Zeitreihenanalyse mit R

mit zu bestimmenden Parametern α, β, γ k , η k , 1 ≤ k ≤ 6. Dabei kann auf η 1 verzichtet werden- überlege, welche Werte sin(2πt) für t ∈ Z annimmt.1.3.3 PrognoseHat man eine Zeitreihe bis zum Zeitpunkt T beobachtet, und einen linearen Trend und eventuelleSaisonkomponenten berechnet, so kann man unter der Annahme, dass das Modell auchfür zukünftige Werte zutreffend ist (insbesondere sich also der Trend fortsetzt), Prognosewerteberechnen:ˆx T +k|T = α + β · (T + k) + S ⌊T +k⌋ .Dabei bezeichnet S ⌊T +k⌋ die zum Zeitpunkt T + k gehörige Saisonkomponente.Dieses Verfahren hat jedoch zwei Nachteile: Zum einen setzt es explizit einen linearen (oderzumindest funktional festgelegten) Trend voraus, zum anderen ist ein Update aufwendig: Liegenneue Beobachtungen vor, so muss die gesamte Regression erneut durchgeführt werden.1.4 Exponentielle Glättung und adaptive Prognose1.4.1 Exponentielle GlättungEin weiteres Verfahren, einen Trend zu berechnen, ist das sogenannte exponentielle Glätten;welches insbesondere für die Prognose den Vorteil hat, dass es sich ohne großen Rechenaufwandupdaten lässt.Ihm liegt die Idee zugrunde, dass sich künftige Beobachtungen eher auf dem Niveau von Wertenaus der jüngeren Vergangenheit befinden werden, als durch weit zurückliegende Werte beeinflusstzu werden - man denke an die Zeitreihe der Bundesligaplatzierungen eines beliebigenVereins. Die Erfolge der 60er Jahre mögen allenfalls ein finanzielles Polster angelegt haben,wesentlich relevanter ist jedoch die Qualität der aktuellen Mannschaft, die sich am bestendurch die Vorjahresplatzierung einschätzen lässt.Formal führen wir zunächst rekursiv das Niveau ein (der Trend in der Sprechweise der exponentiellenGlättung). Unsere Beobachtungen mögen zum Zeitpunkt 0 beginnen, dann setzenwir n 0 = x 0 , undn t := αx t + (1 − α)n t−1für t ≥ 1. Der auftauchende Parameter α heißt Glättungsparameter, und entstammt sinnvollerweisedem Intervall (0, 1). Großes α bedeutet starke "Gegenwartsorientierung" des Niveaus,ein kleines α räumt vergangenen Werten mehr Gewicht ein, wie auch die explizite Formelzeigt.t−1∑n t := (1 − α) k αx t−i + (1 − α) t x 0k=0Als Prognose nehmen wir nun einfach an, dass zukünftige Werte auf dem berechneten Niveauliegen, d.h.ˆx T +k|T = n T .11