Zeitreihenanalyse mit R

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Arbeitslosenquote USA, Jan 1996 − Okt 20064.0 4.5 5.0 5.5 6.01996 1998 2000 2002 2004 2006TimeAbbildung 1.2: Arbeitslosenquote der Vereinigten Staaten, monatliche Daten von Januar 1996bis Oktober 2006Passagiere PanAM, 1949−19601000 Passagiere100 200 300 400 500 6001950 1952 1954 1956 1958 1960TimeAbbildung 1.3: Passagierzahlen (in Tausend) der PanAm, 1949-1960, Monatsdaten6
Multiplikative Modelle können durch Logarithmieren der Beobachtungswerte in ein additivesModell überführt wird. Auch andere Transformationen, um die Streuungsbreite zu harmonisieren,sind möglich (→ Box-Cox-Transformationen). Will man jedoch die im transformiertenModell gewonnenen Erkenntnisse, z.B. Prognosen, auf das ursprüngliche Modell übertragen, somuss man Vorsicht walten lassen, bereits beim Übergang vom multiplikativen zum additivenModell. Diese Problematik kann jedoch erst im Rahmen stochastischer Modelle für Zeitreihenbehandelt werden.1.2 Darstellung von ZeitreihenWir lernen zunächst ein (auch vom Rechenaufwand her) einfaches Verfahren kennen, umZeitreihen in die oben beschriebenen Komponenten zu zerlegen, und damit zugleich die inder Zeitreihe enthaltenen Informationen aufzubereiten.1.2.1 Gleitender DurchschnittDenken wir an die Darstellung der Arbeitslosenquote in den USA, so haben wir vermutlichzuerst auf den groben Verlauf geachtet, und uns eine geeignete Kurve vorgestellt, um welche dieWerte zu schwanken schienen. Möchten wir diese Kurve nun berechnen, so müssen die Schwankungeneliminiert werden. Diese werden typischerweise durch Mittelbildung ausgeglichen.Möchte man also den Trend als eine langsam variierende Funktion aus den beobachteten Datenberechnen, so bietet es sich an, zu jedem Zeitpunkt nicht den beobachteten Wert selbst, sonderneine Mittelung aus benachbarten Werten zu betrachten. Gewiss nicht das Mittel über diegesamte Reihe, dies würde eine zeitlich konstante neue Reihe liefern, sondern etwa über alinke wie rechte Nachbarwerte. Dies ist die Methode des gleitenden Durchschnitts: Für a ∈ Ndefiniert manµ t := 1 a∑x t+k . (1.2.1)2a + 1An der Stelle t wird also das arithmetische Mittel aus x t , und den a links und rechts benachbartenWerten gebildet. Große Werte für a führen zu glatten Trends, kleine Werte für a zuweniger glatten Trends.Beachte, dass so am Anfang und Ende des Beobachtungszeitraum a Werte für µ t undefiniertbleiben. Dies muss insbesondere bei der Berechnung von Saisonkomponenten beachtet werden.1Betrachtet man statt der konstanten Gewichtung mit2a+1allgemein absolut summierbareFolgen (λ i ) i∈Z (sogenannte lineare Filter), so ist die gefilterte Zeitreihe gegeben durchµ t :=∞∑k=−∞k=−aλ k x t+k . (1.2.2)1Der gleitende Durchschnitt ist also der zentrierte Filter2a+1(1, 1, . . . , 1). Dabei bedeutet zentriert,dass der a + 1te (also der mittlere) Eintrag des Filters gerade dem Gewicht für x t (beider Berechnung von µ t ) entspricht.In R benutzt man den Befehl filter mit method="c", sowie sides=2 für zentrierte Filter.7
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