Zeitreihenanalyse mit R

erfüllt ist. In diesem Fall giltVar(X t ) =α 01 − ∑ qi=1 α i − ∑ pi=1 β i(5.3.4)für alle t ∈ Z. (X t ) lässt sich zudem stets als ARCH(∞) Prozess auffassen, d. h. es existierenKonstanten (γ i ) i∈N0 mit γ 0 > 0, γ i ≥ 0 für alle i ≥ 1 und∞∑σt 2 = γ 0 + γ i · Xt−i2i=1sowie∞∑|γ i | < ∞. (5.3.5)i=1Wir merken an, dass für den quadrierten Prozess (Xt 2 ) und W t = Xt 2 − σt2EW t = 0)(auch hier istq∨pXt 2 ∑= α 0 + (α i + β i ) · Xt−i 2 −i=1p∑β i · W t−i + W ti=1gilt. Dabei sei α i = 0 für alle i > q sowie β i = 0 für alle i > p gesetzt. (X 2 t ) besitzt also eineARMA(q ∨ p, p) Struktur.5.4 ParameterschätzungAusgangspunkt für die Maximum-Likelihood Schätzung der α ′ s und β ′ s ist das folgende Lemma.Lemma 5.4.1 Es sei f 1 die Dichte einer Zufallsgröße X 1 und f t (· | x t−1 , . . . , x 1 ) die (bedingte)Dichte von X t gegeben X t−1 = x t−1 , . . . , X 1 = x 1 . Dann besitzt (X 1 , . . . , X n ) die Dichte f,gegeben durchn∏f(x 1 , . . . , x n ) = f 1 (x 1 ) · f t (x t | x t−1 , . . . , x 1 ). (5.4.1)t=2Ist (X t ) eine ARCH(q) Zeitreihe mit normalverteilten Innovationen, so ist die bedingte Verteilungvon X t gegeben X t−1 , · · · , X t−q eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianzσ 2 t . Die Marginaldichte f 1 und die Dichten f t (· | x t−1 , . . . , x 1 ) für 2 ≤ t ≤ q sind dagegennur schwer bestimmbar. Daher maximiert man in (5.4.1) nur die Faktoren t > q, d. h. dieQuasi-Likelihood-FunktionL x (α 0 , . . . , α q ) =n∏t=q+1f t (x t | x t−1 , . . . , x 1 ) =wobei ϕ die Dichte der Standardnormalverteilung sei.n∏t=q+1σ −1t· ϕ(x t · σ −1t ) (5.4.2)Für ein GARCH(p, q) Fitting betrachten wir auch die Quasi-Likelihood-Funktion L x , um dieParameter zu schätzen. Wir schreiben dann L x (α 0 , . . . , α q , β 1 , . . . , β p ) und beachten, dass σ tin diesem Fall auch wirklich von β 1 , . . . , β p abhängt.Die Wahl von q und p können wir mit einem modifizierten Akaike Kriterium durchgeführen:AICC = −2 ·nn − q · log(L x(̂α 0 , . . . , ̂α q , ̂β 1 , . . . , ̂β np )) + 2 · (q + p + 2) ·n − p − q − 3(5.4.3)49