Zeitreihenanalyse mit R

Definition 3.1.1 (Partielle Autokorrelationsfunktion)Sei (X t ) t∈T ein schwach stationärer Prozess. Die partielle Autokorrelationsfunktion ϕ(h) istfür h ≥ 1 definiert durchCov(X 2 , X 1 )ϕ(1) == ϱ(1)(Var(X 2 )Var(X 1 )) 1 2Cov ( )X h+1 − Pr[X h+1 | X 2 , . . . , X h ], X 1ϕ(h) =, h > 1.(Var(X h+1 − Pr[X h+1 | X 2 , . . . , X h ])Var(X 1 )) 1 2Man betrachtet also nur die Korrelationen zwischen X 1 und X h+1 , die verbleiben, wenn alleKorrelationen mit den dazwischenliegenden Variablen entfernt wurden, diese sind ja gerade inPr[X h+1 | X 2 , . . . , X h ] enthalten.Beispiel 3.1.2 (PACF eines AR(1)-Prozesses)Sei (X t ) t∈Z ein kausaler AR(1)-Prozess mit X t = φX t−1 + W t . Dann ist also für alle h ≥ 2Pr(X h+1 | X 2 , . . . , X h ) = φX h , und somitfür alle h > 1.ϕ(1) = corr(X 2 , X 1 ) = ϱ(1) = φϕ(h) = corr(X h+1 − Pr(X h | X 2 , . . . , X h−1 ), X 1 ) = corr(W t , X 1 ) = 03.1.3 Schätzung der PACFDie Vermutung, dass für beliebige AR(p)-Prozesse die Koeffizienten gerade den partiellen Autokorrelationenentsprechen, trifft nicht zu. Die partiellen Autokorrelationen sind betraglichdurch 1 beschränkt, die Koeffizienten nicht. Es gilt aber folgender Satz:Satz 3.1.3 Für einen AR(p)-Prozess gilt ϕ(p) = φ(p), und ϕ(h) = 0 für h > p.Dies zeigt eine analoge Rechnung zu oben.Dieser Satz liefert auch die Idee für eine alternative Definition der PACF (die obiger in derTat äquivalent ist, siehe [4], Satz 4.1.2.6):Definition 3.1.4 Die partielle Autokorrelation ϕ(h) ist der Koeffizient φ(h) von X t−h inPr[X h+1 | X 2 , . . . , X h ].Empirisch bedeutet dies, dass wir die ePACF berechnen können, indem wir sukzessive AR(h)-Modelle, h ≥ 1l an die Daten fitten. Mittels der Yule-Walker-Gleichungen berechnet sich dieempirische partielle Autokorrelationsfunktion dann als3.2 MA(q)-Modelle[ ]−1ˆϕ(h) = ˆΓh ˆγhWir lernen nun eine zweite wichtige Prozessklasse kennen, die sich in gewisser Weise invers zurKlasse der AR-Prozesse verhält. Es sind die sogenannten Moving-Average-Prozesse.h .30