Bezeichnungen am Dreieck
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<strong>Bezeichnungen</strong> <strong>am</strong> <strong>Dreieck</strong>Verbindet man drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so entsteht ein <strong>Dreieck</strong>.Allgemeine <strong>Bezeichnungen</strong>:Die Eckpunkte des <strong>Dreieck</strong>s werden mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.Die Seiten des <strong>Dreieck</strong>s sind a, b und c. Die Seite a liegt dem Punkt A, die Seite B demPunkt b und die Seite c dem Punkt C gegenüber.Die Winkel im <strong>Dreieck</strong> sind α, ß und γ. Der Winkel α liegt bei A, der Winkel ß liegt bei Bund der Winkel γ liegt bei C.Das Zeichen für das <strong>Dreieck</strong> ABC ist ∆ ABC.CbγaAαcβBEinteilung nach Winkeln<strong>Dreieck</strong>e mit drei spitzen Winkeln heißen spitzwinklige <strong>Dreieck</strong>e.<strong>Dreieck</strong>e mit einem stumpfen Winkel heißen stumpfwinklige <strong>Dreieck</strong>e.<strong>Dreieck</strong>e mit einem rechten Winkel heißen rechtwinklige <strong>Dreieck</strong>e.Im rechtwinkligen <strong>Dreieck</strong> bilden die Katheten den rechten Winkel. Die Seite, die demrechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse.γCCγCγAαβBAαβBAαβBspitzwinkliges <strong>Dreieck</strong> stumpfwinkliges <strong>Dreieck</strong> rechtwinkliges <strong>Dreieck</strong>1
Einteilung nach Seiten<strong>Dreieck</strong>e, in denen die drei Seiten verschieden lang sind, heißen ungleichseitige <strong>Dreieck</strong>e.<strong>Dreieck</strong>e mit zwei gleich langen Seiten heißen gleichschenklige <strong>Dreieck</strong>e.<strong>Dreieck</strong>e mit drei gleich langen Seiten heißen gleichseitige <strong>Dreieck</strong>e.CCCbababaAcBAcBAcBungleichseitiges <strong>Dreieck</strong> gleichschenkliges <strong>Dreieck</strong> gleichseitiges <strong>Dreieck</strong>Linien im <strong>Dreieck</strong> Das Lot von einer Ecke des <strong>Dreieck</strong>s auf die Gegenseite ist eine Höhe (h c ). Die Strecke, die einen Innenwinkel halbiert, heißt Winkelhalbierende (w γ ).Die Verbindungsstrecke eines Eckpunktes mit der Mitte der Gegenseite ist eineSeitenhalbierende (s c ). Die Senkrechte im Mittelpunkt einer Seite ist eine Mittelsenkrechte (m c ).CAh c w γ s c m cHcW γ McB2
Grundkonstruktionen - LösungenKonstruiere in den folgenden Aufgaben ein <strong>Dreieck</strong> aus den gegebenen Größen. Fertige eineBeschreibung an. Miss die fehlenden Größen – dann ist eine Kontrolle über die Richtigkeitdeiner Lösung sofort möglich.Konstruktion eines <strong>Dreieck</strong>s aus den 3 Seiten (SSS)Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:a = 4,5 cm; b = 4,1 cm; c = 5,6 cm4.10 cmC81.1 °4.50 cm46.3 °A52.6 °5.60 cmBKonstruktionsbeschreibung:1. Es wird die Strecke a = 4,5 cm mit den Endpunkten B und C gezeichnet.2. Um B wird ein Kreisbogen mit dem Radius 5,6 cm geschlagen.3. Um C wird ein Kreisbogen mit dem Radius 4,1 cm geschlagen.4. Der Schnittpunkt der Kreisbögen bildet den Punkt A.5. A wird mit B und C verbunden.3
Konstruktion eines <strong>Dreieck</strong>s aus 2 Seiten und dem eingeschlossen Winkel(SWS)Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:b = 4,3 cm; c = 6 cm; α = 40 04.30 cmC94.4 °3.87 cm40.0 °45.6 °AKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen von c mit den Endpunkten A und B.2. Antragen von α = 40 0 an A.3. Kreisbogen mit r = 4,3 cm um A; es entsteht C.4. B mit C verbinden.Konstruktion eines <strong>Dreieck</strong>s aus einer Seite und zwei Winkeln (SWW oderWSW)6.00 cmKonstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:c = 7 cm; α = 55 0 , ß = 48 0BKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen von c = 7 cm mit den EndpunktenA und B.2. In A wird α = 55 0 und in B wird ß = 48 0angetragen3. Der Schnittpunkt ist C.C77.0 °5.34 cm5.88 cm55.0 °48.0 °A7.00 cmB4
Konstruktion eines <strong>Dreieck</strong>s aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel dergrößeren Seite (SsW)Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:a = 3,9 cm; c = 5,4 cm; γ = 70 0Konstruktionsbeschreibung:C70.0 °1. Zeichnen von a = 3,9 cm.2. Antragen von γ = 70 0 in C.3. Kreisbogen um B mit demRadius c = 5,4 cm.4. Der Schnittpunkt ist A.5.30 cmba3.90 cm67.3 °Bc5.40 cmA42.7 °Die Höhen im <strong>Dreieck</strong>b = 5,5 cm; h c = 3,4 cm; a = 4,4 cmKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden2. Festlegen eines Punktes H3. Errichten der Höhe h c in Hmit dem Punkt C4. Kreisbögen um C mit4,4 cm bzw. 5,5 cm;es entstehen A und B38.2 °5.50 cm3.40 cmC91.2 °4.40 cm50.6 °AHB7.12 cm5
Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:c = 6,5 cm; h c = 3,6 cm; α = 52 0Konstruktionsbeschreibung:83.7 °C1. Zeichnen von c mit A und B.2. Festlegen von H‘auf c.3. Errichten von h‘ in H‘.4. Antragen von α.5. Parallelverschiebungvon h‘ durch denSchenkel von α; esentsteht C.A4.57 cm5.15 cm3.60 cm52.0 ° 44.3 °Hh'H'B6.50 cmAufgabe 3a) Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:h a = 4 cm; ß = 20 0 ; γ = 50 0C'C50.0 °H14.35 cm5.22 cm4.00 cmB'20.0 °BA110.0 °11.70 cmKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden, Festlegen des Punktes H2. Errichten der Höhe h a in H; es entsteht der Punkt A3. Festlegen von C‘ und B‘ auf der Geraden4. Antragen von ß und γ in B‘ und C‘5. Parallelverschiebung der Schenkel von ß und γ durch C6
Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:h c = 3,4 cm; α = 42 0 ; γ = 84 0Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden2. Festlegen von H auf derGeraden und Errichtender Höhe; es entsteht C3. A‘ auf der Geraden anlegenund α antragen4. Parallelverschiebungdes Schenkels von αdurch C; es entstehtA5. Antragen von γ in C;es entsteht BA'42.0 °A5.08 cm3.40 cm6.25 cmHC84.0 °4.20 cm54.0 °Bd) Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:h c = 2,8 cm; b = 4,5 cm; γ = 86 0Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden, Festlegungvon H; Errichten von h cmit C2. Kreisbogen um C mit r = 4,5 cm;es entsteht A3. Antragen von γ in C; esentsteht B38.5 °4.50 cm2.80 cmC86.0 °3.40 cm55.5 °AHB5.45 cm7
Die Seitenhalbierenden im <strong>Dreieck</strong>a) Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:c = 6 cm; s c = 4 cm; α = 50 0Konstruktionsbeschreibung:C1. Zeichnen von c mit A und B2. Antragen von α3. Bestimmung von M (Kreisbögenin der nebenstehendenZeichnung aus Gründen derÜbersichtlichkeit nichtdargestellt)4. Kreisbogen um M mitr = 4 cm – es entsteht C50.0 °A5.20 cm73.7 °4.00 cmM6.00 cm4.79 cm56.3 °BKonstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:c = 6,1 cm; b = 4,8 cm; s c = 4,5 cmC67.7 °Konstruktionsbeschreibung4.80 cm6.01 cm1. Zeichnen von c mit A und B2. Konstruktion von M3. Kreisbogen um A mit 4,8 cm4. Kreisbogen um M mit 4,5 cm –es entsteht C65.6 °A4.50 cmM6.10 cm46.7 °B8
Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:h c = 3,4 cm; s c = 3,8 cm; a = 5,5 cm118.0 °C67.1 °8.43 cm5.50 cm23.8 °3.80 cm3.80 cm38.2 °A2M2A13.40 cmM1B12.04 cm5.25 cmKonstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen einer Geraden, Errichten der Höhe mit C2. Kreisbogen mit 3,8 cm um C; es entstehen M 1 und M 23. Kreisbogen mit 5,5 cm um C; es entsteht B4. Bestimmung von A 1 bzw. A 2 – es gibt 2 LösungenKonstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:r a = 3,1 cm; c = 5,2 cm; s c = 4,1 cm28.8 °3.10 cm6.18 cmC57.0 °A4.10 cm2.98 cm5.20 cmB94.2 °Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen des Außenkreises mit r = 3,1 cm2. Festlegen des Punktes A, Kreisbogen um A mit 5,2 cm; es entsteht B3. Mittelpunkt von AB bestimmen; Kreisbogen mit 4,1 cm um den Mittelpunkt; es entsteht C9
Die Winkelhalbierende im <strong>Dreieck</strong>Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:c = 6,6 cm; α = 52 0 ; w α = 4,6 cmKonstruktionsbeschreibung:C88.7 °1. Zeichnen von c mit A und B2. Antragen von α3. Konstruieren von w α4. w α = 4,6 cm; es entsteht W5. Halbgerade durch B und Wzeichnen – es entsteht CA4.18 cmW4.60 cm5.20 cm39.3 °B52.0 °6.60 cmDie Mittelsenkrechten im <strong>Dreieck</strong>Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> mit Umkreis aus:a = 5,5 cm; c = 6,2 cm; ß = 71 059.3 °C5.50 cm6.82 cm71.0 °AB49.7 °6.20 cm10
Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen der Strecke c = 6,2 cm mit den Endpunkten A und B.2. Antragen von ß = 71 0 in B.3. Kreisbogen um B mit dem Radius r = 5,5 cm4. Der Schnittpunkt ist C.5. Für den Außenkreis werden die drei Mittelsenkrechten wie folgt konstruiert:2 gleich große Kreisbögen um A und B (> 3,1 cm)Die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen werden miteinander verbunden; es entsteht dieMittelsenkrechte m c .Die Mittelsenkrechten m a und m b werden auf gleiche Weise konstruiert.Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Außenkreises.Konstruiere ein <strong>Dreieck</strong> aus:r = 3,8 cm; c = 6,4 cm; α = 35 0Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen eines Kreises mitr = 3,8 cm.2. Festlegen eines Punktes Aauf dem Kreisbogen.3. Kreisbogen schlagen um Amit dem Radius 6,4 cm. Esentstehen zwei Schnittpunktemit dem ersten Kreis; einennennen wir B.4. Antragen von α in A; derSchnittpunkt mit dem erstenKreis ist C.5. Verbinden von B und C.A3.80 cm7.59 cm35.0 °6.40 cmC57.4 °4.36 cm87.6 °BKonstruiere ein rechtwinkliges <strong>Dreieck</strong> aus:r = 2,8 cm; α = 44 090.0 °Konstruktionsbeschreibung:1. Zeichnen von c = 5,6 cm2. Mittelpunkt von c bestimmen3. Halbkreis zeichnen4. α antragen – es entsteht C5. B mit C verbindenC4.03 cm 3.89 cm44.0 °46.0 °AB5.60 cm11
Der ThalessatzZeichne jeweils ein rechtwinkliges <strong>Dreieck</strong> ABC mit Hilfe des Thalessatzes, wenn gegebenist:a) c = 5 cm; a = 3 cmKonstruktionsbeschreibung:4.00 cmC90.0 °1. Zeichnen von c = 5 cm mitA und B2. Bestimmung des Mittelpunktesvon c3. Zeichnen eines Halbkreisesdurch A und B4. Kreisbogen um B mit r = 3 cm –es entsteht C36.9 °A5.00 cm3.00 cmB53.1 °Zeichne ein <strong>Dreieck</strong> aus einem Halbkreis mit dem Radius 4 cm und q = 3cm!Konstruktionsbeschreibung:C1. Zeichnen von c = 8 cm2. Bestimmung von M, Zeichnendes HalbkreisesAntragen von q, Errichtenvon h; es entsteht C52.2 °4.90 cm 6.32 cm3.87 cm37.8 °A3.00 cm H M 5.00 cmB12