Bezeichnungen am Dreieck

Bezeichnungen am DreieckVerbindet man drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so entsteht ein Dreieck.Allgemeine Bezeichnungen:Die Eckpunkte des Dreiecks werden mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.Die Seiten des Dreiecks sind a, b und c. Die Seite a liegt dem Punkt A, die Seite B demPunkt b und die Seite c dem Punkt C gegenüber.Die Winkel im Dreieck sind α, ß und γ. Der Winkel α liegt bei A, der Winkel ß liegt bei Bund der Winkel γ liegt bei C.Das Zeichen für das Dreieck ABC ist ∆ ABC.CbγaAαcβBEinteilung nach WinkelnDreiecke mit drei spitzen Winkeln heißen spitzwinklige Dreiecke.Dreiecke mit einem stumpfen Winkel heißen stumpfwinklige Dreiecke.Dreiecke mit einem rechten Winkel heißen rechtwinklige Dreiecke.Im rechtwinkligen Dreieck bilden die Katheten den rechten Winkel. Die Seite, die demrechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse.γCCγCγAαβBAαβBAαβBspitzwinkliges Dreieck stumpfwinkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck1

Einteilung nach SeitenDreiecke, in denen die drei Seiten verschieden lang sind, heißen ungleichseitige Dreiecke.Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten heißen gleichschenklige Dreiecke.Dreiecke mit drei gleich langen Seiten heißen gleichseitige Dreiecke.CCCbababaAcBAcBAcBungleichseitiges Dreieck gleichschenkliges Dreieck gleichseitiges DreieckLinien im Dreieck Das Lot von einer Ecke des Dreiecks auf die Gegenseite ist eine Höhe (h c ). Die Strecke, die einen Innenwinkel halbiert, heißt Winkelhalbierende (w γ ).Die Verbindungsstrecke eines Eckpunktes mit der Mitte der Gegenseite ist eineSeitenhalbierende (s c ). Die Senkrechte im Mittelpunkt einer Seite ist eine Mittelsenkrechte (m c ).CAh c w γ s c m cHcW γ McB2

Grundkonstruktionen - LösungenKonstruiere in den folgenden Aufgaben ein Dreieck aus den gegebenen Größen. Fertige eineBeschreibung an. Miss die fehlenden Größen – dann ist eine Kontrolle über die Richtigkeitdeiner Lösung sofort möglich.Konstruktion eines Dreiecks aus den 3 Seiten (SSS)Konstruiere ein Dreieck aus:a = 4,5 cm; b = 4,1 cm; c = 5,6 cm4.10 cmC81.1 °4.50 cm46.3 °A52.6 °5.60 cmBKonstruktionsbeschreibung:1. Es wird die Strecke a = 4,5 cm mit den Endpunkten B und C gezeichnet.2. Um B wird ein Kreisbogen mit dem Radius 5,6 cm geschlagen.3. Um C wird ein Kreisbogen mit dem Radius 4,1 cm geschlagen.4. Der Schnittpunkt der Kreisbögen bildet den Punkt A.5. A wird mit B und C verbunden.3

Konstruktion eines Dreiecks aus 2 Seiten und dem eingeschlossen Winkel(SWS)Konstruiere ein Dreieck aus:b = 4,3 cm; c = 6 cm; α = 40 04.30 cmC94.4 °3.87 cm40.0 °45.6 °AKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen von c mit den Endpunkten A und B.2. Antragen von α = 40 0 an A.3. Kreisbogen mit r = 4,3 cm um A; es entsteht C.4. B mit C verbinden.Konstruktion eines Dreiecks aus einer Seite und zwei Winkeln (SWW oderWSW)6.00 cmKonstruiere ein Dreieck aus:c = 7 cm; α = 55 0 , ß = 48 0BKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen von c = 7 cm mit den EndpunktenA und B.2. In A wird α = 55 0 und in B wird ß = 48 0angetragen3. Der Schnittpunkt ist C.C77.0 °5.34 cm5.88 cm55.0 °48.0 °A7.00 cmB4

Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel dergrößeren Seite (SsW)Konstruiere ein Dreieck aus:a = 3,9 cm; c = 5,4 cm; γ = 70 0Konstruktionsbeschreibung:C70.0 °1. Zeichnen von a = 3,9 cm.2. Antragen von γ = 70 0 in C.3. Kreisbogen um B mit demRadius c = 5,4 cm.4. Der Schnittpunkt ist A.5.30 cmba3.90 cm67.3 °Bc5.40 cmA42.7 °Die Höhen im Dreieckb = 5,5 cm; h c = 3,4 cm; a = 4,4 cmKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden2. Festlegen eines Punktes H3. Errichten der Höhe h c in Hmit dem Punkt C4. Kreisbögen um C mit4,4 cm bzw. 5,5 cm;es entstehen A und B38.2 °5.50 cm3.40 cmC91.2 °4.40 cm50.6 °AHB7.12 cm5

Konstruiere ein Dreieck aus:c = 6,5 cm; h c = 3,6 cm; α = 52 0Konstruktionsbeschreibung:83.7 °C1. Zeichnen von c mit A und B.2. Festlegen von H‘auf c.3. Errichten von h‘ in H‘.4. Antragen von α.5. Parallelverschiebungvon h‘ durch denSchenkel von α; esentsteht C.A4.57 cm5.15 cm3.60 cm52.0 ° 44.3 °Hh'H'B6.50 cmAufgabe 3a) Konstruiere ein Dreieck aus:h a = 4 cm; ß = 20 0 ; γ = 50 0C'C50.0 °H14.35 cm5.22 cm4.00 cmB'20.0 °BA110.0 °11.70 cmKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden, Festlegen des Punktes H2. Errichten der Höhe h a in H; es entsteht der Punkt A3. Festlegen von C‘ und B‘ auf der Geraden4. Antragen von ß und γ in B‘ und C‘5. Parallelverschiebung der Schenkel von ß und γ durch C6

Konstruiere ein Dreieck aus:h c = 3,4 cm; α = 42 0 ; γ = 84 0Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden2. Festlegen von H auf derGeraden und Errichtender Höhe; es entsteht C3. A‘ auf der Geraden anlegenund α antragen4. Parallelverschiebungdes Schenkels von αdurch C; es entstehtA5. Antragen von γ in C;es entsteht BA'42.0 °A5.08 cm3.40 cm6.25 cmHC84.0 °4.20 cm54.0 °Bd) Konstruiere ein Dreieck aus:h c = 2,8 cm; b = 4,5 cm; γ = 86 0Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden, Festlegungvon H; Errichten von h cmit C2. Kreisbogen um C mit r = 4,5 cm;es entsteht A3. Antragen von γ in C; esentsteht B38.5 °4.50 cm2.80 cmC86.0 °3.40 cm55.5 °AHB5.45 cm7

Die Seitenhalbierenden im Dreiecka) Konstruiere ein Dreieck aus:c = 6 cm; s c = 4 cm; α = 50 0Konstruktionsbeschreibung:C1. Zeichnen von c mit A und B2. Antragen von α3. Bestimmung von M (Kreisbögenin der nebenstehendenZeichnung aus Gründen derÜbersichtlichkeit nichtdargestellt)4. Kreisbogen um M mitr = 4 cm – es entsteht C50.0 °A5.20 cm73.7 °4.00 cmM6.00 cm4.79 cm56.3 °BKonstruiere ein Dreieck aus:c = 6,1 cm; b = 4,8 cm; s c = 4,5 cmC67.7 °Konstruktionsbeschreibung4.80 cm6.01 cm1. Zeichnen von c mit A und B2. Konstruktion von M3. Kreisbogen um A mit 4,8 cm4. Kreisbogen um M mit 4,5 cm –es entsteht C65.6 °A4.50 cmM6.10 cm46.7 °B8

Konstruiere ein Dreieck aus:h c = 3,4 cm; s c = 3,8 cm; a = 5,5 cm118.0 °C67.1 °8.43 cm5.50 cm23.8 °3.80 cm3.80 cm38.2 °A2M2A13.40 cmM1B12.04 cm5.25 cmKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden, Errichten der Höhe mit C2. Kreisbogen mit 3,8 cm um C; es entstehen M 1 und M 23. Kreisbogen mit 5,5 cm um C; es entsteht B4. Bestimmung von A 1 bzw. A 2 – es gibt 2 LösungenKonstruiere ein Dreieck aus:r a = 3,1 cm; c = 5,2 cm; s c = 4,1 cm28.8 °3.10 cm6.18 cmC57.0 °A4.10 cm2.98 cm5.20 cmB94.2 °Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen des Außenkreises mit r = 3,1 cm2. Festlegen des Punktes A, Kreisbogen um A mit 5,2 cm; es entsteht B3. Mittelpunkt von AB bestimmen; Kreisbogen mit 4,1 cm um den Mittelpunkt; es entsteht C9

Die Winkelhalbierende im DreieckKonstruiere ein Dreieck aus:c = 6,6 cm; α = 52 0 ; w α = 4,6 cmKonstruktionsbeschreibung:C88.7 °1. Zeichnen von c mit A und B2. Antragen von α3. Konstruieren von w α4. w α = 4,6 cm; es entsteht W5. Halbgerade durch B und Wzeichnen – es entsteht CA4.18 cmW4.60 cm5.20 cm39.3 °B52.0 °6.60 cmDie Mittelsenkrechten im DreieckKonstruiere ein Dreieck mit Umkreis aus:a = 5,5 cm; c = 6,2 cm; ß = 71 059.3 °C5.50 cm6.82 cm71.0 °AB49.7 °6.20 cm10

Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen der Strecke c = 6,2 cm mit den Endpunkten A und B.2. Antragen von ß = 71 0 in B.3. Kreisbogen um B mit dem Radius r = 5,5 cm4. Der Schnittpunkt ist C.5. Für den Außenkreis werden die drei Mittelsenkrechten wie folgt konstruiert:2 gleich große Kreisbögen um A und B (> 3,1 cm)Die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen werden miteinander verbunden; es entsteht dieMittelsenkrechte m c .Die Mittelsenkrechten m a und m b werden auf gleiche Weise konstruiert.Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Außenkreises.Konstruiere ein Dreieck aus:r = 3,8 cm; c = 6,4 cm; α = 35 0Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen eines Kreises mitr = 3,8 cm.2. Festlegen eines Punktes Aauf dem Kreisbogen.3. Kreisbogen schlagen um Amit dem Radius 6,4 cm. Esentstehen zwei Schnittpunktemit dem ersten Kreis; einennennen wir B.4. Antragen von α in A; derSchnittpunkt mit dem erstenKreis ist C.5. Verbinden von B und C.A3.80 cm7.59 cm35.0 °6.40 cmC57.4 °4.36 cm87.6 °BKonstruiere ein rechtwinkliges Dreieck aus:r = 2,8 cm; α = 44 090.0 °Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen von c = 5,6 cm2. Mittelpunkt von c bestimmen3. Halbkreis zeichnen4. α antragen – es entsteht C5. B mit C verbindenC4.03 cm 3.89 cm44.0 °46.0 °AB5.60 cm11

Der ThalessatzZeichne jeweils ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hilfe des Thalessatzes, wenn gegebenist:a) c = 5 cm; a = 3 cmKonstruktionsbeschreibung:4.00 cmC90.0 °1. Zeichnen von c = 5 cm mitA und B2. Bestimmung des Mittelpunktesvon c3. Zeichnen eines Halbkreisesdurch A und B4. Kreisbogen um B mit r = 3 cm –es entsteht C36.9 °A5.00 cm3.00 cmB53.1 °Zeichne ein Dreieck aus einem Halbkreis mit dem Radius 4 cm und q = 3cm!Konstruktionsbeschreibung:C1. Zeichnen von c = 8 cm2. Bestimmung von M, Zeichnendes HalbkreisesAntragen von q, Errichtenvon h; es entsteht C52.2 °4.90 cm 6.32 cm3.87 cm37.8 °A3.00 cm H M 5.00 cmB12