Zeitreihenanalyse mit R

Beispiel 2.1.6 (Random Walk) Sei (W t ) ∼ IID(0, σ 2 ) und (S t ) t∈N0 der zugehörige Random-Walk mit Start in 0, d. h. S t = S t−1 + W t und S 0 = 0. Für diesen Prozess gilt ES t = 0,Var(S t ) = t · σ 2 für alle t ≥ 1 undγ(t, t + h) = Cov(S t , S t+h )= Cov(S t , S t + W t+1 + W t+2 + · · · + W t+h )= Cov(S t , S t ) + Cov(S t , W t+1 ) + · · · + Cov(S t , W t+h ) = t · σ 2 .} {{ } } {{ } } {{ }=Var(S t)=0=0Da dies von t abhängt, ist (S t ) t∈N0nicht schwach stationär.Definition 2.1.7 Für einen ZR-Prozess (X t ) t∈Z sei der Differenzen-Prozess (∆X t ) t∈Z definiertals∆X t = X t − X t−1 t ∈ Z. (2.1.12)Ist (S t ) ein Random-Walk, so bildet der Differenzen-Prozess (∆S t ) t=1,2,... eine Folge unabhängigidentisch verteilter Zufallsgrößen. Durch Anwenden des Operators ∆ wird in diesem Fallaus einem nicht schwach stationärer Prozess ein schwach stationärer. Häufig ist es so, dassmehrmaliges Anwenden von ∆ einen schwach stationären Prozess liefert.In R berechnen wir den Differenzen-Prozess mit diff(x). Die Funktion bildet aus dem n-elementigen Vektor x = (x[1], . . . , x[n]) den Differenzenvektor (x[2] − x[1], . . . , x[n] − x[n − 1])der Länge n − 1.2.2 AR(p) ModelleIn diesem Abschnitt führen wir eine spezielle Klasse stochastischer Prozesse ein, sogenannteautoregressive Prozesse: X t soll sich in Abhängigkeit seiner vergangenen Wert X t−1 , X t−2 , . . .schreiben lassen, etwaX t = f(X t−1 , X t−2 , . . . )für eine Funktion f. Zusätzlich nehmen wir an, dass zu jedem Zeitpunkt eine Störung (WhiteNoise) in die Beobachtung mit eingeht, d. h. X t ist von der BauartX t = f(X t−1 , X t−2 , . . . ) + W tfür einen WN(0, σ 2 ) Prozess (W t ). Bei AR Modellen beschränken wir uns auf lineare Funktionenf und sollten eigentlich von linearen autoregressiven Modellen sprechen. Bevor wir dieseModelle in voller Allgemeinheit einführen untersuchen wir das einfache Beispiel f(x) = φ · x.Für φ = 1 erhalten wir einen Random-Walk, d. h. einen nicht schwach stationären Prozess. Für|φ| < 1 wird der Prozess schwach stationär.Beispiel 2.2.1 (AR(1) Modelle) Der Prozess (X t ) t∈Z sei definiert durchX t = φ · X t−1 + W t (2.2.1)20