Zeitreihenanalyse mit R

Schätzer für den Zeitpunkt n + 1 von X durcĥX n+1 = φ · X n (5.1.1)gegeben (wobei φ im Anwendungsfall durch einen Schätzer ̂φ ersetzt werden muss).Die bedingte Varianz des Einschrittprognosefehlers ist in diesem FallE((X n+1 − ̂X n+1 ) 2 | X 1 , . . . , X n ) = E(W 2 n+1 | X 1 , . . . , X n ) = E(W 2 n+1) = σ 2 , (5.1.2)d. h. konstant gleich σ 2 . Die gleiche Rechnung könnten wir für ein AR(p) Modell durchführen:Auch hier ist die bedingte Varianz des Einschrittprognosefehlers konstant σ 2 .Beachten wir, dass hiergilt, so können wir (5.1.2) auch alsschreiben.̂X n+1 = E(X n+1 | X n , X n−1 , . . . ) (5.1.3)Var(X n+1 | X n , X n−1 , . . . ) = σ 2 (5.1.4)Diese theoretische Überlegung lässt sich auch empirisch überprüfen, etwa indem man eineAR(2) Simulation schrittweise an ein AR(2) Modell fittet. Zum Vergleich zeigt Abbildung 5.2den Einschrittprognosefehler, wenn man die SP500 Zeitreihe aus Abbildung 5.1 schrittweise anein AR(2) Modell fittet.0 2 4 6 8 10 120 10 20 30 40 500 500 1000 1500 2000 2500 30000 500 1000 1500 2000 2500Abbildung 5.2: Verlauf des Einschrittprognosefehlers einer AR(2) Simulation und von SP500(schrittweise an ein AR(2) Modell gefittet).Für ARMA Modell ist die bedingte Varianz von X t , gegeben die Vergangenheit, konstant. DasZiel der folgenden Modellbildung ist es, die bedingte Varianz (5.1.4) variabel zu gestalten, d. h.wir hätten gerne einen Prozess (X t ), derVar(X t | X t−1 , X t−2 , . . . ) = σ 2 t (5.1.5)erfüllt. (σ 2 t ) soll dabei eine (nichtkonstante) Folge von Zufallsgrößen sein, den wir als Volatilitätsprozess(Varianzprozess) bezeichnen.45