Zeitreihenanalyse mit R

für einen WN(0, σ 2 ) Prozess (W t ) und Konstanten φ 1 , . . . , φ p ∈ R mit φ p ≠ 0 besitzt.Im Fall p = ∞, d. h.müssen wir∞∑X t = W t + φ i X t−i (2.2.5)i=1∞∑|φ i | < ∞ (2.2.6)i=1fordern, um die fast sichere Konvergenz in (2.2.5) zu gewährleisten.Mit Hilfe des Backshift-Operators B, der durch BX t = X t−1 (und damit induktiv B n X t =X t−n ) definiert ist, lässt sich (2.2.4) äquivalent als(1 − φ 1 B − φ 2 B 2 − · · · − φ p B p )X t = X t − φ 1 X t−1 − · · · − φ p X t−p = W tschreiben. Definieren wir Φ(B) = 1 − φ 1 B − · · · − φ p B p , so lautet die Forderung (2.2.4) inKurzform:Φ(B)X t = W t für alle t ∈ Z. (2.2.7)Obwohl Φ ein Polynom in B ist können wir damit rechnen, als wäre es eine PolynomabbildungΦ : C → C. Insbesondere können wir von den Nullstellen von Φ sprechen.Für p = 1 und φ 1 = 1 erhalten wir einen Random-Walk. Es stellt sich also die Frage, unterwelchen Voraussetzungen an die Konstanten φ 1 , . . . , φ p ein AR(p) Prozess schwach stationärist. In der Tat ist dafür wichtig, wo die Nullstellen von Φ liegen.Satz 2.2.3 (a) Für die Gleichung (2.2.4) gibt es genau dann eine schwach stationäre Lösung(X t ), wenn alle Nullstellen von Φ außerhalb des Einheitskreises {z ∈ C : |z| = 1} liegen.Diese schwach stationäre Lösung ist zudem eindeutig.(b) Gilt sogar |z| > 1 für alle Nullstellen z ∈ C von Φ, so können wir jedes X t alsschreiben, wobei die Konstanten ψ 0 , ψ 1 , . . . sich aus∞∑X t = ψ i · W t−i (2.2.8)i=0Ψ(z) =∞∑i=0ψ i · z i = 1Φ(z)für alle z ∈ C (2.2.9)ergeben und ∑ ∞i=0 |ψ i | < ∞ erfüllen.(X t ) heißt in dem Fall kausal bzgl. (W t ) und die ψ 0 , ψ 1 , . . . lassen sich rekursiv durchp∑ψ j = φ i · ψ j−i j = 1, 2, . . . (2.2.10)i=1bestimmen. Dabei sei ψ 0 = 1 und ψ −j = 0 für j ≥ 1 gesetzt.22