Abriss der Geometrischen Optik

Abriss der Geometrischen OptikRudolf Lehn Peter Breitfeld *Störck-GymnasiumBad Saulgau14. August 2011InhaltsverzeichnisI Reflexionsprobleme • 31 Reflexion des Lichts • 32 Bilder am ebenen Spiegel • 33 Gekrümmte Spiegel • 33.1 Hohlspiegel • 43.2 Abbildungsgleichung • 43.3 Newtonsche Hohlspiegelgleichung • 53.4 Bildkonstruktionen am Hohlspiegel • 53.5 Wölbspiegel (Konvexspiegel) • 6II Brechung • 84 Brechungsgesetz von Snellius • 84.1 Brechung am Prisma • 84.2 Brechung des Lichts an einer Kugelfläche • 95 Abbildung durch Linsen • 105.1 Newtonsche Form der Linsengleichung • 125.2 Brechkraft von Linsen • 125.3 Abbildung durch ein Linsensystem • 12*E-Mail: phbrf@t-online.dehttp://www.pBreitfeld.de

Inhaltsverzeichnis6 Optische Instrumente • 136.1 Allgemeine Bedeutung optischer Instrumente • 136.2 Vergrößerungszahl v eines Instruments • 136.3 Lupe • 136.4 Mikroskop • 146.5 Fernrohre • 166.5.1 Galileisches Fernrohr oder Holländisches Fernrohr • 166.5.2 Astronomisches oder Keplersches Fernrohr • 162

Teil IReflexionsprobleme1. Reflexion des Lichts• Einfallender Strahl, Einfallslot und reflektierterStrahl liegen in einer Ebene.Lot• Einfallswinkel und Reflexionswinkel sindgleich groß. (α = β)Abb. 1 Reflexion des Lichts2. Bilder am ebenen SpiegelSpiegelSpiegelL O L’P P’AugeAbb. 2 Bild am ebenen SpiegelAnwendungenMehrfachspiegelungen: Winkelspiegel, Spiegelsextant, Zentralspiegel = Rückstrahler.3. Gekrümmte SpiegelJedes kleine Flächenelement einer gekrümmten Spiegelfläche kann als ebener Spiegel betrachtetwerden. Bei ihm gilt jeweils das Reflexionsgesetz. Man unterscheidet Hohlspiegel(=Konkavspiegel) und Wölbspiegel (=Konvexspiegel).3

3 Gekrümmte Spiegel3.1. HohlspiegelS: Scheitelpunkt; MS: HauptachseMF = FA =MA2 ⋅ cos β = r2 ⋅ cos βBei paraxialen Strahlen, d.h. Strahlen die naheder optischen Achse verlaufen, ist cos β ≈1. Somit ist FS = f = r 2Damit schneiden sich alle zur optischenAchse parallelen Paraxialstrahlen im BrennpunktF.Abb. 3 Strahlenverlauf am Hohlspiegel3.2. AbbildungsgleichungAbb. 4 Abbildungsgleichung beim HohlspiegelSinussatz: (vgl. Abb. 4)ΔGAM ∶GMsin β = GAsin αMBΔMBA ∶sin β = BAsin αFür paraxiale Strahlen gilt:⟹ GMGA= MBBAGM = g − r; GA ≈ g; MB ≈ r − b⇒g − rg=r − bb⇔ 1 − r g = r b − 1 ⇒ 2 = r g + r b⇒ 2 r = 1 g + 1 bf=r/⟹1 g + 1 b = 1 f(1)4

3.3 Newtonsche HohlspiegelgleichungBezeichnungeng: Gegenstandsweite; b: Bildweite;f: Brennweite; r: Krümmungsradius des SpiegelsFeinfallendesLichtAbb. 5 Vorzeichenregel beim HohlspiegelBei optischen Abbildungen ist es hilfreich, klare Vorzeichenregeln zu vereinbaren.Beim Hohlspiegel (vgl. Abb. 5) werden alle Größen, die auf der Seite des einfallendenLichtes liegen, positiv gerechnet. Alle Größen, die auf der anderen Seite des Hohlspiegelsliegen, werden negativ gerechnet.g, r, f sind somit bei Hohlspiegel immer positiv. Die Bildweite b kann positiv odernegativ sein.3.3. Newtonsche HohlspiegelgleichungVersteht man mit x den Abstand des Gegenstandpunktes G vom Brennpunkt F und mitx ′ den Abstand des Bildpunktes B vom Brennpunkt F, so giltg = x + f; b = x ′ + f ⟹ x ⋅ x ′ = f (2)3.4. Bildkonstruktionen am HohlspiegelFür paraxiale Strahlen gelten folgende einfache Regeln:Achsenparallele Strahlen werden zu Brennstrahlen und umgekehrt. Parallele Strahlensammeln sich im Brennpunkt oder in einem Punkt der Brennebene. Mittelpunktstrahlen,d.h. Strahlen durch den Krümmungsmittelpunkt M werden in sich selbst zurückgeworfen.Vergrößerung:v = B′ B= bG ′ G g = f b − f=g − f fv > 0 : umgekehrtes, reelles Bildv < 0 : aufrechtes, virtuelles BildDiese Beziehung ermöglicht eine einfache Herleitung der Spiegelgleichung!(3)5

3 Gekrümmte SpiegelG’GMBB’FfSgrbG’B’MFGSBAbb. 6 Bildkonstruktionen beim HohlspiegelExperiment:Bestimme den Krümmungsradius eines Uhrglases!3.5. Wölbspiegel (Konvexspiegel)einfallendesLichtAbb. 7 Vorzeichenregel beim WölbspiegelDie Bezeichnungen für Scheitel, Brennpunkt usw. werden wie beim Hohlspiegel gehandhabt.vgl. Abbildung 8. Die Abbildungsgleichung lässt sich auf gleiche Weise mitHilfe des Sinus-Satzes herleiten.6

3.5 Wölbspiegel (Konvexspiegel)2’1’GA12gG’G gSB’b BSfFrbfBFMrMAbb. 8 Abbildungsgleichung und Bildkonstruktion beim WölbspiegelVorzeichenregel: r und f sind beim Wölbspiegel negativ. Wird diese Vorzeichenregelbeachtet, so gelten die Spiegelgleichungen auch für den Konvexspiegel!Aufgabe:Bestimme mit der Abbildung 8 die Abbildungsgleichung für den Wölbspiegel.7

4 Brechungsgesetz von SnelliusTeil IIBrechung4. Brechungsgesetz von SnelliusAbb. 9 Brechungsgesetzsin αsin β = n n = n (4)n : relative Brechzahl des Mediums 2 in Bezug auf das Medium 1ist das Medium 1 Vakuum bzw. Luft, dann schreibt man für n nur nn , n : absolute Brechzahlen (bzgl. Vakuum bzw. Luft)Das Medium 1 ist optisch dichter als das Medium 2, wenn n > n .Das Medium 1 ist optisch dünner als das Medium 2, wenn n < n .Beim Übergang vom optisch dünneren zum optisch dichteren Medium wird derLichtstrahl zum Einfallslot hin gebrochen. Beim Übergang vom optisch dichteren insoptisch dünnere Medium findet eine Brechung vom Einfallslot weg statt. Überschreitetα im optisch dichteren Medium einen Grenzwinkel α g , so kommt es zur Totalreflexion.sin α gsin 90 ∘ = n n ⟹ sin α g = n n (5)4.1. Brechung am Prismaε: brechender Winkel ε = β + β δ: Gesamtablenkung δ = α - β + α - β = α + α - ε8

4.2 Brechung des Lichts an einer KugelflächeAbb. 10 Brechung am PrismaBei symmetrischem Durchgang (α = α ) ist die Ablenkung δ minimal! (Beweis vgl.Bergmann-Schaefer Band III)δ = 2 ⋅ (α − β);ε = 2 ⋅ β ⇒ δ = 2α − ε⇒ α =δ + ε2 ; β = ε 2 ; sin αsin βδ+εsin= n ⇒sin ε = n4.2. Brechung des Lichts an einer KugelflächeVorzeichenregelDie Lichtrichtung ist von links nach rechts gerichtet.r > 0 bei nach außen gewölbter Krümmung (dem einfallenden Licht entgegengerichtet,konvex)r < 0 bei nach innen gewölbter Krümmung (konkav)Die Gegenstandsweite g und die Bildweite b werden stets vom Scheitel der Kugelflächeaus gezählt, und zwar g positiv nach links und b positiv nach rechts. Nach dem Sinussatzgelten folgende Beziehungen: (vgl.Abb.11)ΔGAM ∶ΔBAM ∶Brechungsgesetz:sin ψ sin(π − α)=GA GMsin β sin(π − ψ)=MB AB⇔⇔sin ψ sin α=GA GMsin β sin ψ=MB ABsin αsin β = n n ⇒ n ⋅ sin α = n ⋅ sin β9

5 Abbildung durch LinsenAbb. 11 Brechung an einer Kugelfläche5. Abbildung durch Linsenn ⋅ GM ⋅ sin ψ = n ⋅ MB ⋅ sin ψ (6)GAABg + r b − rn ⋅ = ns ⋅ s paraxiale Strahlen ⇒ s ≈ g; s ≈ bg + rn ⋅ = ng ⋅b − rb⇒ n g + n b = n − n rSammellinsen sind - zumindest teilweise - in der Mitte dicker als am Rand (bikonvex,plankonvex). Zerstreuungslinsen sind - zumindest teilweise - in der Mitte dünner als amRand (bikonkav, plankonkav). Mit der Abbildungsgleichung an Kugelflächen kann eineAbbildungsgleichung für Linsen hergeleitet werden.• Abbildung durch die konvexe (erste) Kugelflächeg > 0; b ′ > 0; r > 0; n = 1; n = n1g + n b ′ = n − 1 ⇒ n r b ′ = n − 1 − 1 r g(7)• Abbildung durch die konkave (zweite) Kugelfläche−b ′ ist jetzt die neue Gegenstandsweite, da bei einer dünnen Linse, das Bild derersten Abbildung rechts von der zweiten Kugelfläche liegt−r , wenn r > 0 ist.10

SammellinsenZerstreuungslinsenbikonvex plankonvex bikonkav plankonkavAbb. 12 LinsentypenLichtAn= n = n r1n =111 21r2BgbAbb. 13 Herleitung der Linsengleichung11

5 Abbildung durch Linsenn−b ′ + 1 b = 1 − n ⇒ n −r b ′ = 1 − n − 1 r b(8)Aus diesen beiden Gleichungen folgt:Allgemein gilt1 − n+ 1 r b = n − 1 − 1 r g⟹ n − 1 + n − 1 = 1 r r g + 1 b ⇒ (n − 1) 1 + 1 = 1 r r g + 1 b = 1 f1f = n n − 1 1 r + 1 r (10)(9)Da 1 g + 1 b= konstant ist, kann die Konstante aus g = ∞ ermittelt werden.1g + 1 b = 1 fHinweis: Die Formeln (9), (10) und (11) gelten auch für Zerstreuungslinsen, wenn dieVorzeichen entsprechend modifiziert werden (vgl. Vorzeichenregel).(11)5.1. Newtonsche Form der LinsengleichungSetzt man g = x + f und b = x ′ + f, dann erhält manx ⋅ x ′ = f (12)5.2. Brechkraft von LinsenD = 1 bezeichnet man als Brechkraft einer Linse.fEinheit: [D] = 1 Dioptrie = 1 dptr.5.3. Abbildung durch ein LinsensystemLösungsweg:1. Bestimme die Bildweite von L 1= 1 f g + 1 ⇒ bb = f ⋅ g g − f 2. b < d ⇒ g = d − b 1g + 1 b = 1 f ⇒ 1d − b + 1 b = 1 f 12

GgL+L+1 2f 1 2bdfBAbb. 14 System dünner Linsenmit d → 0:b =f ⋅ d − f ⋅f ⋅gg−f d − f − f ⋅gg−f (13)(14)1g + 1 b = 1 + 1 f f (15)1f = 1 + 1 f f (16)3. b > d ⇒ g = −(b − d) = d − b Weitere Rechnung wie oben!Die Gleichung (16) gilt auch, wenn man eine Linse etwa durch einen Hohlspiegel ersetzt.6. Optische Instrumente6.1. Allgemeine Bedeutung optischer InstrumenteIhre Aufgabe ist es, von den zu fernen oder zu kleinen Gegenständen deutliche Bilder inder deutlichen Sehweite und ausreichend großem Sehwinkel zu erzeugen.Der Sehwinkel, ist jener Winkel, unter dem ein Gegenstand vom Auge gesehen wird.Deutliche Sehweite s = 25 cm.6.2. Vergrößerungszahl v eines Instrumentsψ = Sehwinkel mit Instrumentφ = Sehwinkel ohne Instrumentv =tan ψtan φ(17)6.3. LupeDer Gegenstand liegt innerhalb der einfachen Brennweite. Es entsteht ein aufrechtes,virtuelles Bild.13

6 Optische InstrumenteAbb. 15 LupeVergrößerungszahltan ψ = BB ; tan φ = BC|b| |b|v =tan ψtan φ = BB BC= BB = |b|GG g (18)Mit Hilfe der Linsengleichung 1 f = 1 g + 1 bfolgt mit |b| = −bFür die deutliche Sehweite |b| = s = 25 cm giltv = |b|f + 1 (19)v = s f + 1 = 25 f + 1 f≪s≈ 25 f(f in cm) (20)6.4. MikroskopDas Mikroskop besteht im Prinzip aus zwei Sammellinsen, dem Objektiv L und demOkular L , deren Abstand voneinander wesentlich größer als die Summe ihrer Brennweitenf und f ist. Den Abstand der benachbarten Brennpunkte von Objektiv und Okularbezeichnet man als optische Tubuslänge Δ.Der zu betrachtende Gegenstand liegt dicht vor dem Brennpunkt F des ObjektivesL . Dieses erzeugt ein umgekehrtes, reelles Zwischenbild B B innerhalb der einfachenBrennweite des Okulars L . Dieses Zwischenbild wird mit dem Okular L als Lupebetrachtet.In guter Näherung kann man das Bild A des Mikroskops im Zentrum des Okulars(A ≈ O ) und das Zwischenbild B B im Brennpunkt des Okulars annehmen.14

6.4 MikroskopL1 2Llf 1f 2GG21f1BOO 1 1 1 2Af 2AB2CG22G 1sAAbb. 16 MikroskopSomit gilt:Daraus folgt für die Vergrößerungtan ψ ≈ B B und tan φ ≈ G G f sv =B B ⋅ sf ⋅ G G Der Strahlensatz liefert die Beziehung:B B ≈ 1 − f G G g Die Linsengleichung für das Objektiv L liefert:1g + 1 = 1 ⇒ g = f ⋅ (l − f )l − f f ΔDamit gilt für die Vergrößerung des Mikroskops:v =tan ψtan φ =s ⋅ Δ(21)f ⋅ f 15

6 Optische Instrumente6.5. FernrohreSie sollen ferne Gegenstände unter größeren Sehwinkeln erscheinen lassen, als sie mitdem freien Auge erblickt werden.Da die von sehr fernen Gegenständen kommenden Strahlen annähernd parallel insAuge fallen, werden sie ohne Akkomodation des Auges zu einem Bild auf der Netzhautvereinigt.Die parallel ins Fernrohr einfallenden Strahlen müssen dieses auch wieder parallelverlassen, damit das Auge ebenfalls nicht zu akkomodieren braucht. Dies wird erreicht,indem man den hinteren Brennpunkt des Objektives mit dem vorderen Brennpunkt desOkulars zusammenfallen lässt.6.5.1. Galileisches Fernrohr oder Holländisches FernrohrObjektiv: Sammellinse; Okular: ZerstreuungslinseCl = f1| f || |2 f2=LO1 2LO1 2| f |2BDAbb. 17 GalileiFernrohrtan ψ = BF F O ;tan φ = BF F O |v| =tan ψtan φ = F O = l + |f | = f F O |f | |f |Da f < 0 ist, ergibt sich für v ein negativer Wert.(22)6.5.2. Astronomisches oder Keplersches FernrohrObjektiv: langbrennweitige Sammellinse; Okular: kurzbrennweitige Sammellinsetan ψ = CO btan φ =CO f + f 16

6.5 Fernrohrel= f +1f 2OfO1 1 2 2fbCLL1 2Abb. 18 KeplerFernrohrA ist ein durch das Okular entworfenes Bild von O . Damit ergibt sich mit der Linsengleichung:1f + f + 1 b = 1 f ⇒ 1 b =f f (f + f ) ⇒ v = f f (v > 0) (23)Hinweis:werden!Der Sehwinkel zum Gegenstand muss immer vom Ort des Auges aus gemessenEinfachere Herleitung: Da das Zwischenbild in der Brennebene von L entsteht, kanndas Auge näherungsweise nach O gelegt werden.⇒ tan ψ = F′ Bund tan φ = F′ B tan ψ⇒ v =f f tan φ = f f 17