Zeitreihenanalyse mit R

Ist (X t ) schwach stationär, so gilt Var(X t ) = · · · = Var(X 2 t−q) und wir erhaltenVar(X t ) =für alle t ∈ Z. Da eine Varianz stets nichtnegativ ist, impliziert diesα 01 − α 1 − · · · − α q(5.2.6)1 − α 1 − · · · − α q ≥ 0.Im Fall 1 − α 1 − · · · − α q = 0 wäre Var(X t ) = ∞, was für einen schwach stationären Prozess(X t ) per Definition ausgeschlossen wird. Dies zeigt die Notwendigkeit von (5.2.5).Dass (5.2.5) auch hinreichend ist wollen wir hier nicht beweisen. Eine weitere äquivalenteCharakterisierung von (5.2.5), die man im Beweis benötigt, lautet: Alle Nullstellen z ∈ C vonΦ(z) = 1 − α 1 · z − · · · − α q · z q sind betragsmäßig größer als 1.5.2.1 Der Prozess (X 2 t )Die starke Korrelation der Quadrate (X 2 t ), die wir im SP500 Beispiel erkannt haben, ist ineinem ARCH(q) Prozess (X t ) vorhanden:Definieren wir W t = X 2 t − σ 2 t , so gilt E(W t ) = 0 und mit (5.2.1)d. h. (X 2 t ) besitzt eine autoregressive Struktur.X 2 t = α 0 + α 1 · X 2 t−1 + · · · + α q · X 2 t−q + W t , (5.2.7)5.3 GARCH(p, q) ModelleAus den Bedürfnissen der Praxis entstanden zahlreiche Erweiterungen des ARCH Modells Eszeigt sich etwa bei Finanzreihen, dass die Korrelation der Quadrate weit in die Vergangenheitzurückreicht, d. h. für eine gute Schätzung ist ein großes q von Nöten.Eine sparsamere Parametrisierung erlaubt dagegen das verallgemeinerte ARCH Modell derOrdnung (p, q) (kurz: GARCH(p, q)). Wir gehen wieder von X t = σ t · N t aus und definierenden Volatilitätsprozess alsfür alle t ∈ Z. Wir fordern dabeiq∑p∑σt 2 = α 0 + α i · Xt−i 2 + β i · σt−i 2 (5.3.1)i=1i=1α 0 > 0, α i ≥ 0 für alle i = 1, . . . , q und β j ≥ 0 für alle j = 1, . . . , p (5.3.2)um σ 2 t > 0 zu gewährleisten.Der Fall p = 0 entspricht offenbar dem ARCH(q) Modell (also ARCH(q) ≡ GARCH(0, q)).Satz 5.3.1 Für das GARCH(p,q) existiert genau dann eine schwach stationäre Lösung (X t ),wennq∑ p∑α i + β i < 1 (5.3.3)i=1i=148