Zeitreihenanalyse mit R

konvergierte die Summe der Koeffizienten). Dies erklärt das Nichtverschwinden der ACF eineskausalen AR-Prozesses.Eine analoge Aussage gilt auch für MA-Prozesse, die entsprechende Eigenschaft heißt hier Invertierbarkeit.Dazu schreiben wir mit Hilfe des Back-Shift-Operators die Differenzengleichungeines MA(q)-Prozesses alsX t = Θ(B)W t .Definition 3.2.3 (Invertierbare MA(q)-Prozesse)Ein MA(q)-Prozess (X t ) heißt invertierbar, falls (X t ) eine Darstellung als AR(∞)-Prozessbesitzt, d.h. ∑ ∞i=1 |φ i | < ∞ und∞∑X t = − φ i X t−i + W t .i=1Satz 3.2.4 Ein MA(q)-Prozess ist invertierbar genau dann, wenn Θ(z) ≠ 0 für alle z ∈ C mit|z| ≤ 1. Dann berechnen sich die Koeffizienten der AR(∞)-Darstellung aus1∞Θ(z) = 1 + ∑φ i z i .Daraus folgt, dass die PACF eines MA(q)-Prozesses überall von Null verschiedene Einträgebesitzt, da sie der PACF eines AR(∞)-Prozesses entspricht.Auf eine exakte Berechung der PACF, die insbesondere exponentielles Abfallen nachweisenwürde, verzichten wir hier. Die Berechnung erfolgt mittels der Yule-Walker-Gleichungen.Satz 3.2.5 Die PACF des MA(1)-Prozesses X t = W t + θW t−1 ist gegeben durchi=1(−θ) hϕ(h) = −1 + θ 2 + · · · + θ 2h = (1 − θ 2 )−(−θ)h 1 − θ 2(h+1)für alle h ≥ 1, erfüllt also ϕ(h) = c(−θ) h für eine geeignete Konstante c.3.2.2 Schätzen der Parameter θ 1 , . . . , θ nGab es bei einem AR-Modell zahlreiche Ansätze, die Parameter zu schätzen, so ist dies beieinem MA(q)-Modell weitaus schwieriger, weshalb zumeist auf AR-Modelle zurückgegriffenwird, zumal invertierbare MA-Modelle eine AR(∞)-Darstellung besitzen. MA-Modelle werdenhauptsächlich aus Gründen der Parametereffizienz betrachtet, dazu kommen wir jedoch später.Wie aber werden nun die Parameter geschätzt? Eine Möglichkeit sind Maximum-Likelihood-Schätzungen, wobei hierfür angenommen wird, dass die White Noise unabhängig identischnormal verteilt ist. Diese Einschränkung sollte keine Bauchschmerzen bereiten, da wir ja nur einModell suchen, dass die Daten beschreiben kann, nicht aber die wirklichen Gesetzmäßigkeitenhinter den Daten ergründen können.Ein andererer Ansatz ist die Minimierung der Summe der quadrierten 1-Schritt-Prognose-Fehler, konkret ist also die Funktionn∑S(θ 1 , . . . , θ q ) = (x t − (θ 1 ŵ t−1 + · · · + θ q ŵ t−q )) 2t=133