Zeitreihenanalyse mit R

Dabei ist (X t ) stationär genau dann, wenn der AR-Teil stationär ist, wenn also Φ(z) ≠ 0 füralle z ∈ C mit |z| = 1. Ist (X t ) invertierbar, so existiert eine Darstellung als AR(∞)-Prozess,mit AR-Polynom ˜Φ, gegeben durch˜Φ(z) = Φ(z)θ(z) .Ist (X t ) kausal, so existiert eine Darstellung als MA(∞)-Prozess, mit MA-Polynom Ψ, gegebendurchΨ(z) = Φ(z)θ(z) .Ein ARMA(p,q)-Modell benötigt bei gleichem AIC zumeist weniger Parameter als ein reinesAR- oder MA-Modell; bedenke, dass es zugleich einem AR(∞) wie einem MA(∞)-Modellentsprechen kann (s.u). Zudem kann eine gemeinsame Nullstelle von Φ und Θ gekürzt werden;die Definitionsgleichung ist in einem solchen Fall redundant.3.4.1 ACVF eines kausalen ARMA(1,1)-ProzessesSei X t gegeben durch(1 − φB)X t = (1 + θB)W t .Da der Prozess kausal ist, können wir schreibenX t = (1 − φB) −1 (1 + θB)W t( ∞)∑= φ i B i (1 + θB)W ti=0()∞∑∞∑= 1 + φ i+1 B i+1 + φ i θB i+1 W ti=0i=0∞∑= W t + (φ + θ) φ i−1 W t−i ,i=1und erhalten somitsowieγ(0) = Var(X 0 ) = σ 2 + σ 2 (φ + θ) 2 (1 − φ 2 ) −1Die ACF berechnet sich damit zuCov(X 0 , X h ) =(φ + θ)φ h−1 σ 2 + (φ + θ) 2 σ 2 φ h (1 − φ 2 ) −1 .ϱ(h) = φh−1 (φ + θ)(1 + φθ)1 + φθ + θ 2 ,insbesondere gilt ϱ(h) = φ · ϱ(h − 1). Dies entspricht gerade dem von einem AR(1)-Prozessbekannten Verhalten der ACF für h > 1.36