Zeitreihenanalyse mit R

2.3.3 Turning Point TestWir sagen, die Beobachtung x 1 , . . . , x n besitzt einen Wendepunkt in i (1 < i < n), wennx i−1 < x i und x i > x i+1 gilt, oder wenn x i−1 > x i und x i < x i+1 gilt. Es sei T n die Anzahl derWendepunkte von x 1 , . . . , x n .Satz 2.3.2 Ist X 1 , . . . , X n eine i. i. d. Folge und die Verteilung von X 1 stetig, so giltT ∗ n = T n − ET n√Var(Tn )ET n = (n − 2) · 2316n − 29Var(T n ) =90d−→ N (0, 1)d. h. für große n ist T n approximativ N ((n − 2) · 23 , 16n−2990) verteilt.Ein großer Wert von T n −ET n deutet darauf hin, dass die Zeitreihe zu viel hin und her springt,um von einer i. i. d. Folge zu kommen. Ein kleiner Wert von T n −ET n deutet auf eine Korrelationzwischen benachbarten Beobachtungen hin. Satz 2.3.2 liefert einen plausiblen Test zum Niveauα für die HypotheseH : x 1 , . . . , x n stammt von einer i. i. d. Beobachtung. (2.3.5)Wir verwerfen H, wenn |T ∗ n| > Φ 1−α/2 ist. Φ 1−α/2 ist dabei das 1 − α/2-Quantil der Standardnormalverteilung(= qnorm(1 − α/2)).2.4 R-Befehleacf(x) Plottet die empirische Autokorrelationsfunktion (ACF) der Zeitreihe (oder des Vektors)x. Auf die Zahlenwerte können wir mit acf(x)$acf zugreifen.diff(x) Bildet aus x = (x[1], . . . , x[n]) den Differenzenvektor (x[2] − x[1], . . . , x[n] − x[n − 1])polyroot(t) Berechnet numerisch die Nullstellen des Polynoms z ↦→ t[1] + t[2] · z + · · · + t[n] · z n−1ar(x) Passt an x ein AR(p) Modell an. Optionale Argumente:Setzen wir aic = FALSE, so wird p = order.max als Ordnung gewählt, im Fall aic =TRUE wählt R das p ≤ order.max, so dass das gefittete Modell minimalen aic Wertbesitzt.Mit method geben wir an, wie die Koeffizienten φ 1 , . . . , φ p geschätzt werden sollen. Standardist "yule-walker", möglich sind noch "mle" (Maximum-Likelihood), "ols" (Minimierungder Fehlerquadrate)und "burg" (Burg’s Algorithmus).Box.test(x, lag) Führt einen Box-Pierce Test für x durch. Die Wahl von lag ist schwierig: Am Besten diep-Werte für lag = 1, . . . , 2 · √length(x)berechnen.Für einen Ljung-Box Test muss type = "Ljung-Box" gewählt werden.qnorm(1-a) Das 1-a-Quantil einer Standardnormalverteilung.qchisq(1-a,L) Das 1-a-Quantil einer χ 2 -Verteilung mit L Freiheitsgraden.27