Zeitreihenanalyse mit R
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Mittels des Regressionsansatzesx t = b + a 1 x t−1 + a 2 (x t−1 − x t−2 ) + · · · + a p+1 (x t−p − x t−p−1 )können nun KQS-Schätzer â 1 , . . . , a p+1 ˆ bestimmt werden; und wir können unsere Hypotheseformulieren alsH: a 1 = 1,und den Test anhand von â 1 durchführen. Leider besitzt â 1 unter der Hypothese keine Standardverteilung,die Statistik liegt nur vertafelt vor. Als Alternative wird üblicherweise K:|a 1 | < 1 gewählt; also (Trend-)Stationarität.Dieser Test wurde von Dickey und Fuller vorgeschlagen, und ist als adf.test (AugmentedDickey-Fuller-Test) in R im Paket tseries enthalten.4.2.2 Test auf (Trend-)Stationarität: KPSS-TestAls Gegenstück zum ADF-Test lernen wir nun einen Test kennen, dessen Hypothese ist, einevorgelegte Zeitreihe sei (Trend-)stationär. Beide Tests zusammen können also signifikantangeben, ob Trend- oder Differenzen-Stationarität vorliegt.Wir beschreiben zunächst nur den Test auf Stationarität; einen Test auf Trend-Stationaritäterhält man durch Regression eines linearen Trends, und Betrachtung der Residuen. DemKwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Test liegt die Idee zugrunde, dass nach der Beveridge-Nelson-Zerlegung jeder Differenzen-stationäre Prozess eine Random-Walk-Komponente besitzt. Da dieübrigen Komponenten stationär bzw. deterministisch sind, besitzen diese eine konstante Varianz;die Varianz der RW-Komponente wächst jedoch linear in t. Betrachte die TeststatistikS T =∑ Tt=1Xt2T 2Ĵ ,Twobei Ĵ T ein Schätzer für die sogenannte langfristige Varianz ist; die hier an die Stelle von σ 2treten muss, aber von gleicher Größenordnung ist. Besitzt X t eine RW-Komponente, so wachsenZähler und Nenner <strong>mit</strong> der gleichen Ordnung; im stationären Fall hingegen konvergiert dieVarianz der Teststatistik gegen Null, und so<strong>mit</strong> auch die Teststatistik selbst in Wahrscheinlichkeit.Auch hier liegen die Werte der Teststatistik nur vertafelt vor, und auch dort wurden nur einigekritische Werte berechnet.Der in R implementierte kpss.test aus dem Paket tseries liefert deshalb nur p-Werte zwischen0.01 und 0.1; bei potentiell größeren oder kleineren Werten zusammen <strong>mit</strong> einer Warnung,dass der tatsächliche p-Wert davon abweicht. Standardmäßig testet R auf reine Stationarität,wird ein linearer Trend vermutet, so muss der Test <strong>mit</strong> dem zusätzlichen Argumentnull="Trend" aufgerufen werden.4.2.3 Abschließende BemerkungenWir haben nun zahlreiche Verfahren kennengelernt, wie Zeitreihen modelliert werden können.Welche Methode angewendet wird, sollte stets durch vorhandenes Hintergrundwissen über42