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Vektorgeometrie3. Teil (SJ 2010/11)Lösungen

7 Die Ebene7.1 Die verschiedenen Formen der Ebenengleichung⎛ ⎞ ⎛ ⎞u 1 v 1Gegeben: Ein Punkt A(a 1 |a 2 |a 3 ) und Vektoren ⃗u = ⎝u 2⎠, ⃗v = ⎝v 2⎠⎛ ⎞u 3 v 3x⃗r = ⎝y⎠ ist der zum Punkt P(x|y|z) gehörende Ortsvektor.z ⃗nεA⃗v⃗uP⃗r A⃗r P = ⃗rO7.1.1 Die Parameterform der Ebenengleichungε:⎛ ⎞x⎝y⎠ = ⃗r A + s · ⃗u + t · ⃗vzParameterform7.1.2 Die Normalenform der Ebenenengleichung⎛ ⎞n 1⃗n = ⎝n 2⎠ ≠ ⃗0 ist ein beliebiger Normalenvektor von ε ( z. B. ⃗n = ⃗u × ⃗v )n 3−→AP = ⃗r − ⃗r AP(x|y|z) ∈ ε ⇔ ⃗n ⊥ −→ AP⇔ ⃗n · −→ AP = 0⇔ ⃗n · (⃗r − ⃗r A ) = 0Normalenform1

7.1.3 Die Koordinatenform der Ebenenengleichung⃗n · (⃗r − ⃗r A ) = 0Normalenform⃗n · ⃗r − ⃗n · ⃗r A = 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞n 1 x n 1 a 1⎝n 2⎠ · ⎝y⎠ − ⎝n 2⎠ · ⎝a 2⎠ = 0n 3 z n 3 a 3n 1 x + n 2 y + n 3 z −n 1 a 1 − n 2 a 2 − n 3 a} {{ } 3 = 0Dn 1 x + n 2 y + n 3 z + D = 0KoordinatenformBeispiele(a) Gegeben: Punkte A(2|−3|0), B(5|3|1), C(4|5|2)Gesucht: Parameter-, Normalen- und Koordinatenform der Ebene durch A, B und CLösung:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞3−→Parameterform: AB = ⎝6⎠ = ⃗u, −→ 2 1AC = ⎝8⎠ ⇒ ⃗v = ⎝4⎠12 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 2 3 1ε: ⎝y⎠ = ⎝−3⎠ + s · ⎝6⎠ + t · ⎝4⎠z 0 1 1⎛ ⎞ ⎛Normalenform: Normalenvektor ⃗u × ⃗v = ⎝ε:⎛ ⎞ ⎡⎛⎞ ⎛ ⎞⎤1 x 2⎝−1⎠ · ⎣⎝y⎠ − ⎝−3⎠⎦ = 03 z 02⎠ ⇒ ⃗n = ⎝−26⎞1⎠−13(Wir werden diese Form kaum gebrauchen)Koordinatenform: Aus dem oben berechneten Normalenvektor ⃗n lesen wir die ersten dreiKoeffizienten der Koordinatenform ab: x − y + 3z + D = 0.Um D zu bestimmen setzen wir für x, y und z die Koordinaten eines der gegebenen Punkteein, zum Beispiel A(2|−3|0): 2 + 3 + 0 + D = 0 ⇒ D = −5.ε: x − y + 3z − 5 = 02

7.2 Erste Anwendungen der Ebenengleichung⎛ ⎞x⎛ ⎞−10⎛ ⎞2⎛ ⎞5(a) Liegt der Punkt P(10|2|4.5) in der Ebene ε: ⎝y⎠ = ⎝ 9⎠ + s · ⎝−4⎠ + t · ⎝ 1⎠?z 12 3 −5Lösung:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞10 −10 2 5Gleichung: ⎝ 2⎠ = ⎝ 9⎠ + s · ⎝−4⎠ + t · ⎝ 1⎠4.5 12 3 −5⇒10 = −10 + 2s + 5t2 = 9 − 4s + t4.5 = 12 + 3s − 5t1. und 2. Gleichung: s = 2.5, t = 31. und 3. Gleichung: s = 2.5, t = 3}⇒ P ∈ ε(b) Liegt der Punkt P(5|−2|16) in der Ebene ε: 4x + 3y − z + 1 = 0?Lösung:Die Koordinaten des Punktes P sind in die Gleichung der Ebene ε einzusetzen:4 · 5 + 3 · (−2) − 16 + 1 = 0 ⇒ −1 = 0 ⇒ P /∈ ε(c) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene ε ′ , die durch den Punkt P(1|2|−3) gehtund parallel zur Ebene ε: − 8x + 2y − 3z + 1 = 0 liegt.Lösung:Wenn beide Ebenen parallel sind, müssen ihre Normalenvektoren gleich (oder zumindestkollinear) sein. Ein Normalenvektor von ε lässt sich sofort aus den Koeffizienten der Koordinatengleichungherauslesen:⎛ ⎞−8⃗n = ⎝ 2⎠−3Somit muss eine Gleichung von ε ′ die Gestalt −8x+2y−3z+D = 0 haben. Aus P(1|2|−3) ∈ε ′ können wir D und schliesslich ε ′ bestimmen:−8 · 1 + 2 · 2 − 3 · (−3) + D = 0 ⇒ D = −5 ⇒ ε ′ : − 8x + 2y − 3z − 5 = 04

7.3 Achsenabschnitte und SpurenDie Achsenabschnitte a, b und c sind die jeweiligenKoordinaten ≠ 0 der Schnittpunkteeiner Ebene ε mit den Koordinatenachsen.Die Spuren sind die die Schnittgeraden einerEbene ε mit den Koordinatenebenen.Erste Spur: ε ∩ π 1Zweite Spur: ε ∩ π 2Dritte Spur: ε ∩ π 3Beispiel: Bestimme alle Achsenabschnitte und Spuren der Ebene ε: 2x − 3y + 5z − 10 = 0Lösung:A(a|0|0): 2a − 10 = 0 ⇒ a = 5B(0|b|0): −3b − 10 = 0 ⇒ b = −10/3C(0|0|c): 5c − 10 = 0 ⇒ c = 21. Spur (z = 0): 2x − 3y − 10 = 02. Spur (x = 0): −3y + 5z − 10 = 03. Spur (y = 0): 2x + 5z − 10 = 05

7.4 Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene• Die Gerade g schneidet die Ebene ε in einem Punkt.• Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene ε.• Die Gerade g liegt in der Ebene ε.(a) Bestimme eine Gleichung der Geraden g, welche durch den Punkt P(−2|3|8) geht undsenkrecht auf der Ebene ε: x − 2y + 3z − 7 = 0 steht.Lösung: Merke: die Koeffizienten einer Ebenengleichung sind die Komponenten einesNormalenvektors dieser Ebene und umgekehrt.⎛ ⎞1Normalenvektor von ε: ⃗n = ⎝−2⎠ ist Richtungsvektor von g.3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x −2 1g: ⎝y⎠ = ⎝ 3⎠ + t · ⎝−2⎠z 8 3(b) In welchem Punkt schneidet die Gerade g:Gleichung 7x − 2y + 3z + 39 = 0?⎛ ⎞x⎛ ⎞−2⎛⎝y⎠ = ⎝z4⎠ + t · ⎝3⎞3⎠ die Ebene mit derLösung: g in seine Koordinaten zerlegen: x = −2 + 3t, y = 4 − t, z = 3 + t (∗)Diese parametrisierten Koordinaten in ε einsetzen:7(−2 + 3t) − 2(4 − t) + 3(3 + t) + 39 = 0−14 + 21t − 8 + 2t + 9 + 3t + 39 = 026t + 26 = 0 ⇒ t = −1 in (∗) einsetzen: S(−5|5|2)−11(c) In welchem Winkel schneidet die Gerade g:Gleichung x + 2y − 2z + 1 = 0?⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1 2⎝y⎠ = ⎝2⎠ + t · ⎝−1⎠ die Ebene mit derz 3 2Lösung: ϕ ′ : spitzer Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und einem Normalenvektorder Ebene.⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 1⎝−1⎠ · ⎝ 2⎠∣ϕ ′ 2 −2 ∣ 4= arccos⎛ ⎞⎛ ⎞= arccos2⎝−1⎠∣ 2 ∣ ·13 · 3 = 63.61◦ ⇒ ϕ = 90 ◦ − 63.61 ◦ = 26.39 ◦⎝2⎠∣ −2 ∣6

7.5 Gegenseitige Lage von Ebenenschneidend parallel zusammenfallendDie Normalenvektoren sind ...kollinear nicht kollinearDie Ebenen haben . .. einen Punkt gemeinsam zusammenfallend schneidendkeinen Punkt gemeinsam parallel —Beispiele Bestimme die gegenseitige Lage der Ebenen ε 1 und ε 2 . Falls sich die Ebenen schneidenberechne den Schnittwinkel und eine Gleichung der Schnittgeraden.(a) ε 1 : 6x − 8y + 4z + 9 = 0 und ε 2 : 9x − 12y + 6z − 7 = 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞6 9Lösung: ⃗n 1 = ⎝−8⎠, ⃗n 2 = ⎝−12⎠ ⇒ ⃗n 1 = 3 2 · ⃗n 2 (kollinear!)4 6Beliebigen Punkt in ε 1 bestimmen: z.B. x = y = 0 setzen und aus dem, was von derGleichung dann noch übrig bleibt (4z + 9 = 0) den Wert von z berechnen: P(0|0|2.25)Koordinaten von P in ε 2 einsetzen: 9 · 0 − 12 · 0 + 6 · 2.25 − 7 ≠ 0⇒ P /∈ ε 2 ⇒ ε 1 ‖ ε 2Einfacher: Wenn beide Gleichung dieselbe Ebene beschreiben, dann müssen beide Gleichungendieselbe Lösungmenge für (x|y|z) haben. Dies geht nur, wenn beide Gleichungenäquivalent sind, das heisst die eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist. In diesemBeispiel ist das nicht der Fall, also sind die Ebenen parallel.7

(b) ε 1 : 2x − 2y + z − 4 = 0 und ε 2 : 8x + 4y − z + 2 = 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 8Lösung: ⃗n 1 = ⎝−2⎠, ⃗n 2 = ⎝ 4⎠ ⇒ ⃗n 1 und ⃗n 2 sind nicht kollinear1 −1⇒ ε 1 und ε 2 schneiden sich.⎛ ⎞2⎛ ⎞8⎝−2⎠ · ⎝ 4⎠1 −1 7Schnittwinkel: ϕ = arccos⎛ ⎞⎛ ⎞= arccos2⎝−2⎠∣ 1 ∣ ·83 · 9 ≈ 74.97◦⎝4⎠∣ −1 ∣Richtungsvektor der Schnittgeraden:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 8 −2−1⃗n 1 × ⃗n 2 = ⎝−2⎠ × ⎝ 4⎠ = ⎝ 10⎠ ⇒ ⃗v = ⎝ 5⎠1 −1 24 12Punkt P(x|y|z) auf der Schnittgeraden:}−2y + z − 4 = 0Setze x = 0:⇒ y = 1, z = 6 ⇒ P(0|1|6)4y − z + 2 = 0g:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 0 −1⎝y⎠ = ⎝1⎠ + t · ⎝ 5⎠z 6 12Lösung des Gleichungssystems:2x − 2y + z − 4 = 08x + 4y − z + 2 = 0III2 Gleichungen und 3 Variablen ⇒ ein Variable ist ”frei“. Wählen x.Eliminieren z.B. z: I + II: 10x + 2y − 2 = 0 ⇒ 5x + y − 1 = 0 ⇒ y = 1 − 5xSetzen dieses Resultat z.B. in I ein und lösen nach z auf: 2x − 2(1 − 5x) + z − 4 = 0 ⇒2x − 2 + 10x + z − 4 = 0 ⇒ z = 6 − 12x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 0 + x 0 1 0 1Also ⎝y⎠ = ⎝ 1 − 5x⎠ = ⎝1⎠ + x · ⎝ −5⎠ = ⎝1⎠ + t · ⎝ −5⎠z 6 − 12x 6 −12 6 −12(c) ε 1 : 4x + 2y − 2z + 6 = 0 und ε 2 : − 2x − y + z − 3 = 0Lösung: ε l und ε 2 sind äquivalent, dennε 1 : 4x + 2y − 2z + 6 = 0 || : (−2)ε 2 : −2x − y + z − 3 = 0 ⇐8

7.6 Abstandsberechnungen7.6.1 Abstand Punkt–EbeneGegeben:Gesucht:Ebene ε: Ax + By + Cz + DPunkt P(x P |y P |z P )Abstand PεGerade g durch P normal auf ε:g ∩ ε = {S}:g:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x x P A⎝y⎠ = ⎝y P⎠ + t ⎝B⎠z z P CA(x P + At) + B(y P + Bt) + C(z P + Ct) + D = 0A 2 t + B 2 t + C 2 t + Ax P + By P + Cz P + D = 0t(A 2 + B 2 + C 2 ) = −(Ax P + By P + Cz P + D)t 0 = − Ax P + By P + Cz P + DA 2 + B 2 + C 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞x P A⃗r s = ⎝y P⎠ + t 0⎝B⎠z P C⎛ ⎞ADer gesuchte Abstand ist die Länge des Vektors t 0⎝B⎠:C⎛ ⎞Pε = ∣ ∣ A∣t 0 ·⎝B⎠∣ C ∣ = |Ax P + By P + Cz P + D|A 2 + B 2 + C 2 · √A 2 + B 2 + C 2 = |Ax P + By P + Cz P + D|√A 2 + B 2 + C 2Der Quotient rechts wird Hessesche Normalform von ε genannt.Zahlenbeispiel:}ε: x + 4y + 8z + 1 = 0P(5|2|1)⇒ Pε =|1 · 5 + 4 · 2 + 8 · 1 + 1|√1 2 + 4 2 + 8 2 = 22 9Ohne Betragzeichen lässt sich Pε wie folgt deuten:falls Pε > 0: P liegt im Halbraum in Richung des Normalenvektors von ε.falls Pε < 0: P liegt im Halbraum in entgegengesetzter Richtung des Normalenvektors von ε.9

Beispiele:(a) Gesucht: Abstand des Punktes P(5|−1|3) von der Ebene ε: 9x + 20y + 12z + 14 = 0.Lösung: d =|9 · 5 + 20 · (−1) + 12 · 3 + 14|√9 2 + 20 2 + 12 2 = 7525 = 3(b) Gesucht: Abstand des Ebene ε: 4x − 10y + 3z − 25 = 0 vom Ursprung.Lösung: d =|4 · 0 − 10 · 0 + 7 · 0 − 25|√ 16 + 100 + 9= 25 √125= √ 5(c) Liegen die Punkte P 1 (0|1|−9) und P 2 (−1|−3|8) im gleichen Halbraum der Ebene ε: 3x +12y − 4z + 1 = 0?Lösung:0 + 12 + 36 + 1d 1 = √ = 499 + 144 + 16 13 > 0d 2 =−3 − 36 − 32 + 1√ 9 + 144 + 16= −7013 < 0 ⎫⎪ ⎬⎪ ⎭⇒ Nein7.6.2 Abstand paralleler EbenenBeispiel: Weise nach, dass die Ebenen ε 1 : 2x − 2y + z − 7 = 0 und ε 2 : 4x − 4y + 2z + 2 = 0parallel sind und bestimme ihren Abstand.Lösung:⎛ ⎞ ⎛ ⎞4 2⃗n 2 = ⎝−4⎠ = 2 · ⎝−2⎠ = 2 · ⃗n 12 1Wähle Punkt auf ε 1 : P(0|0|7)Abstand von P zu ε 2 :d =|4 · 0 − 4 · 0 + 2 · 7 + 2|√4 2 + 4 2 + 2 2 = 16 6 = 8 310

7.7 Die Winkelhalbierenden zweier EbenenSchneiden sich zwei Ebenen ε und δ in der Geraden s, so gibt es zwei winkelhalbierende Ebenenω 1 und ω 2 . Das Bild zeigt zwei Ebenen und ihre Winkelhalbierenden in projizierender Lage.ω 2εsPω 1δP(x|y|z) liegt genau dann auf einer der Winkelhalbierenden, wenn er von ε und δ den gleichenAbstand hat.Da der Abstand eines Punktes von einer Ebene mit der Hesseschen Normalformen berechnetwerden kann, lässt sich die obige Aussage auch so formulieren:P ∈ ω 1 oder P ∈ ω 2 ⇔|Ax + By + Cz + D| |Ex + Fy + Gz + H|√ = √A 2 + B 2 + C 2 E 2 + F 2 + G 2Um die Beträge weglassen zu können, müssen wir zwei Fälle unterscheiden:Haben beide Zähler gleiches Vorzeichen, so gilt nach eventueller Multipliktion beider Seiten mit(−1):Ax + By + Cz + D Ex + Fy + Gz + Hω 1 : √ = √A 2 + B 2 + C 2 E 2 + F 2 + G 2Haben beide Zähler unterschiedliche Vorzeichen, so gilt nach eventueller Multipliktion beiderSeiten mit (−1):Ax + By + Cz + D Ex + Fy + Gz + Hω 2 : √ = − √A 2 + B 2 + C 2 E 2 + F 2 + G 2Zahlenbeispielε: 2x − y + 2z + 3 = 0 und δ: x + 4y + 8z − 5 = 02x − y + 2z + 33=x + 4y + 8z − 592x − y + 2z + 33x + 4y + 8z − 5= −96x − 3y + 6z + 9 = x + 4y + 8z − 5ω 1 : 5x − 7y − 2z + 14 = 06x − 3y + 6z + 9 = −x − 4y − 8z + 5ω 2 : 7x + y + 14z + 4 = 011