibt sich durch den zweiten Nenner323⇒ D = R\{ − }26 4x+ =24x+ 12x+ 9 2x+ 326 4x+ =(2x + 3)(2x+ 3) 2x+ 3 2 | ⋅ (2x+ 3)(2x+ 3)6 + 4x (2x+ 3)= 2 (2x+ 3)(2x+ 3)26 + 8x + 12x= 8x2 + 12x+ 12x+ 182| − 8x6 + 12x= 24 x + 18| − 12x− 1812 x = − 12| : 12x = − 1Kontrolle, ob x∈D :3−1 ∈ D = R\{ − }2⇒ L={-1}4. d) D = R\{-2,2} L={-1}5 5e) D = R\{ − , }4 4L={-2}f) D = R\{-2,2} L={4}g) D = R\{-5,5} L={ }4 4h) D = R\{ − , }3 3L={-1}Lösungen Aufgaben Bruchgleichungen mit ParameternRepetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 14

1)1 1= 1 −x − t tDefinitionsbereich bestimmen:x − t = 0 ⇒ x = t ⇒ D = R\{t}1=x − t1 − 1t| ⋅ t ( x − t),t ≠ 0t = t( x − t)− ( x − t)t = tx − t− x + t | + t− t2t =tx − x2t =x ( t − 1)| : ( t − 1), t ≠ 1x =2tt −12t⇒ L={ ; t ≠ 0, t ≠ 1}t −12)h=bx − hxDefinitionsbereich bestimmen:x = 0 ⇒ D = R\{0}h x − h=b x| ⋅ bx , b ≠ 0hx = b( x − h)hx = bx − bh| − bxhx − bx = − bhx ( h − b)= − bh| : ( h − b),h ≠ bx =− bhh − b− bh⇒ L={ ; b ≠ 0, b ≠ h }h − bRepetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 15

3)3x+ p x +=13x− 1 x − pDefinitionsbereich bestimmen:113 x −1= 0⇒x = , x − p = 0⇒x = p ⇒ D = R\{ , p }333x+ p x + 1=3x−1x − p( 3x + p)(x − p)= ( x + 1)(3x− 1)| ⋅ (3x− 1)( x − p)223x − 3px+ px − p = 3x2 − x + 3x− 12| − 3x2− 3px + px − p = 2x −12| − 2x + p− 2 px − 2x= p2 − 1x ( − 2 p − 2)= p2 − 1| : ( −2p − 2), p ≠ −1x =( p + 1)( p − 1)− 2( p + 1)x =p − 1 1 − p=− 2 21 − p⇒ L={ ; p ≠ −1}24) D = R\{1}a − 1L={ , a ≠ −1}a + 15) D = R1L={ , m ≠ 0, m ≠ 1}m(m −1)Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 16

7 t + 4 3t− 26) − + = 022t + tx tx tx + xDefinitionsbereich bestimmen:2t + tx = t(t + x)= 0⇒x = −t,tx = 0⇒x = 0,2tx + x = 0⇒x(t + x)= 0⇒x = 0, x = −t⇒ D = R\{ − t, 0 }7 t + 4 3t− 2− + =22t + tx tx tx + x07 t + 4 3t− 2− + =t(t + x)tx x(t + x)0 | ⋅ tx ( t + x),t ≠ 07x − ( t + 4)( t + x)+ t(3t− 2)= 07x − t2− tx − 4t− 4x+ 3t− 2t= 0 | −22t + 6 t3 x − tx = − 2t 2 + 6 tx ( 3 − t)= 2t(3− t)| : (3 − t ), t ≠ 3x = 2 t⇒ L={ 2t ; t ≠ 0, t ≠ 3 }7)2a2( x − c)x + c 1−=2+ ab − ac − bc a + ab + ac + bc a + bDefinitionsbereich bestimmen: kein x im NennerBedingungen für Parameter :a(a − c)+ b(a − c)= ( a + b)(a − c)= 0⇒a ≠ −b,a ≠ ca(a + b)+ c(a + b)= ( a + b)(a + c)= 0⇒a ≠ −b,a ≠ −ca + b = 0⇒a ≠ −b⇒ D = R2( x − c)x + c−=( a + b)(a − c)( a + b)(a + c)2(x − c)(a + c)− ( x + c)(a − c)=1a + b( a + c)(a − c)| ⋅ ( a + b)(a + c)(a − c)222ax+ 2cx− 2ac− 2c− ax + cx − ac + c =2 2a − c2ax + 3cx− 3ac− c =2 2a − c2| + 3ac + cx ( a + 3c)= 2a + 3acx ( a + 3c)= a ( a + 3c)| : ( a + 3c),a ≠ −3cx = a⇒L={ a; a ≠ b,a ≠ −c,a ≠ c,a ≠ −3c}g 18) D = R\{1} L={ , g ≠ − h,g ≠ 0 }2g+ h 2Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 17

Lösungen Textaufgaben zu Bruchgleichungen171) Ein Bruch hat den Wert . Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und zum18Nenner addieren, damit sein Wert 32 wird ?Unbekannte : Zahl (x)Gleichung:171817−+−Auflösen : =18 + x3(17 − x ) = )51 − 3x= x15 = xx = 3xxx=2323| ⋅ 3(18 + x)2(18+ x36 + 2| − 36 + 3x5 | : 5Lösung kontrollieren:17 − 3 14= =18 + 3 2123Die gesuchte Zahl lautet 3.2) Ein leeres Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in 15 Stunden gefülltwerden. Ist das Becken voll, so dauert es 20 Stunden, um das Wasser wiederablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch,den Ablauf zu schliessen.Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist?Art der Textaufgabe : Leistung und Arbeit.Unbekannte : x = Anzahl Stunden, welche das Füllen bei geöffnetem Zu- und Ablauf dauert.Das heisst, dass auf diese Art in einer Stunde 1/x des Volumens des ganzen Beckens gefülltwird.Gleichung:1x1xAuflösen : ==1 1 −15 201 1 −15 20| ⋅ 60x4x − 360 = xx = 60Lösung kontrollieren: In 60 Stunden füllt der Zulauf das Becken vier Mal ( 60 = 4 ⋅15). In 60Stunden leert der Ablauf das Becken drei Mal ( 60 = 3 ⋅ 20). Total bleibt in 60 Stunden eine« Füllung » übrig.Der Füllvorgang dauert 60 Stunden.Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 18

3) Zum Entladen eines Getreideschiffes benötigen zwei Fördergebläse drei Stunden.Das eine Gebläse arbeitet doppelt so schnell wie das andere. Wie viele Stundenbenötigt jedes Gebläse alleine?Art der Textaufgabe : Leistung [ A = L ⋅ t ]AHier zwei Leistungen : L 1 = stärkeres GebläsetAL2 = schwächeres Gebläse2tUnbekannte :x = t Zeit [h] des stärkeren GebläsesGleichung:(die ganze Arbeit = 1)Auflösen :1 1 2 1Kontrolle : 1 = ⋅ 3 + ⋅ 3 = + = 14.5 9 3 31 = L 1 ⋅ 3 + L2⋅ 31 = 1 1⋅ 3 + ⋅ 3t 2t| ⋅ 2t2 t = 6 + 3| : 2t = 4 . 5Das stärkere Gebläse braucht 4h30min, das schwächere Gebläse 9h, um die Arbeit alleine zuerledigen.4) In einem Braunkohletagebau haben zwei Bagger zusammen 85 Tage benötigt, um dieErde über der Braunkohle zu entfernen. Der kleinere der beiden schafft 40% derLeistung des grösseren. Wie viele Tage hätte jeder Bagger benötigt, wenn er jeweilsallein gearbeitet hätte?Art der Textaufgabe : Leistung [ A = L ⋅ t ]AHier zwei Leistungen : L 1 = [d] grosser BaggertAL2 = 0. 4 ⋅ kleiner BaggertUnbekannte :x = t Zeit [h] des grossen BaggersGleichung:(die ganze Arbeit = 1)Auflösen :1 0.4Kontrolle : 1 = ⋅85+ ⋅85= 1119 1191 = L 1 ⋅ 85 + L2⋅ 851 = 1 0.4⋅ 85 + ⋅ 85t tt = 85 + 34t = 119| ⋅ tDer grosse Bagger braucht 119 Tage, der kleine Bagger 297.5 Tage⎞⋅119⎟ , um die Ar-⎠beit alleine zu erledigen.⎛⎜⎝10.4Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 19

5) Läufer A benötigt für eine 25 km lange Strecke 30 Minuten mehr, als Läufer B für 15 kmbraucht. Die Geschwindigkeit von A ist um 2.5 km/h grösser als die von B.Berechne die Laufzeit von A.Art der Textaufgabe : GeschwindigkeitHier zwei Geschwindigkeiten: Läufer ALäufer B25v1 = twobei s ⎡km⎤v =t ⎢ ⎥⎣ h ⎦15v 2 = t − 0.5Unbekannte :x = t Zeit [h] von Läufer AGleichung: v 1 − 2. 5 = v 2Auflösen :2515− 2. 5 =x x − 0. 5| ⋅ x ( x − 0.5)25(x − 0.5) − 2.5x(x − 0.5)= 15 x2− 2.5x + 26.25x− 12. 5 = 15 x| − 15x2− 2.5x + 11.25x− 12. 5 = 0 | : ( − 2.5)2x − 4.5x+ 5 = 0( x − 2)( x − 2.5)= 0x 1 = 2,x2= 2.5Kontrolle :Bei Lösung 1 benötigt Läufer A 2 Stunden mit 12.5km/h, B braucht 1.5 Stunden bei 10km/hBei Lösung 2 benötigt Läufer A 2.5 Stunden mit 10km/h, B braucht 2 Stunden bei 7.5km/hBeide Lösungen sind richtig !Siehe die Sätze bei « Kontrolle »Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 20