Zeitreihenanalyse mit R

oder kürzer⎛ ⎞ ⎛ ⎞φ 1 γ(1)φ 2Γ p ·⎜ ⎟⎝ .= γ(2)⎜ ⎟⎠ ⎝ . ⎠φ p γ(p)wobei⎛⎞γ(0) γ(1) . . . γ(p − 1)γ(1) γ(0) . . . γ(p − 2)Γ p = (γ(i − j)) i,j=1,...,p =⎜.⎝ . . .. ⎟ . ⎠γ(p − 1) γ(p − 2) . . . γ(0)(2.2.14)(2.2.15)die Auto-Kovarianzmatrix (bis zum Lag p) sei. Die Gleichungen (2.2.14) nennen wir auchYule-Walker Gleichungen.Ersetzen wir γ(1), . . . , γ(p) und Γ p in (2.2.14) durch ihre empirischen Gegenstücke (wir beachtendie Analogie zum Momentenmethode Verfahren: dort werden die theoretischen Momenteden empirischen Momenten gleichgesetzt), so erhalten wir⎛ ⎛ ⎞⎞φ 1⎜ ̂Γ p · ⎝ .φ p⎟⎠ =⎜⎝̂γ(1).̂γ(p)⎟⎠ (2.2.16)Da ̂Γ p invertierbar ist (sofern nicht gerade x 1 = · · · = x n gilt), erhalten wir auf diese ArtSchätzer für φ 1 , . . . , φ p durch⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞̂φ 1̂γ(1)̂ϱ(1)⎜ ⎟⎝ . ⎠ = (̂Γ p ) −1 ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ = ( ̂R p ) −1 ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ (2.2.17)̂φ p.̂γ(p).̂ϱ(p)Wollen wir in R den Datensatz x 1 , . . . , x n an ein AR(p)-Modell fitten, so benutzten wir denBefehl ar(x, aic = FALSE, order.max = p, method = "yule-walker").Andere mögliche Methoden sind "ols" (Minimierung der Summe der Fehlerquadrate) und"mle" (Maximum-Likelihood Verfahren).Geben wir p nicht an und setzen aic = TRUE, so wählt R automatisch ein p mit gutem aicWert (siehe dazu Abschnitt 3.3).2.2.2 Schätzung von σ 2Neben den Parameter φ 1 , . . . , φ p wollen wir noch die Varianz des White-Noise Prozesses (W t ) t∈Zschätzen. In der Situation eines kausalen AR(p)-Prozesses (X t ) multiplizieren wir Φ(B)X t =W t dazu auf beiden Seiten mit X t = ∑ ∞i=0 ψ i ·W t−i und bilden den Erwartungswert. Dies liefertzum einen∞∑E(X t · W t ) = E( ψ i · W t−i · W t ) = E( ψ 0 · W}{{} t · W t ) = Var(W t ) = σ 2 (2.2.18)i=0=124