Zeitreihenanalyse mit R

mit der p × 2p Matrix⎛⎞0 · · · 0 0 y 1 · · · y p−1 y p0 · · · 0 y 1 y 2 · · · y p 0T =⎜⎟⎝.. ⎠0 y 1 · · · y p−1 y p 0 · · · 0und y i = x i − x nDie eACF ist eine wichtige Kenngröße für die Zeitreihen-Analyse, daher sollten wir von wichtigenZeitreihen-Modellen die (theoretische) ACF kennen, um später anhand einer Beobachtungein „vernünftiges“ Modell wählen zu können.In R erhalten wir die eACF mit dem Befehl acf(x), wobei x sowohl ein ts-Objekt, als auchein gewöhnlicher Vektor sein kann. Führen wir dies für die Beobachtungen aus Abbildung 2.1aus, so erkennen wir, dass die empirische ACF der i. i. d. Folge nahezu 0 ist (ab dem Lag 1)und die des Random Walkes linear abfällt, vgl. Abbildung 2.2.−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5 10 15 200 5 10 15 20Abbildung 2.2: Empirische Autokorrelationsfunktionen der Zeitreihen aus Abbildung 2.1.In den nächsten beiden Beispielen zeigt sich, dass der IID(µ, σ 2 ) schwach stationär ist, einRandom-Walk jedoch nicht.Beispiel 2.1.5 (White Noise Prozess) Sei (W t ) ∼ IID(µ, σ 2 ), ein IID White Noise Prozess.Für diesen gilt{Var(Wt ) = σ 2 h = 0γ(t, t + h) = Cov(W t , W t+h ) =0 h ≠ 0denn im Fall h ≠ 0 sind W t und W t+h stoch. unabh. und somit unkorreliert. Also ist W schwachstationär mit{1 h = 0ϱ(h) =(2.1.11)0 h ≠ 0Allgemeiner heiße ein Prozess (W t ) t∈Z White Noise Prozess (kurz WN(µ, σ 2 )), falls die (W t ) t∈Zpaarweise unkorreliert sind, EW t = µ und Var(W t ) = σ 2 für alle t ∈ Z gilt. Mit der gleichenRechnung sehen wir, dass auch ein WN(µ, σ 2 ) Prozess schwach stationär mit ACF ϱ ist.19