Zeitreihenanalyse mit R

zu minimieren. Das Problem dabei ist, dass die ŵ t nicht beobachtet wurden, sondern gerade die1-Schritt-Prognose-Fehler sind, und rekursiv berechnet werden müssen. Dafür wiederum müssenStartwerte für θ 1 , . . . , θ q vorgegeben werden; sowie Startwerte w −q = · · · = w 0 = 0. Damitwerden zunächst alle ŵ t berechnet, und die so entstehende Summe nun bzgl. θ 1 , . . . , θ q minimiert.Daraus können dann neue Schätzwerte für ŵ t bestimmt werden, und die so entstehendeSumme minimiert werden. Das Verfahren wird iteriert.Ein alternativer, von Durbin vorgeschlagener Ansatz ist, zunächst ein AR(p) Modell hoherOrdnung anzupassen; darin die empirischen Fehler ŵ t (die Residuen nach Modellanpassung)zu bestimmen, und dann einmalig S zu minimieren.In R berechnet arima(Zeitreihe, order=(0,0,q), include.mean=T)$coef die Koeffizienteneines MA(q)-Modells mittels Maximum-Likelihood.3.2.3 Optimale Prognose in MA(q)-ModellenEine gleichmäßig bester linearer erwartungstreuer Schätzer für X t , gegeben (W t−k ) k≥1 , istˆX t = θ 1 W t−1 + · · · + θ q W t−1 .Weitergehende Prognosen erhält man im Gegensatz zu AR(p)-Modellen nicht durch Iterieren,sondern es istˆX t+j = E(W t+j + θ 1 W t+j−1 + · · · + θ j W t ) + θ j+1 W t−1 + . . . θ q W t+j−q= 0 + +θ j+1 W t−1 + . . . θ q W t+j−q ,insbesondere also ˆX t+j = 0 für j ≥ q.Dies beweist man ähnlich wie für AR(p)-Modelle.Alternativ kann für invertierbare Prozesse die AR(∞)-Darstellung gewählt werden, und dortwie üblich eine Vorhersage berechnet werden.3.3 Modellwahl: Akaike Information CriterionEin allgemeines Prinzip in der Modellierung ist die Sparsamkeit: Je mehr freie Parameter einModell besitzt, umso genauer kann es zwar an die Daten angepasst werden, verliert damit aberzugleich an Vorhersagekraft (jede weitere Beobachtung würde eine große Zahl von Parameternändern), und ist in diesem Sinne nicht robust.Man denke an die Temperaturkurve im Verlauf eines Jahres. Sie wird bis zum Sommer ansteigen,danach abfallen. Dieser Sachverhalt wird durch eine periodische, stückweise lineareFunktion (Dreiecksfunktion), oder eine Sinuskurve ausreichend beschrieben. Nimmt man hingegenein Polynom vom Grad 364, so kann dieses perfekt an die Daten angepasst werden, esstellt aber keinen typischen Verlauf dar, sondern gibt stattdessen bspw. HöchsttemperaturenMitte April, sowie einen kalten September an, was in einem beliebigen Jahr nur mit sehr geringerWahrscheinlichkeit zutrifft; der grobe Verlauf Sommer-Winter wird jedoch in jedem Jahrwieder auftauchen. Sprich, die Dreiecksfunktion spiegelt den Temperaturverlauf in jedem Jahrwieder.34