Strömungsmechanik für Bauingenieure - Teil II, Übungsaufgaben

Übungsaufgaben, Teil IIAusgabe SoSe 2013

Anstelle eines VorwortesEin rundes Vierteljahrhundert haben Generationen von Studenten mit dem bisherigen maschinengeschriebenenÜbungsheft gearbeitet. Eine lange Reihe von Mitarbeitern hat an dessen Entstehung undWeiterentwicklung teilgehabt. Diese Sammlung wurde jetzt von Dipl.-Ing. R. Ratke kritisch durchgesehen,vom Umfang her an den Vorlesungsstoff angepasst und wie die Skripte in TEX gesetzt.

InhaltsverzeichnisZahlenwerte und HinweiseiiK Gerinneströmungen (vertieft) 1Übungs- und Klausuraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2L Kinematik und Kinetik 3Übungs- und Klausuraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Fragen und Kurzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7N Strömungsmodelle und Ähnlichkeitstheorie 9Übungs- und Klausuraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Fragen und Kurzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15O Potentialströmung am Beispiel Grundwasserströmung 17Übungs- und Klausuraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Fragen und Kurzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26P Grenzschichtströmungen 29Übungs- und Klausuraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Q Strömungskräfte 31Übungs- und Klausuraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Fragen und Kurzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37I Formeln zur Strömungsmechanik I.1i

InhaltsverzeichnisZahlenwerte und HinweiseZahlenwerteSofern in der Aufgabenstellung nicht explizit anders vorgegeben, ist mit folgenden Werten zu rechnen:Größe Zeichen WertAtmosphärischer Normaldruck p 0 100 kPa = 10 mWsErdbeschleunigung g 9,81 m/s 2Geschwindigkeitsbeiwerteα = β = 1, 0Stoffwerte (20 o C, Normaldruck)Fluid Zähigkeit DichteWasser ν W = 1, 0 · 10 −6 m/s 2 ρ W = 1000,0 kg/m 3Luft ν L = 14, 9 · 10 −6 m/s 2 ρ L = 1,2 kg/m 3Erdöl (Baku) νÖ = 2, 6 · 10 −6 m/s 2 ρÖ = 824,0 kg/m 3 (1 g/cm 3 = 1 kg/l = 1 t/m 3 )HinweiseZu jedem Themenbereich werden Aufgaben in der Reihenfolge gegeben:1. Längere Übungs- und klausurtypische Aufgaben2. Fragen und Kurzaufgaben3. Lösungen zu 1. – teilweise mit LösungswegZwischenergebnisse ohne Einheiten: → [m, kg, s]-System(Antworten zu 2. werden generell nicht angegeben.)Zahlenangaben sind Näherungswerte zu Übungszwecken ohne Anspruch auf Vollständigkeit- ii -

Aufgaben KGerinneströmungen (vertieft)- 1 -

Aufgaben K - Gerinneströmungen (vertieft)Übungs- und KlausuraufgabenDie Aufgabenstellung erfolgt durch das Franzius-Institut.- 2 -

Aufgaben LKinematik und Kinetik- 3 -

Aufgaben L - Kinematik und KinetikÜbungs- und KlausuraufgabenAufgabe L.1Berechnen Sie folgend den Gradienten (grad h)!a) h(x; y; z) = xyz + x 2 e y (kartesische Koordinaten)b) h(r; ϕ; z) = sin ϕ e −zr(Zylinderkoordinaten)Aufgabe L.2Ist die Kontinuitätsgleichung für stationäre, inkompressible, dreidimensionale Strömungen erfüllt,wenn die folgenden Komponenten der Geschwindigkeit gegeben sind?v x = 2x 2 − xyv y = x 2 − 4xyv z = −2xy − yz + y 2Aufgabe L.3Das Geschwindigkeitsfeld einer laminaren, reibungsbehafteten, zweidimensionalenRohrströmung ist gegeben durch v x = 1 ∂p (R 2 − y 2) und4µ ∂xv y = 0 mit dem Reibungskoeffizienten µ.a) Liegt eine Potentialströmung vor?b) Falls die Strömung nicht rotationsfrei ist, drehen sich die Teilchen mit oder gegen den Uhrzeigersinn?Aufgabe L.4Das zweidimensionale Geschwindigkeitsfeld bei der Umströmung einesKreiszylinders wird in Polarkoordinaten beschrieben als:⎡ ) ⎤[ ]v r(1 − R2⃗v = = v ∞⎢ r 2 cos ϕ) ⎥v ϕ⎣−(1 + R2 ⎦r 2 sin ϕBerechnen Sie die Divergenz (div⃗v) und die Rotation (rot⃗v) des Geschwindigkeitsfeldes!- 4 -

L - Kinematik und KinetikAufgabe L.5a) Wie lauten die Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten für eine dreidimensionale,instationäre, inkompressible Strömung?b) Welcher Term kann im stationären Fall vernachlässigt werden?Aufgabe L.6Betrachtet wird eine laminare, stationäre, inkompressible, zweidimensionale Strömung zwischen zweiparallelen Platten, bei denen die obere Platte die horizontale Geschwindigkeit v x (z = a) = v xa relativzur unteren Platte aufweist. Die senkrechte Koordinate ist parallel zum Erdbeschleunigungsvektor.a) Wie lauten die Navier-Stokes-Gleichungen in diesem Fall?b) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeitsverteilung durchv x = v xa · za − az ∂p[2η ∂x · 1 − z ]gegeben ist.ac) Für die oben angegebene Strömung zwischen zwei parallelen Platten herrschen die folgendenBedingungen:a = 0,1 mv xa = 10 cm/sη = 10 −3 kg/ms∂p∂x = 8·10−2 N/m 3 (Der Druck steigt in positiver x-Richtung an.)1. Zeichnen Sie die Geschwindigkeitsverteilung v x (z)!2. Interpretieren Sie diese Geschwindigkeitsverteilung!- 5 -

Aufgaben L - Kinematik und KinetikFragen und KurzaufgabenKurzaufgabe L.k1Welcher Zusammenhang besteht zwischen substantieller, konvektiver und lokaler Beschleunigung? GebenSie die Terme für eine eindimensionale Strömung an und bezeichnen Sie diese!Kurzaufgabe L.k2Was versteht man unter Scheinzähigkeit, und in welcher Bewegungsgleichung wird sie berücksichtigt?Kurzaufgabe L.k3Die Navier-Stokes-Gleichungen lauten:f i − 1 ∂p+ ν ∂2 v i= dv iρ ∂x} {{ } i ∂x j ∂x j dt} {{ }1 2 3 4Geben Sie für die numerierten Komponenten der Gleichung die entsprechenden Kräfte pro Masse an!• 1:• 3:• 2:Kurzaufgabe L.k4Die Reynolds-Gleichungen lauten:• 4:f i − 1 ∂p+ 1 ∂[η ∂v ]i+ ρ(vi ′ ρ ∂x} {{ } i ρ ∂x j ∂x v′ j ) ∂v i= v j + ∂v ij } {{ } ∂x j ∂t} {{ } } {{ }} {{ }1 2 3 4 5 6a) Welches Glied beschreibt die turbulenten Scheinspannungen?b) Welches Glied beschreibt den laminaren Zähigkeitseinfluss?c) Warum gilt diese Gleichung nur für Newtonsche Fluide?Kurzaufgabe L.k5Welches Phänomen wird durch folgende Gleichung beschrieben? Beschreiben Sie die linke und dierechte Seite der Gleichung in Worten!∫∫∂ρ dV = − ρ ⃗v dA∂tKRKurzaufgabe L.k6KFDie Navier-Stokes-Gleichungen lauten:⃗f − 1 ρ gradp + ν∆⃗v }{{} = d⃗vdt} {{ }1 2 3 4Ordnen Sie die numerierten Komponenten dieser Gleichung den unten aufgeführten Kraftarten zu!• Zähigkeitskräfte:• Massenkräfte:• Trägheitskräfte:- 6 -• Druckkräfte:

L - Kinematik und KinetikLösungenAufgabeLösung, (Weg)⎛z + 2xe yxz + x 2 e y⎞⎜⎟1 a) gradh = ⎝⎠xy⎛− sin(ϕ)e −z ⎞r 2eb) gradh =−z cos(ϕ)⎜⎝r 2 ⎟− sin(ϕ)e −z ⎠r2 nein, div⃗v = −2y ≠ 03 a) nein, div⃗v = 0, aber rot⃗v = 1 ∂p2µ ∂x yb) y = 0 (Achse): keine Drehung,y < 0 (unterhalb): mit und y > 0 (oberhalb): gegen den Uhrzeigersinn4 div⃗v = cos ϕ}{1 + R2r r 2 − 1 − R2r 2 = cos ϕ {0} = 0r⎛⎞0⎛ ⎞rot⃗v = ⎜00⎝} ⎟sin ϕ{−1 + R2r r 2 + 1 − R2 ⎠ = ⎜ ⎟⎝ 0 ⎠r 2 05 a) f i − 1 ∂p+ ν ∂2 v iρ ∂x i ∂x 2 j∂v ib)∂t6 a) x : −ν ∂2 v x= dv idt(Indexschreibweise: i, j = x, y, z)∂z 2 = −1 ∂pρ ∂x ; y : −; z : 0 = −1 ∂pρ ∂z − gb) v x = 1 ∂p2η ∂x z2 + C 1 z + C 2RB: v x (z = 0) = 0 ❀ C 2 = 0c)RB: v x (z = a) = v xa = 1 ∂p2η ∂x a2 + C 1 a ❀ C 1 = v xaa − 1 ∂p( 2η ∂x a1 ∂p vxav x2η ∂x z2 +a − 1 )∂p2η ∂x a z = v xa · za − az ∂p[· 1 − z ]2η aWegen der Druckzunahme in x-Richtung fließt die Strömung im Mittel von rechts nach links(dem Druckgradienten entgegen).- 7 -

frei für Notizen

Aufgaben NStrömungsmodelle undÄhnlichkeitstheorie- 9 -

Übungs- und KlausuraufgabenAufgaben N - Strömungsmodelle und ÄhnlichkeitstheorieAufgabe N.1Das Modell eines Hafenbeckens im Längenmaßstab λ L = 1 : 100 wird in t M = 8 Minuten durch Öffnendes Schleusentores entleert. In welcher Zeit läuft das Hafenbecken aus?Aufgabe N.2Es soll der Widerstand eines bei einem Flugzeug verwendeten Profildrahtes mit einem Durchmesservon D N = 10 mm bei einer Geschwindigkeit von v N = 200 km/h bestimmt werden. Welcher DrahtdurchmesserD M ist für einen Modellversuch in einem Wasserkanal bei einer Strömungsgeschwindigkeitvon v M = 20 cm/s zu wählen, wenn die kinematische Zähigkeit der Luft fünfzehnmal so groß ist wiedie von Wasser?Aufgabe N.3In dem dargestellten Flussabschnitt mit demAbfluss Q N = 300 m 3 /s sollen die durchden Einbau von Brückenpfeilern verändertenStrömungsverhältnisse anhand eines Modells imMaßstab 1:100 untersucht werden.Wie groß muss der Abfluss Q M im Modell gewählt werden, wenn der Einfluss der Schwere- undTrägheitskräfte als maßgebend angesehen wird?Aufgabe N.4Eine Brücke mit einer Gesamtlänge von l N = 500 m soll auf ihr Verhalten im Wind untersucht werden.Es wird in der Natur mit Windgeschwindigkeiten bis zu v N = 108 km/h gerechnet. Der zur Verfügungstehende Windkanal erzeugt eine maximale Windgeschwindigkeit von v M = 120 m/s und hat eine zurVerfügung stehende Messbreite von l M = 15 m.a) Mit welcher Geschwindigkeit müsste der Windkanal betrieben werden, um die Reynolds-Ähnlichkeiteinzuhalten? Ist der Windkanal dazu geeignet?b) Mit welcher Geschwindigkeit müsste im Modell gearbeitet werden, wenn Luft statt Wasser alsströmendes Fluid verwendet wird?ν Luft = 15, ν W asser = 1 [·10 −6 m 2 /s]c) Bei hinreichend hohen Geschwindigkeiten in Modell und Natur kann auf die Reynolds-Ähnlichkeitverzichtet werden. Warum?- 10 -

N - Strömungsmodelle und ÄhnlichkeitstheorieAufgabe N.5Die durch den Einbau mehrerer Brückenpfeiler in einem Fluss verursachte Wellenbildung soll durchein im Maßstab 1:25 hergestelltes Modell ermittelt werden.a) Welche Geschwindigkeit ist im Versuchsgerinne zu wählen, wenn die Geschwindigkeit des Flussesv N = 3 m/s ist?b) Die zwischen zwei Pfeilern strömende Menge sei im Versuch mit Q M = 0, 17 m 3 /s gemessenworden. Wie groß ist die entsprechende Durchflussmenge im Naturfall?Aufgabe N.6Ein Turmdrehkran steht unter Windbelastung. Er soll unter Einfluss der Geschwindigkeit v M in einemModellversuch untersucht werden, wobei das Verhältnis der Zähigkeits- zu den Trägheitskräftenbeachtet werden soll. In dem zur Verfügung stehenden Wind- bzw. Wasserkanal ist eine Maximalgeschwindigkeitv M,max möglich.h N = 20 mv N = 40 m/sλ L = 1:30v M,max = 80 m/sFluidZähigkeit νGlycerin 1170 · 10 −6 m 2 /sLuft 15 · 10 −6 m 2 /sWasser 1 · 10 −6 m 2 /sa) Welches der aufgeführten Fluide ist bei gegebenem Längenmaßstab λ L für den Versuch zu verwenden?b) Wie groß müssen im Modell die Gesamthöhe h M des Krans und die Geschwindigkeit v M sein?Aufgabe N.7Mit welcher Geschwindigkeit kann ein Luftschiff mit einer Antriebskraft von F N = 10 kN fahren, wennim Windkanal am Modell (Maßstab λ L = 1 : 100) eine Widerstandskraft von F M = 12 N bei einerGeschwindigkeit von v M = 75 m/s gemessen wurde?- 11 -

Aufgaben N - Strömungsmodelle und ÄhnlichkeitstheorieFragen und KurzaufgabenKurzaufgabe N.k1Nach welcher Ähnlichkeitsbedingung würden Sie einModell des nebenstehenden Systems bauen?(Mit Begründung)Kurzaufgabe N.k2Welche Ähnlichkeitsbedingungen kennen Sie?Wie lauten die entsprechenden Kennzahlen (Definitionsgleichungen)?Kurzaufgabe N.k3Welche Ähnlichkeitsbedingungen kennen Sie, und welche maßgeblichen Kräfte werden jeweils berücksichtigt?Kurzaufgabe N.k4Ein Wehrüberfall soll in einem Modellim Maßstab 1:25 untersucht werden. DasWehr ist 10 m hoch; der Wasserspiegelliegt maximal 1,5 m über der Wehrkrone.a) Wie hoch ist das Wehr im Modell?Welche maximale Wasserspiegellage ist im Modell einzustellen?b) Der Durchfluss in dem 50 cm breiten Modell wird mit 0,02 m 3 /s gemessen.Wie groß ist der Durchfluss pro Breitenmeter in der Natur?- 12 -

N - Strömungsmodelle und ÄhnlichkeitstheorieKurzaufgabe N.k5Der Strömungswiderstand eines Unterseebootes im getauchten Zustand soll untersucht werden.a) Die maximale Anströmgeschwindigkeit in der Natur beträgt 25 km/h.Mit welcher Geschwindigkeit (in m/s) muss ein Modell im Maßstab 1:10 betrieben werden, wennWasser als Fluid verwendet wird?b) Ist diese Geschwindigkeit realistisch?Kurzaufgabe N.k6Durch ein Flussmodell im Maßstab 1:100 fließen Q M = 1 l/s Wasser. Welcher mittleren Fließgeschwindigkeitwürde diese Menge in der Natur bei einem Fließquerschnitt von A = 50 m 2 entsprechen?Kurzaufgabe N.k7Nach welcher Ähnlichkeitsbedingung würden Sie ein Modell des folgenden Systems bauen?Geben Sie Namen und Definitionsgleichung der betreffenden Kennzahl an und begründen Sie IhreAussage.Kurzaufgabe N.k8Es soll die Druckverteilung an einem von Wasser umströmten Profil im Modell untersucht werden.Zähigkeitseinflüsse sind zu berücksichtigen.Wie groß muss das Modell sein, wenn im Versuch die Wassergeschwindigkeit fünfmal so groß sein sollwie in der Natur? (Begründung!)Kurzaufgabe N.k9Bei einem Modellversuch nach Reynolds wird dasselbe Fluid wie in der Natur benutzt. Geben Sie denKräftemaßstab an!- 13 -

Aufgaben N - Strömungsmodelle und ÄhnlichkeitstheorieKurzaufgabe N.k10Das Modell eines Kanals im Maßstab λ L = 0, 02 läuft nach einem Dammbruch in 20 min aus. Inwelcher Zeit entleert sich der reale Kanal?Kurzaufgabe N.k11a) Warum kann bei Körpern, die mit hoher Geschwindigkeit (ohne Schwerkrafteinfluss) umströmtwerden, auf die Einhaltung der Reynolds-Ähnlichkeit verzichtet werden?b) Welche Terme in der Navier-Stokes-Gleichungf i− 1 ρ ( ∂p +ν ∂2 v i) = dv i∂x i ∂x j ∂x j dt1 2 3 4werden dann nur noch berücksichtigt?Kurzaufgabe N.k12Die drei unten skizzierten Strömungen sollen in Modellversuchen untersucht werden. Geben Sie jeweilsdas Ähnlichkeitsgesetz und die Definition der zugehörigen Kennzahl an.- 14 -

N - Strömungsmodelle und ÄhnlichkeitstheorieLösungenAufgabeLösung, (Weg)1 Froude; t N = 80 min2 Reynolds; D M = 18, 53 cm3 Froude; Q M = 0, 003 m 3 /s4 a) Reynolds; v M = 1000 m/s, unmöglichb) v M = 66, 7 m/s, unrealistischc) Weil dann die turbulenten Scheinzähigkeiten bestimmend werden.5 a) Froude; v m = 0, 6 m/sb) Q N = 531, 25 m 3 /s6 a) Reynolds; Wasser (geringste Zähigkeit)b) λ L = 1 : 30, h M = 0, 667 m; λ v = 2 : 1, v M = 80 m/s7 Euler; v N = 21, 651 m/s = 77,94 km/h- 15 -

frei für Notizen

Aufgaben OPotentialströmung am BeispielGrundwasserströmung- 17 -

Übungs- und KlausuraufgabenAufgaben O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungAufgabe O.1Gegeben ist ein wassergefülltes U-Rohr mit einemeingesetzten Sandfilter zwischen A und B.k f = 1 · 10 −3 m/sBerechnen Sie den Wasserdruck in den PunktenA und B sowie den Betrag der Filtergeschwindigkeit!Aufgabe O.2Gegeben sei ein durchströmtes Sandgebiet in der folgenden Anordnung.Bestimmen Sie für die Punkte A, B, C und D die folgenden Größen:k f = 1 · 10 −3 m/sa) Standrohrspiegelhöhe,b) Wasserdruck,c) den Betrag der Filtergeschwindigkeit!d) Markieren Sie die Richtung der Filtergeschwindigkeit durch Pfeile!- 18 -

O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungAufgabe O.3Ein gerader, mit Sand (k f = 1 · 10 −3 m/s) gefüllter, rechteckiger Querschnitt mit der Länge l = 20 mund der Höhe a = 10 m wird von Wasser durchsickert:Gegebene PunktePunkt x [m] z [m]A 10,0 10,0B 10,0 5,0C 10,0 0,0D 0,0 0,0E 20,0 0,0a) Berechnen Sie die Standrohrspiegelhöhe h(x, z) und den Druck p(x, z) an den Punkten A, B,C, D und E.b) Berechnen Sie den Betrag der Filtergeschwindigkeit an den Punkten A und C.c) Berechnen Sie den Durchfluss pro Breitenmeter zwischen C und A.d) Wie groß ist die Resultierende der tatsächlichen Strömungsgeschwindigkeit bei einem Porenanteildes Sandes von n = 10%?Aufgabe O.4Gegeben sei das skizzierte Grundwassersystem.a) Zeichnen Sie qualitativ richtig fünf Stromlinien und zehn Äquipotentiallinien in die obere Abbildungein!b) Geben Sie qualitativ richtig die Standrohrspiegelhöhen in den sechs Standrohren an (bei 1, 2und 3)!c) Wie groß ist die Vertikalkomponente der Filtergeschwindigkeit v z an der Stelle 2?- 19 -

Aufgaben O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungAufgabe O.5In einem kastenförmigen Grundwassermodell der Länge L und der Mächtigkeit d liegt bei konstanterBreite eine quasi-zweidimensionale Strömung vor, wenn an den Stirnseiten konstante Randbedingungenherrschen. Unter- und Oberseite des Modells sind undurchlässig.Der Kasten kann mit zwei verschiedenen Böden gefüllt werden, die die Durchlässigkeiten k 1 und k 2besitzen. Der Unterschied der Standrohrspiegelhöhen zwischen Ein- und Auslass beträgt ∆h = h 1 −h 2 .Berechnen Sie die mittlere äquivalente Durchlässigkeit ¯k mit der Annahme, dass die mittlere Geschwindigkeit¯v = −¯k ∆h ist, für:La) Die Böden liegen als horizontale Schichten mit den Dicken d 1 und d 2 ; d 1 + d 2 = d.b) Die Böden bilden zwei in Strömungsrichtung hintereinander liegende Blöcke mit den Längen L 1und L 2 ; L 1 + L 2 = L.Aufgabe O.6d = 2,00 mr 2 = 2000 mh 2 = 4,00 mQ = 6,283 l/sk = 2 · 10 −3 m/sÜber einer undurchlässigen Schicht liegt ein homogener ungespannter Grundwasserleiter. Aus einemBrunnen wird Trinkwasser mit der Rate Q gefördert. Es wird von einer horizontal gerichteten Fließgeschwindigkeit,die konstant über ein Querschnitt ist (Dupuit-Annahme), ausgegangen. Das Untersuchungsgebietist rotationssymmetrisch zur Brunnenachse – Rechnung in Polarkoordinaten!a) Betrachten Sie den zylindrischen Vertikalschnitt um den Brunnen mit dem Radius r und schreibenSie die stationäre Kontinuitätsgleichung für dieses System auf! Stellen Sie dazu den Zusammenhangzwischen Volumenstrom und Filtergeschwindigkeit durch die zylindrische Mantelflächeher und verwenden Sie das Darcy-Gesetz.b) Wie hoch steht das Grundwasser über der undurchlässigen Schicht in Abhängigkeit von derEntfernung an? Berechnen Sie h(r) algebraisch in allgemeiner Form.c) Wie hoch steht das Wasser im Brunnen?- 20 -

O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungAufgabe O.7Die Berechnung einer Grundwasserströmung hat u.a. die in der Tabelle angegebenen Standrohrspiegelhöhen[m über NN] ergeben.a) Bestimmen Sie die fehlenden Werte für die Standrohrspiegelhöhe h und tragen Sie diese in dieTabelle ein!b) Berechnen Sie die Richtung und den Betrag der Filtergeschwindigkeit im Punkt M!Aufgabe O.8Die Verteilung der Standrohrspiegelhöhen h unter einem abgespundeten Wehrkörper wurde mit Hilfeeines numerischen Modells berechnet und ist in der folgenden Abbildung als Wertefeld dargestellt.a) Zeichnen Sie qualitativ richtig die Wasserspiegellinie vom Ober- zum Unterwasserspiegel in dieobere Abbildung ein!b) Berechnen Sie die Druckverteilung des Wassers [in kPa] auf die Sohle des Wehrkörpers infolgeder Grundwasserströmung!- 21 -

Aufgaben O - Potentialströmung am Beispiel Grundwasserströmungc) Zeichnen Sie in das Wertefeld die Äquipotentiallinien mit ∆h = 1 m sowie fünf Stromlinien ein!d) Berechnen Sie die Komponenten der Filtergeschwindigkeiten für die im Wertefeld angegebenenPunkte und zeichnen Sie die Vektoren im gegebenen Maßstab ein (k f = 10 −4 m/s)!- 22 -

O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungFragen und KurzaufgabenKurzaufgabe O.k1Wie lautet das Darcy-Gesetz? Benennen Sie die vorkommenden Größen einschließlich der Dimensionen!Kurzaufgabe O.k2Unter einem Bauwerk befindet sich eine durchlässige Bodenschicht in der skizzierten Anordnung.a) Kennzeichnen Sie alle in der Zeichnung vorkommenden Potentiallienien mit o und Stromlinienmit x in der oberen Abbildung.b) Geben Sie die Fließrichtung mit Pfeilen entlang der Stromlinien in die obere Abbildung an!Kurzaufgabe O.k3Unter einem Bauwerk befindet sich eine durchlässige Bodenschicht in der skizzierten Anordnung.Zeichnen Sie qualitativ wesentliche Strom- und Potentiallinien (mindestens jeweils 5) in das Gebietein und kennzeichnen Sie diese!- 23 -

Aufgaben O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungKurzaufgabe O.k4Markieren Sie jeweils die richtige Aussage für die unten skizzierte Grundwasserströmung. h A , h B , h Cund h D seien die Standrohrspiegelhöhen in den Punkten A, B, C und D.[ ] h A ist größer als h B[ ] h A ist kleiner als h B[ ] h A und h B sind gleich[ ] h A ist größer als h D[ ] h A ist kleiner als h D[ ] h A und h D sind gleich[ ] h C ist größer als h A[ ] h C ist kleiner als h A[ ] h C und h A sind gleichKurzaufgabe O.k5Die Berechnung einer Grundwasserströmung ergab die in der Wertetabelle angegebenen Standrohrspiegelhöhenh für die Punkte f und g. Ergänzen Sie die fehlenden Werte für h und die Druckhöhep/ρg in der Tabelle.Punktabcdeh [m]f 5,6g 5,4pρg [m]∆x = ∆z = 1, 00 m- 24 -

O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungKurzaufgabe O.k6Unter einem Bauwerk befindet sich eine durchlässige Bodenschicht in der skizzierten Form. Geben Siedie Werte für Druck und Standrohrspiegelhöhe in den Punkten A, B und C an!Kurzaufgabe O.k7Die Berechnung der Standrohrspiegelhöhen in einer Grundwasserströmung hat unter anderem die inder Skizze gezeigten Werte ergeben:a) Geben Sie die Definitionsgleichung derStandrohrspiegelhöhe – mit Einheiten füralle Terme – an!b) Berechnen Sie den Druck p im Punkt M!∆x = ∆z = 2, 00 mρ = 1 t/m 3c) Zeichnen Sie grob die Richtung der Grundwasserströmungin die Skizze ein!Kurzaufgabe O.k8Die Berechnung der Standrohrspiegelhöhen in einer Grundwasserströmung hat unter anderem die inder Skizze gezeigten Werte ergeben:a) Berechnen Sie die Standrohrspiegelhöheh M für den Punkt M nach dem Differenzenverfahren!∆x = ∆z = 1, 00 mk f = 1 · 10 −3 m/sb) Berechnen Sie die vertikale Geschwindigkeitskomponentev z,M im Punkt M!- 25 -

Aufgaben O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungLösungenAufgabeLösung, (Weg)1 p A = 29, 43 kPa, p B = 9, 81 kPav f = −1, 5 · 10 −3 m/s2 a) h A = 11, 00 m ü.NN, h B = 9, 00 m ü.NNh C = 7, 00 m ü.NN, h D = 7, 00 m ü.NNb) p A = 29, 43 kPa, p B = 39, 24 kPap C = 49, 05 kPa, p D = 58, 86 kPac) v f = 1 · 10 −4 m/sd) Wasser strömt von A nach C3 a) h A = h B = h C = 15, 0 m, h D = 16, 0 m, h E = 14, 0 mp A = 49, 05 kPa, p B = 98, 10 kPa, p C = 147, 15 kPap D = 156, 96 kPa, p E = 137, 34 kPab) v f,z = 0 m/s, v f,x = 1, 0 · 10 −4 m/sc) q = 0, 001 m 2 /sd) v A,z = 0 m/s, v A,x = 1, 0 · 10 −3 m/s4 a) siehe Seite 27b) siehe Seite 27c) v z,2 = 0, 00 m/sd 1 k 1 + d 2 k 25 a) ¯k =dLk 1 k 2b) ¯k =(L 1 k 2 + L 2 k 1 )6 a) Q = 2πr√· kh ∂h/∂r; v ϕ = 0b) h(r) =c) h 1 = 2, 90 mh 2 2 + Q πk ln(r/r 2)7 a) h OL = h O = h OR = 10 m, h R = 10, 2 m, (9-Punkte-Formel)b) |v| = 8, 5 · 10 −4 m/s, α = 69, 44 ◦8 a) siehe S. 28b) x [m] 6, 00 7, 00 7, 00 8, 00 9, 00 10, 00 11, 00 12, 00 12, 00z [m] 6, 20 6, 20 7, 00 7, 00 7, 00 7, 00 7, 00 6, 20 6, 20p [kPa] 85, 84 84, 27 75, 34 74, 46 72, 30 70, 04 69, 06 75, 64 73, 77c) siehe S. 28d) Knoten A B Cv x [10 −4 m/s] 0, 00 0, 25 0, 64v z [10 −4 m/s] −0, 43 0, 01 0, 05Zeichnung auf S. 28- 26 -

Zu Aufgabe O.4:O - Potentialströmung am Beispiel Grundwasserströmung(Potentiallinien gestrichelt; Zeichnung ”von Hand“: Es erfordert etwas Übung, ein annähernd orthogonalesNetz zu erreichen. Immer – und zuerst! – zeichne man diejenigen Strom- bzw. Potentiallinien,die auf einer Begrenzung des Gebietes verlaufen. Die Isolinien gehen nie durch freies Wasser!Dieses dient ausschließlich zur Darstellung einer h-Randbedingung.)- 27 -

Aufgaben O - Potentialströmung am Beispiel GrundwasserströmungZu Aufgabe O.8:a) Wasserspiegelc, d) Potential- und Stromlinien, Geschwindigkeiten, ”von Hand“- 28 -

Aufgaben PGrenzschichtströmungen- 29 -

Aufgaben P - GrenzschichtströmungenÜbungs- und KlausuraufgabenZu diesem Kapitel erfolgen keine Aufgaben.- 30 -

Aufgaben QStrömungskräfte- 31 -

Aufgaben Q - StrömungskräfteÜbungs- und KlausuraufgabenAufgabe Q.1b = 1,6 mh = 1,4 mv = 100 km/hP = 25 kWρ L = 1,2 kg/m 3Ein PKW der Breite b und der Höhe h fährt mit der Geschwindigkeit v. Hierbei gibt der Motor– ausschließlich zur Überwindung des Luftwiderstandes – die Leistung P ab.Wie hoch ist der Widerstandsbeiwert des PKW?Aufgabe Q.2A = 10 m 2v = 50 km/hu = 100 km/hρ L = 1,2 kg/m 3Ein LKW transportiert eine Betonplatte mit einer Seitenflache A. Bestimmen Sie die resultierendeKraft auf die Platte, wenn Seitenwind mit einer Geschwindigkeit v senkrecht zur Platte auftrifft.Unterscheiden Sie die Fälle:a) der LKW steht; c W = 1, 2b) der LKW fährt mit der Geschwindigkeit u; c W = 0, 4, c A = −0, 8- 32 -

Q - StrömungskräfteAufgabe Q.3Eine Reklametafel mit den Abmessungenb×h = 18×10 m 2 ist einem frontalen Windvon v = 20 m/s ausgesetzt.a) Wie groß ist die resultierende Kraft?b) Wie groß ist die resultierende Kraftauf die Tafel, wenn sie unter einemWinkel von α = 45 ◦ angeströmtwird?ρ L = 1, 2 kg/m 3Aufgabe Q.4v ∞ = 350 km/hm = 5.000 kgg = 9,81 m/s 2ρ L = 1,2 kg/m 3Ein Flugzeug mit der Masse m soll bei der Geschwindigkeit v ∞ abheben. Auftriebs- und Widerstandsbeiwerteder Tragflächen sollen dem Diagramm auf Seite 80 des Vorlesungsskripts entnommen werden.Die Fläche A beträgt pro Flügel 5,4 m 2 .a) Um welchen Winkel müssen die Flügel zur Horizontalen mindestens geneigt werden, damit dieMaschine abhebt?b) Wie groß ist die Widerstandskraft an den Tragflächen in diesem Moment?- 33 -

Aufgaben Q - StrömungskräfteAufgabe Q.5H = 100 md = 4 mρ L = 1,2 kg/m 3η L = 18 · 10 −6 kg/(m·s)Ein Fabrikschornstein mit der Höhe H und dem Durchmesser d wird mit der Windgeschwindigkeitv ∞ angeströmt.a) Bis zu welcher Geschwindigkeit v ∞ ist der Strömungszustand unterkritisch?b) Wie groß ist bei dieser Geschwindigkeit die Gesamtkraft auf den Schornstein?(Der Widerstandsbeiwert ist dem entsprechenden Diagramm des Skripts zu entnehmen, L/d = ∞)Aufgabe Q.6H = 40 md = 2 mv u = 20 m/sv o = 40 m/sρ L = 1,2 kg/m 3c W = 0,8Ein Fabrikschornstein hat die Höhe H und den Durchmesser d. Er wird mit einer linear von unten(v u ) nach oben auf v o zunehmenden Geschwindigkeit angeströmt.a) Wie groß ist die resultierende Luftkraft auf den Schornstein?b) Wie groß ist das resultierende Biegemoment bezüglich des Schornsteinfußes (Punkt 0)?- 34 -

Q - StrömungskräfteFragen und KurzaufgabenKurzaufgabe Q.k1Aus welchen Anteilen setzt sich der Widerstand eines von einem realen Fluid umströmten Körperszusammen?Kurzaufgabe Q.k2Berechnen Sie:a) die Reynoldszahl für einen mit 200 km/h fliegenden Tennisball (d = 7,5 cm; ν = 15 · 10 −6 m 2 /s),b) die Geschwindigkeit, bei der ein gleicher Ball mit rauherer Oberfläche (Re krit = 2 · 10 5 ) in denüberkritischen Bereich kommt.Kurzaufgabe Q.k3a) Kennzeichen Sie die skizzierten Ablösepunkte des von einem realen Fluid umströmten glattenKreiszylinders jeweils für den unterkritischen bzw. überkritischen Fall.b) In welchem Fall ist bei gleicher Geschwindigkeit der Druckwiderstand des umströmten Zylindersgrößer?Kurzaufgabe Q.k4Ein Ball (d = 20 cm) ändert unvermittelt seine Flugbahn, wenn sich bei der kritischen Reynoldszahl(Re krit = 3 · 10 5 ) der Widerstandsbeiwert schlagartig ändert.Wie groß ist die dazugehörige kritische Ballgeschwindigkeit (ν = 15 ·10 −6 m 2 /s)?- 35 -

Aufgaben Q - StrömungskräfteKurzaufgabe Q.k5Bezeichnen Sie in der nachfolgenden Abbildung der Druckverteilung eines umströmten Kreiszylindersdiea) theoretischeb) gemessene(unterkritische)c) gemessene(überkritische)Druckverteilung.Kurzaufgabe Q.k6Bezeichnen Sie die richtigen Antworten zu unter- bzw. überkritischer Umströmung eines Kreiszylinders:[ ] bezieht sich auf die Schallgrenze[ ] ist bedingt durch Übergang von laminarer zu turbulenter Grenzschicht.[ ] ist durch Übergang von unter- zu überkritischer Strömung bedingt.[ ] der Widerstand nimmt dabei zu.[ ] der Widerstand nimmt dabei ab.Kurzaufgabe Q.k7a) Von welchen Parametern können die Beiwerte c W und c A im allgemeinen Fall abhängen?b) Wie sind die Beiwerte c W und c A definiert?Kurzaufgabe Q.k8Warum wird ein Tragflügel nicht wie skizziert gebaut?Kurzaufgabe Q.k9Das D’Alambertsche Paradoxon lautet: ”Bei inkompressibler und reibungsloser Strömung tritt aufeinem umströmten Körper keine Widerstandskraft auf“.Warum trifft diese Aussage in der Praxis nicht zu?- 36 -

Q - StrömungskräfteLösungenAufgabeLösung, (Weg)1 c W = 0, 872 a) F R =√F W = 1, 39 kNb) F R = FW 2 + F A 2 = 5, 18 kN3 a) F R =√F W = 51, 8 kNb) F R = FW 2 + F A 2 = 42, 8 kN4 a) erf. c A = 0, 8 ❀ α ≃ 8 ◦b) F W ≃ 3, 37 kN5 a) v ∞ = 1,125 m/sb) F W = 364,5 N6 a) F W = 35, 84 kNb) M 0 = 870, 4 kNm- 37 -

frei für Notizen

Anhang IFormeln zur StrömungsmechanikDas Wichtigste in Kürze.Den Klausuren zum Kurs wird je ein Exemplar dieser Formelsammlung beigelegt.- I.1 -

ANHANG I - FormelsammlungFormeln zur Strömungsmechanik Stand: SoSe 2013ZahlenwerteGröße Zeichen Wert Näherung für KlausurenAtmosphärischer Normaldruck p 0 103.000 Pa 100 kPa = 10 mWsErdbeschleunigung g 9,81 m/s 2 10 m/s 2Stoffwerte (20 o C, Normaldruck)(1 g/cm 3 = 1 kg/l = 1 t/m 3 )Wasser ν W = 1, 0 · 10 −6 m 2 /s ρ W = 1000,0 kg/m 3Luft ν L = 14, 9 · 10 −6 m 2 /s ρ L = 1,2 kg/m 3 ν = ηErdöl (Baku) νÖ = 2, 6 · 10 −6 m 2 /s ρÖ = 824,0 kg/m 3 ρ ; τ = η ∂v∂nHydrostatikp = pü + ρ ghF x = p S A xF z = ρ gVF = p S A (eben)Lage desDruckmittelpunktesx D =y D =I ξηy S · A + x SI ξy S · A + y SSchwimmstabilitäth M = I xV − erelativ ruhende Fluidein bewegten Gefäßenp B =B∫p A + ρ ⃗f ds ⃗AB∫ (= p A + ρ fx dx + f y dy + f z dz )Af r = ω 2 · rErhaltungssätzeMassenerhaltungṁ 1 = ṁ 2ρ 1 v 1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 bzw.v 1 A 1 = v 2 A 2 (ρ = const.)∂v x∂x + ∂v y∂y + ∂v z∂z= 0ImpulserhaltungS = püA + βρ v 2 A = püA + βρ Qv⃗S ein + ⃗ S aus + ⃗ Fäuβere + ⃗ G = 0EnergieerhaltungSpezifische Energie (Gerinne)z 1 + p 1ρg + α v2 12g + Pgṁ = z 2 + p 2ρg + α v2 22g + h v E = h + v22gEnergiehöheIteration, wenn E und q gegeben:h E = z + pρg + α v2Konstante: C = q 2 /(2g)2gStrömen: h ⇐ E − C/h 2 ; h 0 = ESchießen: h ⇐ √ C/(E − h); h 0 = 0Zahlenangaben sind Näherungswerte zu Übungszwecken ohne Anspruch auf Vollständigkeit- I.2 -

Formeln zur StrömungsmechanikÖrtlich konzentrierte Verlusteh v= ζ v22gBei ζ : v = Geschwindigkeit unmittelbar hinter der StörstelleBei ζ ′ : v = Geschwindigkeit unmittelbar vor der Störstelle1. Ein- und Auslaufverlusteζ = 0, 5 ζ = 0, 25 ζ = 0, 1 ζ ′ = 1, 02. UmlenkverlusteWandreibungsverlusteDarcy-Weisbachh v = λr m/d\ β 15 o 30 o 60 o 90 o2 0,03 0,06 0,12 0,145 0,03 0,05 0,08 0,1110 0,03 0,05 0,07 0,11\ β 15 o 30 o 60 o 90 oglatt 0,042 0,13 0,47 1,13rauh 0,062 0,16 0,68 1,27l v 2D h 2g ; D h = 4A U ; τ 0 = ρg Al U h v3. Verzweigungsverluste3.1 scharfkantige Rohre (konst. Durchmesser)β 90 o 90 o 45 o 45 oQ a/Q ζ a ′ ζ d ′ ζ a ′ ζ d′0,2 0,88 -0,08 0,68 -0,060,4 0,89 -0,05 0,50 -0,040,6 0,95 0,07 0,38 0,070,8 1,10 0,21 0,35 0,20β 90 o 90 o 45 o 45 oQ a/Q ζ a ζ d ζ a ζ d0,2 -0,40 0,17 -0,38 0,170,4 0,08 0,30 0,00 0,190,6 0,47 0,41 0,22 0,090,8 0,72 0,51 0,37 -0,173.2 symmetrische Hosenrohre mit Q a /Q = 0, 5r m/d ζ0,5 4,40,75 2,41,0 1,61,5 1,02,0 0,8Manning Stricklerβ ζ10 o 0,430 o 1,245 o 2,860 o 4,090 o 5,6Stahlrohrek [mm]Leitungen aus gezogenem Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,01 bis 0,05Geschweißte Rohre von handelsüblicher Güte:neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,05 bis 0,10nach längerem Gebrauch gereinigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,15 bis 0,20mäßig verrostet, leichte Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . 0,40schwere Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Genietete Leitungen mit Längs und Quernähten:a) Bleckdicke unter 5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,65b) Blechdicke 5 bis 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,95c) Blechdicke über 12 mm und 6-12 mm, wennNietnähte mit Laschen verdeckt . . . . . . . . . . . . . . . 3d) Blechdicke über 12 mm mit verlaschten Nähten . . 5,5e) in ungünstigem Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 5oGußeisenrohreNeue Leitungen mit Flansch- oder Muffenverbindung . . . 0,15 bis 0,3Gußeiserne Rohre:inwendig bitumiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,12neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 bis 1angerostet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 1,5verkrustet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 3Beton und DruckstollenRohrleitungen und Stollen in Stahlbetonmit sorgfältig handgeglättetem Verputz . . . . . . . . . . . . . 0,01neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz 0,16Betonrohre, Glattstrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3 bis 0,8Druckstollen mit Zementverputz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 1,6Betonrohre, roh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 3Beton, schalungsrauh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l0Sonstige RohreAsbest-Zement-Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1Holzrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,2 bis 1v = k St r 2/3hI 1/2E ; r h = A UGerinne: k St [m 1/3 /s] k [mm]Glatte Holzgerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 0,60Glatter unversehrter Zementputz,glatter Beton mit hohem Zementgehalt . 80 0,80Hausteinquader, gut gefugte Klinker . . . . . . . 70 . . . 80 1,8 . . . 1,5Alter Beton, Bruchsteinmauerwerk . . . . . . . . . 50 20Erdkanäle, regelmäßig, rein, ohne Geschiebemittlerer Kies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 75Natürliche Flußbetten, mit Geröllund Unregelmäßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 30 bis 400Gebirgsflüsse mit grobem Geröll, beiruhendem Geschiebe mit unverkleideter,roher Felswand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . 28 bis 1500wie vor, bei in Bewegung befindlichemGeschiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . 22 bis 3000Stollen und Betonrohrleitungen:Geschliffener Zementputz größter Glätte . . . 100 0,01Betonstollen von weniger sorgfältigerAusführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 10 . . . 0,16Alte, aus Einzelrohren bestehendeBetonrohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 . . . 1Tabellen nach Schröder, H. und Press, R.: Hydromechanik im WasserbauW. Ernst & Sohn, Berlin, München 1966- I.3 -

ANHANG I - FormelsammlungReibungsbeiwert λ nach Colebrook-Whiteλ0.07✻0.06k/D0,03300.050.040.030,01600,00830,00400,00200.020,00100,00040,00020,00010.011} 2 {{ 4 6 8}1} 2 {{ 4 6 8}1} 2 {{ 4 6 8}1} 2 {{ 4 6 8 10}∗10 3 ∗10 4 ∗10 5 ∗10 6laminar (Re < 2330): λ = 64turbulent (Re > 2330):Re1√λ⇐ −2 · 10 log( 2, 51Re √ λ +)k3, 71 D(iterativ!)Re = vD ν✲Wechselsprungh 2h 1= 1 2(√1 + 8Fr 2 1 − 1Grenzzustand√q 2h gr = 3 g= 2 3 E grv gr = √ gh gr)Spiegelliniengleichungdhds = I h 3 (s) − h 3 nSoh 3 (s) − h 3 grÜberfall: Q = 2 3 µ b h ü√ 2g hüForm Kronenausbildung µbreit, scharfkantig, waagerecht . . . . . . . . . . . . 0, 49 ÷ 0, 51breit, gut abgerundete Kanten, waagerecht 0, 50 ÷ 0, 55breit,vollständig abgerundetz.B. mit ganz umgelegter Stauklappe . . . . 0, 65 ÷ 0, 73scharfkantig, Überfallstrahl belüftet . . . . . . . ≈ 0, 64rundkronig, mit lotrechter Oberwasserundgeneigter Unterwasserseite . . . . . . . . . . . 0, 73 ÷ 0, 75dachförmig, gut ausgerundet . . . . . . . . . . . . . . bis 0,79Überfallbeiwerte nach Press, H.: Stauanlagen und Wasserkraftwerke,Teil II: Wehre2. Aufl. Berlin 1959, Wilh. Ernst & Sohn- I.4 -

Formeln zur StrömungsmechanikPotentialtheoriev x = ∂Φ∂xv y = ∂Φ∂yv x = ∂Ψ∂yv y = − ∂Ψ∂xLaplace-DGl∆Φ = ∂2 Φ∂x 2 + ∂2 Φ∂y 2 + ∂2 Φ∂z 2Zirkulation∮ ∫Γ = ⃗v ds ⃗ =BArot⃗v dARotationrot ( ⃗v(x, y, z) ) =⎡⎢⎣∂v z∂y − ∂v y∂z∂v x∂z − ∂v z∂x∂v y∂x − ∂v x∂y⎤⎥⎦StrömungskräfteStaudruck: q = ρ 2 v2 ∞ c-Werte werden bei Bedarf gestelltAuftrieb: F A =∫∫q c a dA Widerstand: F W =ANickmoment:∫Moment∫um Achse z = 0:M N = q c M b dA M = q c W z dAAAAq c W dAKinetik der räumlichen StrömungNavier-Stokes-Gleichung⃗f − 1 gradp + ν∆v =⃗ ρdvdt =Indexschreibweise:∂v ⃗ + ⃗v grad ⃗v∂tf i − 1 ρ∂p∂x i+ 1 ρ[∂∂x jη ∂v ]i∂x j} {{ }τ ij= ∂v i∂t + v j∂v i∂x j} {{ }dv i /dtDimensionslose KennzahlenGrundwasserFiltergesetz nach DarcyvFr = √ g hFilter k F [m/s]⃗v F = −k F gradh Ton ≈ 1 · 10 −10v A = v Schluff ≈ 1 · 10 −8Re = v D νFSand ≈ 1 · 10 −4nKies ≈ 1 · 10 −2 Eu = ∆pρ v 2- I.5 -

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