Zeitreihenanalyse mit R

2 AR-ModelleBislang wurden nur deskriptive und modellfreie Methoden vorgestellt und kein stochastischesModell, mit dem wir „rechnen“ können. Dies werden wir in diesem Kapitel ändern: Wir werdenden Begriff der schwachen Stationarität, AR(p) Modelle und einige – für die Zeitreihenanalyseinteressante – Tests kennenlernen.2.1 schwach Stationäre ProzesseFür theoretische Überlegungen nehmen wir weiterhin an, dass eine Zeitreihen-Beobachtungx 1 , . . . , x n von einem stochastischen Prozess (im Folgenden abkürzend ZR-Prozess genannt)X = (X t ) t∈Z (2.1.1)stammt, der weit weit in der Vergangenheit gestartet ist und noch bis in alle Ewigkeit läuft.Als potentielle Modelle wollen wir nicht alle stochastischen Prozesse zulassen, sondern unsauf diejenigen beschränken, die „brauchbare“ Eigenschaften besitzen. Im Besonderen sind wirnatürlich daran interessiert, Vorhersagen für konkrete Datensätze treffen zu können.2.1.1 Definition und BeispieleDas einfachste Beispiel eines stochastischen Prozesses kennen wir bereits aus elementarenStochastik-Vorlesungen, auch wenn es dort üblicher ist von einer „Folge von Zufallsgrößen“zu sprechen.Beispiel 2.1.1 (IID White Noise) Der Prozess (W t ) t∈Z bestehe aus stochastisch unabhängigund identisch verteilten Zufallsgrößen mit endlichem Erwartungswert EW 0 = µ und endlicherVarianz Var(W 0 ) = σ 2 . Im Folgenden schreiben wir abkürzend (W t ) ∼ IID(µ, σ 2 ) für diesenProzess.Für einen IID(µ, σ 2 ) ist keine Vorhersage möglich (Unabhängigkeit!), er ist aber ein wichigerBaustein für weitere Prozesse, etwa in dem wir die Partialsummen S t = W 1 + · · · + W t bilden.Dabei müssen wir einen „Startpunkt“ S 0 festlegen, d. h. die Zeitparametermenge ist in diesemFall nicht Z, sondern N 0 . Für unsere Zwecke ist es ausreichend wenn wir S 0 = 0 setzen, genauer:Beispiel 2.1.2 (Random Walk) Der Prozess (S t ) t∈N0sei definiert durcht∑S t = W i = S t−1 + W t (2.1.2)i=1für t = 1, 2, . . . , wobei (W t ) ∼ IID(µ, σ 2 ) und S 0 = 0. (S n ) n∈N0 heißt Random-Walk mitStartpunkt S 0 und Zuwachsverteilung F = Verteilung von W 0 .16