Zeitreihenanalyse mit R

Wir beachten, dass die ACF betragsmäßig stets ≤ 1 ist. Beispiele schwach stationärer Prozessewerden wir in Kürze kennenlernen, siehe etwa Beispiele 2.1.5 und 2.2.1.2.1.2 empirische KenngrößenDieser Abschnitt dient der Einführung einiger empirischer Kenngrößen für die Beobachtungx = (x 1 , . . . , x n ).Das Stichprobenmittel bezeichnen wir mitx n = 1 nn∑x t . (2.1.5)t=1In R erhalten wir es mit dem Befehl mean(x). Den erwartungstreuen Schätzer für die Varianzbekommen wir mit var(x).1n − 1Ein Ansatz, die Autokovarianzfunktion γ zu schätzen ist es,̂γ(h) = 1 nn−h ∑t=1n∑(x t − x n ) 2 (2.1.6)t=1(x t+h − x n ) · (x t − x n ) (2.1.7)für h = 0, 1, . . . , n − 1 zu setzen. Wir nennen ̂γ die empirische Auto-Kovarianzfunktion undbeachten, dass ̂γ(0), bis auf den Faktor n−1n, dem Ausdruck (2.1.6) entspricht.Die empirische Autokorrelationsfunktion (eACF) definieren wir alŝϱ(h) = ̂γ(h)̂γ(0) . (2.1.8)Um (2.1.8) definieren zu können, müssen wir ̂γ(0) > 0 voraussetzen. Der Fall ̂γ(0) = 0 istfür uns aber auch nicht sonderlich interessant, denn es würde x 1 = · · · = x n gelten. Daherschließen wir dies immer aus.Wir definieren weiter die empirische Auto-Kovarianzmatrix (bis zum Lag p) als die p×p Matrix⎛⎞̂γ(0) ̂γ(1) . . . ̂γ(p − 1)̂γ(1) ̂γ(0) . . . ̂γ(p − 2)̂Γ p = (̂γ(|i − j|)) i,j=1,...,p=⎜.⎝ . . .. ⎟ (2.1.9). ⎠̂γ(p − 1) ̂γ(p − 2) . . . ̂γ(0)und die empirische Auto-Korrelationsmatrix (bis zum Lag p) alŝR p = (̂ϱ(|i − j|)) i,j=1,...,p= 1̂γ(0) · ̂Γ p (2.1.10)Wegen ̂ϱ(0) = 1 stehen auf der Diagonalen von ̂R p nur Einsen. ̂Γ p und ̂R p sind positiv semidifinit,symmetrisch und invertierbar, denn es gilt̂Γ p = n −1 · T · T t18