Zeitreihenanalyse mit R

Da b = 0 nicht ausgeschlossen wurde, ist auch jeder schwach stationäre Prozess, der eineMA(∞)-Darstellung besizt, Trend-stationär.Definition 4.1.2 (Differenzen-stationär)(X t ) heißt integriert der Ordnung 1 oder Differenzen-stationär, falls ∆X t = X t − X t−1 dieDifferenzengleichung∆X t = (1 − B)X t = b + Ψ(B)W tmit Ψ(1) ≠ 0, (W t ) ∼ W N(0, σ 2 ) und ∑ ∞i=0 i |Ψ i | < ∞ erfüllt.Die Bedingung Ψ(1) ≠ 0 heißt, dass 1 keine Nullstelle von Ψ ist; dies schließt also gerade aus,dass (X t ) Trend bzw. schwach stationär ist, da sonst der Linearfaktor (1 − B) auftaucht, dennfür X t = a + b · t + ˜Ψ(B)W t gilt∆X t = (b) + ˜Ψ(B)W t − ˜Ψ(B)W t−1 = (b) + ˜Ψ(B)W t − ˜Ψ(B)BW t= (b) + (1 − B) ˜Ψ(B)W t ,hierbei entspricht das Polynom (die Potenzreihe) (1 − B) ˜Ψ(B) dem Polynom Ψ(B) in derDefinition.Die erweiterte Summierbarkeitsbedingung sorgt dafür, dass X t = X 0 + ∑ ti=1 ∆X i existiert(s.u.) Die allgemeine Struktur Differenzen-stationären Prozesen liefert die Beveridge-Nelson-Zerlegung:Satz 4.1.3 (Beveridge-Nelson-Zerlegung) Jeder Differenzen-stationäre Prozess (X t ) t≥0 besitztdie folgende Zerlegung:t∑X t = X 0 + b · t +Ψ(1) W} {{ }j + ˜Ψ(B)W 0 − ˜Ψ(B)W t .} {{ }linearer Trendj=1} {{ } stationäre KomponenteRandom WalkDie Reihe ˜Ψ erhält man dabei aus der Beziehung Ψ(z) = Ψ(1) + (z − 1) ˜Ψ(z), z ∈ C.Da bei Differenzen-stationären Prozessen gerade Ψ(1) ≠ 0, besitzen diese also tatsächlich stetseinen Random-Walk-Anteil.Beweis. Die Existenz und Eindeutigkeit von ˜Ψ erhält man durch Taylorentwicklung von Ψ umden Entwicklungspunkt 1. Man sieht, dass ˜Ψ j = ∑ ∞i=j+1 Ψ i , und damit auch∣∞∑∣ ˜Ψ∣ ∣∣ ∑ ∞ ∞∑ ∣∣∣∣∣ ∞∑ ∞∑∞∑j = Ψ i ≤ |Ψ i | = j |Ψ j | < ∞. (4.1.1)j=0 j=0 ∣i=j+1j=0 i=j+1 j=040