Zeitreihenanalyse mit R

So wird das vergangene Niveau entsprechend angehoben / abgesenkt, bevor es in die Berechnungdes aktuellen Niveaus einfliesst.1.4.4 Holt-Winters-VerfahrenSchließlich kann das Niveau durch saisonale Einflüsse verfälscht werden. Führt man deshalbnoch Saisonkomponenten s t ein, die ebenfalls permanent aktualisiert werden, so gelangt manzum Holt-Winters-Verfahren, welches exponentielle Glättung mit Saison und Wachstum darstellt.Die Aktualisierungsformeln lauten dann für Zeitreihen mit Periode p und additiverSaisonkomponenten t = α(x t − s t−p ) + (1 − α)(n t−1 + m t−1 )m t = β(n t − n t−1 ) + (1 − β)m t−1s t = γ(x t − a t ) + (1 − γ)s t−p .Etwas subtiler ist die Berechnung der Startwerte; diese müssen offensichtlich für eine gesamtePeriode angegeben werden. Am einfachsten ist die Steigung: m t = 1 p (x p−1 − x 0 ) für 0 ≤ t < p.Eine Gerade mit dieser gegebenen Steigung wird nun mit der Methode der kleinsten Quadratean die Daten x 0 , . . . , x p−1 angepasst (im Endeffekt also nur der Achsenabschnitt berechnet),und s t wird dann als Abweichung von x t von der berechneten Gerade festgesetzt. Dies führt zurMinimierung von ∑ p−1t=0 s2 t (bei gegebener Steigung der Geraden). Schließlich wird n t = x t − s tgesetzt für 0 ≤ t < p.Das Holt-Winters-Verfahren ist in R als HoltWinters implementiert, und umfasst alle beschriebenenFunktionen. Die Parameter α, β, γ können angegeben werden, ansonsten werden sie als(möglicherweise nur lokale!) Minima der Summe der quadrierten Ein-Schritt-Prognose-Fehlerbestimmt. Vorhersagen macht die Funktion predict.1.5 R-Befehlets In R erstellt man Zeitreihen mit dem Befehl ts(data,start,frequency). Dabei kanndata ein Vektor, eine Matrix oder eine Datentabelle sein, je nachdem, wieviele Zeitreihenman in einer Variablen zusammenfassen will; start muss ein Vektor mit 2 Komponentensein: Die erste gibt das Startjahr an, die zweite den Startmonat. Der Parameterfrequency gibt die Häufigkeit der Beobachtungen pro Zeiteinheit an, etwa 12, wennman 12 Beobachtungen pro Jahr hatwindow Mit dem Befehl window(x, start, end, frequency) kann man einen Ausschnitt auseiner Zeitreihe herausnehmenfrequency(x) Gibt die Frequenz der Zeitreihe x ausstart(x) gibt das Startjahr und den Startmonat von x aus, analog end(x)plot(x) plottet die Zeitreihe xts.plot Will man mehrere Zeitreihen in einem Plot anzeigen lassen, so ist diese Funktion nützlich:In ihr lassen sich beliebig viele Zeitreihen gleicher Frequenz übergeben.13