Zeitreihenanalyse mit R

mit (W t ) ∼ WN(0, σ 2 ) und φ ∈ R mit |φ| < 1. Jedes X t lässt sich schreiben alsX t = W t + φ · W t−1 + φ 2 · W t−2 + . . .∞∑= φ i · W t−i , (2.2.2)denn die Reihe in (2.2.2) konvergiert fast sicher wegen |φ| < 1.i=0Es gilt somit EX t = 0 für alle t ∈ Z undγ(t, t + h) = Cov(X t , X t+h )⎛∞∑= Cov ⎝ φ i · W t−i ,=∞∑i=0i=0⎞∞∑φ j · W t+h−j⎠j=0φ i · φ h+i · Cov(W t−i , W t−i ),} {{ }=σ 2denn für j ≠ h + i sind W t−i und W t+h−j unkorreliert (vgl. Definition von WN). Wir erhaltenunter erneuter Beachtung von |φ| < 1∞∑γ(t, t + h) = φ h · σ 2 · φ 2ii=0= φh · σ 21 − φ 2und damit die schwache Stationarität von (X t ) mit ACFϱ(h) = γ(h)γ(0) = φh . (2.2.3)−3 −2 −1 0 1 2 3−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 20 40 60 80 1000 5 10 15 20Abbildung 2.3: Sample eines AR(1) Prozesses mit φ = 0.7 und zugehöriger eACF.Definition 2.2.2 (AR(p) Modelle) Ein stochastischer Prozess (X t ) heißt autoregressiver Prozessder Ordnung p (kurz: AR(p)) Prozess, falls jedes X t die DarstellungX t = φ 1 X t−1 + φ 2 X t−2 + · · · + φ p X t−p + W t (2.2.4)21