Zeitreihenanalyse mit R

Aus der Definition erhält man nun durch Einsetzen und Erkennen einer Teleskopsumme:t∑X t = X 0 + ∆X jj=1t∑= X 0 +(b + [Ψ(1) + (B − 1) ˜Ψ(B)]W)jj=1t∑ t∑= X 0 + b · t + Ψ(1) W j + (B − 1) ˜Ψ(B)W jj=1 j=1Wegen (4.1.1) ist der letzte Term tatsächlich stationär, da die Koeffizienten von ˜Ψ absolutsummierbar sind.4.1.1 ARIMA-ModelleBei Differenzen-stationären Prozessen kann im Allgemeinen angenommen werden, dass derstationäre Prozess ein ARMA-Prozess ist. Solche Prozesse heißen integrierte ARMA-Prozesse,kurz ARIMA(p,d,q)-Prozesse, wobei der Parameter d angibt, wie oft der Prozess differenziertwerden muss, bis er stationär wird.Definition 4.1.4 (X t ) heißt ARIMA(p,d,q)-Prozess, wenn Polynome Φ und Θ vom Grad pbzw. q existieren, sodass für jedes t die Darstellungmit (W t ) WN gilt.Φ(B)(1 − B) d X t = Θ(B)W tDie R-Funktion arima passt ein ARIMA-Modell an gegebene Zeitreihen an. Liegt augenscheinlichzusätzlich ein linearer Trend vor, so kann dieser durch Angabe von xreg=time(Zeitreihe)mit bestimmt werden. Diese lineare Regression wird durchgeführt, bevor der Prozess differenziertwird.4.2 Tests auf (In-)Stationarität4.2.1 Test auf Differenzen-Stationarität: Dickey-Fuller-TestEin Ansatz, einen Test zu entwickeln, ist folgender: Wir nehmen als Hypothese, eine vorgelegteZeitreihe sei Differenzen-stationär. Wenn der stationäre Teil des Differenzenprozesses eineAR(p)-Darstellung besitzt, so kann der Prozess selbst als AR(p+1) Prozess (mit lin. Trend)der Form(1 − B)Φ(B)X t = b + (1 − B)(1 − φ 1 B − · · · − φ p B p )X t = W tangesehen werden. Dies formen wir um zuX t = b + X t−1 + φ 1 (1 − B)X t−1 + · · · + φ p (1 − B)X t−p + W t= b + X t−1 + φ 1 ∆X t−1 + · · · + φ p ∆X t−p + W t .41