Zeitreihenanalyse mit R

Exponentielle Glättung mit alpha=0.1Exponentielle Glättung mit alpha=0.7Zinssatz3 4 5 6 7Zinssatz3 4 5 6 71995 2000 2005 2010Time1995 2000 2005 2010TimeAbbildung 1.6: Umlaufrendite inländischer Inhaberschuldverschreibungen, exponentiell geglättetmit Parametern α = 0.1 bzw α = 0.9.Aus der rekursiven Definition wird deutlich, dass die Aktualisierung des Niveaus sehr einfachist, neben α müssen nur der neue beobachtete Wert x T +1 und das aktuelle Niveau n T bekanntsein. Bei Regressionsverfahren hätten wir alle bisher beobachteten Werte speichern müssen.1.4.2 Bestimmung des optimalen αWie aber ist α zu wählen? Es lässt sich ein Gütekriterium angeben, und zwar die sogenanntemittlere Summe der quadrierten 1-Schritt-Prognose-Fehler: Für jedes t ≥ 1 wird n t−1 (mittelsα) berechnet, und der prognostizierte Wert n t−1 mit dem tatsächlich beobachteten Wert x tverglichen. Als optimal sehen wir nun ein α an, welches die mittlere Summe der quadriertenFehler minimiert.α ! = arg min 1 TT∑(x t − ˆx t|t−1 (α)) 2 = arg min 1 Tt=1T∑(x t − n t−1 (α)) 2 (1.4.1)t=11.4.3 Exponentielles Glätten mit WachstumBetrachte nochmals die mit α = 0.1 geglättete Zeitreihe der Umlaufrendite. Bei fallenden Wertenliegt das Niveau meist über dem tatsächlichen Verlauf, umgekehrt bei steigenden Werten.Das dies eine generelle Schwäche ist, bestätigt ein erneuter Blick auf die Berechnungsformel.Bei fallenden Werten wird ein gewichtetes Mittel aus dem aktuellen Wert, und zurückliegenden,höheren Werten gebildet, so dass das Ergebnis höher ist als der aktuelle Wert.Deshalb wird das Verfahren erweitert, indem neben dem Niveau auch eine Steigung m t mitder Methode des exponentiellen Glättens berechnet wird:n 0 = x 0 , n 1 = x 1 ;m 0 = x 1 − x 0 , m 1 = m 0 .n t = αx t + (1 − α)(n t−1 + m t−1 )m t = β(n t − n t−1 ) + (1 − β)m t−112