Zeitreihenanalyse mit R

Ein naheliegender Ansatz für (X t ) t∈Z istX t = N t · σ t (5.1.6)mit einer i. i. d. Folge von standardnormalverteilten Zufallsgrößen (N t ), so dass N t auch unabhängigvon σ t ist für jedes t ∈ Z. Den Prozess (N t ) nennen wir auch Innovationsprozess.Eine einfache Methode ist es, den Varianzprozess als Funktion der Vergangenheit modellieren,d. h. jedes σ 2 t hat die Gestaltfür eine Funktion f.σ 2 t = f(X t−1 , X t−2 , . . . ) (5.1.7)Setzten wir die Momentenannahme E(σ 2 t ) < ∞ voraus, so gilt zum einenE(X t | X t−1 , X t−2 , . . . ) = E(σ t · N t | X t−1 , X t−2 , . . . )= σ t · E(N t | X t−1 , X t−2 , . . . )= σ t · E(N t )= 0denn σ t ist messbar bzgl. X t−1 , X t−2 , . . . und N t ist N (0, 1)-verteilt und unabhängig vonX t−1 , X t−2 , . . . . Wir erhaltend. h. (5.1.5).Var(X t | X t−1 , X t−2 , . . . ) = E(X 2 t | X t−1 , X t−2 , . . . )= E(σ 2 t · N 2 t | X t−1 , X t−2 , . . . )= σ 2 t · E(N 2 t | X t−1 , X t−2 , . . . )= σ 2 t · E(N 2 t )= σ 2 t ,Vor der Einführung von ARCH Modellen mittelte man die Quadrate x 2 t−1 , x2 t−2 , . . . in einemZeitfenster der Breite B, d. h. man setztef(x t−1 , x t−2 , . . . ) = 1 B∑B · x 2 t−i. (5.1.8)i=15.2 ARCH(q) ModellARCH Modelle machen den Ansatz, die Summe in (5.1.8) noch zu gewichten. Durch die „Erfindung“dieses Modells im Jahr 1982 gelangte Robert F. Engle in 2003 an den Nobelpreis fürWirtschaftswissenschaften.Definition 5.2.1 Ein Prozess X = (X t ) t∈Z heißt autoregressiver, bedingt heteroskedastischerProzess der Ordnung q (kurz: ARCH(q)), fallsX t = N t · σ t mit σ 2 t = α 0 + α 1 · X 2 t−1 + α 2 · X 2 t−2 + · · · + α q · X 2 t−q (5.2.1)46