Zeitreihenanalyse mit R

5 GARCH-Modell5.1 Heteroskedastische ModelleKurse von Finanzmarkttiteln sind meist starken und in ihrer Amplitude nicht konstantenSchwankungen unterworfen: Perioden mit hektischen Kursausschlägen werden von ruhigen Periodenabgelöst, d. h. Perioden in denen die Schwankungen geringer sind. Innerhalb einer Periodesind die Amplituden der Ausschläge positiv autokorreliert: Hohe Ausschläge werden mitgroßer Wahrscheinlichkeit von hohen Ausschlägen gefolgt und niedrige Ausschläge mit hoherWahrscheinlichkeit von niedrigen.Mit anderen Worten: Die bedingte Varianz des Einschrittprognosefehlers ist nicht konstant(das wäre der homoskedastische Fall) sondern variabel (das nennen wir heteroskedastischesVerhalten). Bei Hochfrequentierten Daten (z. B. Tagesdaten) tritt der heteroskedastische Fallhäufig ein.Beispiel 5.1.1 Die Renditen des Standard & Poor’s 500 Aktienindex aus den 90er Jahrenweisen drei Perioden auf: Im zweitel Drittel des Jahrzehnts sind die Ausschläge geringer undim letzten Drittel sehr hoch, vgl. Abbildung 5.1.−6 −4 −2 0 2 40 500 1000 1500 2000 2500Abbildung 5.1: Renditen des SP500 Aktienindex (1990 bis 1999).In ARMA Modellen existiert ein solches Verhalten nicht, denn sie sind homoskedastisch. Wirbetrachten dazu den einfachsten Fall des AR(1) Modelles.Beispiel 5.1.2 (Einschrittprognosefehler im AR(1) Modell) Sei X ein AR(1) Prozess, etwaX t = φ · X t−1 + W tmit (W t ) ∼ WN(0, σ 2 ). Haben wir eine Beobachtung x 1 , . . . , x n gegeben, so ist der beste lineare44