Zeitreihenanalyse mit R

Damit folgt für die ACF⎧⎪⎨ 1 h = 0ϱ(h) =θh = 11+θ⎪⎩2 0 h > 1Allgemein gilt:Satz 3.2.2 Die ACF eines MA(q)-Prozesses ist gegeben durch⎧1 h = 0⎪⎨ ∑ q−kϱ(h) =i=0 θ iθ i+k ∑q h = 1, . . . , qi=0⎪⎩θ2 i0 h > q(3.2.1)wobei θ 0 = 1.Der Beweis bleibt dem Leser zur Übung überlassen.Werfen wir nun einen Blick auf die eACF und ePACF der oben gezeigten Realisierung einesMA(1)-Prozesses. Daran mag deutlich werden, inwiefern der MA(1)-Prozess sich invers zumAR(1)-Prozess verhält.Series xSeries xACF0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Partial ACF−0.2 0.0 0.2 0.40 5 10 15 20 25 30Lag0 5 10 15 20 25 30LagAbbildung 3.3: Empirische ACF und PACF der obigen ReiheDas Verhalten von ACF und PACF ist also bei diesen Prozessen gerade vertauscht. Steigenwir nun etwas tiefer in die wechselseitigen Beziehungen ein.3.2.1 Invertierbare MA-ProzesseObige Definition lässt sich auf q = ∞ erweitern, falls wir zusätzlich fordern, dass ∑ ∞i=1 |θ i | < ∞.Erinnern wir uns an kausale AR-Prozesse, so stellen wir fest, dass die Kausalitätseigenschaftgerade besagt, dass der Prozess als MA(∞)-Prozess dargestellt werden kann (insbesondere32