Zeitreihenanalyse mit R

1.2.2 Trendbestimmung mit saisonalen EinflüssenLiegen keine saisonalen Einflüsse vor, so kann der Trend mittels des gleitenden Durchschnittsund beliebig gewähltem a bestimmt werden, wobei ein großes a das Augenmerk auf langfristigeÄnderungen legt, kleines a hingegen kurzfristige Änderungen im mittleren Niveau widerspiegelt.Liegen hingegen (über verschiedene Jahre hinweg konstante) saisonale Einflüsse vor, so mussdie Breite so gewählt werden, dass stets über ganze Perioden gemittelt wird, sonst würdendie saisonalen Einflüsse im Trend noch erhalten bleiben. Ein intuitiver Ansatz für monatlicheDaten wäre, den gleitenden Durchschnitt über 12 Monate zu bilden. Aber welchem Monatsollen wir beispielsweise das Mittelzuordnen? Juni oder Juli?Deshalb wird stattdessen der durch112 x 1 + · · · + 112 x 12( 1 24 , 1 12 , . . . , 1 , 1} {{ 12}24 )11 maldefinierte zentrierte Filter angewendet, d.h.µ t = 1 24 x t−6 + 1 125∑k=−5x t+k + 1 24 x t+6. (1.2.3)Hier ist jeder Monat mit dem gleichen Gewicht vertreten, und die Summe ist um x t zentriert.Bei Quartalsdaten verfährt man analog.Den so berechneten Trend für die US-Arbeitslosenquote sehen wir hier:1.2.3 Bestimmung der SaisonkomponenteIst der Trend nach obiger Methode saisonbereinigt berechnet, so gilt im additiven Modells t = (x t − µ t ) − r t .Da die Saisonkomponente gerade als periodisch definiert wurde, also bspw. bei Jahresdatens t = s t+12 gelten soll, würde ohne Restkomponente gelten(x 1 − µ 1 ) = s 1 = s 13 = (x 1 3 − µ 1 3) = . . .Da die tatsächlichen Differenzen (x t − µ t ) aber nicht periodisch sind, sondern gerade Schwankungenaufweisen, berechnen wir die Saisonkomponenten als arithmetisches Mittel aus allenzum jeweiligen Monat (bzw. Quartal) zugehörigen Differenzen (x t − µ t ), d.h. für n = k · 12Beobachtungens i = 1 k−1 ∑(x i+12t − µ i+12t ) (1.2.4)kt=08