Zeitreihenanalyse mit R

4 ARIMA-ModelleDieses Kapitel widmet sich der Untersuchung von nicht schwach-stationären Zeitreihenprozessen;insbesondere von Zeitreihen, die einen stochastischen Trend aufweisen, der sich nicht alseinfache Funktion der Zeit beschreiben lässt.4.1 Integrierte ProzesseErinnern wir uns an die Zeitreihe der Umlaufrenditen inländischer Inhaberschuldverschreibungen.Augenscheinlich besitzt diese Zeitreihe einen Trend, das mittlere Niveau ändert sichlangfristig. Einen linearen Trend anzunehmen, würde jedoch den ökonomischen Gesetzmäßigkeitenwidersprechen, da die Zinssätze keine negativen Werte annehmen können, und auchgewisse Grenzen in der Vergangenheit nie überschritten haben. Vielmehr können wir hier voneinem stochastischen Trend sprechen, das heißt, der Trend kann durch einen Random Walkbeschrieben werden.Umlaufrendite inländischer InhaberschuldverschreibungenZinssatz3 4 5 6 7−5 −4 −3 −2 −1 0 11995 2000 2005 2010Time0 20 40 60 80 100Abbildung 4.1: Umlaufrendite inländischer Inhaberschuldverschreibungen, daneben 100 Realisierungeneines RWZur Unterscheidung nicht schwach-stationärer Zeitreihen führen wir zwei Begriffe ein; wir beschränkenuns dabei auf den Fall, dass die Zeitreihe durch einmaliges Differenzieren (d.h. Bildender Zeitreihe ∆X t = X t − X t−1 ) in eine schwach stationäre Zeitreihe überführt werden kann.Im Folgenden ist die Zeitparametermenge T üblicherweise die Menge der natürlichen Zahlen.Definition 4.1.1 (Trend-stationär)(X t ) heißt Trend-stationär, falls für jedes t ∈ T die DarstellungX t = a + b · t + Ψ(B)W tmit ∑ ∞i=0 |Ψ j | < ∞ und (W t ) ∼ W N(0, σ 2 ) gilt.39