Zeitreihenanalyse mit R

und zum anderenE(X t · W t ) = E(Φ(B)X t · X t ) = E(X 2 t − φ 1 · X t−1 · X t − · · · − φ p · X t−p · X t )= Var(X t ) − φ 1 · γ(1) − · · · − φ p · γ(p)⎛ ⎞γ(1))⎜ ⎟= γ(0) −(φ 1 · · · φ p · ⎝ . ⎠γ(p)(2.2.19)Zusammen erhalten wir⎛ ⎞γ(1))σ 2 ⎜ ⎟= γ(0) −(φ 1 · · · φ p · ⎝ . ⎠γ(p)Der Yule-Walker Schätzer ̂σ 2 für σ 2 ist demnach durch⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎞̂γ(1)̂ϱ(1)(̂σ 2 = ̂γ(0) − ̂φ 1 · · · ̂φ)(⎜ ⎟ ⎜p · ⎝ . ⎠ = ̂γ(0) · ⎝1 − ̂φ 1 · · · ̂φ)⎜ ⎟⎟p · ⎝ . ⎠⎠ (2.2.20)̂γ(p)̂ϱ(p)gegeben und wird in R beim Aufruf der ar Funktion (method = "yule-walker") mit berechnet.2.2.3 Vorhersagen in AR(p) ModellenIn einem AR(p) Modell Φ(B)X t = W t ist eine Vorhersage für den Zeitpunkt n + 1 durchgegeben.̂x n+1 = φ 1 x n + φ 2 x n−1 + · · · + φ p x n−p+1 (2.2.21)In R erhalten wir diese wieder mit der Funktion predict(ar(x)).Achtung: Die Funktion ar arbeitet immer mit den zentrierten Daten x 1 − x, . . . , x n − x, d. h.die Vorhersage ist durchgegeben.̂x n+1 = x + ̂φ 1 · (x n − x) + · · · + ̂φ p · (x n−p+1 − x) (2.2.22)2.3 Tests für die ZeitreihenanalyseIm folgenden werden drei Tests vorgestellt, mit denen sich signikant nachweisen lässt, dass eineBeobachtung x 1 , . . . , x n nicht von einer i. i. d. Folge stammt.Ausgangspunkt der beiden ersten Tests ist der folgende Satz, der sich aus dem schwachenGesetz der großen Zahlen folgern lässt.25