Zeitreihenanalyse mit R

Definition 3.2.1 (Moving Average-Prozess)(X t ) t∈Z heißt Moving Average-Prozess der Ordnung q, kurz MA(q)-Prozess, falls jedes X t dieDarstellungX t = W t + θ 1 W t−1 + · · · + θ q W t−qfür (W t ) W N(0, σ 2 ) und Konstanten θ 1 , . . . , θ q mit θ q ≠ 0 besitzt.Der Name erklärt sich dadurch, dass der Prozess als gleitender Durchschnitt der zurückliegendenWhite Noise gebildet wird.MA(1)x−3 −2 −1 0 1 2 30 200 400 600 800 1000TimeAbbildung 3.2: Reihe mit 1000 Realisierungen eines MA(1)-ProzessesEin MA(q)-Prozess ist stets schwach stationär (ohne Voraussetzungen an (θ i ) 1≤i≤q !), da er eineLinearkombination unkorrelierter schwach stationärer Prozesse ist.Die ACF eines MA(1)-Prozess lässt sich leicht berechnen, es giltE(X t ) = 0für alle h ≥ 2.γ(0) = Var(W 1 + θW 0 ) = Var(W 1 ) + θ 2 Var(W 0 ) + 2Cov(W 1 , θW 0 ) = (1 + θ 2 )σ 2γ(1) = Cov(W 2 + θW 1 , W 1 + θW 0 ) = θCov(W 1 , W 1 ) = θσ 2γ(h) = Cov(W h+1 + θW h , W 1 + θW 0 ) = 031