Zeitreihenanalyse mit R

für alle t ∈ Z gilt. Dabei sei der Innovationsprozess (N t ) i. i. d. und standardnormalverteilt,und zudem sei N t unabhängig von σ t für jedes t ∈ Z. Es wird außerdemα 0 > 0 und α i ≥ 0 für alle i = 1, . . . , q (5.2.2)angenommen, damit der Volatilitätsprozess (σ 2 t ) positiv ist.Gemäß (5.1.5) giltVar(X t | X t−1 , X t−2 , . . . ) = σ 2 t = α 0 + α 1 · X 2 t−1 + · · · + α q · X 2 t−q,was auch die Namensgebung erklärt: Die bedingte Varianz von X t , gegeben die Vergangenheit,wird autoregressiv (d. h. abhängig von der Vergangenheit) modelliert. Wir beachten aber, dassim Fall α 1 = · · · = α q = 0 der Homoskedastische Fall vorliegt.Die Standardnormalverteilungsannahme an den Innovationsprozess (N t ) sichert sogar, dassX t | X t−1 , X t−2 , . . . , X t−q ∼ N (0, α 0 + α 1 · X 2 t−1 + · · · + α q · X 2 t−q) (5.2.3)gilt. Das heißt, die bedingte Verteilung von X t , gegeben die Vergangenheit, ist eine Normalverteilungmit Mittelwert 0 und Varianz σ 2 t . Wir beachten aber, dass X t selber nicht normalverteiltist.Die Normalverteilungsannahme an die (N t ) ist nicht wesentlich für ARCH-Effekte und wirkönnten auch einen beliebigen WN(0, 1) Prozess für (N t ) zulassen. Der Einfachheit halberbleiben wir aber bei einer i. i. d. N (0,1) Folge.Für den Fall q = ∞ müssen wir wie gewohntfordern, um die Konvergenz sicher zu stellen.∞∑|α i | < ∞ (5.2.4)i=1Wie schon bei ARMA Prozesses stellt sich die natürliche Frage, unter welchen Voraussetzungenan die Parameter eine schwach stationäre Lösung (X t ) der Gleichung (5.2.1) existiert. Diebefriedigende Antwort liefert der folgende Satz.Satz 5.2.2 Es existiert genau dann eine schwach stationäre Lösung (X t ) von (5.2.1), wenngiltq∑α i < 1. (5.2.5)i=1Proof. Die Notwendigkeit von (5.2.5) lässt sich einfach beweisen, indem wir Var(X t ) berechnen.Aufgrund von E(X t ) = E(N t · σ t ) = E(N t ) · E(σ t ) = 0 istVar(X t ) = E(X 2 t )= E(Nt 2 ) ·E(σt 2 )} {{ }=1= α 0 + α 1 · E(Xt−1) 2 + · · · + α q · E(Xt−q)2= α 0 + α 1 · Var(X 2 t−1) + · · · + α q · Var(X 2 t−q).47