Zeitreihenanalyse mit R

Bevor wir der Fragestellung nachgehen, wie wir für einen Datensatz x 1 , . . . , x n „gute“ Schätzwertefür φ 1 , . . . , φ p erhalten, betrachten wir einige Beispiele.Beispiel 2.2.4 (a) Für ein AR(1) Modell mit φ = φ 1 ergibt sich Φ(z) = 1−φ·z mit Nullstelle1/φ. Demnach ist für φ = ±1 (Random Walk) der Prozess nicht schwach stationär, für|φ| ≠ 1 ist er schwach stationär und für |φ| < 1 sogar kausal mit ψ j = φ j .(b) Das AR(2) Modell X t = X t−1 − 1 4 X t−2 + W t ist schwach stationär, denn hier ist Φ(z) =1 − z + 1 4 z2 = 1 4 · (z − 2)2 , also 2 die einzige Nullstelle von Φ.(c) Das AR(2) Modell X t = 1 2 X t−1 + 1 2 X t−2 + W t ist nicht schwach stationär, denn wirerhalten Φ(z) = − 1 2 · (z − 1) · (2 + z) mit den Nullstellen 1 und −2.Ein numerischer Algorithmus zur Nullstellensuchen von Polynomen ist in R in die Funktionpolyroot(t) implementiert, wobei t = (t[1], . . . , t[n]) die Koeffizienten des Polynoms z ↦→ t[1]+t[2]·z+· · ·+t[n]·z n−1 angeben. Im Beispiel (b) müssten wir demnach polyroot(c(1,-1,1/4))aufrufen, für (c) wäre es polyroot(c(1,-1/2,-1/2)).2.2.1 Schätzung von φ 1 , . . . , φ pHaben wir die Ordnung p für eine Beobachtung x 1 , . . . , x n fixiert und möchten die Koeffizientenφ 1 , . . . , φ p schätzen, so gibt es verschiedene Ansätze, z. B. durch die Minimierung der Summeder Fehlerquadrate (klassische Regression), durch einen Maximum-Likelihood-Ansatz (unterder zusätzlichen Annahme, dass jedes W t normalverteilt ist) oder durch die sogenannten Yule-Walker Gleichungen, auf die wir im Folgenden genauer eingehen werden.Wir nehmen an, (X t ) ist ein AR(p)-Prozess, Φ(B)X t = W t , der kausal bzgl. (W t ) ∼ WN(0, σ 2 )ist. Er besitzt also die Darstellung∞∑X t = ψ i · W t−i (2.2.11)i=0mit (ψ i ) i∈N0 gemäß (2.2.10). Multiplizieren wir für j = 1, . . . , p beide Seiten von Φ(B)X t = W tmit X t−j und bilden den Erwartungswert, so giltE(X t−j · Φ(B)X t ) = E(X t−j · W t ) = 0, (2.2.12)denn aufgrund von (2.2.11) sind W t und X t−j unkorreliert für j ≥ 1. Andererseits gilt wegenE(X t ) = 0E(X t−j · Φ(B)X t ) = E(X t−j · X t ) − φ 1 E(X t−j · X t−1 ) − · · · − φ p E(X t−j · X t−p )(2.2.12) und (2.2.13) zusammen ergeben= Cov(X t−j , X t ) − φ 1 Cov(X t−j , X t−1 ) − · · · − φ p Cov(X t−j , X t−p )= γ(j) − φ 1 γ(1 − j) − · · · − φ p γ(p − j).γ(j) = φ 1 γ(1 − j) + · · · + φ p γ(p − j) für alle j = 1, . . . , p,(2.2.13)23