Zeitreihenanalyse mit R

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Mittels des Regressionsansatzesx t = b + a 1 x t−1 + a 2 (x t−1 − x t−2 ) + · · · + a p+1 (x t−p − x t−p−1 )können nun KQS-Schätzer â 1 , . . . , a p+1 ˆ bestimmt werden; und wir können unsere Hypotheseformulieren alsH: a 1 = 1,und den Test anhand von â 1 durchführen. Leider besitzt â 1 unter der Hypothese keine Standardverteilung,die Statistik liegt nur vertafelt vor. Als Alternative wird üblicherweise K:|a 1 | < 1 gewählt; also (Trend-)Stationarität.Dieser Test wurde von Dickey und Fuller vorgeschlagen, und ist als adf.test (AugmentedDickey-Fuller-Test) in R im Paket tseries enthalten.4.2.2 Test auf (Trend-)Stationarität: KPSS-TestAls Gegenstück zum ADF-Test lernen wir nun einen Test kennen, dessen Hypothese ist, einevorgelegte Zeitreihe sei (Trend-)stationär. Beide Tests zusammen können also signifikantangeben, ob Trend- oder Differenzen-Stationarität vorliegt.Wir beschreiben zunächst nur den Test auf Stationarität; einen Test auf Trend-Stationaritäterhält man durch Regression eines linearen Trends, und Betrachtung der Residuen. DemKwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Test liegt die Idee zugrunde, dass nach der Beveridge-Nelson-Zerlegung jeder Differenzen-stationäre Prozess eine Random-Walk-Komponente besitzt. Da dieübrigen Komponenten stationär bzw. deterministisch sind, besitzen diese eine konstante Varianz;die Varianz der RW-Komponente wächst jedoch linear in t. Betrachte die TeststatistikS T =∑ Tt=1Xt2T 2Ĵ ,Twobei Ĵ T ein Schätzer für die sogenannte langfristige Varianz ist; die hier an die Stelle von σ 2treten muss, aber von gleicher Größenordnung ist. Besitzt X t eine RW-Komponente, so wachsenZähler und Nenner mit der gleichen Ordnung; im stationären Fall hingegen konvergiert dieVarianz der Teststatistik gegen Null, und somit auch die Teststatistik selbst in Wahrscheinlichkeit.Auch hier liegen die Werte der Teststatistik nur vertafelt vor, und auch dort wurden nur einigekritische Werte berechnet.Der in R implementierte kpss.test aus dem Paket tseries liefert deshalb nur p-Werte zwischen0.01 und 0.1; bei potentiell größeren oder kleineren Werten zusammen mit einer Warnung,dass der tatsächliche p-Wert davon abweicht. Standardmäßig testet R auf reine Stationarität,wird ein linearer Trend vermutet, so muss der Test mit dem zusätzlichen Argumentnull="Trend" aufgerufen werden.4.2.3 Abschließende BemerkungenWir haben nun zahlreiche Verfahren kennengelernt, wie Zeitreihen modelliert werden können.Welche Methode angewendet wird, sollte stets durch vorhandenes Hintergrundwissen über42
mögliche Trends oder Saisoneinflüsse; sowie durch Betrachtung des Graphen entschieden werden.Schließlich mag dies auch immer von der Zielsetzung abhängen, ob man an einer elegantenDarstellung oder vielleicht einer weitreichenden Prognose interessiert ist.Eine klassiche Zerlegung, wie auch Differenzierung können beide geeignet sein, Saison undTrend auszublenden, um zu einem stationären Prozess zu gelangen. Eine Richtlinie kann hierwohl nur die Erfahrung geben.4.3 R-Befehleadf.test Augmented Dickey-Fuller Test. Enthalten im Paket tseries.Hypothese: Prozess ist Differenzen-stationär, d.h. integriert von der Ordnung 1,Alternative: Prozess ist Trend-stationär.kpss.test KPSS-Test. Enthalten im Paket tseries.Hypothese: Prozess ist stationär (Standard) bzw. Trend-stationär (Option null="Trend")Alternative: Prozess ist Differenzen-stationär.43
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