Zeitreihenanalyse mit R

sondern nur eine Auswahl von Zufallsgrößen, bspw. (X t−1 , X t−2 ). Wir suchen also eine Linearkombinationa 0 + a 1 X t−1 + a 2 X t−2 mit der Eigenschaft, dassE[(X t − a 0 + a 1 X t−1 + a 2 X t−2 ) 2]minimal wird. Wir bezeichnen diese mitPr[X t | X t−1 , X t−2 ],wobei die Abkürzung Pr dadurch gerechtfertigt wird, dass wir hier gerade die Projektion vonX t auf den von 1, X t−1 , X t−2 erzeugten Unterraum des Hilbertraums L 2 (Ω, A, P) berechnen.Insbesondere hat sie die Eigenschaft, dassCov(X t − Pr[X t | X t−1 , X t−2 ], X t−i ) = 0für i ∈ {1, 2}, sie enthält also alle Korrelationen zwischen X t und X t−1 , X t−2 . Dies beispielhaftzur Einführung, die allgemeinen Schreibweisen und Beziehungen gelten natürlich analog.Beachte abschließend den Unterschied zum bedingten Erwartungswert! Dieser ist die Projektionauf den Unterraum L 2 (Ω, σ(X t−1 , . . . , X t−h+1 ), P), welcher wesentlich größer ist.3.1.2 Die partielle AutokorrelationsfunktionBetrachten wir die ACF eines AR(1)-Prozesses: Diese fällt exponentiell gegen Null ab, ist aberinsbesondere auch für Lags größer 1 positiv, obwohl wir aus der Struktur des Prozesses wissen,dass X t und X t−2 nicht direkt voneinander abhängen. Die Korrelation ergibt sich vielmehr,weil X t mit X t−1 , und X t−1 wiederum mit X t−2 korreliert ist. Die Autokorrelationsfunktionberücksichtigt also auch indirekte Korrelationen zwischen X t und X t−h .Zudem lässt sich anhand der ACF nicht einschätzen, wie der Parameter p zu wählen ist;p ∈ {1, 2}liefert eine qualitativ gleiche ACF.Theoretische ACF eines AR(1)−ProzessesTheoretische ACF eines AR(2)−ProzessesACF0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ACF0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.05 10 15Index5 10 15IndexAbbildung 3.1: Theoretische ACF: AR(1)-Prozesses, φ = 0.7, sowie AR(2)-Prozess, φ 1 = 1 undφ 2 = −0.25Deshalb suchen wir nun nach einer Funktion, welche nur direkte Korrelationen berücksichtigt,und mehr Aussagekraft für die Wahl eines geeigneten p besitzt; dies wird die partielleAutokorrelationsfunktion leisten.29