Monaden

Monadenmap :: (a → b) → (M a → M b)map f m = m λa. unit (f a)joinjoin z:: M (M a) → M a= z λm.mDie Operation map überführt eine Funktion f des Typs a → b in einemonadische Berechnung (mit den Nebenwirkungen der durch und unitdefinierten Monade) des Typs M a → M b. Die Operation join verbindetzwei Berechnungen bzw. deren Nebenwirkungen zu einer gemeinsamen.Man kann map auch dazu verwenden, eine Funktion auf jedes Elementeiner Liste – wie später gezeigt wird, stellen auch Listen eine Monade dar –anzuwenden, und join dazu, eine Liste aus Listen zu erstellen!Mittels map und join kann man weitere Gesetze aufstellen. Dabei sei iddie Einheitsfunktion (id x = x) und (·) die Komposition zweier Funktionen((f · g) x = f (g x)):map idmap ( f · g)= id= map f · map gmap f · unit = unit · fmap f · join = join · map (map f )join · unitjoin · map unitjoin · map join= id= id= join · joinm k = join (map k m)Der Beweis dieser Gesetze folgt aus den Definitionen von map und joinsowie den drei Monaden-Gesetzen. Man kann Monaden statt über unit und auch über unit, join und map definieren [4, 5]. Dann treten die erstensieben der obigen Gesetze an die Stelle der drei zuvor genannten Monaden-Gesetze. Beide Definitionsweisen sind absolut gleichwertig.Julian Mehnle 11