Lektion 2: RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN

BG und BRG für Berufstätige Wien Mathematik / 1. Semester 2 - 1Lektion 2: RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN2.1 Die Menge der ganzen Zahlen - EinführungSolange die Menschen nur Vorhandenes abzählen wollten, genügten ihnen die natürlichen Zahlen. Mitder Zunahme der wirtschaftlichen und sozialen Beziehungen erreichte man aber bald Grenzen, und dieNotwendigkeit für eine Erweiterung der Zahlenvorstellung war gegeben. Dies traf vor allem in denBereichen des Handels auf die Ausstände bzw. die Schulden und ebenso auf die Schulden bei Abgabenan die Obrigkeit zu. So soll das „Schuldensystem“ Ihnen einen praktischen Zugang zu den ganzenZahlen und dabei besonders für die negativen Zahlen bringen.Sowohl bei einem Guthaben von 500 S als auch bei einem Schuldenstand von 500 S handelt es sich umdie gleiche Wertmenge an Geld, aber da ist doch ein Unterschied, der festgehalten werden mußte. Dasheißt, für den Wert können ruhig die gleichen Ziffern bzw. Zahlen verwendet werden, die aber dannentsprechend mit Worten oder Symbolen versehen werden müssen, um Guthaben oder Schuldanzuzeigen. In der langen Geschichte der Mathematik wurden dafür die verschie-densten Worte undSymbole verwendet, und erst am Ende des Mittelalters wurden die beiden Symbole + und (vor dieZahlen gestellt) eingeführt.„Guthabenzahlen“ oder positive Zahlen:„Schuldenzahlen“ oder negative Zahlen:(Null ist weder positiv noch negativ!)z.B.z.B.Somit besteht die Darstellung der ganzen Zahlen aus zwei Teilen:aus Wertangabe und Vorzeichen.Die positiven Zahlen sind die natürlichen Zahlen, und für diese haben wir in einem gewissen Rahmenbildliche Vorstellungen. Dies gilt nicht für die negativen. Wenn ein Hirt sich vorstellt, daß er jemandem 5Schafe schuldet, so stellt er sich 5 Schafe vor und versieht sie mit der gedanklichen Verbindung, daß sienicht ihm gehören. „Guthabenschafe“ und „Schuldschafe“ schauen in unserer Vorstellungswelt gleichaus, erst mit der gedanklichen Verbindung „negativ“ verwandeln sich die positiven Bilder in negative„Schuldbilder“.Einen ganz anderen Zugang zu den ganzen Zahlen können wir in der Mathematik auf einer theoretischenbzw. abstrakteren Ebene finden:Stellen Sie sich folgende Entdeckung eines Mathematikers vor:Er sieht sich stundenlang die Zahlengerade mit den natürlichen Zahlen an, und plötzlich stellt er sich dieFrage: Warum sollte nicht auf der anderen Seite der Zahl Null auch ein Zahlensystem bestehen können?Also verlängert er die Zahlengerade nach links und trägt dort genauso im Abstand von einer Einheitunendlich viele Zahlen auf. Damit er die Zahlen und ihre entsprechen-den Punkte unterscheiden kann,stellt er vor die rechtsstehenden Zahlen (bezogen auf Null) ein + und vor die linksstehenden ein .Das sieht dann folgendermaßen aus:Die Zahlengerade der ganzen ZahlenDer Wert oder (Absolut-)Betrag einer ganzen Zahl ist dann die Länge des Abstandes eines Punktesvom Nullpunkt. In der Mathematik wird dieser Betrag einer Zahl symbolisch mit zwei geraden Strichenangegeben:Der Betrag einer ganzen Zahl ist immer eine positive, natürliche Zahl, da er die Länge der Strecke vomZahlenpunkt zum Nullpunkt angibt.Das Vorzeichen gibt an, auf welcher Seite des Nullpunktes die Zahl zu finden ist.und haben denselben Wert bzw. Betrag, unterscheiden sich aber durch die Lage bezüglich desNullpunktes. Man kann sie als "Gegenzahlen" bezeichnen.© 1995, 2003 by Mag. Manfred Rausch, Mag. Johannes Mayer, Mag. Dorrit Garhöfer, Mag. Gerhard Masar

BG und BRG für Berufstätige Wien Mathematik / 1. Semester 2 - 3Zum Schluß noch eine Kleinigkeit:Steht am Anfang einer Berechnung kein Rechenzeichen, so wird angenommen, es seiein +. So wird auch bei "Anfangszahlen" das Plussymbol weggelassen, ein etwaiges Minussymbolaber gesetzt.2.3 Addition und Subtraktion ganzer ZahlenDie beiden Rechenarten werden gemeinsam besprochen, da nach der Auflösung der Klammerndieselben Gesetze angewandt werden.Zuerst wollen wir die Sachverhalte auf Grund von Guthaben und Schuldständen behandeln. DieseBetrachtungsweise kann Ihnen die Einsicht in die später dargestellten mathematischen Rechen-regelnerleichtern:Fügt man zu einem Guthaben wieder ein Gut-haben hinzu,so vergrößert sich der Besitz.Fügt man zu Schulden weitere Schulden hinzu, sovergrößert sich der Schuldstand.Fügt man zu einem Guthaben eine kleinere Schuld hinzu, sowird das Guthaben dadurch vermindert. Der Unterschied(die Differenz) zwischen Guthaben und Schuld ist aberimmer noch positiv.Sind die Schulden größer als das Guthaben, bleibennatürlich Schulden zurück. Die Differenz ist daher negativ.Sie sehen:♦ Liegen zwei Guthaben bzw. Schuldstände vor, wird die Summe der Absolutbeträge gebildet und dasentsprechende Vorzeichen genommen.♦ Ist ein Guthaben und ein Schuldstand in der Berechnung, ergibt sich aus der "Verschie-denheit" dieDifferenz der Beträge als Ergebnis. Die Differenz erhält dann das Vor-zeichen derjenigen Zahl(Guthaben oder Schuldstand), deren Betrag größer ist.Analoge Überlegungen gelten bei der Subtraktion:Guthaben subtrahieren bedeutet Schuldenhinzufügen.Schulden wegnehmen entspricht einer Ver-größerung des Vermögens.Bevor wir einige Beispiele rechnen, soll noch auf folgenden Umstand hingewiesen werden:Wenn man die ganzen Zahlen in Klammern schreibt, ist eindeutig geklärt, ob eine Addition oder eineSubtraktion vorliegt:AdditionSubtraktionSind aber dann die Klammern aufgelöst und die Vorzeichen mit den Rechenzeichen verschmol-zen, soist nicht klar, was einmal vorlag. Eine eindeutige Umkehrung ist dann nicht mehr möglich! Theoretischstellt dies ein Problem dar, praktisch ist dies allerdings belanglos.© 1995, 2003 by Mag. Manfred Rausch, Mag. Johannes Mayer, Mag. Dorrit Garhöfer, Mag. Gerhard Masar

BG und BRG für Berufstätige Wien Mathematik / 1. Semester 2 - 4Zusammenfassung: (a und b sind beliebige ganze Zahlen)BEISPIELE:1) Lösen Sie zunächst immer die Klammern auf, wie dies in 2.2 erklärt wurde!2) a)b)3) Achten Sie auf die richtige Reihenfolge beim Auflösen der Klammern!a) Auflösen der runden KlammernBerechnung der eckigen Klammern(dürfen durch runde ersetzt werden)Auflösen der runden Klammernb) (Sie dürfen ohne weiters einzelneRechenschrittevorziehen!)oder:c)© 1995, 2003 by Mag. Manfred Rausch, Mag. Johannes Mayer, Mag. Dorrit Garhöfer, Mag. Gerhard Masar

BG und BRG für Berufstätige Wien Mathematik / 1. Semester 2 - 52.4 Multiplikation und Division ganzer ZahlenWiederum gelten die neuen Rechenregeln, dieses Mal für die Vorzeichensetzung, für beide Rechenarten.Die Basis für die Herleitung liegt im Verständnis der Multiplikation mit der Zahl .Die Multiplikation mit der Zahlist klar:undEinmal eine Zahl genommen ergibt eben genau diese Zahl wieder. ist ja auch das "neutrale"Element der Multiplikation und Division (vgl. mit der Zahl 0 bei Addition und Subtraktion).Wie sieht nun die Multiplikation mit der ZahlErinnern wir uns, daß die Multiplikation nichts anderes ist als eine verkürzte Schreibweise für daswiederholte Addieren der gleichen Zahl (vgl. 1.4).Demnach läßt sich die Multiplikation schreiben als .Analog:Da auch bei der Multiplikation ganzer Zahlen das Vertauschungsgesetz gelten soll, kann man natürlichauch schreiben: bzw. .Können Sie nun das Ergebnis der Rechnung erraten?Richtig - man wechselt wieder das Vorzeichen! Also :aus?Wird eine ganze Zahl mitdenselben Betrag wie die Zahl.multipliziert, so hat das Produkt das entgegengesetzte Vorzeichen undGraphisch gesehen entspricht der Multiplikation mitder Zahlengeraden:eine Drehung um 180 Grad um den NullpunktBevor wir nun die Regeln für die Vorzeichensetzung aufstellen können, ist noch die Klärung einesmathematischen "Tricks" notwendig:Von der obigen Überlegung her wissen wir:Betrachten wir nun die Umkehrung:Das ist dieselbe Gleichung wie vorhin, nur daß die Seiten vertauscht wurden.Das bedeutet, daß sich die Zahl als Multiplikation von mit darstellen läßt.Allgemein läßt sich sagen, daß jede Zahl als Produkt vonanschreibbar ist.z.B.:mit ihrer "Gegenzahl"Nun können wir unsere Überlegungen zusammensetzen und die Regeln für alle Fälle der Multiplikationvon ganzen Zahlen besprechen:© 1995, 2003 by Mag. Manfred Rausch, Mag. Johannes Mayer, Mag. Dorrit Garhöfer, Mag. Gerhard Masar

BG und BRG für Berufstätige Wien Mathematik / 1. Semester 2 - 6siehe natürliche Zahlen!Zerlegung von inund anschließende Multiplikation mitsiehe oben und kommutatives GesetzZerlegung für beide ZahlenMultiplikation mitnochmalige Multiplikation mitDa die Division die entgegengesetzte Rechenart zur Multiplikation ist, können wir über die sogenannteProbe die Vorzeichen der Quotienten herleiten.Wir stellen uns dazu die Frage:Welches Vorzeichen muß der Quotient haben, damit bei der Multiplikation mit dem Divisor dasvorgegebene Vorzeichen des Dividenden erscheint?Es istEs istEs istEs istdaher:daher:daher:daher:Wenn Sie nun genau schauen, werden Sie folgende Regelmäßigkeiten erkennen, die für die Setzung desVorzeichens bei der Multiplikation und Division gelten:Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis, ungleiche Vorzeichen ein negatives.Ausführlichere Zusammenfassung (a und b seien beliebige ganze Zahlen):BEISPIELE:1)2)Sie sehen: Treten die negativen Zahlen paarweise als Faktoren bei einer Multiplikation auf, so wirddas Ergebnis positiv, ansonsten negativ;aber:3) Steht vor einer Multiplikation bzw. Division das Rechenzeichen der Addition oder Subtrak-tion, so istes sicherer, zuerst die Multiplikation zu berechnen und das Ergebnis mit entspre-chendemVorzeichen in eine Klammer zu setzen. Erst im nächsten Schritt sollten Sie dann wie üblich dieKlammern der ganzen Zahlen auflösen:Besitzen Sie genügend Sicherheit im Umgang mit Vorzeichen und Klammern, können Sie natürlichauch schneller im Kopf rechnen, wobei Sie die 2 Vorzeichenregeln gleichzeitig beachten müssen.© 1995, 2003 by Mag. Manfred Rausch, Mag. Johannes Mayer, Mag. Dorrit Garhöfer, Mag. Gerhard Masar

BG und BRG für Berufstätige Wien Mathematik / 1. Semester 2 - 7(D.h.: Welches Vorzeichen ergibt die Multiplikation bzw. Division? Wie wird dieses Zeichen durchdas davor stehende Rechenzeichen verändert?)4) Zuerst werden die Multiplikationen (Divisionen) berechnet, anschließend die Klammern aufgelöst:a)b)c)5) Zuerst immer den Klammerausdruck berechnen! Wenn das Ergebnis der eckigen Klammer feststeht,kann diese Zahl in eine runde Klammer gesetzt werden:a)b)c)d)e)Das oftmalige Anschreiben mag zwar lästig erscheinen, es garantiert aber, daß Sie nicht den Überblicküber die Rechnung verlieren!Das nächste Beispiel zeigt, wie die letzte Rechnung (5e) kürzer angeschrieben aussehen könnte. Es istein wichtiger Lernschritt, wenn Sie herausfinden, bei welchem "Tempo" Sie noch die nötige Sicherheithaben!6)© 1995, 2003 by Mag. Manfred Rausch, Mag. Johannes Mayer, Mag. Dorrit Garhöfer, Mag. Gerhard Masar

BG und BRG für Berufstätige Wien Mathematik / 1. Semester 2 - 82.5 Potenzieren ganzer ZahlenAuch hier müssen für die ganzen Zahlen nur Vorzeichenregeln hergeleitet werden, die aber nicht ganz soeinfach sind wie bei der Multiplikation.Wir unterscheiden zwei Fälle:a) positive BasisPositive Zahlen potenziert ergeben immer ein positives Ergebnis (wie bei den natürlichen Zahlen).b) negative BasisJe ein Paar von negativen Basen ergibt einepositive Zahl. Eine negative Basis bleibt übrig,die das Vorzeichen bestimmt.Ist der Exponent durch 2 teilbar , soentstehen nur positive Paarergebnisse.Sie können sehen, daß das Vorzeichen desPotenzwertes abhängig davon ist, ob der Exponent restlos durch 2 teilbar ist (eine gerade Zahl ist),oder ob der Rest 1 bleibt (der Exponent also eine ungerade Zahl ist).Die Regel lautet nun:Die Potenz einer negativen Zahl ist positiv, wenn der Exponent eine gerade Zahl ist, und negativ,wenn der Exponent ungerade ist.BEISPIELE:1)2)Sie sehen: Das Quadrat einer beliebigen ganzen Zahl ist immer positiv!(Können Sie angeben, warum das so sein muß?)3) ACHTUNG! Passen Sie ganz besonders bei folgendem Unterschied auf:ABER:Im ersten Fall wird die Zahl potenziert (d.h., der Exponent gilt auch für das Vorzeichen), imzweiten Fall gilt der Exponent nur für die Zahl 2; das Minuszeichen ist hier ein Rechenzeichen!!4) a) b)© 1995, 2003 by Mag. Manfred Rausch, Mag. Johannes Mayer, Mag. Dorrit Garhöfer, Mag. Gerhard Masar

BG und BRG für Berufstätige Wien Mathematik / 1. Semester 2 - 95) Bei gemischten Beispielen müssen Sie zuerst die Potenzen mit dem entsprechenden Vorzeichen (inrunde Klammern setzen!) berechnen. Beachten Sie dabei insbesonders, ob es sich bei einem"Minus" um ein Vorzeichen oder um ein Rechenzeichen handelt!!a)b)© 1995, 2003 by Mag. Manfred Rausch, Mag. Johannes Mayer, Mag. Dorrit Garhöfer, Mag. Gerhard Masar