Zeitreihenanalyse mit R

Satz 2.3.1 Ist (W t ) ∼ IID(µ, σ 2 ), und x 1 , . . . , x n eine Beobachtung von (W t ) mit eACF ̂ϱ n ,so gilt für alle h ≥ 1√ n · (̂ϱn (1), . . . , ̂ϱ n (h))d−→ N (0, 1) h für n → ∞. (2.3.1)Der Satz besagt, dass für große n die eACF (̂ϱ n (h)) h≥1 approximativ eine unabhängige Folgevon N (0, 1/n) Beobachtungen ist. Es fallen demnach approximativ 95% der Werte von ̂ϱ n (h)in das Intervall ±1.96/ √ n (denn qnorm(.975), das 1 − 0.975 = 2.5% Quantil der Standardnormalverteilung,ist in etwa gleich 1.96). Dieses Intervall wird in R im Plot der acf Funktionblau gestrichelt dargestellt.2.3.1 Box-Pierce TestStatt sich die ganze Folge (̂ϱ(h)) h≥1 anzuschauen, können wir auch die StatistikQ = n ·L∑h=1̂ϱ(h) 2 (2.3.2)betrachten, die für große n verteilt ist wie ∑ Lh=1 Y 2 h , mit (Y i) i. i. d. und standardnormalverteilt,d. h. für große n ist Q approximativ χ 2 L verteilt.Die HypotheseH : ̂ϱ(1) = · · · = ̂ϱ(L) = 0 (2.3.3)wird zum Niveau α verworfen, wenn Q > χ 2 L,1−α(= qchisq(1 − α, L)) ist.Für n < 100 arbeitet dieser Test nicht zufriedenstellend, ebenso ist die Wahl von L schwierig.Als Faustregel wählen wir L etwa als 2 · √n, es schadet aber nicht, wenn wir alle p-Werte biszu diesem L berechnen lassen und anhand aller p-Werte eine Entscheidung fällen.In R erhalten wir diesen Test durch Box.test(x, lag), wobei x wie gewohnt die Zeitreihe ist,und lag dem L von oben entspricht.2.3.2 Ljung-Box TestFür kleine Beobachtungslängen n greifen wir statt des Box-Pierce Tests auf den Ljung-BoxTest zurück, bei dem statt Q die StatistikQ ′ = n · (n + 2) ·L∑h=11n − h · ̂ϱ(h)2 (2.3.4)berechnet wird, die ebenfalls für große n approximativ χ 2 Lverteilt ist.In R erhalten wir diesen Test, indem wir beim Box.test das optionale Argument type ="Ljung-Box" wählen.26