Zeitreihenanalyse mit R

3 ARMA-ModelleIn diesem Kapitel lernen wir Methoden kennen, ein geeignetes Modell für eine vorliegendeZeitreihe zu bestimmen; sowie zwei weitere Klassen von Modellen.3.1 Partielle Autokorrelationsfunktion3.1.1 Optimale lineare Prognose in AR-ModellenGegeben ein kausales AR(p)-ModellX t = φ 1 X t−1 + · · · + φ p X t−p + W tmit (W t ) ∼ W N(0, σ 2 ), können wir leicht einen gleichmäßig besten linearen erwartungstreuenSchätzer für X t , gegeben (X t−k ) k≥1 , bestimmen. Dabei nennen wir den linearen Schätzer ˆX teinen gleichmäßig besten, wenn er( ) 2E ˆXt − X tunter allen linearen Schätzern für alle denkbaren σ 2 minimiert.Es ist einfachˆX t = φ 1 X t−1 + · · · + φ p X t−p ,denn aufgrund der Kausalität sind W t und (X t−k ) k≥1 unkorreliert, also gilt für jeden weiterenlinearen erwartungstreuen Schätzer g = a 0 + a 1 X t−1 + a 2 X t−2 + . . .E (g − X t ) 2 = E(g − ˆX t + ˆX) 2t − X t(g − ˆX)tDie naheliegende Prognose= Var= Var+ 2Cov(g − ˆX t , ˆX t − X t ) + Var( ˆX t − X t )(g − ˆX t)+ 2Cov( g − ˆX t} {{ }= Var(g − ˆX)t + 0 + σ 2≥ E( ˆXt − X t) 2(= σ 2 )ˆx t+1|t = φ 1 x t + · · · + φ p x t−punkorreliert mit W t, W t ) + Var(W t )für beobachtete Zeitreihen, hinter denen wir ein AR(p)-Modell vermuten, ist also auch dietheoretisch beste (zumindest unter den linearen).Im Folgenden benötigen wir eine einfache Verallgemeinerung, nämlich einen gleichmäßig bestenlinearen erwartungstreuen Schätzer für X t , gegeben nicht die gesamte Prozessvergangenheit,28